59 matrix-101059

เอกสารประกอบการเรยีนคณิตศาสตร ์ ”Matrix” โดย….อ.สทุธ ิ คณุวฒันานนท์

Matrices

1¿ความหมายของเมตริ กซ์ และสมาชิ กของเมตริ กซ์

ถ้ าให้ A=[−12134

−2

567

108]3× 4

แล้ วจะได้ ว่ าA เป็ นเมตริ กซ์ มีมิติ เท่ ากั บ3×4

หมายถึ งA มี ขนาด3แถว4หลั ก

ถ้ าaij∈ A แล้ ว

a23หมายถึ งสมาชิ กของA ที ่ อยู ่ ในตำาแหน่ งแถวที ่ 2หลักที ่ 3

ดังนั ้ นa23=6 , a14=1 , a24=0 ,

a32=−2 ,a34=8

ถ้ าให้ A=[aij ]3×4 โดยที ่ i=1,2,3 j=1,2,3,4

แล้ วเราสามารถเขี ยนได้ ว่ า

A=[a11a21a31

a12a22a32

a13a23a33

a14a24a34 ]3× 4

Ex1กำาหนดให้ A=[a ij ]3× 3

โดยที ่ a ij={2i+ j , i< ji+ j , i= j3 i− j , i> j

จงหา A

วิ ธี ทำาให้ A=[a11a21a31

a12a22a32

a13a23a33]3× 3

a12=2 (1 )+2=4 , a13=2 (1 )+3=5

a23=2 (2 )+3=7 , a11=1+1=2

a22=2+2=4 , a33=3+3=6

a21=3 (2 )−1=5 , a31=3 (3 )−1=8

a32=3 (3 )−2=7

ดังนั ้ นA=[258447

576 ]3×3

Ans .

2¿การกระทำากั บเมตริ กซ์ ในลั กษณะต่ างๆ

2.1¿การทรานสโพส( transpose)ของ A สั ญญลั กษณ์ คื อAt

ถ้ าให้ A=[−12134

−2

567

108]3× 4

แล้ วจะได้ ว่ าAT=[−1 2 13 4 −25 6 71 0 8 ]

4× 3

Ans .

¿ ถ้ าaij∈ A แลb ij∈ A tแล้ วจะได้ ว่ าbij=a tij=a ji

Ex2 ให้ A=[aij ]3×3 โดยที ่ aij={ i+ j ,i< ji+2 j , i= ji− j , i> j

จงหา A t

วิ ธี ทำาA=[a11a21a31

a12a22a32

a13a23a33 ]

a11=1+2 (1 )=3 , a12=1+2=3

a13=1+3=4 , a21=2−1=1

a22=2+2(2)=6 , a23=2+3=5

a31=3−1=2, a32=3−2=1 a33=3+2(3)=9ดังนั ้ นA=[312

361

459]∴ A t=[334

165

219]3× 3

¿Ans .¿

2.2¿การเท่ ากั นของเมทริ กซ์

ถ้ าA=[ aij ]n×m ,B=[bij ]n×m

แล้ ว A=B ก็ ต่ อเมื ่ อaij=bij

2.3¿การบวกลบของเมตริ กซ์ ถ้ าA=[ aij ]n×m ,B=[bij ]n×m

และC=A±B=[a ij]n×m± [bij ]n×m

ดังนั ้ นC= [aij±bij ]n×m

∴ cij=aij±bij การบวกลบของเมตริ กซ์ จะต้ องมี มิ ติ เท่ ากั น

2.4¿การคู ณเมตริ กซ์ ด้ วยจำานวนจริ งc ถ้ าA=[ aij ]n× m ,B=[bij ]n×m


แล้ ว1 ¿cA= [caij ]n× m

2¿c (A ±B)=[ca ij±cbij ]n×m

Ex3จงหา A+B , A−B เมื ่ อกำาหนดให้

A=[31278

−4

29

−5

50

−6]3×4

B=[ 2113465

128

013 ]3×4

วิ ธี ทำา

A+B=[ 3+21+112+3

7+48+6

−4+5

2+19+2

−5+8

5+00+1

−6+3]3× 4

A+B=[ 512511141

3113

51

−3]3× 4

Ans

A−B=[ 3−21−112−3

7−48−6

−4−5

2−19−2

−5−8

5−00−1

−6−3]3×4

A−B=[ 1−10−1

32

−9

17

−13

5−1−9]3× 4

Ans .

