ЛекцияТема: СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯТема: СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

1. Лоренцево сокращение длины

2. Замедление времени

3. Оптический эффект Доплера

4. Парадокс близнецов

5. Взаимосвязь массы и энергии

Содержание лекции:

Сегодня: Thursday, April 20, 2023

11. . Лоренцево сокращение длиныЛоренцево сокращение длины

Предположим, что необходимо измерить длину

линейки, покоящейся относительно штрихованной

системы отсчета K. Концы этой линейки

закреплены в точках x1 и х2, причем х2 х1 = l0

(рис. 1). Величина l0 – собственная длина стержня, не зависящая от выбора системы отсчета, в которой покоится стержень.

Если система К движется относительно системы

отсчета К со скоростью v, то длиной стержня в

системе К назовем величину l, равную расстоянию

между двумя точками в системе К, мимо которых

концы стержня проходят одновременно l = x2 – x1,

t2 = t1.

Для определения l воспользуемся

преобразованиями Лоренца для координат,

где t1 = t2, .

/// 2222

12

22

1122012

111 c

l

c

xx

c

txtxlxx

vvv

vv

В результате получаем длину стержня в системе отсчета К, относительно которой стержень движется со скоростью v (v 0):

Длина движущегося стержня короче, чем покоящегося. Это явление называется Лоренцовым сокращением длины.

Если метровая линейка движется мимо наблюдателя со скоростью, составляющей 0,6 скорости света, то наблюдателю ее длина будет казаться равной

022

0 1 lcll /v

см 80)см 100(64,0)см 100()6,0(1 2 l

22. . Замедление времениЗамедление времени

Применим два принципа, лежащих в основе специальной теории относительности – постоянства скорости света и эквивалентности инерциальных систем отсчета (принцип относительности) к световым часам.

Световые часы представляют собой два параллельных зеркала, расположенных на расстоянии L друг от друга (рис. 2,а).

Пусть – время, за которое импульс света, отразившись от нижнего зеркала, достигает верхнего.

Часы «тикают» всякий

раз, когда свет отражается

от зеркала.

Имеются две

пары вполне идентичных

часов А и В. Частота их

хода синхронизована и

период «тиканья» = L/c.

( рис. 2,а)

Рис. 2

Часы В движутся вправо со скоростью v (рис. 2, б).

Рассмотрение проведем с точки зрения

наблюдателя, покоящегося относительно часов A.

Этому наблюдателю путь светового луча от одного края часов В до другого будет представляться более длинным, чем в часах A. Из рис. 2, б видно, что световой импульс в часах В должен двигаться по диагонали, а в соответствии с принципом постоянства скорости света это движение должно происходить с той же скоростью, что и движение светового импульса в часах А.

Следовательно, с точки зрения наблюдателя А

световому импульсу в часах B понадобится больше

времени, для того чтобы достичь верхнего зеркала, чем

световому импульсу в часах А. (рис.2.б)

Обозначим этот (больший) промежуток времени

через Т; тогда длина диагонали равна сТ. Применяя

теорему Пифагора к чертежу на рис. 2. б, имеем

(cT)2 = (vT)2 + (c)2,

откуда получаем

где

221 cT // v2211 c// v

Покоящийся наблюдатель видит, что промежуток

времени между «тиканьями» движущихся часов равен

величине Т, которая больше – промежутка времени

между «тиканьями» любых часов, находящихся в

покое. Отсюда следует, что любой наблюдатель

обнаружит замедление хода движущихся часов в раз

по сравнению с точно такими же, но находящимися в

покое часами.

Величина называется собственным временем. Это

измеренный наблюдателем промежуток времени между

двумя событиями, которые наблюдатель видит в одной

и той же точке пространства.

Тогда Т – промежуток времени между теми же двумя

событиями, но измеренный движущимся наблюдателем

(по его собственным часам):

Эффект замедления времени не имеет ничего общего

с устройством конкретных часов, а обусловлен

свойствами самого времени.

Поскольку замедление времени – это свойство самого времени, то замедляют свой ход не только движущиеся часы, но и все физические процессы (в том числе химические реакции) замедляются при движении.

