我们把图中∠ ACB 、∠ ADB 、∠ AEB 这样的顶点在圆上，并且两边

都和圆相交的角叫做圆周角．

什么叫做圆周角？

·

A

B

C

D

E

O

一、概念

练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？

如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图 , 人们可以通过其中的圆弧形玻璃 AB 观看窗内的海洋动物 , 同学甲站在圆心的 O 位置，同学已站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C ，他们的视角（∠ AOB 和∠ ACB ）有什么关系？如果同学丙丁分别站在他靠墙的位置 D 和 E ，他们的视角（ ∠ ADB 和∠ AEB ）和同学已的视角相同吗？

·

A

B

甲（ O ）

乙（ C ）

丙（ D ）

丁（ E ）

玻璃

E

D

O

A

C

B

弧 AB 所对的圆周角：∠ ADB, ∠ACB, ∠AEB

A

B

C O

同弧 AB 所对的圆周角及圆心角分别是 :∠ACB 、∠ AOB

实际问题可转化为数学问题： 同弧（弧 AB）所对的圆心角∠ AOB 与圆周角∠ ACB的大小关系是怎样的？同弧（弧AB）所对的圆周角∠ ADB ，∠ ACB，∠ AEB的大小关系又是怎样的？

A

B

C O

E

D

O

A

C

B

A

B

C O

·Ö±ðÁ¿Ò»ÏÂͼÖÐABËù¶ÔµÄÔ²ÐĽǼ°Ô²ÖܽǵĶÈÊý£¬ÄãÓÐʲô·¢ÏÖ£¿

ACB=1

2AOB

若变动点 C 的位置，这个结论还成立吗？

猜想：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．

探究

·

C

D

A B

O

可以发现，同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．

三、

分别量一下图中 所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点 C 在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律吗？

再分别量出图中 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你什么发现？

AB

AB

为了进一步探究上面的发现，如图在⊙ O 任取一个圆周角∠ BAC ，将圆对折，使折痕经过圆心 O 和∠ BAC 的顶点 A ．由于点 A 的位置的取法可能不同，这时折痕可能会；

（ 1 ）在圆周角的一条边上；

·C

O

A

B

四、同弧所对圆周角与圆心角的关系

BOCA 2

1即

∵OA=OC ，

∴∠A=∠C ．

又∠ BOC=∠A+∠C

∴∠BOC=2∠A

（ 2 ）在圆周角的内部．

圆心 O 在∠ BAC 的内部，作直径 AD ，利用（１）的结果，有

1

2BAD BOD

1

2DAC DOC

1( )

2BAD DAC BOD DOC

1

2BAC BOC

·C

O

A

B

D

（ 3 ）在圆周角的外部．

1

2BAD BOD

1

2DAC DOC

1( )

2DAC DAB DOC DOB

1

2BAC BOC

圆心 O 在∠ BAC 的外部，作直径 AD ，利用（１）的结果，有

·C

O

A

BD

·A B

C1

O

C2

C3

五、定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半．

定 理

半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90° 的圆周角所对的弦是直径．

推 论

在同圆或等于圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？

在同圆或等于圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．

因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，因此它所对的弧也相等．

六、

例 2 如图，⊙ O 直径 AB 为 10cm ，弦 AC 为 6cm ，∠ ACB 的平分线交⊙ O 于 D ，求 BC 、 AD 、 BD 的长．

8610 2222 ACABBC

又在 Rt△ABD 中， AD2+BD2=AB2 ，

2 210 5 2(cm)

2 2AD BD AB

·A B

C

D

O

解：∵ AB 是直径，

∴ ∠ACB= ∠ADB=90° ．

在 Rt△ABC 中，

∵CD 平分∠ ACB ，

∴AD=BD.

.AD BD

七、例题

1. 如图，点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个圆上，四边形 ABCD 的对角线把4 个内角分成 8 个角，这些角中哪些是相等的角？

A

B

C

D

12

34 5

6

78

∠1 = 4∠

∠5 = 8∠

∠2 = 7∠

∠3 = 6∠

八、练习

2. 如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．

D

A B

C

O

O

O

·

方法一

方法二

方法三

方法四

A

B使用帮助

3. 求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆 . ）

·A B

C

O

已知：△ ABC ， CO 为 AB 边上的中线，

求证： △ ABC 为直角三角形 .

证明：

CO= AB,1

2

以 AB 为直径作⊙ O ，

∵AO=BO ，

∴AO=BO=CO.

∴ 点 C 在⊙ O 上 .

又∵ AB 为直径 ,

∴∠ACB= ×180°= 90°.1

2

1

2且 CO= AB

∴ △ABC 为直角三角形 .