ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี...

41

Upload: keziah

Post on 10-Jan-2016

298 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior). ลิมิตซูพีเรียร์. พิจารณาเมื่อ มีขอบเขตบน และเมื่อ ไม่มีขอบเขตบน. กรณีที่ มีขอบเขตบน จะมีจำนวนจริง M ที่ s n  M, ทุก n . - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)
Page 2: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

กรณี�ที่�� มี�ขอบเขตบน จะมี�จ��นวนจร�ง M ที่�� sn M, ที่�ก n

1nn}s{

พิ�จ�รณี�เมี��อ มี�ขอบเขตบน และเมี��อ ไมี�มี�ขอบเขตบน

1nn}s{

1nn}s{

Page 3: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

สำ��หร�บแต�ละ n ก��หนดเซต { sn, sn+1, sn+2, … } เช่�น

n = 1 ได# { s1, s2, s3, … } n = 2 ได# { s2, s3, s4, … }

เป็%นต#นซ&�งแต�ละเซตเป็%นเซตที่��มี�ขอบเขตบนให# Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } เน��องจ�ก { sn, sn+1, sn+2, … }

{ sn+1, sn+2, sn+3, … }ที่��ให# Mn Mn+1 ที่�ก n

ด�งน�(น เป็%นล��ด�บไมี�เพิ��มีล��ด�บไมี�เพิ��มีอ�จเป็%นล��ด�บที่��ล)�เข#� หร�อล��ด�บที่��

ล)�ออกสำ)� – อย่��งใดอย่��งหน&�ง

1nn}M{

Page 4: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

บทนิ�ยาม 3.5.1 ให# เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งที่��มี�ขอบเขตบน และMn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ลิ�ม�ตซู�พี เรี ยรี�ของลิ�าดั�บ แที่นด#วย่ sup sn

1nn}s{

nlim

ถ้#� เป็%นล��ด�บล)�เข#� แล#วให# sup sn = Mn

ถ้#� เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)� – แล#วให# sup sn = –

1nn}M{

nlim

nlim

1nn}M{

nlim

Page 5: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 1 =

เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 1 ที่�ก n

เป็%นล��ด�บล)�เข#�

sup sn = Mn = 1

1nn}s{

1nn})1({

1nn}s{

1nn}M{

nlim

nlim

Page 6: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย่��ง 2 คื�อ 1, –2, , - 4 , , -6

เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

และล��ด�บ คื�อ 1, , , , , , ,...ซ&�งล)�เข#�

ด�งน�(น sup sn = Mn = 0

1nn}s{

31

51

1nn}s{

1nn}M{ 3

131

51

51

71

71

nlim

nlim

Page 7: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 3 คื�อ –1, –2, –3, –4, –5, …

เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –n , n

เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)� –

sup sn = –

1nn}s{

1nn}s{

1nn}M{

nlim

Page 8: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

บทนิ�ยาม 3.5.2 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งที่��ไมี�มี�ขอบเขตบน แล#วให# sup sn =

1nn}s{

nlim

ต�วอย�าง 4 คื�อ 1, 2, 1, 4, 1, 6, …

เป็%นล��ด�บที่��ไมี�มี�ขอบเขตบน

ด�งน�(น sup sn =

1nn}s{

1nn}s{

nlim

Page 9: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

9

ทฤษฎี บท 3.5.3 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งและเป็%นล��ด�บล)�เข#� แล#ว sup sn = sn

1nn}s{

nlim

nlim

การีพี�สู�จนิ� ให# sn = L

สำ��หร�บ > 0 จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k ที่��ที่��ให#

| sn – L | < , n k L – < sn < L + , n kสำ��หร�บ n k จะมี� L + เป็%นขอบเขตบนของเซต { sn, sn+1, sn+2, … } แต� L – ไมี�เป็%นขอบเขตบนของเซต { sn, sn+1, sn+2, … }

nlim

Page 10: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

L – < Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } L + , n k

{ Mn } เป็%นล��ด�บไมี�เพิ��มีที่��ล)�เข#� และโดย่บที่แที่รก 3.4.4

ที่��ให# L – Mn L +

L – sup sn L +

เน��องจ�ก เป็%นจ��นวนจร�งบวกใดๆ

ด�งน�(นย่�อมีได#ว�� sup sn = L

1n

nlim

nlim

nlim

Page 11: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

บทนิ�ยาม 3.5.4 ให# เป็%นล��ด�บของจ��นวนจร�งที่��มี�ขอบเขตล��ง และ mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ลิ�ม�ตอ�นิฟี!เรี ยรี� แที่นด#วย่ inf sn