221 cT // v

Жизнь включает комплекс химические реакций, поэтому течение жизни при движении также замедляется в соответствующее число раз.

Действительно, если бы биологический процесс старения не замедлялся в такой же пропорции, то, прикрепив к движущимся световым часам биологический объект, способный отсчитывать время (например, по числу ударов сердца), мы могли бы совместить световые и биологические часы, и если бы биологические и световые часы отсчитывали разное время, то мы получили бы детектор абсолютного движения и, таким образом, пришли бы к нарушению принципа относительности.

Разумеется, человек, любое живое существо или растение в быстро движущемся космическом корабле не почувствуют и вообще не заметят, находясь внутри этого корабля, никакого замедления жизненного ритма. Замедление физических процессов при движении сказывается и на периоде полураспада радиоактивных ядер. Этот эффект наблюдался с точностью 10–4 на радиоактивных ядрах, движущихся со скоростью, близкой к световой. Период полураспада таких ядер возрастает в раз. Одними из самых распространенных нестабильных частиц являются пи-мезоны. Пи-мезоны имеет период полураспада около 1,810–8 с и образуется при бомбардировке атомных ядер ионами высоких энергий.

Рассмотрим пи-мезоны, движущихся со скоростью

= 0,99с.

Множитель = = 7,09. Период полураспада пи-мезонов увеличивается в 7,09 раз; таким образом, он станет равным t = 7,09(1,810–8 с) = 1210–8 с.

Замедление времени наблюдалось не только с помощью микроскопических «часов» в виде нестабильных частиц. В 1960 г. это явление впервые наблюдалось с использованием так называемых мессбауэровских часов. Одно из наиболее стабильных устройств отсчета времени, которое можно создать на современном уровне, основано на эффекте Мессбауэра.

299011 ,/

В таких «часах» используются фотоны, испускаемые ядрами радиоактивного изотопа железа, внедренными в монокристалл железа. Двое идентичных мессбауэровских часов показывают одно и то же время с точностью до 1016.

Сдвиг по времени проявляется в увеличении скорости счета фотонов, причем этот сдвиг может быть измерен количественно.

В эксперименте по замедлению времени на мессбауэровских часах вся установка быстро вращалась, и было обнаружено замедление в точности в раз по сравнению с абсолютно такими же покоящимися мессбауэровскими часами.

3. Оптический эффект Доплера 3. Оптический эффект Доплера

Если наблюдатель движется к источнику звука, то частота воспринимаемого им звука увеличивается, а при удалении уменьшается. Это изменение частоты, обусловленное движением, называется эффектом Доплера. Обычным примером служит гудок приближающегося поезда. По мере того как поезд проходит мимо, часто та (высота тона) понижается. Аналогичное происходит и со световыми волнами. Если источник движется к наблюдателю (или, что эквивалентно, наблюдатель движется к источнику), то частота света увеличивает ся (свет испытывает «синее смещение»).

Если же источник и наблюдатель удаляются друг от друга, частота света уменьшается (это называется «красным смещением»). Звуковой эффект Доплера вычисляют, используя классическую механику. Для расчета оптического эффекта Доплера требуется теория относительности.

Согласно теории относительности частота света ', принимаемая наблюдателем, связана с частотой света источника следующим соотношением:

1

1

Если приемник удаляется от источника, то

' < .

Если приемник приближается к источнику, то ' > .

Перейдя к длинам волн = с/, = с/, получаем

Полученные уравнения описывают релятивистский продольный эффект Доплера для световых волн в вакууме.

1

1

Айвс и Стилуэлл выполнили спектральные опыты с пучками водородных атомов, находившихся в возбужденных электронных состояниях. Атомы, входившие в состав молекулярных водородных ионов Н2

+ и Н3+, ускорялись в сильном электрическом поле.

Как продукт распада ионов образовывался атомарный водород. Скорость его атомов имела величину порядка = 0,005.

Авторы определяли смещение средней длины волны отдельной спектральной линии, испускаемой атомами водорода. Средняя величина бралась по направлениям вперед (в) и назад (н) относительно траектории полета атомов.

