数学史演讲主讲人：林　寿教授宁德师范高等专科学校数学系

(18 世纪 )

第 7 讲 : 分析时代

微积分的发展 数学新分支的形成 18 世纪的中国数学 19 世纪数学展望

微积分的发展

泰勒 ( 英 , 1685-1731)

法学博士 进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先

权争论委员会，皇家学会秘书 1715 年出版《正和反的增量法》 泰勒定理的价值由拉格朗日 ( 法 ,

1736-1813) 发现，证明由柯西( 法 , 1789-1857) 给出

与约翰•伯努利 ( 瑞 , 1667-1748)关于泰勒公式优先权之争

后期转向宗教和哲学的写作

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2

微积分的发展 皇家学会会员，爱丁堡大学教授 18 世纪英国最大数学家， 1742年

《流数论》 墓碑上刻“曾蒙牛顿推荐”

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2

麦克劳林 ( 英 , 1698-1746) 斯特林 ( 英 , 1692-

1770) 皇家学会会员 1730年《微分法》

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n(n! n

微积分的发展 1686 到英国 , 1718 年出版《机会

的学说 》 英国皇家学会会员，进入牛顿和莱布

尼茨发明微积分优先权争论委员会

1730年《分析杂论》

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n(n! n 棣莫弗 ( 法 , 1667-1754)

nini sincos)sincos n （

1707-1730 年棣莫弗定理

微积分的发展

伯努利家族

微积分的发展

尼古拉•伯努利

雅格布 尼古拉 约翰

尼古拉第二 尼古拉第三 丹尼尔 约翰第二

约翰第三

丹尼尔第二

雅格布第二

伯努利家族

微积分的发展

雅格布•伯努利( 瑞， 1654-1705)

“我违背父亲的意愿，研究星星。”

1687 年巴塞尔大学数学教授 17 世纪牛顿和莱布尼茨之后最先

发展微积分的人 解析几何、微积分、变分法、概

率论 1694年《微分学方法》 1689 年证明调和级数的发散性

1n n

1

3

1

2

11

n

1

微积分的发展

约翰•伯努利( 瑞， 1667-1748)

1694 年医学博士、数学教授、英国皇家学会会员

解析几何、微分方程、变分法 18 世纪初分析学的重要奠基者之一 ,

欧拉 ( 瑞 , 1707-1783) 的老师 1700 年左右发展了积分法 1742年《积分学教程》 ( 写于 1691-

1692) 洛必达 ( 法 , 1661-1704) 法

则， 1696年《关于曲线研究的无穷小分析》 limlim

axax

lg'(x)

f'(x)

g(x)

f(x)

微积分的发展

丹尼尔•伯努利( 瑞， 1700-1782)

医学博士、数学教授、植物学教授、生理学教授、物理学教授、哲学教授、英国皇家学会会员

圣彼得堡： 1725－ 1733 年 巴塞尔： 1733－ 1782 年 1738年《流体动力学》 第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分

思想连接起来的人 把微积分、微分方程应用到物理学，

研究流体力学问题、物体振动和摆动问题，为数学物理方法的奠基人

微积分的发展

欧拉( 瑞 , 1707-1783)

圣彼得堡科学院 (1727-1741, 1766-1783)

柏林科学院 (1741-1766) 1748年《无穷分析引论》、 1755年《微

分学原理》、 1768-1770年《积分学原理》

最多产的数学家、《欧拉全集》 87 卷 李善兰译的《代数学》（ 1859 ）等著作记

载了欧拉的学说 “ 读读欧拉，他是我们大家的老师” “ 四杰”：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯xixix sincose

微积分的发展 18 世纪最伟大的数学家、分析的化身、“数学家之英雄”

欧拉《无穷分析引论》

瑞士法郎上的欧拉（ 1976 ）

微积分的发展

法国启蒙运动伏尔泰 (1694-1778) 、孟德斯鸠(1689-1755) 、卢梭 (1712-1778)狄德罗 (1713-1784) 的百科全书派高举人文主义旗帜，把技术、科学、艺术并列为人类知识三大门类1751－ 1772， 17 卷正文， 11 卷图版， 1777 年又出 5卷增补卷

基本精神：反对君权神授、主张天赋人权

百科全书派群像

达朗贝尔( 法 , 1717-1783)

