第四讲：微积分与人类文明 微积分诞生的时代背景 宇宙探索与微积分 牛顿的“流数术” 莱布尼茨的微积分工作 18 世纪微积分的发展 为微积分夯实基础 微积分与人类文明

一、微积分诞生的时代背景 满足近代科学文明发展的需要 满足近代技术文明产生的需要 满足 17 世纪生产力水平的需要 满足近代人类文明演化的需要

微积分的萌芽在中国： 公元前 4 世纪 , 桓团、公孙龙等提出的 " 一尺之棰 , 日取其半 , 万世不竭 " ; 公元 3 世纪刘徽的“割圆术“； 公元 5-6 世纪祖冲之 , 祖暅（ geng ）对圆周率 , 面积和体积的研究 ( 祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后 7 位的圆周率近似值 , 他还精确地计算了地球的体积 ) , 都包含着微积分概念的萌芽 .在欧洲： 公元前 3 世纪欧几里得在几何《原本》中对不可公约量及面积和体积的研究 , 公元前 3 世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究 ( 穷竭法 ) , 也都包含着上述萌芽 .

满足近代技术与科学文明的需要 欧洲文艺复兴之后 , 资本主义生产方式兴起 , 生产

力有了较大的发展 . 到了 16 世纪 , 由于航海 , 机械制造以及军事上的

需要 , 运动的研究成了自然科学中心议题 . 于是在数学中开始研究各种变化过程中变化的量 ( 变量 ) 间的依赖关系 , 变量的引进 , 形成了数学中的转折点 . 在伽利略等人的科学著作里面 , 都包含着微积分的初步想法 .

到了 17 世纪 , 生产的发展提出了许多技术上的要求 , 而要实现技术要求必须有相应的科学知识。

例如流体力学 ( 与矿井的通风和排水有关 ) , 机械力学等都突飞猛进的发展。

近代力学 , 天文学等近代理论 应运而生

在资本主义社会，贸易活动占有重要地位 , 与此相关的海运事业迅速发展 , 向外扩张的军事需要 , 也促进了航海的发展 . 航海需要精确而方便的确定位置 ( 经纬度 ) , 预报气象 ,天文学因而发展起来。

对经纬度测量的需要使人们进行了这样一系列研究 :①对月亮与太阳及某一恒星距离的计算 ;

②对木星卫星蚀的观察 ;③对月球穿越子午圈的观测 ;④摆钟及其他航海计时在海上的应用等等 .

科学与数学层面的问题 有四种主要类型的问题： 第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，

求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；

第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；

第三类是，确定炮弹的最大射程以及行星离开太阳的最远和最近距离等涉及函数极大值、极小值问题也急待解决；

第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的 面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重

心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。

17 世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具

开普勒 (J.Kepler,1571-1630) 与无限小元法。 德国天文学家、数学家开普勒在 1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定

曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积的和。

卡瓦列里 (B.Cavalieri,1598-1647) 与不可分量法。

意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》 (1635) 中系统地发展了不可分量法。

他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量。他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理，即是我国的祖暅（ geng ）原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积 .

巴罗 (I.Barrow,1630-1677) 与“微分三角形”

巴罗是英国的数学家，在 1669年出版的著作《几何讲义》中，他利用微分三角形求出了曲线的斜率。他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限。

巴罗是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于 1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生—当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤已成为科学史上的佳话。

笛卡儿 (R. Descartes,1596-1650) 、费马（ Fermat,1601-1665) 和坐标方法。

笛卡儿和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。笛卡儿在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法。代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点而踏上微积分的研究道路。

期待牛顿与莱布尼兹 17 世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。

二、宇宙探索与微积分 从地心说到日心说 开普勒行星运动定律 伽利略运动定律 期待牛顿

从地心说到日心说微积分的诞生

从开普勒三定律到牛顿的万有引力定律

行星的运动

太阳系主要成员——太阳和其八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星

（ I ）两种学说

首先，我们来了解对太阳、行星运动的认识过程。

在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法。

(1) 内容 : 认为地球是静止不动的，地球是宇宙的中心，太阳和月亮以及其他行星绕地球转动。

(2) 代表人物：亚里斯多德，托勒密

1 、地心说

(1) 内容 : 地球并不是宇宙的中心，太阳是静止不动的，地球和其他行星都是围绕着太阳做匀速圆周运动 .

