漫談質數

甚麼是質數？甚麼是質數？• 一個只能被 1 與及本身整除並且大於 1

的整數。• 質數又稱「素數」。• 質數： 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , …

• 合數（合成數）： 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 …

• 何數都由質數構成的

《幾何原本》《幾何原本》• 歐幾里得（ Euclid of

Alexandria; 約西元前 330 約西元前 275 ）

• 歐幾里得的《幾何原本》是用公理方法建立演繹數學體系的最早典範。

《幾何原本》的內容《幾何原本》的內容• 第一卷　幾何基礎篇• 第二卷　幾何代數• 第三及第四卷　圓形及正多邊形• 第五卷　比例論• 第六卷　相似圖形• 第七、八、九卷　數論• 第十卷　不可公度量• 第十一至第十三卷　立體幾何

一個重要的命題一個重要的命題• 命題 IX.20 　預先任意給定幾個質數，

則有比它們更多的質數。• 註：這命題指出質數有無窮多個！

證明證明假設質數只有有限多個。由此可設最大質數為 P定義 Q = 2 3 5 7 … （ P + 1 ）由假設可知， Q 是一個合成數。同時，將 Q 除以任何質數都餘 1 ，所以所有的質數都不是 Q 的因數！這是不可能的 !!!

所以質數有無窮多個。

關於質數的一些疑問關於質數的一些疑問• 質數有多少個？• 如何判斷一個數是質數？

※ 例如： 2003 ？※ 例如： 9909408073 ？

• 有沒有能夠計算所有質數的公式？

默森質數默森質數• 默森

（ Marin Mersenne; 1588 1648 ）

• 法國人，神父• 默森質數（ 1644 ）：

2 p 1

默森質數默森質數22 1 = 3 23 1 = 7

25 1 = 31 27 1 = 127

211 1 = 2047 = 23 89

213 1 =8191 217 1 = 131071

219 1 = 524287

223 1 = 838607 = 47 178481

229 1 = 536870911 = 233 2304167

231 1 = 2147483647

默森質數默森質數• 於是默森提出以下結論和猜想：• 當 p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 或

257 時， 2 p 1 會是質數。

• 對於其餘小於 257 的 44 個 p ， 2 p 1

都是合數。• 但後來的數學家發現，當 p = 67 和 257

時， 2 p 1 不是質數；但當 p = 61, 89

或 107 時， 2 p 1 卻是質數！

最大質數最大質數• 當今發現最大的質數：• 224036583 1

• 發現者：美國人 （ Josh Findley ）• 日期： 2004 年 5 月 15

日

費馬質數費馬質數• 費馬（ Pierre de Fermat;

1601 1665 ）• 法國人• 律師， 1631 年出任圖

盧茲議院顧問。• 業餘研究數學• 他是幾何學、坐標幾何、

概率論、微積分、數論等學問的先驅。

費馬質數費馬質數• 費馬質數（ 1640 ）：

22n + 1• 220

+ 1 = 3

• 221 + 1 = 5

• 222 + 1 = 17

• 223 + 1 = 257

• 224 + 1 = 65537

費馬質數費馬質數• 費馬猜想所有寫成

22n + 1 形式的數都是質數。

歐拉歐拉• 歐拉（ Leonhard Euler;

1707 1783 ）

• 瑞士數學家。• 13 歲入大學， 17 歲取

得碩士學位， 30 歲右眼失明， 60 歲完全失明。

• 證明 225 + 1 不是質數。

證明證明記 a = 27 和 b = 5 。那麼 a b3 = 3 而1 + ab b4 = 1 + (a b3)b = 1 + 3b = 16 = 24 。 225

+ 1 = 232 + 1 = (2a)4 + 1 = 24a4 + 1

= (1 + ab b4)a4 + 1 = (1 + ab)a4 + (1 a4b4)

= (1 + ab)(a4 + (1 ab)(1 + a2b2))

即 232 + 1 可被 1 + ab = 641 整除！ （證完）

備註： 232 + 1 = 494967297 = 641 6700417

歐拉歐拉• 歐拉的發現不單否

定了費馬的猜想，而它亦提供了分解費馬質數的方法。

• 數學家後來發現，除了開頭幾個數是質數外，再找不到其他費馬質數了！

高斯高斯• 高斯（ Carl Friedrich Ga

uss; 1777 1855 ）• 德國數學家。• 近代數學的奠基者之一• 自小已流露對數學和語

言學的天份，人稱「數學王子」。

高斯高斯• 19 歲那年提出以

直尺和圓規繪畫正 17 邊形的方法。

• 同時亦提出繪畫正質數多邊形的充份和必定條件是：

• 該質數必定是費馬質數！

正 正 17 17 邊形作圖法邊形作圖法

高度的

整個角的

45

圓心

交點

歐拉與質數歐拉與質數• 641 是 225

+ 1 的因數。

以 (n) 表示不大於 n 的質數數量。例如： (10) = 4 、 (100) = 25 …… 等

• 若 n 趨向無窮大，則 (n) / n 趨向 0 。（即當 n 越大時，質數的「密度」會越小。）

歐拉與質數歐拉與質數• 哥德巴赫猜想（ 1742 ）

(A) 每一個不小於 6 的偶數，皆可表示為兩個質數之和。例如： 8 = 3 + 5 、 20 = 7 + 13 、

100 = 17 + 83 …… 等等(B) 每一個不小於 9 的奇數，皆可表示為

三個質數之和。• 由於質數的定義由乘除法而來，而「哥德

巴赫猜想」卻和加法有關，因此它成為數論上一大難題！

陳景潤1933 1996

陳景潤的另一成就陳景潤的另一成就• 孿生質數猜想：

存在無窮多對相差 2 的質數。例如： (3, 5) ; (5, 7) ; (11, 13) ; (17, 19) ;

(29, 31) ; …… ; (101, 103) ; …… ; (10016957, 10016959) ……

• 最佳結果（陳景潤 1973 ）：存在無窮多個質數 p，使 p + 2 是不超過兩個質數之積。

質數的其他故事質數的其他故事• 完全數

例如： 6, 28, 496, 8128 …… 等

• 質數分佈定理： 1)(

limln

nnn

n

• 費馬小定理及現代密碼理論