现代控制理论基础
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现代控制理论基础. 2.3 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化. 2.3.1 离散系统的状态空间表达式. 1. 一般形式. 式中： T 是采样周期。方程中的矢量，各系数矩阵的名称和维数都与连续系统相同，为简单常省去 T 将方程写成如下形式. 即：. 2. 结构图。上述方程可用结构图来表示. 离散 差分方程. 连续 D.E. 脉冲传函 状态空间表达式. T.F S.E. 3. 差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表达式之间的转换 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
现代控制理论基础现代控制理论基础
2
2.3线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( T) ( ) ( )
x kT T G kT x kT H kT u kT
y kT C kT x k D kT u kT
2.3.1 离散系统的状态空间表达式1. 一般形式
式中： T 是采样周期。方程中的矢量，各系数矩阵的名称和维数都与连续系统相同，为简单常省去 T将方程写成如下形式
即： ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x k G k x k H k u k
y k C k x k D k u k
2. 结构图。上述方程可用结构图来表示
4
3. 差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表达式之间的转换 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式之间的变换，和连续系统分析相类似。
脉冲传函 状态空间表达式
离散 差分方程 连续 D.E
T.F S.E
5
解： 1) G(z) 差分方程 状态空间表达式
2
2
2 1( )
5 6
z zG z
z z
Y z z z
U z z z
z z Y z z z U z
2
2
2 2
( ) 2 1
( ) 5 6
( 5 6) ( ) ( 2 1) ( )
例 2-11 已知脉冲传递函数为
试求其状态空间表达式。
y(k+2) + 5y(k+1) + 6y(k) = u(k+2) + 2u(k+1) + u(k)
6
1 1
2 2
( 1) ( )0 1 0( )
( 1) ( )6 5 1
x k x ku k
x k x k
12 2 0 1 1 0 0
2
( )( ) ( , ) ( )
( )
x ky k b a b b a b b u k
x k
1
2
1
2
( )1 6 1 2 5 1 ( )
( )
( )5 3 ( )
( )
x ku k
x k
x ku k
x k
7
2) G(z) 部分分式法 状态空间表达式2
2 2
2 1 -3 -5( ) 1
5 6 5 6
z z zG z
z z z z
1 4
12 3z z
1 1
2 2
( 1) ( )2 0 1( )
( 1) ( )0 3 1
x k x ku k
x k x k
1
2
( )( ) 1 4 ( )
( )
x ky k u k
x k
8
4. 状态空间表达式 G(z)
2
2 0
0 3
5 6
zz
z
z z
I G
20
03)(
z
zzadj GI
11
1
20
0341
65
1)(
2
z
z
zzzG
65
122
2
zz
zz
G(z) = C(zI G ) 1H + D
9
对连续系统，若常用数字计算机进行实时控制或求解，首先必须把连续系统转化成离散系统，这个过程称之为连续系统的离散化。
2.3.2 定常连续系统的离散化
x Ax Bu
y Cx Du
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
x k Gx k Hu k
y Cx k Du k
离散系统
定常连续系统 离散化
10
00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
tx t t t x t t Bu d
( 1)
1 ( 1) ( )
( 1) ( )k T
kT
x k T k T kT x kT
k T Bu d
取 t0 = kt , t = (k+1)T
1 、直接离散化： 离散化的实质就是用一个矩阵差分方程去代替一个矩阵微分方程。
在 kT (k+1)T ，其输入向量 u(t) = u(kT) ，则状态方程的解为
11
x k T x kT( 1) (T) ( ) ( 1)( 1) ( )
k T
kTk T Bd u kT
对第二项积分作变量代换：令 t = (k+1)T ； dt = d
上限： = (k+1)T ， t = (k+1) T = 0
