对称性在电磁学中的应用

陈赫然

在力学中，我们已经知道了对称性的重要作用，只要对称性成立，可以由它导出三大守恒定律 : 能量守恒、动量守恒、和宇称守恒 ，而三大守恒定律在力学中又有着巨大的作用，可以解决许多问题，而在电磁学中，对称性也有着重要的作用。

引言

利用对称性可以使许多复杂的问题简化

求一段长为 2L ，线电荷密度为 λ 的带电细棒在中心轴线处所产生的场强

x

y

O

λdl

dE

P

线电荷元 λdl 在 P 点所产生的场强 大小为

dE =λdl

4πε0r²

dEx = dE•a/r

4πε0r²√ a² + L² ∴ E=∫dEx= λl

例：计算无限大平面所产生的磁场

利用对称性可以解决一些看似无法解决的问题

B

B

i

A C2B•l=μ0i•l

由对称性及安培环路定理有

∴ B=μ0i/2

网络问题

在 a,b 两点间加上电压 U, 我们假设在 a 点有电流 I 流入，根据对称性，从 a 点流入连接 a 点的四个电阻的电流应该均为 0.25I, 同样，若在 b 点有电流I 流出，与 b 相邻的四个电阻流入 b 点的电流也都是0.25I ，根据叠加原理，通过 a ， b 之间那个电阻的电流就应为 0.25I+0.25I=0.5I

因此 U=Uab=0.5IR

如图所示，每个电阻均为 R, 求 a,b 两点间的等效电阻。

于是 Rab=U/I=0.5R

在一些具有对称性的网络中，我们往往一眼就可看出哪些电阻可以去掉或短路，这就是对称性原则。

对称性原则

电桥电路

a b

R1 R2

R3 R4

R5

如图，当电路满足 R1/R3=R2/R4 时

R1R3

有 Rab=R1+R3

+R2+R4

R2R4

或 Rab=R1+R2+R3+R4

(R1+R2)(R3+R4)

利用对称性原则，由于 b,c,d 等势， f,g,h等势，原电路可简化为

如图所示 ，立方体每条棱之间的电阻均为 r, 求立方体体对角线两顶点 a,e 间的电阻。

由上图可求出 a,e 间的电阻为

rae=r/3+r/6+r/3=5r/6

由上面的一些例子我们足以看出对称性在电磁学乃至整个物理学当中的重要作用。现实生活中我们也经常遇到一些具有对称性的物体，更重要的，有一些不规则形状的物体也具有对称性，在分析这些具有几何对称性的物体时，利用对称性，往往能够得到比较好的结果。

总之，对称性在电磁学中也有着其举足轻重的作用，我们要想学好电磁学，就一定要掌握对称性，利用它，这样我们才能如鱼得水，学好电磁学。

总结

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