2 、日心说

(2) 代表人物：哥白尼，开普勒，伽利略

这两种观点正确吗？

(1) 丹麦天文学家第谷 的探索 : 在哥白尼之后，第谷连续 20 年对行星的位置进行了较仔细的测量，大大提高了测量的精确程度。得出行星绕太阳做匀速圆周运动的模型 .

其后，许多天文学家对天体运动进行不断的探索、完善，建立了最初的天体运动理论。

(II) 天文学家对天体运动进一步的研究

(2) 德国物理学家开普勒的研究 .

总结了他的导师第谷的全部观测资料，在他最初研究时，发现如果认为行星绕太阳匀速圆周运动，计算所得到的结果与第谷的观察数据相不符，后来他花了四年时间一遍一遍地进行数学计算，通过计算这一怀疑使他发现了行星运动三大定律 .

(1). 开普勒第一定律 （轨道定律）所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，

太阳处在椭圆的一个焦点上。

(III) 开普勒行星运动定律

行星轨道

焦点

太阳

焦点●

(1). 开普勒第一定律 （轨道定律） (III) 开普勒行星运动定律

开普勒第一定律，解决了行星动行的轨道问题，得出了行星运动的轨道不是圆，行星与太阳的距离不断的变化，有时远离太阳，有时靠近太阳，所以行星的运动就不是哥白尼在“日心说”中所提出的行星的运动是圆周运动。

注意：1 、太阳并不是位于椭圆中心，而是位于焦点处； 2 、不同行星轨道不同，但所有轨道的焦点重合；3 、人们从未想到过，古希腊人 1800 多年前关于圆锥曲线的纯数学研究居然是天体运动轨道！

(2). 开普勒第二定律 （面积定律） 对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。

由此可见，当行星离太阳比较近时，运动速度比较快，而离太阳比较远时速度比较慢，这也就是在地理中所提到的，在近日点速度大于远日点速度。

行星轨道

焦点

太阳●

(3). 开普勒第三定律 （周期定律）

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

3

2

ak

T

a

F

太阳

(3). 开普勒第三定律 （周期定律） 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 3

2

ak

T

注意： 比值 k是一个与行星本身无关的物理 ,

而与中心天体 ( 太阳 ) 有关

行星绕太阳运动都符合：　

对于地球和木星，就有： kT

R

T

R

2

3

2

3

木

木

地

地

（ 4 ）意义：开普勒关于行星运动的描述为万有引力定律的发现奠定了基础。

伽利略伽利略：证明日心说的正确性：证明日心说的正确性 开创重事实、重逻辑的近代科学开创重事实、重逻辑的近代科学 “ “ 近代科学之父”近代科学之父”

伽利略（ 1564—1642 ），伟大的意大利物理学家和天文学家，他开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑体系和数学表述形式的近代科学，被誉为“近代科学之父”。他第一个把望远镜对准天空进行观测，出版了《星空使者》一书。 1632 年，他出版了《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》 (Dialogo) ，把哥白尼的学说推到了最终胜利的阶段。

伽利略用比萨斜塔反驳亚里士多德， 但他本人并没做过斜塔试验

伽利略用一个简单的逻辑推理批评亚里士多德的理论

设想一个大铁球与一个小铁球同时下落，按亚里士多德的理论，大球落得快，小球落得慢。现在，再设想把大球与小球绑在一起，同时放手，会发生什么情况呢？一方面，大球和小球组成了一个比原来的大球更重的物体，应当下落得比原来的大球更快；另一方面，大球下落时会被小球拖住，其速度应该介于大球与小球之间。从同一个理论出发，推出了互相矛盾的两个结论。

