知识回顾：

y

x0

• P

x

y (x,y)

如何确定平面中的点的位置 ?

如何确定平面中的点的坐标 ?

平面直角坐标系

• P

• Q

提问 : 我们该怎样确定图中 Q 点的坐标呢 ?

华师大松江实验高级中学

何慧君

说明：

空间直角坐标系

y轴

z轴

原点

x轴

从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴依次记为 x 轴 ( 横轴 ) 、 y 轴 ( 纵轴 ) 、 z 轴( 竖轴 ) ，这样就建立了空间直角坐标系。点 O 叫做坐标原点，这三条数轴叫做坐标轴。

(2) 数轴的的正向通常符合右手规则 .

(1) 通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上 , 而 z 轴则是铅垂线 ;

在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面这这平面称为坐标面

三个坐标面分别称为 xOy 面 yOz面和 zOx面

(4) 坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限分别用字母 I 、 II 、 III 、 IV 等表示

设点 P 是空间任意一个已知点，经过点 P 作三个平面分别垂直于 OX 轴， OY 轴， OZ 轴，设它们与三轴的交点依次为 A,B,C ，那么 A,B,C 就是点 P 分别在三条坐标轴上的射影。如果点 A 在数轴 OX 上对应的实数为 x ，点 B 在数轴 OY 上对应的实数为y ，点 C 在数轴 OZ 上对应的实数为 z ，那么有序实数组 (x,y,z) 叫做点 P 的坐标。

可简写为 P (x,y,z) A

C

B

•P

Z

Y

X

0

(0,0,0)

例 1 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长为 |AB|=14,|AD|=6,

|AA1|=10 ，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点，以射线AB ， AD ， AA1 分别为 OX 轴 ,OY 轴 ,OZ 轴的正半轴，建立直角坐标系。求长方体各个顶点的坐标。

A1

z

y

x

A(0)

BC

D

B1 C1

D1

(14,6,0)

14

6

10(14,6,10)

(0,6,10)

(0,6, 0)

(0,0,10)

(14,0, 10)

(14,0, 0) x

y

z

练习

(-14,0,0)

(0,0,0)(0,6,0)

(-14,6,0)

(-14,0,10)

(0,0,10)

(0,6,10)

(-14,6,10)

不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同

坐标轴上及坐标面上的点的坐标有什么特征呢？

x

D

A1z

y

A

B(0)C

B1 C1

D1

14

10

6比较 (14,0, 0)

则 z0

点 P 为坐标原点， 则xyz0

点 P 在 x 轴上， 则 yz0

点 P 在 y 轴上， 则 zx0

点 P 在 z 轴上， 则 xy0

点 P在 yOz面上， 则 x0

点 P在 zOx面上， 则 y0

点 P在 xOy面上，

坐标轴上及坐标面上点的特征：

设 P(x,y,z)

0

C

Z

Y

X

AB

•P(x,y,z)

Z

Y

X

0

已知点 P(x,y,z) ，如何求 O 、 P 两点间的距离？

点 P 的坐标是 (x,y,z) ，点 P 在三条坐标轴上的射影分别是 A,B,C ，那么 |OA|=|x| ， |OB|=|y| ， |OC|=|z| ，由立体几何可知， |OP|2= |OA|2+ |OB|2+ |OC|2, 得

P1

P2

类似地：

若 P1

(x1,y1,z1) ，

P2 (x2,y2,z2), 则

222 zyxOP

212

212

21221 zzyyxxPP

•P

Z

Y

X

0

A

C

B

A1

z

yx

A

(0) BC

D

B1 C1

D1

A(-14,0,0) B(0,0,0)

C(0,6,0) D(-14,6,0)

A1(-14,0,10)

B1(0,0,10)

C1(0,6,10) D1(-14,6,10)

CD1=

A1C=

742

832

例 2 设空间两点为 P1 (x1,2,3) ， P2 (5,4,7) ，且 |P1P2|＝ 6 ，求 x1 的值

X1 ＝ 1 或9

练习 已知 P1 (2,5, － 6) ，在 y 轴上求点 P2 ，使得 |P1P2| ＝ 7

（ 0 ， 2 ， 0 ）或（ 0 ， 8 ，0 ）

解：由 |P1P2|2 ＝（ x1-5)2+(2-4)2+(3-7)2=36 得

1 、正三棱柱 ABC-A1B1C1 的棱长 AB=1 ， AA1=2 ，试确定适当的空间直角坐标系，并写出各顶点的坐标

A

B

C

A1

B1

C1

1

2

z

y

x

A

B

C

A1

B1

C1

x

z

y

V-ABCD 为正四棱锥， O 为底面中心，若 AB=2 ， VO=3 ，试建立适当的空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。

V

D C

BA

O

2

3

A

C

B

•P

Z

Y

X

0

小结 1 、空间直角坐标系的建立 2 、空间直角坐标系中点的坐标的确定

3 、空间直角坐标系中两点间的距离公式

z轴

原点

x轴

y轴

212

212

21221 zzyyxxPP

作业

《一课一练》 空间向量