Наблюдаемое смещение средней длины волны

оказалось равным 0,074 Å, в то время как согласно

теории смещение составляет 0,072 Å. Это является

превосходным подтверждением релятивист ской

теории эффекта Доплера.

4. Парадокс близнецов4. Парадокс близнецов

С точки зрения наблюдателя на Земле, ход

часов и всех физических процессов (включая

саму жизнь) в космическом корабле,

движущемся со скоростью v, должен

замедлиться в раз.

Рассмотрим близнецов А и В в ситуации, изображенной на рис. 7.7. Близнец В совершает космическое путешествие по замкнутому маршруту к звезде Арктур и обратно со скоростью v = 0,99с.

2211 cv/

Для наблюдателей на Земле расстояние до этой

звезды 40 световых лет. Определим возраст

каждого из близнецов, когда В закончит свое

путешествие и вернется обратно на Землю, если до

начала путешествия им было по 20 лет.

Рис. 7.7

Согласно измерениям А, путешествие займет на 1% больше времени, чем требуется свету для преодоления расстояния до Арктура и обратно (80 лет). Поэтому возраст близнеца А к моменту возвращения В составит 20 + 80,8 = 100,8 лет.

Близнец А считает, что часы на космическом корабле идут в раз медленнее, чем на Земле. Поэтому для В время космического путешествия составит всего лишь 80,80,141 = 11,4 года, так что к моменту окончания путешествия близнецу В будет 20 + 11,4 = 31,4 года, и он окажется на 69,4 лет моложе близнеца, оставшегося на Земле.

14109901 2 ,,

Космический путешественник не чувствует замедления своего времени. B нашем примере расстояние от Земли до Арктура, измеренное близнецом В, испытывает лоренцево сокращение. По его измерениям это расстояние составляет = 5,64 световых лет.

Близнец В наблюдает также, что Земля удаляется от него с той же относительной скоростью v = 0,99с. Поэтому, согласно расчетам близнеца, путешествующего в космическом корабле, он достигнет Арктура через 5,7 лет, а все путешествие туда и обратно займет 11,4 года. Этот результат совпадает с результатом, полученным близнецом А на Земле.

2990140 ,

Однако имеет место кажущийся парадокс. На

первый взгляд, В должен был бы получить

результат, согласно которому А будет моложе В,

что противоречит предшествующему рассуждению.

Действительно, если движение и скорость в самом

деле относительны, то как вообще можно прийти к

несимметричному результату для А и В? Разве из

соображений симметрии не ясно, что оба близнеца

должны иметь один возраст в конце путешествия?

На первый взгляд кажется, что теория Эйнштейна

приводит к противоречию.

Парадокс устраняется, если заметить, что

проблеме присуща внутренняя асимметрия.

Близнец на Земле всегда остается в одной и той же

инерциальной системе отсчета, тогда как

космонавт, поворачивая обратно к Земле, меняет ее.

Для разрешения кажущегося парадокса снабдим

космического путешественника особыми часами,

способными определять время на земле и на

космическом корабле.

Допустим, что каждое «тиканье» обоих часов

сопровождается испусканием светового импульса.

Посмотрим, подтвердит ли космический

путешественник, что на Земле прошло больше

времени, чем на его корабле. Именно в этом

состоит разрешение сути «парадокса»: если, , как

думает В, часы наблюдателя А идут медленнее, то В

вряд ли сможет зарегистрировать больше

импульсов от этих «медленных» часов, нежели от

своих собственных «быстрых».

Но тем не менее, это происходит, как мы увидим,

из-за того, что на обратном пути к Земле вследствие

«синего смещения», связанного с эффектом

Доплера, увеличение частоты оказывается сильнее

эффекта замедления времени и, как следствие,

регистрация большего числа импульсов земными

часами.

Подсчитаем полное число импульсов,

регистрируемых наблюдателем В от своих часов и

от часов земного наблюдателя А.