设一块大石头下落的速度为 v,将其平分为两半，按照亚里士多德的理论，每块速度则为 v/2, 又若用细线将石头联接起来，则速度又变为 v!这是不可思议的！

1632年 :关于两大世界体系的对话

1632年 :关于两大世界体系的对话

伽利略的手稿伽利略的折射式望远镜 1609 年，伽利略创制了天文望远镜。他观测到月球表面凹凸不平，并绘制了第一幅月面图。

伽利略用望远镜证实日心说

1609年伽利略望远镜

1851年伦敦世博会罗斯天文望远镜

1867年巴黎世博会天文望远镜

1893年芝加哥世博会叶凯士天文望远镜（镜头尚未完工）

1900年巴黎世博会上德隆科尔巨型天文望远镜

1931年爱因斯坦在哈勃（中）陪同下观看胡克望远镜 剑桥大学赖尔综合孔径射电望远镜

• 1633年 : 宗教审判、放弃信仰• 1633年 : 宗教审判、放弃信仰

伽利略受审

悔过书在审讯和刑法的折磨下，伽利略被迫在法庭上当众表示忏悔，同意放弃哥白尼学说，并且在判决书上签了字 。但真理是不可能用暴力扑灭的。尽管他可以声明放弃哥白尼学说，但是宇宙天体之间的秩序是谁也无法更改的。

伽利略被判终身监禁，在宗教裁判所的监视下，在佛罗伦萨附近的这所小屋中度过了他余生的大部分时间。

• 1642年 1月 8 日

亚里士多德 : 物体运动

• 物体从静止的自然状态到运动，是由于受到力或冲击作用，所以重的物体比轻的下落得更快。

• 寻找支配宇宙的定律，只需要用纯粹思维，不必以观测检验。

• 一个球被掷出后，将如何运动？• 箭离开弓之后，使它继续运动的力是什么？

基本问题 : 抛物体的运动

基本问题 : 抛物体的运动

？

位置

时间

速度

时间

加速度

时间

速度

时间

位置

时间

位置

时间

静止 匀速 匀加速

•位置是它的速度曲线下的面积的度量。

1 2 3 4 时间

速度

1234

时间

位置

vts 匀速运动 :

墨顿法则（ Merton College Rule ）

v

t

匀加速运动 :2

vv

hv

2

hv

时间

速度

1 2 3 时间

距离

1

4

9

13

5

1 2 3

• 距离 = 连续奇数的和• 距离 = 整数的平方

• 布拉德沃丁没有得到这个结论• 没有把这个想法数字化

伽利略 : 抛物体的运动方程 伽利略 : 抛物体的运动方程

斜面试验

• 斜面实验 : 自由落体速度太快• 不管斜面的角度怎么改变，球在相等时间内滚过的路程总是以 1 、 3 、 5 、 7 之率增加。

• 结论 : 速度是均匀增加的• 斜面运动 : 匀加速问题

两个思想实验

• 增加斜面角度 : 滑落速度持续增大，保持匀加速运动

• 倾斜度越低，加速度越小。当球从斜面滚动到一个水平面 • 加速度为 0 ，如无阻力，球速不变

惯性定律 : 没有外力作用时，物体将一直保持原来的运动状态

自由落体 : 重力作用下的匀加速运动

x

y

抛物体 : 两种运动的综合

抛物体 : 两种运动的综合

• 水平方向（ x轴）的匀速运动

• 垂直方向（ y轴）的匀加速运动

x

y

• 水平匀速运动 t

xv

△表示 x和 t的增量

• 第一个分量的方程（水平移动的距离）

tvx

x

y

t

va

• 第二个分量的方程（垂直下落的距离）

• 垂直匀加速运动

△y = ?

2/vv tvy

tav

2/tav

tta )2/(

2/2ta

v 平均速度，根据墨顿法则

如果令初始值 y=0 、 t=0, 则

2/2aty

摆的研究和运用随着科学技术的发展，人类渴望精准计时 日晷（ gui ）、水漏、沙漏等不够精准 伽利略首创数学摆，并发现等时性公式

.lT

g 2

但这只是对单摆才成立的近似公式，即在摆角小于 20 度时才具有等时性

但这实际刻画的是谐振子（后来发展出波动理论和电磁理论以及相对论）

惠更斯 1656年实际造出了以摆位基础的时钟，每天误差不超过 1 分钟，后来是 10秒

惠更斯从实践和理论上研究了钟摆及其理论．1656年他首先将摆引入时钟成为摆钟以取代过去的重力齿轮式钟． 伽利略的失败是因为摆锤的运动轨迹 --- 圆弧不具有等时性。寻找等时性曲线！惠更斯找到了等时线 ----摆线（旋轮线） ----最早就是由伽利略研究并取名，但不知道它有等时性