Ex 4กำาหนดให้

A=[ 3 2−1 0]B=[ 1 −3

−2 2 ]C=[ 2 −3−2 3 ]

จงหาเมตริ กซ์ Xจากสมการต่ อไปนี ้ XT +2 AT=3 B+C


XT +2[ 3 2−1 0 ]

T

=3[ 1 −3−2 2 ]+[ 2 −3

−2 3 ]XT +[ 6 4

−2 0 ]T

=[ 3 −9−6 6 ]+[ 2 −3

−2 3 ]XT +[6 −2

4 0 ]=[ 5 −12−8 9 ]

XT=[ 5 −12−8 9 ]−[6 −2

4 0 ]=[ 11 −10−12 9 ]

X=[ 11 −12−10 9 ]Ans .

Ex5 ให้ A=[aij ]3×3 โดยที ่ aij=3 i2−2 j

B=[b ij ]3× 3 โดยที ่ b ij=2i+ j

ถ้ าe ij∈ (2 A−3 B )

จงหาe23−e31

วิ ธี ทำา ถ้ าe ij∈ (2 A−3 B )

∴ eij=(2aij−3b ij)

e ij=2(3 i2−2 j)−3(2 i+ j) ¿(6 i2−4 j)−(6 i+3 j)

¿6 i2−6 i−7 j

e23=6 (2 )2−6 (2 )−7 (3 )=−9 e31=6 (3 )2−6 (3 )−7 (1 )=29

ดังนั ้ นe23−e31=−9— 29=−38 Ans .

