56tk2 dinamika - mdof

7/31/2019 56TK2 Dinamika - MDOF

1/18

Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko Salati 1

4. SISTEMI SA VIE STEPENI SLOBODE

4.1 Uvod

Umesto sistema sa kontinualno rasporeenom masom, razmatraju se sistemi sa diskretno

rasporeenom masom. Na taj na

in, u matemati

kim razmatranjima diferencijalne i integralnejednaine zamenjene su algebarskim jednainama.

Za reavanje problema dinamikih sistema potrebno je poznavanje poloaja masa sistema u svakomtrenutku vremena. Nezavisni parametri pomou kojih su u svakom trenutku vremena odreenipoloaji masa sistema predstavljaju stepene slobode dinamikog sistema.

Masa u ravni je odreena sa tri parametra pomeranja: dve translacije i jedna rotacija, dok je masa uprostoru definisana sa est paramera pomeranja: tri translacije i tri rotacije.

Broj ukupnih parametara pomeranja dinamikog sistema moe smanjiti usvajanjem odreenihpretpostavki, i to pre svega:

Pretpostavka zanemarivanja pomeranja koja su mala u odnosu na ostala (posledicapretpostavke zanemarenja aksijalnih deformacija)

Pretpostavka ta

kaste mase

Slika 4.1: Dominantna pomeranja pri oscilacijama

Slika 4.2: Uticaj pretpostavke na broj stepeni slobode sistema

Takasta masa Pretpostavlja se da je jedna taka je nosilac mase. Kod ovakve masezanemaruje se rotacija mase. Uvoenjem pojma takaste mase smanjuje se ukupan broj stepenislobode za broj razmatranih rotacija.

Dinamika reetka sistema -Formira se tako to se na mestima svih vorova, ukljetenja imasa nosaa postave zglobovi.

Broj stepeni slobode pomeranja dinamikog sistema - Broj stepeni slobode pomeranjadinamikog sistema odreen je brojem moguih nezavisnih pomeranja i obrtanja koncentrisanih


2/18

2 Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko Salatimasa sistema. Predstavlja broj parametara koji odreuju poloaj svih masa u svakom trenutkuvremena (kretanje masa sistema). Ako je poznato kretanje masa sistema, mogu se odrediti i sveinercijalne sile jednog dinamikog sistema.

Odreen je minimalnim brojem prostih elemenata (veza) koje treba dodati dinamikoj reetkisistema, da bi se spreilo pomeranje svih vorova u kojima se nalaze koncentrisane mase.

Slika 4.3: Odreivanje broja stepeni slobode kod ramovskog i grednog sistema

Slika 4.4: Odreivanje broja stepeni slobode

Primeri za vebanje

Odrediti broj stepeni slobode dinamikog sistema, pretpostavljajui da je zanemarena aksijalnadeformacija tapova.

prosti element

prosti element


3/18


4.2. Slobodne nepriguene oscilacije

Diferencijalne jednaine kretanja

Razmatra se sistem sa n stepeni slobode, koji oscilujeslobodnim nepriguenim oscilacijama, a kretanje masasistema odreeno je parametrima

, 1, 2, , .

Na svaku masu deluju odgovarajue restitucione i inercijalne sile 1 0 1, 2, , 2 1, 2, , 1 3 1, 2, , 4 1, 2, , Slika 4.5: Sistem sa vie stepeni slobodePa su dobijene diferencijalne jednaine kretanjasistema sa n stepeni slobode:

5 0 1,2, , ili matrino:1 2

5

6

Reenje problema slobodnih nepriguenih oscilacija

Ako vai pretpostavka sinhronih i sinfaznih oscilacija harmonijskog tipa, da su sve frekvencije i

fazni uglovi oscilovanja masa jednaki), reenje diferencijalnih jednaina dobija se u obliku:7 sin 1, 2, , Pa je drugi izvod po vremenu: sin 1, 2, ,

5, 7

0 1, 2, ,

Odnosno u matrinom obliku i usvavajui da je sin 1 : Odnosno: 1 Gde su: vektor oblika oscilovanja


4/18

4 Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko Salati

0 0

matrica masa sistema

matrica fleksibilnosti sistema

1 0 1 0 1

jedinina matrica

Dobijen je homogen sistem algebarskih jednaina. Uslov za netrivijalno reenje sistema je:

det 1 Iz prethodne jednaine koja se zove karakteristina jednaina sistema (jednaina iz koje se odreujusvojstvene vrednosti), a u dinamici konstrukcija frekventna jednaina sistema, iz koje seodreuju krune frekvencije (spektar frekvencija, ureena -torka): , , , Pri emu je , Ako se razmatranja sprovode preko matrice krutosti ( ), dobija se:

det Dinamika matrica - Dinamika matrica je matrica odreena proizvodom matrice fleksibilnosti i

matrice masa: Frekventna jednaina sistema sa vie stepeni slobode Jednaina ija reenja

predstavljaju krune frekvencije sistema.

det 1

, , ,

Sinhrone i sinfazne oscilacije - Sve mase osciluju istom frekvencom i istim faznim uglom. (Svemase e istovremeno prolaziti kroz ravnoteni poloaj).