伽利略在数学上输给了惠更斯惠更斯研究的出发点是曲线在其上一点附近

的切线、法线、渐伸线、渐屈线。要害是微分法思想！

惠更斯生平 1629 年 4月 14 日惠更斯出生于海

牙，他的父亲是一位大臣、外交官和诗人，他常与笛卡儿等科学家来往。惠更斯自幼聪明好学，思想十分活跃。他多才多艺，也受到当时的名人笛卡儿的直接指导。他动手能力也很强， 13岁时就自制一车床，他的父亲曾亲热地叫他为“我的阿基米德”。 16岁时进莱顿大学攻读法律和数学，

两年后转人布雷达大学， 1655 年获法学博士学位，随即访问巴黎，在那里开始了他重要的科学生涯。

惠更斯最早取得成果的是数学 他曾首先集中精力研究数学问题，表现出在数学上

有十分突出的才干。从 1651年起，他对各种平面曲线，如悬链线、曳物线、包络线、对数螺线、二次曲线、曲线求长法等都进行过研究，在 22岁时就发表过关于圆、二次曲线、复杂曲线、悬链线、椭圆弧及双曲线的著作，他还研究了浮体和求各种形状物体的重心等问题。

惠更斯还是概率论的创始人之一，他对于概率问题等发表了一些论著， 1657年发表的《论赌博中的计算》，就是一篇关于概率论的科学论文，他在微积分方面也取得了一些成就，显示了他在数学上的造诣。

令人惊讶的结论：伽利略的最大贡献是数学

尽管如此，伽利略仍然算的上是大数学家用物理的语言讲解数学：参考系 -----坐标系； 力、位移、速度 ----- 向量 《酒桶体积的新测定法》惠更斯也是站在了巨人伽利略、笛卡尔等人

的肩上

总结：已经解决的问题

• 开普勒 : 行星运动的正确模型• 伽利略 : 惯性定律，自然科学的研究方法

• 近代科学建立的基础 :

• 观测和实验

伽利略后时代要提出的问题• 哥白尼 : 行星绕太阳运行• 开普勒 : 行星如何绕太阳运行• 问题 : 行星为什么绕太阳运行？• 支配行星运动的力究竟是什么？

• 天上的动力学与地上的力学的统一

• 天体运动轨迹是椭圆，地上的抛射体运动轨迹是抛物线，两者之间有什么联系 --- 圆锥曲线，引力

期待牛顿

江山代有人才出，各领风骚几百年！

• 探索深层次的规律，仅靠初等数学是不够的！人类的探索精神，呼唤用一种新的数学来表达这个心的更深层的规律！

自然界和自然规律隐藏在黑暗中。上帝说，让牛顿出生吧！于是一切都是光明。　　　　　　　　　　　　　

——蒲伯

艾萨克·牛顿ISSAC NEWTON

（ 1642-1727 ）

伦敦， 1665 年

黑死病流行，超过10万人死亡……

剑桥大学暂时关闭，牛顿回到了他位于英格兰林肯郡沃尔索普（ Woolsthorpe ）的家中，时年 23岁……

1666 年，秋天傍晚……

高斯说：骗白痴啊？！

不仅苹果被地球吸引着、月亮也被吸引着而且行星都被太阳吸引着，而且天体之间普遍的存在着相互吸引的力。

牛顿的观点：

他进而提出，任何两个物体间都存在着相互吸引的力。即：

“万有引力”

前进道路上的困难：

为什么牛顿之前或牛顿同时代的科学家不能把引力问题彻底解决呢？

三大困难

困难之一 困难之二 困难之三

万有引力定律：

自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的两次方成反比。

1 、内容

G = 6.67×10-11N·m2/kg2

其中G 是一个常量，叫引力常量引力常量

F=Gr

mm 21

2

2 、表达式

解析：根据牛顿的万有引力公式，对“地 -- 月系统”和地面上的物体分别可得到：

G =m 月 a 月

M 地 m 月

r 地月2

G =m 物 a 物 = m 物

g

M 地 m 物

r 地2

两式相比，得月球绕地球运动的向心加速度为：

又据匀速圆周运动的知识可得月球的向心加速度为：

　　　 a 月＝w2r 地月＝ r 地月＝ X3.85X108m/s2

=2.7X10-3m/s2

４∏２Ｔ 2

4∏2

(27.3X86400)2

两者结果完全相符，这表明我们的引力公式是可靠的！

a 月 =( )g=( )X9.8m/s2=2.7X10-3m/s260

1

3600

12

案例分析：最近几十年，人们对探测火星十分感兴趣，先后曾发射

许多探测器。成为“火星探路者”的火星探测器曾于 1997 年登上火星。 2004 年，又有“勇气”号和“机遇”号探测器登上火星。已知地球质量约是火星质量的 9.3倍，地球直径约是火星直径的 1.9倍。探测器在地球表面和火星表面所受引力的比值是多少？分析与解答：

