Софизмы

Выполнила учитель математики

МОУ «Нововаршавская гимназия»

Метелева Ольга Ивановна.

Содержание работы•Введение

•История софизма

•Математические софизмы :

- арифметические ,

- алгебраические,

- геометрические

•Исследование

•Заключение

•Список литературы

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? И чем полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать??? Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе. Хотя софизмы бывают и логические, и словесные, но я выбрала именно математические, так как с математическими софизмами мы встречаемся чаще чем с обычными. Они, как мне кажется, более интересны и имеют четкое логическое объяснение.

Введение

– слово греческого происхождения, в

переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение, головоломку или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем   (384-322 до н. э.) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: "неправильности речи" и ошибки "вне речи", т.е. в мышлении.

История софизма

Математические софизмы Это удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Математические софизмы

•Арифметические

•Алгебраические

•Геометрические

Далее приведу некоторые софизмы, которые были предложены учащимся 7-8 классов для нахождения ошибок в рассуждениях.

Задача

Некто взялся доказать , что 3 раза по 2 будет не 6, а 4. Выполняя странную

затею , он взял в руки обыкновенную спичку и попросил присутствующих

внимательно следить за ходом его мысли.

-Переломив спичку пополам,- заявил странный математик,- будем иметь

один раз 2. Проделав то же самое над одной из половинок, будем иметь

второй раз 2 . Наконец , проделав эту же операцию над второй из половинок,

получим третий раз 2. Итак , беря три раза по два, мы получили четыре, а не

шесть, как принято обычо думать. Укажите заблуждающемуся на его ошибку.

1.Дважды два - пять!Имеем числовое равенство

(верное): 4:4= 5:5  . Вынесем за скобки в каждой части его общий

множитель. Получим:  4(1:1)=5(1:1).  Числа в скобках

равны, поэтому 4=5, или    2*2=5.Найдите ошибку в рассуждениях.

2. 4р.=40 000 к.!

Возьмем верное равенство: 2р.=200к. И

возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4р.=40 000 к.

В чем ошибка?

Арифметические софизмы

3. « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В» Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство АВ>В*В, а отняв от обеих его частей А*А, получим неравенство АВ-А*А>В*В-А*А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что А>В+А (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5следует, что 6>10.Где ошибка???

.

Алгебраические софизмы

1. Все числа равны между собой.

Пусть m n. Возьмем тождество:

m2-2mn+n2=n2-2mn+m2. Имеем:

(m-n)2 = (n-m)2. Отсюда m-n= n-m, или 2m= 2n, а значит, m= n.

В чем ошибка?

3. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» 

Пусть  а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между

b и  a обозначим через c . Имеем  b - a = c, b = a + c.

Перемножаем два эти равенства по частям,находим: b2 - ab = ca

+ c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab -bc = ca + c2 -

bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a,

поэтому b = a - b, или a = 2b.    Где ошибка???

2. Любое число равно его половине. Возьмем два равных числа a и b, a=b. Обе части равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b2. Получим: a2-b2=ab-b2, или (a+b)(a-b)=b(a-b). Отсюда a+b=b, или a+a=a, так как b=a. Значит, 2a=a, или a=1/2a. Какая ошибка допущена в этих рассуждениях?   

Геометрические софизмы

1. Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую

вне прямой, к этой прямой можно провести два

перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник

АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на

диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти

полуокружности пересекаются со стороной АС в точках

Е и Д. Соединим точки  Е и Д прямыми с точкой В. Угол

АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр;

угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ 

перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через

точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС. В

чем ошибка?

2. Софизм равенства катета гипотенузе, или все треугольники равносторонние

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее

перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно. Т.к. DO одновременно и высота и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC. Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства

треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF), EO = OF. Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO, т.е. AE

= FC. Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC. Проведя такое же рассуждение для основания не AC, а, например, AB, получим,

что BC = CA.

Из этого следует, что все треугольники на свете - равносторонние. В частном случае, если треугольник прямоугольный, то катеты

равны гипотенузе.

1.Укажите ваш возраст.

2. Укажите ваш пол.

3. Доводилось ли вам слышать подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем»?.

4. Знакомо ли вам понятие «Софизм»?

5. Если, отвечая на предыдущий вопрос, ты ответил положительно, постарайся дать определение этого понятия.

6. На каких уроках приводились примеры софизмов? (Ответ при условии положительного ответа на предыдущий вопрос)

7. Надо ли знакомить учащихся на уроках с софизмами ?

8. Как ты думаешь, для чего нужны софизмы ?

9. . Хотел бы ты больше узнать софизмов?

10. Как ты считаешь, какую роль для тебя может сыграть более глубокое знакомство с софизмами ?

Анкета

0102030405060708090

100

3в-с

4в-с

5в-с

7в-с

6-7 класс

8-9 класс

10-11 класс

Ответы на вопросы анкеты

0102030405060708090

100

1 з. 2 з. 3 з. 4 з. 5 з.

5-6кл.

7-8 кл.

Гистограмма 3

Решение задач

Заключение…

Итак Чем же полезны софизмы для изучающих математику?

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает

навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит

осознать ее, а осознание ошибки предупреждает  от повторения ее в других

математических рассуждениях.

Помните, что важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы

будут бесполезны.

Учащиеся мало знают софизмов, поэтому нужно чаще использовать софизмы на

уроках , ведь это увлекательное дело приносит пользу.В заключение хочется

сказать, что я считаю работу интересной и постараюсь своим сборником

привлечь еще больше желающих среди своих учеников

Список литературы. 1.Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка»Москва,

«Просвещение», 1988г

2. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004г.»

3. Энциклопедический словарь юного математика. Москва.

Педагогика. 1989.

4. В.Л. Минковский «За страницами учебника математики»

Москва, «Просвещение», 1966 г.

5. В.М. Брадис "Ошибки в математических рассуждениях"  Москва .

Просвещение 1959г .

6.http://www.1september.ru/ru/mat.htm