Forma (oblik) oscilovanja Poloaj masa pri slobodnom kretanja sistema odreuju formuoscilovanja sistema.

Glavna forma (oblik) oscilovanjar Forma oscilovanja kada sve mase osciluju samo jednomkrunom frekvencijom iz spektra frekvencija.

Svojstvo ortogonalnosti oblika oscilovanja Glavne forme oscilovanja imaju svojstvoortogonalnosti u odnosu na matricu masa:


5/18


Primer 4.1

Odrediti krune frekvencije slobodnih oscilacija proste grede sa jednom, dve i tri koncentrisane mase.Ukupna masa grede je , odnosno raspodeljene mase . Dobijene rezultate uporediti satanim vrednostima dobijenim za sluaj kontinualno rasporeene mase.

Reenje:

Kontinualno rasporeene mase

9.8696 4 39.4784

9 88.8264 Diskretno rasporeene mase

a) Jedna koncentrisana masa 24

4 1 0 9.7980

Greka=0.73%


6/18

6 Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko Salatib) Dve koncentrisane mase

det 1 8486 7486 486 3 1det 8 77 8 01 51 0 15 1 . Greka=0.11%

. Greka=3.28%

Drugi nain

Simetrine oscilacije Antimetrine oscilacije

5 162 486 9.8590 38.1838 c) Tri koncentrisane mase

Simetrine oscilacije

48 5.5

192

24 8192 14 1 8 4 8 1

2 4 5.52 4 8 18 1192 0 16 3.5 0 15.7782 0.2218


7/18


9.8666 0.03% 83.2168 6.32%Antimetrine oscilacije

. Greka=0.73%Analiza greaka

(%) jedna masa dve mase tri mase Tana vrednost1 0.73% 0.11% 0.03% 9.86962 - 3.28% 0.73% 39.47843 - - 6.32% 88.8264

Primer 4.2

Odrediti krunu frekvenciju sistema.

Prvi nain:

16.6666 1 0.2449 Drugi nain:

6.0 8.0 10.66666.0 1 8.0 8.0

10.6666

1

0

6.0 8.08.0 10.6666 0 16.6666 0 0 16.6666 0.2449


8/18

8 Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko SalatiPrimer 4.3

Odrediti sve krune frekvencije i glavne oblike oscilovanja sistema.Proveriti ortogonalnost glavnih oblika oscilovanja.

1

1 00 1

12.31 14.01 31.87 1.512.31 2.514.011.514.01 2.531.87 0 98.14 735.1485 0 89.9689 8.1711 14.9097 49.4737


9/18


Odreivanje glavnih oblika oscilovanja

1A A 0A 1

A 0

Prvi glavni oblik oscilovanja 14.909771.5039A 35.025A 021.015A 10.2939A 0 1.0 2.0415 1.02.0415Drugi glavni oblik oscilovanja 49.4737

10.2939A 35.025A 021.015A 71.5039A 0 1.0 3.4025 3.40251.0

Provera ortogonalnosti glavnih oblika oscilovanja:

1.5 1.0 3.4025 2.5 2.4015 1.0 0.04.3Prinudne nepriguene oscilacije

Prinudne sile su harmonijske, sinhrone i sinfaznefunkcije, pa se pretpostavlja da su i osilacije susinhrone i sinfazne.

1 1, 2, ,

2 1, 2, ,

3 1, 2, , 3n jednaina sa 3n nepoznatih

Pretpostavlja se reenje u obliku:

sin 1, 2, , Slika 4.6: Sistem sa vie stepeni slobode i prinudnim silama


10/18

10 Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko SalatiPa je:

sin 1, 2, , 1 2, 3

Ako se uvede oznaka , tako da je: sinSledi sistem algebarskih jednaina

sin 0

1 Pa se uticaji u konstrukciji dobijaju superpozicijom uticaja usled inercijalnih sila i prinudne sile:


11/18


Primer 4.4

Metodom inercijalnih sila odrediti dijagram dinamikih momenata.