设探测器的质量为 m ，根据万有引力定律，它在地面和在火星表面分别受地球和火星的引力为：

地

地地

R

mMGF

2 火

火火

R

mMGF

2和

）（地

火

火

地

火

地

R

R

M

M

F

F 2 9.3× 6.29.1

1

2

17世纪自然科学最伟大的成果之一，第一次揭示 了自然界中的一种基本相互作用的规律，在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。

在文化发展史上的重大意义：使人们建立了有能力理解天地间的各种事物的信心，解放了人们的思想，在科学文化的发展史上起了积极的推动作用。

万有引力定律的意义

（ 1）完成了人类对自然界认识上的第一次理论大综合；（ 2）体现了自然科学惊人的预见力和巨大的理论指导意义。（ 3）标志着近代科学的诞生；打开了工业革命的大门。

三、牛顿的“流数术” 17 世纪早期 , 数学家们已经建立起一系列求解无穷

小问题 (诸如曲线的 切线 ,曲率 ,极值 , 求运动的瞬时速度以及面积 , 体积 ,曲线长度以 及物体重心的计算 ) 的特殊方法 .

牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法 , 特别是确立了微分与积分的逆运算关系 ( 微积分基本定理 ). 从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。

为解决运动问题，创立微积分 牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的 ---- 微积分，牛顿称之为“流数术”。

他有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。

这些概念是力学概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的因变量作为流量。不仅这样，他还把几何图形――线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。

牛顿的“流数术”基本上包括三类问题

（ 1 ）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，即求导数； （ 2 ）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程；

（ 3 ）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。

牛顿已完全清楚上述（ 1 ）与（ 2 ）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。

牛顿在 1665年 5月 20 日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。

牛顿的“流数术”举例二项式定理：

!( ) ,

!( )!kx x

k k

1

! ( ) ( ).

!( )! !k k

Ck k k

1 1L

求 的流数：贝克莱悖论x

定义对数函数：ln( ) ,x dt

xt

011

再用二项式定理展开并逐项积分得反流数的展开式 x

11

微积分基本定理

o

y

xa bx X+ x△

)(xfy

四、莱布尼茨创立的微积分学 莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz,1646 年

~1716 年 ) , 德国数学 家 ,哲学家 , 和牛顿同为微积分的创始人 . 他主要是从几何学的角度考虑 , 他创建的微积分符号 , 如 d---differentia,∫---summa, 以及微积分的基本法则 , 如乘积的微分公式

d(uv)=udv+vdu, 分部积分公式等，对以后微积分的发展有极

大影响 .

微积分创立的优先权 关于微积分创立的优先权，曾掀起了一场激烈的争论。 实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布

尼茨成果的发表则早于牛顿。 莱布尼茨 1684年 10月在《教师学报》上发表的论文《一种

求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。

牛顿在三年后，即 1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）。

牛顿和莱布尼茨各自独立地创建微积分因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。 牛顿从物理学出发，应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。 莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。 1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。

物理学家与哲学家的差别后人不必为他俩的贡献争高低；牛顿与莱布尼茨的差别是物理学家与哲

学家的差别；莱布尼茨终生奋斗的主要目的是寻求一

种可以获得知识和创造发明的普遍方法 . 这种努力导致许多数学的发现 ,最突出的是微积分学。

微积分的诞生是继 Euclid 几何建立之后 , 数学发展的又一个里程碑式的事件 . 微积分诞生之前 , 人类基本上还处在农耕文明时期 .解析几何的诞生是新时代到来的序曲 ,但还不是新时代的开端 .它对旧数学作了总结 ,使代数与几何融为一体 ,并引发出变量的概念 . 变量 ,这是一个全新的概念 ,它为研究运动提供了基础 .