2.5¿การคู ณเมตริ กซ์ ด้ วยเมตริ กซ์

นิ ยามAm×n .Bn× k=Cm×k

นิ ยามc ij∈ AB แล้ วจะหาค่ าได้ ดั งนี ้

c ij=∑n=1

n

(a¿bnj )=ai1b1 j+a i2b2 j+…+a¿ bnj


Ex6กำาหนดให้ A=[13220

−1

013]3×3

B=[201310

12

−1]3×3 จงหา AB – B A

วิ ธี ทำาให้ xij∈ ABแล้ วจะหาค่ าได้ ดั งนี ้

x11=a11b11+a12b21+a13b31

¿ (1 ) (2 )+ (2 ) (0 )+ (0 ) (1 )=2

x21=a21 b11+a22b21+a23b31

¿ (3 ) (2 )+(0 ) (0 )+(1 ) (1 )=7

x31=a31 b11+a32b21+a33b31

¿ (2 ) (2 )+ (−1 ) (0 )+ (3 ) (1 )=7

x12=a11b12+a12b22+a13b33

¿ (1 ) (3 )+(2 ) (1 )+(0 ) (0 )=5

x22=a21 b12+a22b22+a23b32

¿ (3 ) (3 )+(0 ) (1 )+(1 ) (0 )=9

x32=a31 b12+a32b22+a33b32

¿ (2 ) (3 )+(−1 ) (1 )+ (3 ) (0 )=5

x13=a11b13+a12b23+a13b33

¿ (1 ) (1 )+ (2 ) (2 )+(0 ) (−1 )=5

x23=a21 b13+a22b23+a23 b33

¿ (3 ) (1 )+(0 ) (2 )+(1 ) (−1 )=2

x33=a31 b13+a32 b23+a33b33

¿ (2 ) (1 )+ (−1 ) (2 )+(3 ) (−1 )=−3

ดั งนั ้ นจะได้ AB=[277595

52

−3 ]3×3

ให้ xij∈BA แล้ วจะหาค่ าได้ ดั งนี ้

x11=b11a11+b12a21+b13a31

¿ (2 ) (1 )+ (3 ) (3 )+ (1 ) (2 )=13

x21=b21 a11+b22a21+b23 a31

¿ (0 ) (1 )+(1 ) (3 )+(2 ) (2 )=7

x31=b31 a11+b32a21+b33 a31

¿ (1 ) (1 )+ (0 ) (3 )+(−1 ) (2 )=−1

x12=b11a12+b12a22+b13 a33

¿ (2 ) (2 )+ (3 ) (0 )+(1 ) (−1 )=3

x22=b21 a12+b22 a+b23 a32

¿ (0 ) (2 )+(1 ) (0 )+(2 ) (−1 )=−2

x32=b31 a12+b32a22+b33a32

¿ (1 ) (2 )+ (0 ) (0 )+(−1 ) (−1 )=3

x13=b11a13+b12a23+b13a33

¿ (2 ) (0 )+(3 ) (1 )+(1 ) (3 )=6

x23=b21 a13+b22 a23+b23 a33

¿ (0 ) (0 )+(1 ) (1 )+(2 ) (3 )=7

x33=b31 a13+b32 a23+b33 a33

¿ (1 ) (0 )+(0 ) (1 )+(−1 ) (3 )=−3


ดั งนั ้ นจะได้ BA=[ 137−13

−23

67

−3 ]3×3

ดังนั ้ นAB−BA

¿ [277595

52

−3 ]−[ 137−13

−23

67

−3]¿ [−1108

2112

−1−50 ]Ans .

Ex6กำาหนดให้ A=[20113

−1

012]3× 3

B=[1013

−10

−12

−3 ]3×3

ถ้ าxij∈ ABและ yij∈B A t แล้ วจงหาค่ าของx21+ y23


x21=a21 b11+a22b21+a23b31

¿ (0 ) (1 )+(3 ) (0 )+(1 ) (1 )=1

y23=b21at13+b22a

t23+b23 a

t33

¿b21 a31+b22 a32+b23 a33

¿ (0 ) (1 )+(−1 ) (−1 )+(2 ) (2 )=5

ดังนั ้ นx21+ y23=1+5=6 Ans .

สมบั ติ ที ่ สำาคั ญ

โดยกำาหนดให้ A ,B ,C เป็ นเมตริ กซ์ ขนาดnxnแล้ วจะได้ ว่ า

1¿ A+2B=2B+A

2¿ A+ [0 ]=A แล้ ว[0] เป็ นเอกลั กษณ์ ของการบวกของเมทริ กซ์ 3¿ ( At )t=A

4 ¿(A±B)t=At ±B t

5¿2 A (3 B±C )=6 AB±2 AC

6¿2 (B±3C ) A=2BA±6CA

7¿ A (BC )=( AB )C

8¿ (2 ABCD )T=2DT CT BT AT

9¿ AI=IA=A แล้ วI เป็ นเอกลั กษณ์ ของการคู ณของเมทริ กซ์ 10¿ AB=AC แล้ วA=B ก็ ต่ อเมื ่ อ|A|≠0

11¿ A2=0แล้ วไม่ จำาเป็ นที ่ A=[0] 12¿ AB=0แล้ วไม่ จำาเป็ นที ่ A=[0 ]หรื อB=[0] Ex7.กำาหนดให้ A=[ 2 5 1

−2 0 −1−3 4 2 ]

3×3

B=[ 3 4 5−4 2 31 −3 −2]3×3

1¿ ถ้ าx ij∈ AB จงหาx32

x32=แถวที ่ 3ของ A คู ณกั บหลั กที ่ 2ของ B

x32=(−3 ) (4 )+(4 ) (2 )+ (2 ) (−3 )=−10

2¿ ถ้ าx ij∈BAจงหา x13

x13=แถวที ่ 1ของBคู ณกั บหลั กที ่ 3ของ A

x13=(3 ) (1 )+ (4 ) (−1 )+ (5 ) (2 )=−9

3¿ ถ้ าx ij∈ AT Bจงหา x13

x13=หลั กท่ี1ของ A คู ณกั บหลั กที ่ 3ของ B

x13=(2 ) (5 )+ (−2 ) (3 )+ (−3 ) (2 )=−2

4 ¿ ถ้ าx ij∈B AT จงหา x21

x21=แถวที ่ 2ของBคู ณกั บแถวท่ี1ของ A

x21=(−4 ) (2 )+ (2 ) (5 )+ (3 ) (1 )=5

5¿ ถ้ าx ij∈ ( A−B ) Aจงหา x31


x31=แถวที ่ 3ของ(A−B)คู ณกั บหลั กที ่ 1ของ A

x31=(−3−1 ) (2 )+( 4+3 ) (−2 )+ (2+2 ) (−3 )

