第五十二讲
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吉林大学远程教育. 大学文科数学. (微积分学). 第五十二讲. 主讲: 杨荣 副教授. y. A. x = 5 y 2. x = 1+ y 2. o. 1. x. B. 习题课. 内容提要. 利用定积分可以计算一些几何量和物理量,例如平面图形的面积,旋转体的体积、平面曲线的弧长、引力、水压力和变力作功等。. 典型例题 :. 例1 求曲线 x = 5 y 2 与 x = 1+ y 2 所围成图形的面积. 分析 首先作出两条曲线 的图形,并求出它们的交点坐 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
习题课
典型例题:
利用定积分可以计算一些几何量和物理量,例如平面图形的面积,旋转体的体积、平面曲线的弧长、引力、水压力和变力作功等。
内容提要
分析 首先作出两条曲线
的图形,并求出它们的交点坐标。根据图形,确定自变量及其取值区间,利用定积分求出图形的面积。
例 1 求曲线 x = 5y2 与 x = 1 + y2 所围成图形的面积 .
为了求出两条曲线的交点的坐标,可解方程组
y
xo
x = 1 +y2
x = 5y2
1
2
1 A
B
)2
1,
4
5(
)2
1,
4
5(
2
2
1
5
yx
yx
3
2)
3
4(2]5)1[(2
2
1
0
32
1
0
22 yydyyyS
分析 首先求出曲线 y = lnx 在点 (1, 0) 处的切线方程。切线斜率为
解得交点 A 及 B 的坐标分别为 及 。把它们标记在图中。
图形关于 x 轴是对称的,因此只需算出 x 轴上方图形(阴影部分)面
积。
容易看出以 y 作为积分变量是方便的。 y 的取值区间是 ,因此所
求
面积为
)2
1,
4
5( )
2
1,
4
5(
]2
1,0[
例 2 求由曲线 y = lnx 、该曲线在点 (1, 0) 处的切线及直线 x =e 所围
成的图形的面积。
11
11
x
x xy
例 3 求曲线 的一条切线 l ,使该曲线与切线 l 及二直线
x = 0 , x = 2 所围成的图形面积最小。
xy
切线过点 (1, 0) ,切线方程为1xy
阴影部分就是三条曲线所围成的图形,其面积为
dxxxSe
]ln)1[(1
ee
xxxx11
2 )ln()1(2
1
)12(2
1 2 ee
y
xoy=lnx
y = x -11
e
-1
1 2 3
分析 首先要确定曲线 上一点 处切线的斜率xy ),( tt
txy
txtx 2
1
2
1
则可求得曲线在点 处的切线的方程),( tt
)(2
1tx
tty
即
22
t
t
xy
再求出题设曲线所围成图形的面积
dxxt
t
xtS ])
22[()(
2
0
3
241
3
2
22
4
12
0
2
32
0
2
0
tt
xxt
xt
再求的最小值点。为此,令
0
2
1
2
1
2
1)(
2
3
2
3
t
t
tt
tS
得 t = 1 。由于
分析 此参数方程所确定的图形是椭圆。由图形的对称性,图形的面积
0
2
20
2
2
0sin32)cos2(sin444 tdtxtdydxS
02
1)1(,
4
1
4
3)( 2
3
2
5
StttS
所以 t = 1 时 S (t) 为最小。最后定出所求切线 l 的方程为
2
1
2
1 xy
例 4 求曲线
)20(sin4
cos2
tty
tx
所围成图形的面积。
解 由星形线图形的对称性,它围成的面积为
例 5 求由星形线
2
0
2320
2
33
0sincossin12)cos(sin44
tdtttatatdaydxSa
822
132sin32 2
0
2 tdt
注意:将 x 及 y 的参数表达式代入面积表达式,相当于作变量代
换 x = 2cost , y = 4sint 。当 x = 0 时, t = ;当 x = 2 时, t
= 0 。这一点不要搞错。
2
)20(sin
cos3
3
ttay
tax
所围成图形的面积。
)sinsin(12)sin1(sin12 2
0
62
0
422
0
242
tdttdtadttta
分析 解方程组
]2cos2
1)sin2(
2
1[2 4
6
6
0
2
ddS
22
8
3)
22
1
4
3
6
5
22
1
4
3(12 aa
例 6 求圆 与双纽线 公共部分的面积。sin2r 2cos2 r
2cos
sin22r
r
得 . 由右图,可得6
)]3
sin2
(sin4
1)2sin
4
1
2[(2]2sin
4
1
2
2cos1[2
6
0
4
6
6
0
d
2
1
2
3
6)
8
3
4
1
8
3
12(2
sin2r
2cos2 r
xy xy
2
o
y
x1