推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来 , 准备好这方面的思想 , 产生像牛顿 , 莱布尼茨 ,拉普拉斯这样一批能够开创未来 , 为 科学活动提供方法 ,指出方向的领袖 ,但也必须等待创立一个必不可 少的工具――微积分。

没有微积分 ,推导宇宙定律是不可能的

万有引力定律的发现与证明从某种角度来看，万有引力定律的发现要比牛顿力

学的三定律还要重要。这个万有引力定律正如其名，在理论的实用性上要比牛顿力学三定律来的大得多。

从牛顿的“经典时代”到今天，随着科学的不断发展，许多原有的“定律”已经被打破（其中就包括了力学三定律），唯独万有引力定律独存至今日，经久不衰。无论是在牛顿的“经典体系”下还是在爱因斯坦的“相对论体系”下还是新兴的“量子理论体系”下，从低速到高速，从微观到宇观，万有引力定律都普遍实用。

胡克早就提出了万有引力公式的思想，但因缺乏数学才能而功亏一篑

在荷兰科学家惠更斯的向心力理论传到英国之后，马上就引起了牛顿和胡克等一批英国科学家的高度重视。胡克就从惠根斯的理论中得到启发，提出了万有引力的大小同距离平方成反比的思想。 但是由于胡克缺乏像牛顿那样杰出的数学才能，他当时没能够明确地提出计算万有引力大小的公式。或许是因为能力不足，也或许是因为没有意识到万有引力的重要性，胡克本人并没有能对万有引力的问题进行更深入一步的研究。然而牛顿却以万有引力大小与其距离平方成反比的定律的发现作为他研的基础，继续不断地进行研究，最终发现了著名的万有引力定律。 相比较于牛顿实质性的发现而言，胡克的发现由始至终始终停留在一个猜想的阶段，并没有任何实质性的证据。

胡克与牛顿的交流 其实，提出猜想并不等同于发现定律。这一

点，胡克本人作为当时皇家学会的会长也一定也知道。

早在牛顿还没有发现万有引力定律，或许是还没想到去研究万有引力定律这个问题之前，胡克就已经写信给牛顿，询问他是否可以根据惠更斯的向心力定律和引力的平方反比定律为基础，从中计算出万有引力定律的数学表达式。

牛顿与胡克之争或许牛顿真的曾受到过胡克的启迪，因为牛

顿确实曾经收到过胡克的信，而牛顿最后也的确是按照胡克德想法发现万有引力定律的。因此，单就这点来看，胡克向牛顿提出是谁先发现万有引力的质疑，确实也事出有因，还真算不上是无理取闹。然而，就从牛顿和胡克两人对万有引力定律所做出的贡献来判断，无疑牛顿所做出的贡献更加大一些。

交恶 然而，正是由这起事件开始，牛顿与胡克之

间的私人关系开始交恶。胡克在当时是仅次于牛顿的著名物理学家。然而常言道一山难容二虎，正是由于胡克当时在学术界的地位颇高，他便成为了牛顿的眼中钉，肉中刺，而他与牛顿间的交恶也为他晚年的悲惨遭遇埋下了伏笔。

胡克表示承认万有引力定律为牛顿所发现，同时希望牛顿能在他的《自然科学的数学原理》一书出版后，在书中提一提他的名字。然而牛顿却没那么做，自然是胡克异常愤怒。处处互相针对。

胡克与牛顿二人之间的矛盾自然是以牛顿的胜利而告终。牛顿不仅成功地将胡克从皇家学院主席的位置上拉下来，取而代之，更是连一个“落魄”的胡克也不放过。胡克的晚年可以说是相当的悲惨，他不仅双目失明，而且生活也是相当的窘迫。就是这样的一个可怜人，牛顿也不放过。在胡克死后，牛顿亲手毁掉了胡克生平唯一的画像，使他成为了皇家科学院有史以来唯一一位没有画像高悬于大堂的主席。

皇家科学院有史以来唯一一位没有画像高悬于大堂的主席

五、 18 世纪微积分的发展在十八世纪，无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠数学家们在剑桥、牛津、伦敦、爱丁堡等著名的大学里传授和研究牛顿的流数术，代表人有科茨、泰勒、麦克劳林、棣莫弗和斯特林等。推广莱布尼茨学说的任务，主要由他的学生、瑞士巴塞尔的伯努利兄弟：雅各布第一 ·伯努利和约翰第一 ·伯努利两兄弟担当，而这方面最重大的进步则是由欧拉作出的。