Podaci: 0.1 ;

0.1231 0.0470 0.1580 0.1 0.0047 0.1 0.0158

0.1231 1 0.04700.0470

0.1580

12

0.00470.0158

0.1231 1 0.04700.0470 0.1580 1 2 0.00470.0158 0.0079 0.0473

0.0079 0.0473

Primer 4.5

Metodom inercijalnih sila odrediti dijagram dinamikih momenataako je kruna frekvencija prinudne sile 0.5 .Prvi nain (ceo nosa)

36.0 1 36 16 0.5 112 36.0 1 36 144 36 0 3


12/18

12 Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko Salati 3.0 3.0 4.0

Drugi nain (polovina nosaa)

72.0

36.0 12

72 1442 36 0

6

3.0 6.0 6 4.0

Primer 4.6

Primenjujui postupak sa inercijalnim silama, odrediti i nacrtati dijagram spektra odgovora S, zazadato dimamiko optereenje. Dijagram odrediti u diskretnim takama za vrednosti 0.0; 0.5; 1.0; 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 3.5; 4.0; 5.0

3 416.67 1 2.4 10 2.4 10


13/18


1 0Kruna frekvencija 0.0

1

|| 0Kruna frekvencija 0.5 416.670.5 1667.67 1 2.25 10 1.06667 || |1.06667 1| 0.16 10Kruna frekvencija 1.0 416.671.0 416.67 1 1.8 10 1.3333 || |1.3333 1| 0.8 10

i ||1 0.0 0.0000xFo

2 0.5 0.1600xFo

3 1.0 0.8000xFo

4 1.5 3.0857xFo

5 2.0

6 2.5 6.6667xFo

7 3.0 4.3200xFo

8 3.5 3.5636xFo

9 4.0 3.2000xFo

10 4.5 2.9908xFo

11 5.0 2.8571xFo


14/18

14 Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko SalatiPrimer 4.7

Analiza dinamikih sistema

4.4 Modalna analiza

Sistem simultanih diferencijalnih jednaina, koji definie dinamiko ponaanje diskretnog sistema savie stepeni slobode, moe se transformisati u sistem meusobno nezavisnih diferencijalnih jednainaprimenom modalne analize.

Svaka od dobijenih nezavisnih jednaina se reava zasebno, a superpozicija reenja tih jednaina dajedinamiki odgovor sistema.Matrina jednaina dinamike ravnotee za diskretni dinamiki priguen sistem sa stepeni slobodeglasi: 1 ,gde su:

,,

matrica masa, matrica priguenja i matrica krutosti,

, , vektor ubrzanja, vektor brzine i vektor pomeranja vorova,, vektor spoljanjeg optereenja.Pretpostavlja se da se vektor optereenja moe predstaviti proizvodom , g , gde je: vektor optereenja koji odreuje distribuciju sila,g funkcija koja definie zavisnost sila od vremena.Vektor pomeranja izrazie se u obliku linearne kombinacije oblik svojstvenih formi oscilacija, tj. uobliku linearne kombinacije amplituda pomeranja pri pojedinim tonovima:


15/18


2 , gde je modalna matrica, matrica svojstvenih vektora:

dobijenih iz jednaine nepriguenih svojstvenih oscilacija:

odnosno

Kako je matrica nezavisna od vremena, sledi da su prvi i drugi izvod po vremenu: Ako jednaina (1) pomnoe sa leve strane matricom i iskoriste prethodno dobijeni izrazi za izvode:3 gde su uvedene oznake:

gMatrice , su dijagonalne matrice, to je posledica ortogonalnosti svojstvenih oblika: 0 0 Dijagonalnost matrice zavisi od prirode sila priguenja i u optem sluaju matrica nijedijagonalna. Ako se pretpostavi da je matrica priguenja linearna kombinacija matrice masa imatrice krutosti : tada je:

pa je i matrica

dijagonalna matrica, a matrina jednaina (3) moe da se predstavi sistemom

nezavisnih diferencijalnih jednaina: 1,2,Koeficijenti , , su elementi na dijagonalama matrica , , , a je element vektoraspoljanjeg optereenja. Na osnovu uvedene transformacije moe se zakljuiti da je: Ako se primeni analogija sa jednim sistemom slobode, onda je:

2pa se dobijaju nezavisne diferencijalne jednaine drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Svakaod njih predstavlja jednainu oscilovanja sistema sa jednim stepenom slobode koju je moguejednostavno reiti:4 2 1,2, , Nakon odreivanja svih , na osnovu jednaine (2) moe se dobiti i traeno reenje , .Poetni uslovi su obino zadati u osnovnom koordinatnom sistemu, pa je za primenu ovih uslova


16/18

16 Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko Salatipotrebno prethodno ih transformisati u sistem glavnih koordinata. Postupak odreivanja svojstvenih vrednosti kod sistema sa velikim brojem stepeni slobode predstavljanajskuplju fazu u dinamikoj analizi. Sa inenjerske take gledita, najee nisu svi svojstveni oblicipodjednako bitni za odgovor sistema. Obino najvei uticaj na rezultate imaju najnii tonovi.