)( 000 xxeey xx
例 6 求位于曲线 下方以及该曲线过原点的切线的左方与轴上方之间的图形的面积(如右图所示)。
xey
0
0
x
xxey
切线方程为
exy
分析 曲线 上一点 处切线斜率为
xey ),( 00
xex
由于切线过原点 o(0, 0) ,得 00
0xx exe
于是 x0 = 1. 切点为 (1, e) ,切线方程为
所求面积
xey
o x1
1
2
e
y
分析 如右图所示,所求旋转体的体积 V 等于 x = y2(0≤y≤1) 曲线绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的
体
积 V1 与曲线 y = x2(0≤x≤1) 绕 x 轴旋
转一周所生成的旋转体的体积 V2 之差。
1
0
221
0)(21 dxxxdxVVV
221
2
1 11 eeeedxeS xx
例 8 求由曲线 及 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。
2xy 2yx
解 我们有
10
3
52
1
0
51
0
2 xx
o 1 x
y
1
y=x2
x=y2
3
1
23)(
1
0
2 ba
dxbxax
例 9 设抛物线 y = ax2 + bx + c 过原点,当 0≤ x≤ 1 时, y≥ 0.
已知该抛物线与 x 轴及直线 x = 1 所围成的图形的面积为 ,确定 a, b,
c ,
使此图形绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积 V 最小。
3
1
解 因为抛物线 y = ax2 + bx + c 过原点 o(0, 0) ,所以 c = 0 .
)1(3
2ab
分析 这是一道综合题。利用抛物线过原点的条件,可知 c = 0 。算出曲边梯形的面积并令它等于 . 求出旋转体的体积 V 的表达式,将
V
对 a 求导数并令它等于零,即可求得 a 和 b 。
3
1
抛物线与 x 轴及直线 x = 1 围成的面积
可得
0135
4
4
52
2
ada
Vd
上述图形绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积
将对求导数并令其等于零,得
得 代入上式,得)1(3
2ab
1
0
2 )( dxbxaxV
)325
()2(221
0
22342 babadxxbabxxa
])1(27
4)(
3
1
5[ 22
2
aaaa
V
0)27
1
275
4()]1(
27
8)21(
3
1
5
2[
aaaa
da
dV
解得 . 由于4
5a
0135
4
4
52
2
ada
Vd
将对求导数并令其等于零,得
综合上述讨论可知,当 时,旋转体的体积为 最小。
0,2
3,
4
5 cba
2
3)
4
51(
3
2b
])1(27
4)(
3
1
5[ 22
2
aaaa
V
0)27
1
275
4()]1(
27
8)21(
3
1
5
2[
aaaa
da
dV
解得 . 由于4
5a
所以当 时, V 取最小值。此时4
5a
例 10 求圆域 x2 + (y - 5)2 ≤ 16 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的
体积。 分析 所求体积 V 等于上半圆周 绕 x
轴旋转一周所生成的旋转体的体积
V1 与下半周
绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体的体
积 V2 之差。注意到
)44(165 2 xxy
)44(165 2 xxy
22222 1620)165()165( xxx
以及上面的函数是偶函数,将会使计算得到简化。
解 我们有
o 4 x- 4
5
y2165 xy
2165 xy
例 11 求抛物线 y2 = 2 x( 0≤ x ≤2) 的长度。
分析 可把 y 作为自变量,则抛物线方程为
22,2
2
yy
x
2
0
24
0
2 cos4sin1616401640
tdttdxxV
22
0160
22
1640cos640
tdt
4
4
224
4
2221 )165()165( dxxdxxVVV
4
0
24
4
2 16401620 dxxdxx
令 x = 4sint ,则 dx = 4cost dt. 当 x = 0 时, t = 0 ;当 x = 4 时, t = .
因此
2
这里要注意抛物线 y2 = 2x 以 x 轴为对称轴, y 的取值范围是闭区间[ - 2, 2].
2
0
22
2
22
2
2 121)(1 dyydyydyxs
解 抛物线 y2 = 2 x( 0≤ x ≤2) 的长度为
2
0
22 )]1ln(2
11
2[2 yyy
y
)52ln(52)]52ln(2
15[2