南昌市京东学校 胡小勇

操作型问题：是指通过动手折叠、测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯。操作题是一类通过动手操作或心智操作而完成的问题 . 如几何操作或实际测量等 .

小试牛刀

1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平， � 得到的图形是（ ）C

2 、（ 2003 年江西）设将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（　　）

A B C D

B

准备一张矩形纸片，通过折叠剪裁的方式制作一张新纸片 .制作要求：（ 1 ）面积尽可能大； （ 2 ）长是宽的 2 倍 .答题要求：将全班每个同学拿出的矩形纸片的 所有可能性按照要解决的问题先进行 分类，再把各类纸片的剪裁过程用示 意图画下来 .

动手问题：折一折 剪一剪

2°a 为长， b 为宽， b<a ＜ 2b ；折叠剪裁示意图如下：

1°a 为长， b 为宽， a=2b ；不需剪裁即符合要求 .

²ÃÈ¥£ II £©Õ¹¿ª£¨¢ñ£©¼´ÎªËùÇó.

3°a 为长， b 为宽， a>2b ；请同学自己完成折叠剪裁示意图 .

取一张矩形的纸进行折叠，具体操作如下： 第一步：先把矩形 ABCD对折，折痕为 MN（图①）。 第二步：再把 B点叠在折痕线 MN上，折痕为 AE，点 B在 MN

上对应点为 B ’ （图②）。 第三步：沿 EB′ 线折得折痕 EF（图③）利用展开图④： （ 1）△ AEF是什么三角形？（ 2）证明你的结论。

A

B C

D

M N

图① A

B C

D

M N

E

B ′

图②A

C

D

M N

E

B ′

B

F

A

图③

A

C

D

M N

E

B ′

B

P

F图④

练一练

证明问题例、（ 2006 年江西）如图，在梯形纸片 ABCD 中， AD B∥C ， AD ＞ CD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在AD 上的点 C′ 处，折痕 DE 交 BC 于点 E ，连接 C′E ．（ 1 ）求证：四边形 CDC′E 是菱形；（ 2 ）若 BC=CD ＋ AD ，试判断四边形 ABED 的形状，并加以证明．

练习二（ 2008 年江西）如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折 叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B′ 处，点 A 落在点 A 处．（ 1 ）求证： B′E=BF ；（ 2 ）设 AE=a， AB=b， BF=c，试猜想 a， b， c之间的一种 关系，并给予证明．

例、（ 2009 年江西）问题背景 在某次活动中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图 1 ，测得一根直立于平地，长为 80cm 的竹竿的影长为 60cm ．乙组：如图 2 ，测得学校旗杆的影长为 900cm ．丙组：如图 3 ，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为 200cm ，影长为 156cm ．

任务要求（ 1 ）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（ 2 ）如图 3 ，设太阳光线NH 与⊙ O 相切于点 M ．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图 3 ，景灯的影长等于线段 NG 的影长；需要时可采用等式 1562 ＋ 2082=2602 ）．

探索型问题一

某班课题学习小组，进行了一次纸杯制作与探究活动，所要制作的纸杯（如图①所示）规格要求是杯口直径 AB=6cm ，杯底直径 CD=4cm ，杯壁母线 AC=BD=6cm ，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图不允许有拼接 . 在这样一个活动中，请你完成如下任务：

探索型问题二

（ 1 ）求侧面展开图（图②）中的弧MN 所在的圆的半径 r 的长；（ 2 ）若用一个矩形纸片，按供第﹙ 2﹚问用图所示的方式剪出这样一个纸杯的侧面，求这个矩形纸片的长和宽 .（ 3 ）如果给你一张直径为 24cm 的圆形纸片（如图中⊙ Q ），你最多能剪出多少个纸杯侧面？（不要求说明理由），并在图中设计出剪裁方案 . （图中是正三角形网格，每个小正三角形边长均为 6cm ） .

E

M

O

F

N

4

6

6

r

题型 1 动手问题 此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型 2 证明问题 动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型 3 探索型问题 此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。　　……

课堂小结