Iz tih razloga, u primenom modalne analize moe se redukovati osnovni sistem tako to se umesto ntonova u proraunu uzima u obzir samo m najniih tonova ( ). Na taj nain je smanjen ukupanbroj jednaina sa n na m.

Za svaki i-ti ton oscilacija, koji se uzima u obzir u proraunu, postoji jedna jednaina oblika (4).Reavanjem tih jednaina dobija se pomeranje u glavnim koordinatama , pa je pomeranje uosnovnim koordinatama:

Za dobijanje svih svojstvenih vrednosti i svojstvenih vektora potrebno je izvriti veliki broj numerikih

operacija. Izborom samo odreenih svojstvenih vektora (odnosno formi oscilovanja) u dinamikomproraunu smanjuje se obim rauna. Izbor formi zavisi od pretpostavljenog dominantnog oblikaoscilovanja, kao i od dinamikog optereenja, s obzirom na injenicu da forme oscilovanja safrekvencijom koja je bliska frekvenciji optereenja najvie utiu na konani odgovor sistema. Pri tometreba imati u vidu da svojstveni vektori koji su ortogonalni na vektor optereenja ne utiu naponaanje sistema, bez obzira to im se odgovarajua svojstvena frekvencija moe poklopiti safrekvencijom optereenja.

Pri korienju svojstvenih vektora, greka aproksimacije optereenja F je u direktnoj vezi sa grekomaproksimacije odgovora sistema, pa se na osnovu prve greke procenjuje i kvalitetreenja za odgovorkonstrukcije.

Modalna analiza -Matematiki razmatrano, na ovaj nain je izvrena transformacija iz jednog sistema koordinata(osnovni sistem ), u drugi sistem koordinata, sistem glavnih (normalnih) koordinata .Dijagonalizacija

Modalna matrica Matrica svojstvenih vektora. Glavne (normalne) koordinate .


17/18


Primer 4.8

Ako je poznata matrica krutosti sistema i dijagonalna matrica masa , primenom modalne analizeodrediti odgovor nepriguenog sistema:

1. za zadate poetne uslove,

2. za zadato dinamiko optereenje

sin 0.7.

600 600 0600 1800 12000 1200 3000 1.0 1.5 2.0 0.50.40.3 0.00.90.0 3.02.01.0Reenje:

1. Iz jednaine potrebno je prvo odrediti svojstvene vektore i 1,2,3, 1.00.64850.3018

1.00.60660.6790 1.02.54192.4396

odnosno modalnu matricu : 1.0 1.0 1.00.6485 0.6066 2.54190.3018 0.6790 2.4396Da bi se dobile dijagonalne matrice i treba sprovesti mnoenja: 382.3494 2384.8015 48019.5680

1.8131 2.4740 22.5957Nezavisne diferencijalne jednaine imaju oblik: 0 1,2,3a njihovo reenje je: cos sin .Krune frekvencije sistema su:

14.5217 31.0477 46.0995,

a poetne uslove i treba transformisati u sistem glavnih koordinata: 0.50.40.3 0.59030.10970.0194

0.00.90.0 4.82883.31011.5187

Odgovor sistema u sistemu glavnih koordinata ima oblik:

0.5903 cos 0.3325sin0.1097 cos 0.1066sin0.0194 cos 0.0329sin

Kad se iskoristi veza izmeu osnovnog sistema i glavnog sistema koordinata: ,dobija se traeni odgovor sistema usled zadatih poetnih uslova:

0.5 cos14.5217 0.1930sin14.52170.4 cos31.0477 0.3641sin31.04770.3 cos46.0995 0.0924sin46.09952. Kad postoji prinudna sila, diferencijalne jednaine postaju nehomogene, a slobodni lan je odreenpreko izraza:

1 0.6485 0.30181 0.6066 0.67901 2.5419 2.4396 3.02.01.0

4.59891.10780.3558


18/18

18 Teorija konstrukcija 2 - Dinamika konstrukcija Predavanja, dr Ratko SalatiDiferencijalne jednaine oblika : 1,2,3imaju reenje: 1 sin 0.7 10.1652

114.5217 10.1652 4.59891.8131 sin 0.02358sin 131.0477 10.1652 1.10782.4740 0.00052 146.0995 10.1652 2.355822.5957 sin 0.00001sin

0.023580.000520.00001 sin Odgovor sistema u osnovnim koordinatama je:

0.024110.014960.00678 sin10.1652 4.5 Zadaci za vebanje

1. Odrediti broj stepeni slobode dinamikog sistema

Literatura

1. ori B., Rankovi S. i Salati R., Dinamika konstrukcija, Univerzitet u Beogradu, Beograd 1998.

56tk2 dinamika - mdof

Documents