Пусть NВ – общее число импульсов, испущенных

часами В, a NА – общее число им пульсов,

испущенных земными часами:

NB = 0tB,

где 0 – частота импульсов, испускаемых часами в

состоянии покоя; tВ – полное время путешествия по

часам В:

tB = полное расстояние/.

Для наблюдателя В расстояние D является сокращенным по Лоренцу, согласно его измерениям, полное расстояние равно

2D х (1 v2 / c2)1/2.

Таким образом,

NB = 20D/(v),

где – это полное число импульсов от часов космического корабля, которое зарегистрирует наблюдатель В.

Число импульсов от часов на Земле, которое зарегистрирует наблюдатель В, дается выражением

NA = 1t1 + 2t2,

где 1 и 2 – частоты импульсов, измеренные

соответственно, когда космический корабль удаляется от Земли и приближается к ней.

2211 c// v

Время путешествия в прямом и обратном направлениях является одним и тем же. Следовательно,

t1 = t2 = tB /2 = D/(v),

так что

NA = (1 + 2)D/(v).

Учитывая для 1 и 2 доплеровское смещение,

можно написать следующее выражение: v/)/()()/()( DN A 00 1111

v//)()( 00 211 DυD

Этот результат в точности совпадает с тем, что видит близнец А, оставшийся на Земле, наблюдая за своими часами. Следовательно, теория не имеет противоречий.

Кроме того, и близнец В видит, что по часам на космическом корабле прошло в раз меньше времени, чем по часам на Земле; отношение

NA/NB = .

Во всех предшествующих рассуждениях мы принимали, что время разворота космического корабля значительно меньше времени путешествия, и им можно пренебречь.

221 с/v

Поэтому число импульсов, регистрируемых близнецом В за время разворота, значительно меньше, чем в течение долгого путешествия с постоянной скоростью. Подтверждение данным расчетам было получено в эксперименте с использованием макроскопических часов. Одни из наиболее точных макроскопических часов – это атомные часы на пучках цезия. Эти часы «тикают» 9192631770 раз в секунду. В течение октября 1971 г. было проведено сравнение двух таких часов, причем одни из них находились в полете вокруг Земли на обычных реактивных лайнерах, а другие оставались в обсерватории.

В соответствии с предсказаниями теории

относительности путешествующие в авиалайнерах

часы должны были отстать от покоящихся на (184

± 23) нс. Наблюдаемое отставание составило (203

10) нс. Эксперимент согласуется с теорией в

пределах ошибок измерения.

55. Взаимосвязь массы и энергии . Взаимосвязь массы и энергии

Взаимосвязь между массой и энергией оценивалась А. Эйнштейном как самый значительный вывод специальной теории относительности. По выражению А. Эйнштейна, масса должна рассматриваться как «сосредоточение колоссального количества энергии». При этом масса в теории относительности не является более сохраняющейся величиной, а зависит от выбора системы отсчета и характера взаимодействия между частицами.

Определим энергию, содержащуюся в 1 г любого вещества, и сравним ее с энергией, получаемыми при сгорании 1 г угля, равной 2,9104 Дж.

Согласно уравнению Эйнштейна

E = mc2

имеем E0 = (10–3 кг)(3108 м/с)2 = 91013 Дж.

Таким образом, собственная энергия в 3,1109 раз

превышает химическую энергию.

Из этого примера видно, что если высвобождается

лишь одна тысячная доля собственной энергии, то и

это количество в миллионы раз больше того, что

могут дать обычные источники энергии.

Первое экспериментальное подтверждение

правильности соотношения Эйнштейна между

массой и энергией было получено при сравнении

энергии, высвобождающейся при радиоактивном

распаде, с разностью масс исходного ядра и

конечных продуктов.

Чтобы показать, как можно проверить

соотношение E0 = mc2 в лабораторных условиях,

рассмотрим простейший пример распада, а именно

бета-распада свободного нейтрона.

Свободный нейтрон распадается на протон,

электрон и антинейтрино (с нулевой массой покоя):

n p + e– + . При этом суммарная кинетическая энергия конечных продуктов равна 1,2510–13 Дж. Масса покоя нейтрона превышает суммарную массу протона и электрона на 13,910–31 кг. Этому уменьшению массы должна соответствовать энергия Е = (13,910–31)(3108)2 = 1,2510–13 Дж. Она совпадает с наблюдаемой кинетической энергией продуктов распада в пределах ошибок эксперимента.