英国的后牛顿时代泰勒发现的著名公式使人们有可能通过幂级数展开来研究函数；马克劳林的《流数论》可以说是对微积分最早的严密处理，该书是为反驳伯克利主教《分析学家》一文而作，后者出于宗教的动机，对牛顿流数论中存在的无限小概念混乱提出了尖锐批评，引起了微积分基础的论战。

泰勒、马克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞、僵化的状态。 18 世纪初即已爆发的微积分发明权的争论，滋长了不列颠数学家们浓厚的民族保守情绪，他们囿于牛顿的传统，难以摆脱其迂回的几何手法等弱点的束缚。与此相对照，在海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。

欧洲大陆的后莱布尼茨时代 法国数学家罗尔 (M.Rolle,1652-1779) 在其论文

《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理；

微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布 (Jacob Bernoulli,1654-1705) 和约翰 (John Bernoulli,1667-1748) ，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求 0/0 型的待定型极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达 (L’Hospital,1661-1704)编入其微积分著作《无穷小分析》 , 现在通称为罗比达法则。

欧拉的工作 欧拉于 1748年出版了《无穷小分析引论》，这部巨著与他随后发表的《微分学》、《积分学》标志着微积分历史上的一个转折：以往的数学家们都以曲线作为微积分的主要研究对象，而欧拉则第一次把函数放到了中心的地位，并且是建立在函数的微分的基础之上。函数概念本身正是由于欧拉等人的研究而大大丰富了。数学家们开始明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函数等；通过一些困难积分问题的求解，诸如 B函数、椭圆不定积分等一系列新的超越函数被纳入函数的范畴；已有的对数、指数和三角函数的研究不仅进一步系统化，而且被推广到复数领域。

多元微积分的建立

18 世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。这方面的贡献主要应归功于尼古拉 ·伯努利 Nicholas

Bernoulli,1687-1759) 、欧拉和拉格朗日等数学家。

贝克莱主教的责难 由无穷小量究竟是不是零的问题引起了 极大的争论， 从而引发了第二次数学危 机。

牛顿的“无穷小量”的 数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。 也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难、批判和 攻击， 其中最有名的是贝克莱主教在 1734年的攻击 。

例如，设自由落体在时间 下落的距离为 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我们要求物体在 的瞬时速度，先求 。

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例：自由落体的瞬时速度

当 变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是 ，这就是物体在 时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。

牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。

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应当承认，贝克莱的责难是有道理的，且击中要害

贝克莱， 18 世纪英国哲学家，大主教。贝克莱的责难是为了维护其宗教权威。

哈雷批评宗教如何不讲道理，是迷信，贝克莱就说你们的微积分才真正问题成堆。他引用圣经的话：你看到兄弟眼中的刺，看到自己眼中的木头了吗？

他指责牛顿 “依靠双重错误 得到了不科学却正确的结果”。 他嘲笑无穷小量是 “已死量的鬼魂”。

【英】哈雷， 1656 -1742

哈雷与哈雷彗星 哈雷，英国天文学家和数学家。生逢以新思想为基础的科

学革命时代， 1673年进牛津大学， 1678年哈雷被选为皇家学会成员， 1684年，他到剑桥向牛顿请教行星运动的力学解释，却促使牛顿扩大了他对天体力学的研究。

　哈雷具有处理和计算大量数据的才能， 1704年，晋升为牛津大学几何学教授。 1705年，出版了《彗星天文学论说》。 ,书中阐述了 1337-1698年出现的 24颗彗星的运行轨道，并指出，出现在 1531 、 1607 和 1682年的三颗彗星可能是同一颗彗星的三次回归，并预言它将于 1758年重新出现，这个预言被证实了，这颗彗星也得到了名字－哈雷彗星。 1720年继任为第二任格林威治天文台台长。

　　哈雷还发现了天狼星、南河三和大角这三颗星的自行，以及月球长期加速现象。

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如果是 0 ，上式左端当 成无穷小后分母为 0 ，就没有意义了。如果不是 0 ，上式右端的 就不能任意去掉。