下限： = kT , t = (k+1)T = T
k T T
kTk T Bd t dtB
( 1)
0( 1) - ( )
TAT ATG e H e dtB0
, y(t) = Cx(t)+ Du(t)
y(kT) = Cx(kT)+ Du(kT)
12
1
1
20
1
s
sL
2
10
)2(
11
1
s
sssL
t
t
e
e
2
2
0
2
1
2
11
0 1 0
0 2 1x x u
例 2-12 求 的离散化方程。
解：先求 eAt ：
(t) = eAt =L1[ (sI A ) 1 ]
13
T t dte0
BH A dte
et
tT
1
0
02
1
2
11
2
2
0
T
T
T
e
ee
2
2
0
2
1
2
11
AG
T
t
t
dt
e
e0
2
2
2
1
2
1
T
T
e
eT
2
2
2
1
2
14
1
4
1
2
x(k+1) = Gx(k) + Hu(k)
14
U(s) 1 Tse
s
G0(s)
Y(s)
2 、由脉冲传函实现离散化
步骤： 1) 首先求连续系统的传递函数 2) 按照离散系统的结构图求脉冲传函
3) 按脉冲传函与标准型状态空间表达式的关系写出离散化的状态空间表达式
15
1
1s s
解：因为离散化后的系统结构图为：
1 1( )
( 1)
TseG s
s s s
s2 2
1 1 1 1 1 1
1 1Te
s s s s s s
1
s
Tse U(s)
1
1s s
例 2-13 已知连续系统的传递函数为
试求其离散化状态空间表达式
16
T T T
T
T zG z
z z
1 e 1-e Te( )
1 e
T T T
T T
T z T
z z2
1 e 1-e e
(1 e ) e
0 1 0( 1) ( ) ( )
-e 1 e 1T Tx k x k u k
( ) 1 1 ( )T T Ty k e Te T e x k
17
2.3.3 定常连续系统的离散化的近似方法
近似方法出发点：用差商代替微商
)]()1([1
)( kTTkT
kT xxx
)()()( ttt BuAxx
)()()]()1([1
kTkTkTTkT
BuAxxx
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k)
G = I +TA
H =TB
18
0 1 0
0 2 1x x u
例 2-13 求 的近似离散化方程。
T
T
T
TT
210
1
20
0
10
01AIG
T
T0
BH
解：
T
T
T
e
ee
2
2
0
2
1
2
11
AG
T
T
e
eT
2
2
2
1
2
14
1
4
1
2H
19
8187.00
09063.01G
09063.0
004685.0H
8.00
1.01G
1.0
0H
当 T = 0.1 时
20
2.4 离散系统状态方程的解定常离散系统状态方程的解：（两种方法）
2.4.1 迭代法
x(k+1) = Gx(k) + Hu(k)
依次将采样时刻 k=0 ， 1 ， 2 ， 3,… 代入上式即可。k=0 时 ,x(1)=Gx(0)+Hu(0)
k=1
时 ,x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+H
u(1)
…
kk k i
i
x k G x G Hu i k1
1
0
( ) (0) ( ) ( 1, 2, )
21
几点讨论： (1) 定常离散系统的状态解由两部分组成：由初始状态引起的响应——反映系统的自由运动——零输入响应由输入引起的响应——反映系统的强迫运动——零状态响应。
(2) 第 k 个采样时刻的状态，只与采样时刻 0, 1, 2, …, k-1 时的输入值有关系，而与第 k 个次采样时刻输入值无关，这是惯性系统的一个基本特征；
kk k i
i
x k G x G Hu i k1
1
0
( ) (0) ( ) ( 1, 2, )
22
φ(k) 也满足状态转移矩阵的两个定义条件：矩阵差分方程： φ(k+1) = Gφ(k)
初始条件： φ(0) = G 0 = I
(3) G k 称为定常离散系统的状态转移矩阵，记为 φ(k)= G k
kk k i
i
x k G x G Hu i k1
1
0
( ) (0) ( ) ( 1, 2, )
23
2.4.2 z 变换法
zx z zx Gx z HU z
zI G x z zx HU z
( ) (0) ( ) ( )
( ) (0) ( )
x z zI G zx zI G HU z1 1( ) ( ) (0) ( ) ( )
1 11 1( ) (0) ( )x k Z zI G z x Z zI G Hu z
k
j o
j Hu k j Z zI G HU z1
11( ) ( 1) ( )
(k) = G k =Z1[ (zI G ) 1 z ]
24
2. 迭代法求出的解是一个数值解。只能求出某一时刻的数值。但迭代公式本身就是状态方程，简单方便，而且不用求出状态转移矩阵 Gk ；如果已求出 φ(k)=Gk ，则可用解的迭代公式求出自由分量和强迫分量 .
