湘版初中数学教材培训湖南出版投资控股集团教材培训专家 : 陈辉

教材的创新处理与

高效课堂

一、从几个案例谈如何理解课标的新思想 《课程标准》“是教材编写、教学、评估和

考试命题的依据。”

案例

• B 组第 1 题⑷小题：

• C 组题：

ax bx ay by 2 2x x

湘教版数学八年级下册第一章《因式分解》复习题

• “ 《标准》提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有指导作用，所规定的课程目标和内容标准是每一个学生在该阶段应当达到的基本要求。”

• “ 在实施过程中，应当遵照《标准》的要求，充分考虑全体学生的发展，关注个体差异，因材施教。”

• 内容标准：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

案例 2 ：二次根式

老教材的描述：

3a

2

( )

= = 0 ( 0)

( 0)

a a

a a a

a a

﹥0

﹤

化简：

中隐含的条件：3a 0a

，

化简： 3a

3 2a a a a a a a

类似的习题：

1 a

， 1 .aa

3

1 a

a ，

新教材的描述：

2 = ( 0)a a a

课标要求：• 了解二次根式、最简二次根式的概念，了

解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算。

2 2-3 3 3 （ ）

化简： 2 -3（ ）

• 关于实数的运算

• 规定了字母的取值范围为正数或非负数 如教材 P136 练习第 2 题：设 ，化简下列各式：

2（1-11） ( 3) ( 8)

0, 0a b ﹥

5

3

7

18

a

b2 24 4a ab b

教材习题分析：

二、全面熟悉教材， 把握教材特点， 理解教材编写意图

㈠教材编写基本思路

代数部分：

建模——算法——应用

案例： 七年级上册第四章《一元一次方程模型与算法》 4.1 一元一次方程模型 4.2 解一元一次方程的算法 4.3 一元一次方程的应用

七年级下册第一章《一元一次不等式组》 1.1 一元一次不等式组 1.2 一元一次不等式组的解法 1.3 一元一次不等式组的的应用

课程标准指出： “数学与人类的活动息息相关”； 义务教育阶段的数学课程“要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”

建模是一个很抽象的概念，它来源于生活，从实际例子中发现蕴含的数学规律，并用数学式子将其表示出来，这就是建模。

建模

比如：用篱笆围一段矩形墙，如何在规定周长内使得围成的面积最大？桥梁的桥洞如何设计？这就引出了二次函数的概念。

算法 算法也是一个抽象的概念。说到底就是解答过程要按步骤算。 当你清楚你面对的方程、函数如何按程序化的步骤解答时，我们以往强调的“双基”中的“基本技能”——运算，就能够轻松搞定。反正按步骤一步一步解答即可。

应用 学完这些知识，还要应用知识去解决问题。这是数学教育的归宿。因此，我们还要强调应用。

谈谈数学建模

“ 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之谜，生物之谜，日月之繁，无处不用数学。” ——华罗庚

数学即生活

数学来源于生活，扎根于生活，更服务于生活。数学的广泛应用性

课程标准指出： 教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动，这样的活动应体现“问题情境——建立模型——求解验证”的过程。”

把实际问题转化为一个数学问题，通常称为数学模型。它是用数学语言模拟现实的一种模型，也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征、主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。

。

建立数学模型的过程称为数学建模。

事理关 读懂题意，知道讲的是什么问题；文理关 将实际问题中的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；数理关 在构建数学模型的过程中，根据所学数学知识，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化。

。

数学建模的关键

1. 缺乏解决实际问题的信心 2. 对一些名词术语感到生疏 3. 对数据处理缺乏适当的方法4. 缺乏将实际问题数学化的经验

。

数学建模的难点

应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学，创造数学，运用数学，并在此过程中获得足够的自信。

。

对策 1

涉及到学生不太熟悉的名词术语：本地网，通话费、收费标准、通话时间、时间段或打折、成本、利润等，安排学生利用周末的时间进行数学实践活动，自己到电信局、商店等进行调查，将这些名词的意思完全弄明白。