1nn}s{

nlim

1. ถ้#� เป็%นล��ด�บล)�เข#� แล#วให# inf sn = mn1nn}m{

nlim

nlim

2 . ถ้#� เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)� แล#วให# inf sn = 1nn}m{

nlim

Page 12: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

บทนิ�ยาม 3.5.5 ให# เป็%นล��ด�บของจ��นวนจร�งที่��ไมี�มี�ขอบเขตล��ง แล#วให# inf sn = –

1nn}s{

nlim

1nn}s{

1nn})1({

ต�วอย�าง 5 =

เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตล��ง

mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –1 ที่�ก n เป็%นล��ด�บล)�เข#�

inf sn = mn = –1

1nn}s{

1nn}m{

nlim

nlim

Page 13: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 6 คื�อ 2, 4, 6, 8, 10, …1nn}s{

1nn}s{ เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขตล��ง

mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 2n , n

1nn}m{ เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)�

ด�งน�(น nliminf sn =

Page 14: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 7 1nn}s{ คื�อ 1, –2 , 1, –4, 1, –6, …

1nn}s{ เป็%นล��ด�บที่��ไมี�มี�ขอบเขต

ล��ง

ด�งน�(น nliminf sn = –

Page 15: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�วอย�าง 8 1nn}s{

1n

n}n

)1({ =

1nn}s{ เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขต

nlimsup sn = n

limMn = 0

nliminf sn = n

limmn = 0

Page 16: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.6 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งที่��ล)�เข#� แล#ว inf sn = sn

1nn}s{

nlim

nlim

ทฤษฎี บท 3.5.7 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง แล#ว inf sn = supn

1nn}s{

nlim

nlim

Page 17: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

การีพี�สู�จนิ� (1) ถ้#� มี�ขอบเขต1nn}s{

mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = Mn

nlimmn n

limMn ด�งน�(น nliminf sn n

limsup sn

(2) ถ้#� ไมี�มี�ขอบเขต1nn}s{

ด�งน�(น nlimsup sn = หร�อ n

liminf sn = –

จ�ก (1), (2) น��นคื�อ nliminf sn n

limsup sn

Page 18: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.8 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง sup sn = inf sn

= L และ L แล#ว

เป็%นล��ด�บล)�เข#� และ sn = L

1nn}s{

nlim

nlim

1nn}s{

nlim

การีพี�สู�จนิ� ให# > 0 เน��องจ�ก L = sup sn

= l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

nlim

nlim

Page 19: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k1 ที่��ที่��ให#| l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | < ,

n k1

l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } < L + , n k1

ที่��ให# sn < L + , n k1 เน��องจ�ก L =

=

nliminf sn

nlimg.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

Page 20: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k2 ที่��ที่��ให# | g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | < , n

k2

L – < g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n k2

ที่��ให# L – < sn , n k2

ให# k = max { k1, k2 } ที่��ให# L – < sn < L + , n k

ด�งน�(น | sn – L | < , n k

น��นคื�อ sn = L

nlim

Page 21: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

21

ทฤษฎี บท 3.5.9 ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และ sup sn = = inf sn แล#วล��ด�บ

เป็%นล��ด�บล)�ออกสำ)�บวกอน�นต0

1nn}s{

nlim

nlim 1nn}s{

การีพี�สู�จนิ� ให# M > 0เน��องจ�ก n

liminf sn = จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k ซ&�งที่��ให# g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } > M , n k

sn g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n k

ด�งน�(น sn > M , n kน�(นคื�อ ล)�บวกออกสำ)�อน�นต0

nlim

Page 22: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.10 ถ้#� และ เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และเป็%นล��ด�บ ที่��มี�ขอบเขต ถ้#� sn tn , n แล#ว

1( ) sup sn sup tn

2( ) inf sn inf tn

1nn}s{

1nn}t{

nlim

nlim

nlim

nlim

Page 23: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

การีพี�สู�จนิ� เน��องจ�ก sn tn , n Mn = l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = Mn

และ 1nn }M{

1nn }M{ เป็%นล��ด�บไมี�เพิ��มีที่��ล)�เข#� และจ�กที่ฤษฎี�บที่ 3.4.4

ด�งน�(น sup sn sup tn

nlim

nlim

Page 24: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } g.l.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = mn