1. z 变换求出的解是一个完整解，其中解的结构可分为自由解和强迫解两部分，可分别求出，对分析运动过程有本质的帮助。解的形式是一个闭式，即解析式。
25
例 2-15 ：求线性定常离散系统的解
1 1
2 2
( 1) ( )0 1 1( )
( 1) ( )0.16 1 1
x k x ku k
x k x k
1( ) 1,( 0,1,2....); (0)
1u k k x
x Gx Hu
x Gx Hu
0 1 1 1 0(1) (0) (0) 1
0.16 1 1 1 1.84
0 1 0 1 2.84(2) (1) (1) 1
0.16 1 1.84 1 0.84
解： (1) 用迭代法求解
已知
26
0 1 2.84 1 0.16(3) (2) (2)
0.16 1 0.84 1 1.386x Gx Hu
z
z
zzz
16.0
11
)8.0)(2.0(
1)( 1GI
)8.0)(2.0(16.0116.0
1 2
zzzzz
zz GI
（ 2 ）用 z 变换法求解 :
(k) = G k =Z1[ (zI G ) 1 z ]
27
118
7
8.09
6.17
2.06
4.3
118
25
8.09
22
2.06
17
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
)1)(8.0)(2.0(
)84.1(
)1)(8.0)(2.0(
)2(
2
2
zzz
zzz
zzz
zz
11
1
1
1
16.0
11
)8.0)(2.0(
1
z
zz
z
z
zz
1)(
z
zzU又知 u(k) = 1
X(z) = (zI G ) 1 [ z x(0)+HU(z) ]
28
1 0 2.84 0.16( ) , , ,
1 1.84 0.84 1.386x k
以上两种方法计算结果完全一致，只是迭代法是一个数值解，而 z 变换法则得到了一个解析表达式。
18
7)8.0(
9
6.17)2.0(
6
4.3
18
25)8.0(
9
22)2.0(
6
17
kk
kk
令 k = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，… 代入上式，可得
x(k) = Z1[ X(z )]
29
2.4.3 离散系统的状态转移矩阵
2 ． z变换法 根据 z变换法求取离散系统状态方程解中的对应关系，状态转移矩阵 Φ(k) 为
Φ(k) = Z1[ (zI G ) 1 z ]
1 ．直接法 根据离散系统递推迭代法中的定义
Φ(k) = G k
来计算。该方法简单，易于计算机来解，但不易得到Φ(k)的封闭式。
30
3 ．化系统矩阵 G 为标准形法 （ 1 ）当离散系统矩阵 G 的特征值均为单根时 当离散系统矩阵 G 的特征根均为单根时，经过线性变换可将系统矩阵 G 化为对角线标准形，即
P 1 GP = Φ(k) = G k = P k P 1
31
)(116.0
10)1( kk xx
0)8.0)(2.0(116.0
1
GI
例 2-16 齐次离散系统状态方程为
试求其状态转移矩阵 Φ(k)。
8.02.0
11P
51
54
3
11P
化系统矩阵 G为对角线标准形的变换矩阵 P
为
解：
32
51
54
3
1
)8.0(
)2.0(
8.02.0
11k
k
kkkk
kkkk
)8.0(4)2.0()8.0(8.0)2.0(8.0
)8.0(5)2.0(5)8.0()2.0(4
3
1
Φ(k) = G k = P k P 1
33
(2) 当离散系统矩阵 G的特征值有重根时
Φ(k) = G k = QJ kQ 1
4．化为 G的有限项法 应用凯莱 -哈密尔顿定理，系统矩阵 G满足其自身的零化多项式。离散系统状态转移矩阵可化为 G的有限项，即
11
2210 )()()()()(
nn kkkkk GGGIΦ
式中 αi(k) ( i = 0 ， 1 ，… n −1) 为待定系数，可仿照连续系统的方法来求取。
34
例 2-17 线性定常离散系统的状态方程为
)(32
10)1( kk xx
试求系统的状态转移矩阵 Φ(k)。
解：离散系统特征方程为
0)2)(1(32
1
GI
2102
1101
)()()(
)()()(
kk
kkk
k
)(2)()2(
)()()1(
10
10
kk
kkk
k
35
kk
kk
k
k
)2()1()(
)2()1(2)(
1
0
GIΦ )()()( 10 kkk
kkkk
kkkk
)2(2)1()2(2)1(2
)2()1()2()1(2
32
10)(
1
1)( 10 kk
36
结 束