自学成才，巴黎科学院院士、终身秘书

1751-1757 年与狄德罗 (1713-1784)共同主编《百科全书》

“科学处于 17 世纪的数学时代到 18世纪的力学时代，力学应该是数学家的主要兴趣。”

《动力学》、《数学手册 》 数学分析的重要开拓者之一，其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼尔•伯努利

微积分的发展

拉格朗日( 法 , 1736-1813)

数学、力学和天文学中都有重大历史性贡献，分析学中仅次于欧位的最大开拓者，论著超过 500篇

1754年 (18岁 ) 发现莱布尼茨公式 1755 年任数学教授 ( 都灵时期 : 1754-1766)

1788年《分析力学》 ( 柏林时期 : 1766-1787)

1797年《解析函数论》 ( 巴黎时期 : 1787-1813)

分析力学的创立者、天体力学的奠基者 1808 年伯爵， 1813 年帝国大十字勋章

　 　 　　 　b-a

f(b)-f(a)f'(c) 　 　　 　 1

0

1

1

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n )(x-x)!(n

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微积分的发展

微积分的发展

攻克巴士底狱 (1789.7.14) 攻克巴士底狱 (1789.7.14) 拿破仑一世加冕大典 ( 巴黎圣母院 ,1804.12.2) 拿破仑一世加冕大典 ( 巴黎圣母院 ,1804.12.2)

贝克莱主教（爱尔兰， 198

5 ）

微积分的发展 积分技术 多元函数

无穷级数 函数概念

分析严格化的尝试

贝克莱 ( 爱尔兰 , 1685-1753): 《分析学家，或致一位不信神的数学家》(1734)“这些消逝的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”

形式化观点 极限观点

：综述

数学新分支的形成 常微分方程 偏微分方程 变分法 微分几何 概率论

常微分方程

莱布尼茨、惠更斯、约翰•伯努利给出问题的解

1690 年雅格布•伯努利 ( 瑞 , 1654-1705)提出悬链线问题

c

s

dx

dy

cosh 　 　　c

xcy

初等解法

常微分方程 包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数的等式 形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的

分离变量法 变量代换法 积分因子法 黎卡提方程 降阶法 常系数线性方程 2001年 9 月 6 日哈

勃拍到的 " 星体爆发 " 星系

拉格朗日 ( 法 , 1958)

偏微分方程 包含未知函数以及偏导数的等式 偏微分方程理论研究一个方程( 组 ) 是否有满足某些补充条件的解，有多少个解 , 解的各种性质与求解方法，及其应用

一阶偏微分方程： 1772 年拉格朗日 ( 法 , 1736-1813)和 1819年柯西 ( 法 , 1789-1857 ) 发现将其转化为一阶常微分方程组

达朗贝尔 ( 法 , 1959)

偏微分方程

2

22

2

2

x

uc

t

u

t)-(xt)(x x)u(t, 通解

1n

cossin l

nππ

l

nππau(t, x) n特解

1747 年和 1749 年达朗贝尔和欧拉求出解

弦振动方程： 1715 年和 1727 年泰勒和约翰•伯努利分别提出

1753 年丹尼尔•伯努利导出了具有正弦周期模式的解

偏微分方程

拉普拉斯

0z

V

y

V

x

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2

2

2

2

2

02 拉普拉斯 : 1773 年进入巴黎科学院 , 1785年当选院士 , 1789 年研究制定公制系统 , 1796年任科学院院长 , 1799 年任内政部长 , 1803年任参议院议长 , 1817 年再任法国科学院院长 , 并封爵

位势方程 ( 拉普拉斯方程 ) ： 1752 年欧拉提出， 1785 年拉普拉斯 ( 法 , 1749-1827) 用球调和函数求解

1796年《宇宙体系论》的星云假说， 1799－ 1825年《天体力学》 “陛下 , 我不需要这样的假设 !”