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在推出上式时，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又可以让 而求得瞬时速度呢？ 因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以 0 ，得出 5=3 一样的荒谬。

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（ * ）

贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是 0 ？

贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和 都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0 ，又不是非 0 ，那它一定是“量的鬼魂”了。

这就是著名的“贝克莱悖论”。

对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，贝克莱的质问是击中要害的。

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历经磨难 200 年！ 数学家在将近 200 年的时间里，不能彻底反驳贝克莱

的责难。危机的实质是是极限的概念不清楚，极限的理论基础

不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。

直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。

" 向前进，你就会产生信心！ "

在十八世纪，数学家们对于函数、导数、微分、连续性和级数收敛性等概念还没有形成统一的见解，他们往往不顾基础问题的薄弱而大胆前进。微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础，这在初创时期是不可避免的。科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌。他们需要做的事情太多了，他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。

正如达朗贝尔所说的： " 向前进，你就会产生信心！ " 数学史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。

历史要求为微积分学说奠基 微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问

题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。 而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。

微积分严格化的合理内核 许多人对建立微积分的严格基础作出重要的尝试。除了欧拉的函数理论外，另一位天才的分析大师拉格朗日采取了所谓“代数的途径”。他在 1797年出版的《解析函数论》一书中，主张用泰勒级数来定义导数，并以此作为整个微分、积分理论之出发点。

达朗贝尔则发展了牛顿的“首末比方法”，但用极限的概念代替了含糊的“最初与最终比”的说法。如果说欧拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趋势，那么，达朗贝尔则为微积分的严格表述提供了合理的内核。 19 世纪的严格化运动，正是这些不同方向融会发展的结果。

六、为微积分夯实基础 到了 19 世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积

分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲学家 B.Bolzano.曾著有《无穷的悖论》，明确地提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。

分析学的奠基人，法国数学家柯西（ Cauchy ）在 1821-1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列的基本概念和精确定义。

对分析基础做更深一步的理解的要求发生在 1874年。那时的德国数学家魏尔斯特拉斯构造了一个处处连续但处处不可导的函数，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。黎曼发现，柯西没有必要把他的定积分限制于连续函数，被积函数不连续，其定积分也可能存在。也就是将柯西积分改进为 Riemann 积分。

【法】柯西 (A-L.Cauchy,1789-1857)

把分析的严格化进行到底【捷】波尔查诺（ Bernard Bolzano ），1781-1848 ，《无穷的悖论》

【德】魏尔斯特拉斯 (W.Weierstrass, 1815-1897)

【德】黎曼 B.Riemann ， 1826—1866

第二次数学危机的消除 这些事实使我们明白，在为分析建立一个完善的基础方面，

还需要再深挖一步：理解实数系更深刻的性质。这项工作最终由外尔斯特拉斯完成，他使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。这样一来，数学分析所有的基本概念都可以通过实数和它们的基本运算表述出来。微积分严格化的工作终于接近封顶，只有关于无限的概念没有完全弄清楚，在这个领域，德国数学家 Cantor做出了杰出的贡献。

　　总之，第二次数学危机和核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础上。外尔斯特拉斯 (Weierstrass) 的贡献在于逻辑地构造了实数论。为此，建立分析基础的逻辑顺序是：

实数系 --极限论 -- 微积分 而“历史顺序”则正好相反。

七、微积分与人类文明 微积分是人类智力的伟大结晶。它给 出一整套的科学方法，开创了科学的 新纪元，并因此加强与加深了数学的 作用。 恩格斯说：”在一切理论成就中，未必 再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里。”

当代数学分析权威柯朗 (R． Courant)指出：“微积分乃是一种震撼心灵的智力奋斗的结晶。”

有了微积分，就有了现代化的社会 微积分给数学注入了旺盛的生命力，使数学获得了极大的发展，取得了空前的繁荣。如

微分方程、无穷级数、变分法等数学分支的建立，以及复变函数，微分几何等。

严密的微积分的逻辑基础理论进一步显示了它在数学领域的普遍意义。

有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。

来自新语丝的话没有微积分，就没有后来的微分方程；没有

微分方程就没有电磁作用的基本理论；没有电磁作用，数字电路的基本理论，没有这些基本理论可能就没有计算机，没有计算机就没有互联网，没有互联网就轮不到你纵横捭阖，大展拳脚，就没有新语丝……