平均值不等式
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平均值不等式. 一、回顾复习. 1. 重要不等式:. 2. 基本不等式:. 语言表述 : 两个正数的 算术平均数 不小于它们的 几何平均数. a = b = c. a = b = c. 算术平均数. 几何平均数. 题型一:利用平均值不等式证明不等式. 题型二:利用平均值不等式求最值. 例 某农场要用36 m的篱笆围成一个矩形 菜园,怎样设计才能使菜园的面积最大?. 结论 1 : 两个正数和为定值,则积有最大值. 题型二:利用平均值不等式求最值. 例 某农场主想用篱笆围成一个100 平方米的矩形农场,怎样设计才能使所用篱笆最省呢?. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
平均值不等式
2 ,
( )
a b a b ab 2 2对于 , R,有 +
当且仅当 时,等号成立。
a b1. 重要不等式:
2. 基本不等式: 2( )
a bab
如果 ,那么
当且仅当 时,等号成立。
0, 0a b a b
一、回顾复习
语言表述: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .
1.定理 3
对任意的三个正数 a,b,c,有 a3+b3+c3≥ 3abc,
当且仅当___________时,等号成立.
2.定理 4
对任意的三个正数 a,b,c,有a+b+c
3≥
3abc,
当且仅当___________时,等号成立,用文字语言可叙述
为:三个正数的 ___不小于它们的 ___ .
a= b= c
算术平均数 几何平均数a= b= c
题型一:利用平均值不等式证明不等式
.9≥))((
,,1
abccabcabcba
cba
++++
都是正数,求证::已知例
例 某农场要用 36 m 的篱笆围成一个矩形 菜园,怎样设计才能使菜园的面积最大?
X
结论 1 :两个正数和为定值,则积有最大值
题型二:利用平均值不等式求最值
例 某农场主想用篱笆围成一个 100 平方米的矩形农场,怎样设计才能使所用篱笆最省呢?
结论 2 :两个正数积为定值,则和有最小值
X
题型二:利用平均值不等式求最值
最值定理:若 x、 y皆为正数,则( 1)当 x+y的值是常数 S时,当且仅当 x=y时, xy
有最 大值 _______;( 2)当 xy的值是常数 P时,当且仅当 x=y时, x+y有最 小值 _______.
注意:①各项皆为正数; ② 和为定值或积为定值; ③ 注意等号成立的条件 .
214S
2 P
一“正”二“定”三“相等”
和定积最大,积定和最小注:应用基本不等式关键是配凑和一定或积一定
1.m , n 都是正数,且 2m+n=3 ,求mn 的最大值 .
2. 设 x , y 为正数,且 2x+5y=20 ,求 u=lgx+lgy 的最大值 .
题型二:和定积最大
题型二:和定积最大
最大值是多少?的值最大?-取什么值时,当)已知(
最大值是多少?的值最大?-取什么值时,当)已知(
)29(,5.405
)3(,204
2 xxxx
xxxx
<<
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?的最小值为?此时则若 =+=> xx
xxfx12
3)(,0)1(
.3
1,3)3( 的最小值求函数若
x
xyx
?的最大值为?此时则若 xx
xxfx1
)(,0)2(
题型二:利用平均值不等式求最值