Другой пример огромной энергии, заключенной

в массе покоя, представляет собой аннигиляция

электрона и позитрона (рис. 7.8).

Позитрон – это электрон с положительным

зарядом.

При столкновении электрона и позитрона они

аннигилируют друг с другом и превра щаются в два

фотона. (Фотон – это квант электромагнитного

излучения). В этом слу чае энергия покоя 2mec2

полностью переходит в энергию электромагнитного

излучения (me – масса покоя электрона).

Рис. 7.8. Аннигиляция электрона с позитроном на два фотона

Однако существуют строгие ограничения на величину энергии, которая может быть извлечена из массы покоя. Один из основных законов природы называется законом сохранения барионов. Согласно этому закону, полное число протонов и нейтронов в данном образце обычного вещества должно оставаться постоянным. Именно по этому не существует способов, с помощью которых мы могли бы извлечь из грамма песка энергию 91013 Дж. Однако в случае тяжелых ядер, таких, как уран, может про исходить перераспределение протонов и нейтронов, при котором масса покоя уменьшается примерно на 0,1%.

В таком процессе, называемом делением ядер, ядро (например, урана) спонтанно расщепляется на два примерно одинаковых ядра и, кроме того, испускается несколько нейтронов. Полная масса покоя конечных продуктов приблизительно на 0,1% меньше на чальной массы покоя ядра. Важнейшим источником энергии Солнца и большинства звезд является реакция термического слияния протонов с образованием ядер гелия при температурах 2·107 К. Выделение энергии в расчете на один атом гелия равно:

4mp + 2me – M(He4) = 50me,где me – масса электрона. Это эквивалентно энергии 25 МэВ.

В центре Солнца температура составляет 2·107 К. Предполагается, что при этой температуре преобладает следующая совокупность ядерных процессов.

p + p D + e + , D + p + ,

+ + 2H.

Итоговый результат заключается в сгорании

водорода с образованием ядра He4 выделенная

энергия равна 2,2108 квч на килограмм

превращенного вещества.

23He

23He 2

3He 24He

В первой стадии выделяется нейтрино v

нейтральная частица с очень высокой проникающей

способностью, которые практически все вылетают в

космическое пространство. Они способны уносить

до 10% выделяемой солнечной энергии.

Энергия и импульс связаны между собой

соотношением

E2 = p2c2 + (mc2)2.

Основные выводы:

Результаты релятивистской кинематики следуют из двух основных постулатов:

1. Скорость света в вакууме постоянна во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника и наблюдателя.

2. Все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны.

Эти два постулата определяют преобразования Лоренца, связывающие координаты х и t какого-либо события, измеренные одним наблюдателем, с координатами того же события х' и t', измеренными другим наблюдателем.

Оба наблюдателя имеют относительную скорость

вдоль оси х.

Преобразования Лоренца записываются в виде

Из этих уравнений непосредственно сле дует, что

движущаяся линейка оказывается короче в

раз (лоренцево сокращение), а

движущиеся часы замедляются в 1/

раз (замедление времени).

221 c

txx

/v

v

yy zz

22

2

1 c

cxtt

/

/

v

v

221 с/v221 с/v

Частота света ', принимаемая наблюдателем,

связана с частотой света источника следующим

соотношением:

Если приемник удаляется от источника, то

величина = v/с положительна и ' < .

Если приемник прибли жается к источнику, то

отрицательная величина, a ' > .

1

1

Массе покоя соответствует энергия покоя E = mc2,

и в тех случаях, когда масса покоя уменьшается

(например, при электрон-позитронной

аннигиляции), энергия покоя преобразуется в

другие формы энергии, например в кинетическую.

Энергия и импульс связаны между собой

соотношением

E2 = p2c2 + (mc2)2.

Лекция окончена

Нажмите клавишу <ESC> для выхода