星云假说星云假说

1697 年牛顿、莱布尼茨、洛必达、约翰•伯努利、雅各布•伯努利等解决

1696 年约翰•伯努利提出最速降线问题

变分法 研究泛函的极值的方法 Calculus of Variations (1756)

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(x)][y'1

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1

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x

2

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1

x

x

等时曲线

变分法

欧拉 ( 瑞士 , 1957)

变分法

0)y

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dx

d-

y

f

1759 年拉格朗日引入变分的概念

1728 年欧拉解决了测地线问题， 1736 年提出欧拉方程， 1744 年发表《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》

b

a

y'y )dxy'fy(fJ

1786 年起勒让德 ( 法 , 1752-1833)讨论了变分的充分条件

康熙 41年 (1681－ 1722)

“康乾盛世” (1681-1795)

雍正 13年 (1723－ 1735)

乾隆 60年 (1736－ 1795)

114年

《康熙南巡图》（局部）（王翚 , 1698 ）

清朝立国（ 1644－ 1911 ） 268年

18 世纪的中国数学

中国经济

18 世纪的中国数学

荷兰格罗宁根大学经济 学安格斯 •麦迪逊教授统计表

英国马戛尔尼在热河行宫觐见乾隆帝 (1793年 9月 4日 )

光禄大夫、左都御史

“会通中西”、“西学中源”

承前启后、融会中西的数学家

“历算第一名家”、“开山之袓”

《梅氏历算丛书辑要》 62 卷代数 (笔算 ) 、几何、三角

18 世纪的中国数学

(( 清清 , 1633-, 1633-1721)1721)

康熙：历象算法，朕最留心，此学今鲜知者，如梅文鼎实仅见也。

18 世纪的中国数学

梅文鼎纪念馆梅文鼎墓地

康熙：“即西洋算法亦善，原系中国算法，彼称为阿尔朱巴尔。阿尔朱巴尔者，传自东方之谓也。”

康熙(在位 1662-1722)

康熙“御制”、梅瑴成等编纂《律历渊源》 (100卷 )(1721)

其中：《数理精蕴》 (53卷 )

康熙二十八年 (1689) ：此后每日轮班至养心殿，传授天文、数学、测量等西学。

18 世纪的中国数学

康熙 1713 年在蒙养斋创建了算学馆

18 世纪的中国数学

御制数理精蕴

1667) ,(r7!

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6

7

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2

3

格列高里弧背求弦

梅瑴成 (1681-1763) 《赤水遗珍》 (1761) 引入“杜德美( 法 , 1668-1720) 法”

18 世纪的中国数学

明安图、陈际新《割圆密率捷法》 (1774, 1839)

6

7222

4

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2

32

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asin1sinaa 正弦求弧背

格列高里

(英 ,　1638-1675)钦天监监正明安图

(1692-1765)

18 世纪的中国数学

《割圆密率捷法》

康熙( 在位 1662-1722)

彼得大帝( 在位 1689－

1725)

18 世纪的中国数学

路易十四( 在位 1661-

1715 ）

乾嘉学派

18 世纪的中国数学

　　　　乾隆 　　　　　　嘉庆( 在位 1736-1795 ) 　　 ( 在位1796-1820) 纪晓岚 (1724-1805)

《四库全书》 (1773－ 1781)

18 世纪的中国数学《四库全书》著录的科技文献 300 余种、存目 360 余种 以数学、天学、农学、医学、生物学和地学方面的书籍最多 收录有“算经十书”、《数书九章》、《测圆海镜》、《算法统宗》、《数理精蕴》等　《四元玉鉴》、《杨辉算法》等未收录

18 世纪末的数学家 主导意见 : 数学的资源已经枯竭 1754 年狄德罗 ( 法 , 1713-1784): “我敢说，不出一个世纪，欧洲就将剩不下三个大的几何学家了。” 1781 年拉格朗日 ( 法 , 1736-1813) ：“在我看来，似乎数学矿井已挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则势必放弃它。”“牛顿只有一个。” 1780 年法国科学院报告 : “几乎所有的分支里，人们都被不可克服的困难阻挡住了，… 所有这些困难好象是宣告我们的分析的力量实际上是已经穷竭了。” 1781 年孔多塞 ( 法 , 1743-1794): “不应该相信什么我们已经接近了这些科学必定会停滞不前的终点，…，我们应该公开宣称，我们仅仅是迈出了万里征途的第一步。”

•外在源泉 •内部动力 •数学家的工作

18 世纪末的数学问题 高于 4 次的代数方程的根式解 欧几里得几何中平行线公设 牛顿、莱布尼茨微积分算法的逻辑基础

19 世纪的代数、几何与分析 代数学的新生 几何学的变革 分析的严格化

进入现代数学时期