。

对策 2

构建知识网络，强化从整体的角度选择思维起点的能力。可以运用构建数据表格、绘制几何图形等方式来整合信息，理顺数量间的关系，从而建立相应的数学结构，凸显数学建模。

对策 3

加强数学语言能力的培养，培养学生掌握好非数学语言与数学语言之间、各种数字语言（图形语言、符号语言）之间的互译、转化的能力。

对策 4

几何部分：

用几何变换思想串起整个几何体系

课程标准指出： 在“图形与几何”的教学中，应“注重培养学生的几何直观”。

几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。

用几何变换思想串起整个几何体系，对许多的定理，不用复杂的证明，用几何变换的方法给予说明，降低难度的同时，也有利于培养几何直观——一眼能看懂的就不证明。

案例：

如图，设 AB//CD，截线 EF与 AB，CD分别相交于M， N两点．作平移使∠ α的顶点M移到∠ β的顶点 N处，由于平移把直线 AB变成与它平行的直线，又已知 AB//CD，且 CD经过点 N，因此上述平移把直线 AB变成直线 CD，从而∠ α变成∠ β ，所以∠ α ＝∠ β这里，通过平移的方法说明了平行线的性质：两直线平行，同位角相等。

平行线的性质 1 ：两直线平行，同位角相等。（湘教版数学七年级下册 P61—P62 ）

B

D

A

C

E

N

M

F

α

β

案例：

观察：在图中， 是线段 AB的垂直平分线， P是 上任意一点，试观察 PA， PB的长度有什么关系？不论 P点在直线上怎样移动，总有 PA PB。

线段的垂直平分线的性质（湘教版数学七年级下册 P118—P119 ）

l

P

A B C

l l

案例：

分析：因为 l是线段 AB的垂直平分线，从而点 A与点 B关于直线 l 对称，于是沿 l折叠时 A与 B重合，又 P在对称轴 l上，所以 PA＝ PB．由此得出：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．

P

A B C

l

用几何变换思想证明定理，但例习题强调用传统几何证明格式。

如图，（ 1）沿过 O 点的一条直线折叠，使∠ AOB 的边 OB与 OA重合，则折痕 OC 是∠ AOB 的平分线，过 OC 点一点P 分别向 OA ， OB 作垂线，垂足为 D ， E ，则∠ 3＝∠ 4，从而在沿 OC 的折叠下，射线 PE 与射线 PD重合，于是点 E与点 D重合，所以 PD＝ PE

角平分线上的点到角两边的距离相等

21 4

3 C

O

P

E

D

B

A

如图， P 为△ ABC 中∠ A 的外角平分线上任一点，且PE⊥BA ， PD ⊥AC ， E ， D 分别是垂足，试探索 BE+PD 与 PB 的大小关系．

因为射线 AP 是△ ABC 中∠ A 的外角平分线， PE BA⊥ ， PD AC⊥ ，所以根据角平分线的性质，可以得到 PD＝ PE．

因此 BE＋ PD>PB

于是 BE＋ PD＝ BE＋ PE

又 BE＋ PE>PB

A

C

P

B

D

E

解

概率统计： 强调随机思想

概率统计： 感受数学的美学价值

课题学习： 创造主动学习的机会

㈡教材的结构特点

循序渐进，螺旋上升

案例 1 ：

七年级下册第四章《多项式的运算》4.1多项式的加法和减法

用字母表示数列代数式多项式合并同类项代数式的值一次式的加减（含添括号与去括号的法则）

知识基础

降低难度；

复习提升；

做好铺垫。

编排意图

案例 2 ：垂径定理

三、创新使用与处理教材， 预设数学课堂教学

我们先看湘教版八年级下册 P21复习题 C 组的内容：

你能把 因式分解吗？⑴上式能用完全平方公式分解吗？⑵常数项 6 是哪两个正数的乘积？ 一次项系数 5 是否等于 6 的两个因数的和？⑶根据第⑵题，你能在下列横线上方填写适当 的数吗？

2 5 6x x

2 25 6= x x x x （ + ）

⑷ 第⑶题右端的多项式能写成两个一次多项式的乘积吗？

把填上数后的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于 .⑸从第⑵、⑶、⑷题，你能看出把因式分解的关键步骤是什么吗？⑹你能运用上述方法分解多项式 吗？

2

=

x x

x x

（ + ）

（ ）（ ）

2 2x x

2 5 6x x

此题的设计为我们把教材加工成学材提供了很好的范例。同时也是近年各地中考命题中阅读理解型问题的一个原型。

阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供新的知识或新的方法，并灵活运用这些新知识或新方法，去分析、解决类似的或相关的问题。

益阳市 2008年中考数学试卷压轴题 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线 .如图 1 ，点 A、 B、 C、 D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D的坐标为 (0 ， -3) ， AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为 (1,0) ，半圆半径为 2.请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2) 你能求出经过点 C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点 D的“蛋圆”切线的解析式 .

