一、非齐次与齐交线性方程组的概念
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§2.7 克莱姆法则. 一、非齐次与齐交线性方程组的概念. 二、克兰姆法则及有关定理. 三、练习. (1). 若常数项 不全为零，则称（ 1 ）为 . 一、非齐次与齐交线性方程组的概念. 设线性方程组 . 非齐次线性方程组 ． . 简记为 . 若常数项 即 . (2). 则称（ 2 ）为 齐次线性方程组 ． . 简记为 . 的行列式. ，则方程组 ( １ ) 有唯一解. 二、克兰姆法则. 如果线性方程组 （ 1 ） 的系数矩阵. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
一、非齐次与齐交线性方程组的概念一、非齐次与齐交线性方程组的概念
二、克兰姆法则及有关定理二、克兰姆法则及有关定理
§2.7 §2.7 克莱姆法则克莱姆法则
三、练习三、练习
一、非齐次与齐交线性方程组的概念
1
, 1,2, , .n
ij j ij
a x b i n
设线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
(1)
非齐次线性方程组．
若常数项 不全为零，则称（ 1 ）为1 2, , , nb b b
简记为
1
0, 1,2, , .n
ij jj
a x i n
则称（ 2）为齐次线性方程组 ．
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
00
0
n n
n n
n n nn n
a x a x a xa x a x a x
a x a x a x
(2)
若常数项 即1 2 0,nb b b
简记为
二、克兰姆法则
如果线性方程组（ 1 ）的系数矩阵
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a aa a aA
a a a
的行列式 ，则方程组 (１ )有唯一解| | 0D A
1 21 2, , , n
n
DD Dx x x
D D D
| | 0D A
其中 是把行列式 中第 列( 1,2, , )jD j n D j
所得的一个 n 阶行列式，即
的元素用方程组（ 1 ）的常数项 代换 1 2, , , nb b b
11 1, 1 1 1, 1 1
21 2, 1 2 2, 1 2
1 , 1 , 1
j j n
j j nj
n n j n n j nn
a a b a aa a b a a
D
a a b a a
1 1 2 2j j n njb A b A b A 1
.n
s sjs
b A
例 1 ：解线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
52 4 2
2 3 5 23 2 11 0
x x x xx x x xx x x xx x x x
解：方程组的系数行列式
1 1 1 11 2 1 4 142 02 3 1 53 1 2 11
D
1
5 1 1 12 2 1 4 1422 3 1 5
0 1 2 11
D
∴ 方程组有唯一解（ 1 ， 2 ， 3 ，－ 1 ） .
撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理
则方程组（ 1 ）一定有解，且解是唯一的．
定理 1 如果线性方程组（ 1 ）的系数行列式 0,D
推论 如果线性方程组（ 1 ）无解或有两个不同解，
则方程组的系数行列式 必为零．D
0,D 则方程组（ 2 ）没有非零解，即只有零解．
定理 2 如果齐次线性方程组（ 2 ）的系数行列式
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
00
0
n n
n n
n n nn n
a x a x a xa x a x a x
a x a x a x
（ 2 ）
对于齐次线性方程组
（ 2 ）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解．
注：
1 2 0nx x x 一定是它的解，称之为零解．
推论 如果齐次线性方程组（ 2 ）有非零解，则
它的系数行列式 D ＝０．
注：
在第三章中还将证明这个条件也是充分的 ．即
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
00
0
n n
n n
n n nn n
a x a x a xa x a x a x
a x a x a x
有非零解 det( ) 0.ija
．
例 2 ：问 取何值时，齐次线性方程组有非零解 ?
1 2 3
1 2
1 3
(5 ) 2 2 02 (6 ) 02 (4 ) 0
x x xx xx x
解 :
5 2 22 6 0 (5 )(2 )(8 ) 02 0 4
D
若方程组有非零解，则
∴ 当 时，方程组有非零解．2, 5, 8
求解线性方程组,12 4321 xxxx
,12 4321 xxxx
,2421 xxx
.1431 xxx
1101
1011
1211
2111
D ,10
1101
1012
1211
2111
1
D ,8
2
1 1 1 2
1 1 2 1 1 2 0 1
1 1 1 1
D
9, 3
1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 2 1
1 0 1 1
D
5,
三、练习三、练习
1101
2011
1211
1111
4
D .3
故 ,5
4
10
81
x ,10
92 x ,
2
1
10
53
x .10
34 x