และ เป็%นล��ด�บไมี�ลดที่��ล)�เข#� และจ�กที่ฤษฎี�บที่ 3.4.4

ด�งน�(น inf sn inf tn

1nn }m{

1nn }m{

nlim

nlim

Page 25: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.11 ถ้#� และ เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และเป็%นล��ด�บ ที่��มี�ขอบเขต แล#ว

1( ) sup ( sn + tn ) sup sn + sup tn

2( ) inf ( sn + tn ) inf sn + inf tn

1nn}s{

1nn}t{

nlim

nlim

nlim

nlim

nlim

nlim

Page 26: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

การีพี�สู�จนิ� (1) เน��องจ�ก และ เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขต

ให# Mn = l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } sk Mn ( k n ) Pn = l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } tk Pn ( k n ) พิ�จ�รณี� ผลบวกของล��ด�บ ก�บ

1nn}s{

1nn}t{

1nn}s{

1nn}t{

Page 27: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

จะได#ว�� sk + tk Mn + Pn ( k n )ด�งน�(น Mn + Pn เป็%นขอบเขตบนของ { sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } โดย่ที่ฤษฎี�บที่ 3.4.4 และที่ฤษฎี�บที่ 3.4.1 l.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } Mn + Pn

nlim

nliml.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } (Mn + Pn)

น�(นคื�อ sup ( sn + tn ) sup sn + sup tn

สำ��หร�บก�รพิ�สำ)จน0 (2) สำ�มี�รถ้ที่��ได#ในที่��นองเด�ย่วก�นก�บ (1)

nlim

nlim= Mn + Pn

nlim

nlim

nlim

Page 28: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.12 ให# เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และเป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขต ถ้#� sup sn = M แล#วสำ��หร�บ > 0

1( ) sn < M + สำ��หร�บที่�กคื��ของ n ย่กเว#นเพิ�ย่งบ�งคื�� มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ด

2( ) sn > M – สำ��หร�บ n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

1nn}s{

nlim

Page 29: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

การีพี�สู�จนิ�

(1) สำมีมีต�ข#อคืว�มี (1) ไมี�จร�งจะมี� > 0 ที่��ที่��ให# sn M + สำ��หร�บ

n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0ด�งน�(นแต�ละ n , จะมี� sk { sn, sn+1,

sn+2, … } ซ&�ง sk M + ที่��ให# l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

M + , n l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ( M + )

sup sn M +

nlim

nlim

nlim

Page 30: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ที่��ให# M M + เก�ดก�รข�ดแย่#ง น��นคื�อ ที่�ก > 0 , sn < M +

สำ��หร�บที่�กคื��ของ n ย่กเว#นเพิ�ย่งบ�งคื�� และมี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ด

Page 31: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

(2) สำมีมีต�ข#อคืว�มี (2) ไมี�จร�งจะมี� > 0 ที่��ที่��ให# sn > M – สำ��หร�บ

n บ�งคื��มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ดที่��ให#มี�จ��นวนเต-มีบวก k ซ&�ง sn M –

, n kด�งน�(น M – เป็%นขอบเขตบนของ { sn,

sn+1, sn+2, … } , n k และ l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } M – sup sn M – ที่��ให# M M – เก�ดก�รข�ดแย่#ง

น��นคื�อ ที่�ก > 0 , sn > M – สำ��หร�บคื��ของ n มี�จ��นวนเป็%นอน�นต0

nlim

Page 32: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.13 ให# เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง ที่��มี�ขอบเขตถ้#� inf sn = m แล#วสำ��หร�บ > 0

1( ) sn > m – สำ��หร�บที่�กคื��ของ n ย่กเว#นเพิ�ย่งบ�งคื�� มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ด 2( ) sn < m + สำ��หร�บ n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

1nn}s{

nlim

Page 33: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

nlim

การีพี�สู�จนิ� (1) สำมีมีต�ข#อคืว�มี (1) ไมี�จร�งจะมี� > 0 ที่��ที่��ให# sn m – สำ��หร�บ n

มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0ด�งน�(น สำ��หร�บแต�ละ n, จะมี� sk { sn, sn+1,

sn+2, … } ซ&�ง sk m – ที่��ให# g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }

m – , n g.l.b. { sn, sn+1, sn+2,

… } ( m – )

inf sn m –

m m – เก�ดก�รข�ดแย่#ง น��นคื�อที่�ก > 0 , sn > m – สำ��หร�บที่�กคื��ของ n อ�จย่กเว#น

