一元二次函数

江苏省高淳高级中学

函数：

通过已知的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义 .

学习课程标准：

函数与方程：

结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系 .

一元二次不等式：

通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 .

1 ．通过课前热身的解答，学生能独立回顾一元二次函数的性质；

2 ．通过例 1 的解答，学生能独立处理一元二次函数在动区间上的最值问题；

3 ．通过例 2 的解答，学生在交流中学会用分类讨论的思想求一元二次函数的最值；

4 ．通过例 1(4) 与例 2 的解答过程的梳理，学生在教师提示下体会用分类讨论思想求一元二次函数的最值的分类标准及书写步骤；

5 ．通过例 3 的解答，学生在教师提示下能将一些综合问题转化为二次函数模型的问题．

学习目标分解：

1 ．函数 y＝ x2 ＋ x， x [∈ － 1 ， 3] ，的值域为 _________________ ．

2 ．已知二次函数 f(x) 满足 f(2) ＝－ 1 ， f( － 1) ＝－ 1 ，且 f(x) 的最大值是 8 ，则此二次函数解析式为 ________________ ．

3 ．若函数 y＝ x2 ＋ (a＋ 2)x＋ 3 (x [∈ a,b]) 的图象关于 x＝ 1 对称，则 b＝ ．

4 ．已知函数 f(x) ＝ 2x2 － mx＋ 3 在 [ － 1 ，＋∞ )上单调递增，则实数 m的取值范围为_________ ．

5 ．已知函数 f(x) ＝ x2 － 2ax＋ 2a＋ 4 的定义域为 R ，值域为 [1 ，＋∞ ) ，则 a＝ _______ ．

6 ．已知函数 f(x) ＝ x2 － 2x＋ 3 在闭区间 [0 ， m] 上有最大值 3 ，最小值 2 ，则实数 m的取值范围为 __________________ ．

7 ．在平面直角坐标系中 xOy中，函数 f(x) ＝ x2 ＋ 2x＋ b的图象与两坐标轴有三个交点，则实数 b的取值范围为 __________ ．

课前热身：

1 ．定义：

2 ．三种表示形式：(1) 一般式： ____________________ ； (2) 顶点式： ____________________ ；(3) 交点式： ____________________ ．

3 ．图象：二次函数 y＝ ax2 ＋ bx＋ c(a≠0) 的图象是以直线 ________ 为对称轴的抛物线，其开口方向由 a的符号确定，顶点坐标为 ______________ ．

4 ．性质：(1) 当 a＞ 0 时，函数 y＝ ax2 ＋ bx＋ c图象开口 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时， y随着 x的增大而减小；当 时， y随着 x的增大而增大；当 时，函数取最小值 ．(2) 当 a＜ 0 时，函数 y＝ ax2 ＋ bx＋ c图象开口 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时， y随着 x的增大而减小；当 时， y随着 x的增大而增大；当 时，函数取最大值 ．

知识梳理：

例 1 ．求函数 f(x) ＝ x2 － 4x－ 4 在下列区间上的最小值： (1)[0 ， 1] ； (2) [0 ， 3] ； (3) [0 ， t] ； (4) [t,t＋ 1] ．

例题讲解：

例 2 ．求函数 f(x) ＝－ x2 ＋ 2ax＋ 1 － a区间 [0 ， 1] 上的最大值．

例题讲解：

变式：若函数 f(x) ＝－ x2 ＋ 2ax＋ 1 － a在 [0 ， 1] 上的最小值为 2 ，求 a的值．

例题讲解：例 3 ．可转化二次函数模型的问题：

① 关于 x的方程 (a＞ 0且 a≠1)有实数解，求实数 m的取值范围；

2 1(1 ) 1 0x xa a

m

② 已知函数 , 求此函数的值域；22

1 1( )f x x x

x x

③ 已知函数 , 求此函数的值域 . 3 3

1( ) log log (3 ), ,9

27 27

xf x x x

1. 一元二次函数的图象与性质；

课堂小结：

2. 二次函数的最值问题求法；

3. 方法：数形结合和分类讨论 .