A O BM

D

C

图 1

y

x

试题在题干部分明确给出了“蛋圆”以及“蛋圆”的切线的定义：我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。要求学生在理解相关定义的基础上，灵活运用所学的知识和所掌握的技能来解决问题。不仅考查了学生对一元二次方程的解法、一元二次方程的根的判别式、函数图像的交点与方程或方程组的解的关系等相关内容的掌握程度，更是考查了学生自主学习的能力和解决问题的能力。可以说这就是一个典型的阅读理解型问题。

（ 2006北京课标 B卷）请阅读下列材料： 现有 5 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 1 ，请

把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为 1）中用实线画出拼接成的新正方形．

小东同学的做法是：设新正方形的边长为 x（ x＞ 0）．依题意，割补前后图形的面积相等，有 ，解得 ．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的

长．于是，画出如图 2所示的分割线， 拼出如图 3所示 的新正方形．　　

图 1 图 2

图 3

2 5x 5x

请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图 4 ，请

把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图 4中画出分割线，并在图 5 的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为 1 ）中

用实线画出拼接成的新正 方形．

图 4

图 5

诸如此类的中考题的设计，也为我们把教材加工成学材提供了很好的思路。

关于“坡度与坡角”的概念的教学，可以设置这样的问题情境：

一个双休日，小明和小芳一起去登山。有两条道路都可以到达山顶（如图： AB 与AC），你觉得从哪条路登山较轻松呢？

DCB

A

九年级上册第四章《锐角三角函数》 4.3 解直角三角形及其应用

1.创设生动有趣的生活情境

让体育委员示范上体育课时组织同学们排队时所做的手势，然后让大家说说这个手势的意思。接下来思考：为什么要按身高排队呢？

七年级下册第 4章《多项式的运算》4.1多项式的加法和减法

关于“升幂排列与降幂排列”的教学，可以设置这样的生活情境：

（课前准备小剪刀及一张白纸）请同学们拿出小剪刀和一张白纸，把白纸对折后，任意剪出一个图形，然后打开。观察打开后的图形，这些图形有什么特点呢？

七年级下册第 5章《轴对称图形》5.1轴反射与轴对称图形

设计理念：由学生经历动手操作，体验对称性，从而揭示课题，激发求知欲。

仔细观察，说说这些图形具有什么共同的特征？

七年级下册第 5章《轴对称图形》 5.1　轴反射与轴对称图形

课件展示以下图片 :

在现实生活中，像这样具有对称特征的物体和建筑物比比皆是。从这节课起，我们一起来研究这些图形—轴对称图形的。揭示课题：第 5章 轴对称图形 5.1轴反射与轴对称图形

⑵大树折断部分是直角三角形的哪条边？⑶大树折断之前的高就是直角三角形的哪两条边的和？

九年级上册第四章《锐角三角函数》 4． 1 正弦和余弦

如图：一棵大树在一次强台风中于离地面 5米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°夹角，这棵大树在折断前的高度为多少？想一想：⑴怎样将实际问题转化为数学模型？

C

B

A

请同学们拿出课前发下来的学具，分组进行测量：一组：①测量它的每条边的长度，你有什么发现？它是什么特殊的四边形？②测量它的任意的一个内角的度数，据此你能计算出其它三个内角的度数吗？二组： ①测量它的四个内角的度数，你有什么发现？它是什么特殊的四边形？ ②测量它的任意一组邻边的长度，据此你能计算出其它两条边的长度吗？