เพิ�ย่งบ�งคื��มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ด

nlim

nlim

Page 34: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

(2) สำมีมีต�ข#อคืว�มี (2) ไมี�จร�งจะมี� > 0 ที่��ที่��ให# sn < m + สำ��หร�บ n

บ�งคื��มี�เป็%นจ��นวนจ��ก�ดที่��ให#มี�จ��นวนเต-มีบวก k ซ&�ง sn m + ,

n kด�งน�(น m + เป็%นขอบเขตล��งของ { sn,

sn+1, sn+2, … } , n kและ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } m +

inf sn

m + m

m + เก�ดัการีข�ดัแย#ง น��นคื�อที่�ก > 0 , sn < m + สำ��หร�บ

n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

nlim

Page 35: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.14 ทฤษฎี บทโบลิซูาโนิ–ไวแยรี�สูตรีาสูสู� สู�าหรี�บลิ�าดั�บ

(The Bolzano–Weierstrass Theorem for Sequence)

ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�งที่��มี�ขอบเขต แล#วจะมี�ล��ด�บย่�อย่ที่��เป็%นล��ด�บล)�เข#�

การีพี�สู�จนิ� เน��องจ�ก เป็%นล��ด�บที่��มี�ขอบเขต

ให# sup sn = M

สำร#�งล��ด�บย่�อย่ ของล��ด�บ

1nn}s{

1nn}s{

nlim

1nn}s{

1iin}s{

Page 36: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

โดย่ที่ฤษฎี�บที่ 3.5.12 (2) จะได#ว�� sn > M – 1 สำ��หร�บ n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

ให# n1 ที่�� > M – 1

และ sn > M – สำ��หร�บ n มี�เป็%นจ��นวนอน�นต0

ให# n2 โดย่ที่�� n1 < n2 และ > M –

พิจน0ต�อๆไป็ของ สำร#�งในที่��นองเด�ย่วก�น

โดย่ที่��พิจน0ที่�� i ของล��ด�บย่�อย่น�(น ni > ni–1 และ

1ns

21

2ns 21

1nn}s{

ins> M –i1 .....

()

Page 37: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ต�อไป็จะแสำดงว��ล��ด�บย่�อย่ ล)�เข#�1iin

}s{ให# > 0 โดย่ที่ฤษฎี�บที่ 3.5.12 (1) จะ

ได#ว�� sn < M + สำ��หร�บที่�กคื�� n ย่กเว#นเพิ�ย่งบ�งคื��เป็%นจ��นวนจ��ก�ดด�งน�(นจะมี� k ที่��ที่��ให# sn < M +

, n kเล�อก k ซ&�ง k

1< และ nk > k ที่��ให#

kns< M + .....()

Page 38: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

สำ��หร�บ i k จะได#ว�� i1< และ ni >

kจ�ก () และ () จะได#ว�� M – < M – <i

1ins< M + , i k

ins|– M | < , i k

น��นคื�อ 1nin }s{ เป็%นล��ด�บล)�เข#�สำ)� M

Page 39: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

ทฤษฎี บท 3.5.15 ให# F เป็%นเซตย่�อย่ของเซตจ��นวนจร�ง F เป็%นเซตป็5ด ก-ต�อเมี��อ ถ้#� เป็%นล��ด�บจ��นวนจร�ง และเป็%นล��ด�บล)�เข#� ที่�� xnF สำ��หร�บที่�ก n แล#ว xn เป็%นสำมี�ช่�กของ F

1nn}x{

nlim

การีพี�สู�จนิ�( ) เน��องจ�ก เป็%นล��ด�บล)�เข#� ให# xn = x

จะแสำดงว�� xFสำมีมีต� xF ด�งน�(น xFเน��องจ�ก F เป็%นเซตเป็5ด จะมี� > 0 ซ&�งที่��ให#

( x – , x + ) F

1nn}x{

nlim

Page 40: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

เน��องจ�ก x = xn จะมี�จ��นวนเต-มีบวก k ซ&�ง| xn – x | < สำ��หร�บ n k ด�งน�(น xnF

เก�ดก�รข�ดแย่#งเพิร�ะ xnF สำ��หร�บที่�ก nด�งน�(น xF

nlim

Page 41: ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior)

( ) สำมีมีต� F ไมี�ใช่�เซตป็5ด ด�งน�(น F ไมี�ใช่�เซตเป็5ด

จ&งมี� y0F สำ��หร�บแต�ละ n สำร#�งล��ด�บ โดย่ ynF ซ&�ง | yn – y0 | <

1nn}y{

n1

1nn}y{เป็%นล��ด�บใน F ที่�� yn = y0F

เก�ดก�รข�ดแย่#ง

ด�งน�(น F เป็%นเซตป็5ด

nlim