2. 设计形式多样的教学活动八年级下册第 3 章《四边形》 3.4　正方形

七年级下册第四章《多项式的运算》 4.1多项式的加法和减法

看谁算得快任想一个数，再按下列步骤计算：① 把这个数乘上 3 ，再加上 4 ，得到 P ；② 把这个数乘上 2 ，再减去 6 ，得到 Q ；③ 用 P减去 Q．

记录：我想的数是 ，我的计算结果是　　　．

提问：怎样求多项式

与多项式 的和？

23 5 8 x x 22 3 3x x

九年级上册第四章《锐角三角函数》 4． 2 正切

如图，在离上海东方明珠塔 1000m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角为 25°( 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角 ) ，仪器距地面高为 1.7m. 你能求出上海东方明珠塔的高 BD吗？

3.创造性地使用教材

如图，升旗仪式上，身高 1.35米的小明站在在离旗杆底部 10米处。在庄严雄壮的国歌声里，小明注视着国旗徐徐上升。国旗升至旗杆顶部时，小明注视国旗的仰角为 58° 。根据以上的数据，我们能想办法求出旗杆的高度吗？ 58O

问题设计：1.今天早晨 7 ： 30 教室中有 30人，后来又来了两拨同学，一拨 5 个，一拨 4 个，那么教室中一共有多少个同学？

七年级上册第二章《代数式》

2.6 一次式的加法和减法

30+5+4=39

2. 现有的人数是不是原有的加上后来的同学？如何表示？

于是就有了 30+5+4=30+ （ 5+4 ）， 即 30+ （ 5+3 ） =30+5+4 。

30+ （ 5+4 ）

同样，用教室中出去学生的例子给出： 30- （ 5+4 ） =30-5-4 。然后，用字母 a 、 b代替数字，水到渠成的给出：30+(a+b)=30+a+b ， 30-(a+b)=30-a-b 。从而用身边的实例，低起点密台阶的把学生的认识引入到去括号，并且有效地把重难点展现在学生面前。

如图，（ 1）沿过 O 点的一条直线折叠，使∠ AOB 的边 OB与 OA重合，则折痕 OC 是∠ AOB 的平分线，过 OC 上一点P 分别向 OA ， OB 作垂线，垂足为 D ， E ，则∠ 3＝∠ 4，从而在沿 OC 的折叠下，射线 PE 与射线 PD重合，于是点 E与点 D重合，所以 PD＝ PE

角平分线上的点到角两边的距离相等

21 4

3 C

O

P

E

D

B

A

如图，沿过 O点的一条直线折叠，使∠ AOB的边 OB与 OA重合，则折痕 OC是∠ AOB的平分线，过OC上一点 P分别向 OA， OB作垂线，垂足为 D，E，再沿 OC折叠，因为 OB与 OA重合，则射线 PD与射线 PE重合（过点 P有且只有一条直线与 OA垂直）。于是点 E与点 D重合，所以 PD＝ PE。

21 4

3 C

O

P

E

D

B

A

四、讲究实效高效， 实践数学课堂教学

什么样的课堂教学是有效的

教师行为• 1 、创设良好的课堂教学气氛，激发学生

的学习积极性。• 2 、体现教师是学生学习活动的组织者，

引导者与合作者的角色。• 3 、向学生提供充分从事数学活动的机会。

学生行为• 1 、在自主探究和合作交流的过程中从事

数学学习活动。• 2 、学习活动活泼、主动、有个性。• 3 、体现出学生是学习的主体地位。

高效课堂

• 相信学生• 解放学生•利用学生• 发展学生

1. 创造民主氛围 ，激发学习兴趣2. 提供自主空间，突出主体地位3. 提倡合作学习，同伴互助提升

4. 及时多维评价，促进全体发展

凡是学生可以自己完成的事，教师决不替代。 要让学生成为学习的主人，先让学生成为课堂的主人。 把希望寄托于课堂，把希望寄托于学生。

让学生表现课堂、体验课堂、感悟课堂、享受课堂。 课堂是学生表现的地方，不是老师表演的地方。

课堂时间主要是学生学习用的，应把课堂时间尽可能多地还给学生。 把课堂还给学生，把课余时间还给学生，就是把学习能力乃至于生存权力还给学生。 书是学生学出来的，不是老师教出来的。 对老师充满希望的学生是没有希望的学生。 让笑声、掌声、欢呼声在课堂上响起。

THE END Thank You !