x31=−8−14−12=−34 6¿ ถ้ าxij∈(B+A)BT จงหา x23

x23=แถวที ่ 2ของ(B+A) คู ณกั บแถว ท่ี3ของ B

x23=(−6 ) (1 )+ (0 ) (−3 )+(2 ) (−2 )=−10

Ex8จงหาเมตริ กซ์ Aจากสมการต่ อไปนี ้

AT+[1 42 1]

T

=[0 11 2] [1 3

2 2] วธิทีำา AT+[1 2

4 1]=[2 25 7]

AT=[2 25 7]−[ 1 2

4 1]=[1 01 6]

A=[1 10 6] Ans .

Ex9จงหาเมตริ กซ์ A จากสมการต่ อไปนี ้

AT−[1 32 1]

T

[0 11 2]=2[2 1

3 0][1 11 0 ]

วิ ธี ทำาAT−[1 23 1] [0 1

1 2]=2[3 23 3]

AT−[2 51 5]=[6 4

6 6 ]AT=[6 4

6 6]+[2 51 5]=[8 9

7 11]A=[8 7

9 11] Ans .

Ex10กำาหนดให้ A ,B ,C , Dเป็ นเมทริ กซ์ ขนาดมิติnxn

จงกระจายเมทริ กซ์ ต่ อไปนี ้

1¿ ( A−2BC−DA ) D 2¿ A ( BC−DC ) B

3¿ ( A+B ) (B−A )4¿ (3 A−2B )2

5¿C (3 AT B DT C−5BT )¿T


1¿ ( A−2BC−DA ) D=AD−2 BCD−DAD

2¿ A (BC−DC ) B=ABCB−ADCB

3¿ ( A+B ) (B−A )=AB−A2+B2−BA

4 ¿ (3 A−2B )2=(3 A−2 B ) (3 A−2B )

¿9 A2−6 AB−6BA+4 B2

5¿C (3 AT B DT C−5BT )¿T

¿C (3CT DBT A−5 B)

¿3CCT DBT A−5CB ¿ Ans .

2.6 ดี เทอร์ มิ แนนต์ (Determinant)

ให้ A เป็ นเมทริ กซ์ จตุ รั สขนาดnxnมี สมาชิ กเป็ นจำานวนจริ ง

ดี เทอร์ มิ แนนต์ ของA เขี ยนแทนด้ วยสั ญญลั กษณ์ det ( A ) ,|A|

1¿ ดี เทอร์ มิ แนนต์ ของเมทริ กซ์ ขนาดมิติ1 x 1

ถ้ าA= [5 ] เป็ นเมทริ กซ์ ขนาดมิ ติ 1x 1∴|A|=5

ถ้ าB=[−2 ] เป็ นเมทริ กซ์ ขนาดมิ ติ 1 x1∴|B|=−2

2¿ วิ ธี หาดี เทอร์ มิ แนนต์ ของเมทริ กซ์ ขนาดมิติ2x 2

ถ้ าA=[a bc d ]∴|A|=ad−bc

ถ้ าB=[3 52 4 ]∴|B|=(3 ) (4 )−(5 ) (2 )=2

3¿ วิ ธี หาดี เทอร์ มิ แนนต์ ของเมทริ กซ์ ขนาดมิติ3 x3


ถ้ าA=[1 2 34 3 22 1 1]∴|A|=|1 2 3

4 3 22 1 1|

1 24 32 1

∴|A|=(3+8+12 )−(18+2+8 )=−5

4 ¿การหาดี เทอร์ มิ แนนต์ ของเมทริ กซ์ n×nกรณี n>2

ค่ าที ่ เกี ่ ยวข้ องคื อMinorและCofactor ของ A

4.1 ค่ าของMinor ตำาแหน่ งijของ A เขี ยนแทนด้ วยM ij ( A )

M ij ( A )=ดี เทอร์ มิ แนนต์ ของA ที ่ ตั ดแถวที ่ i หลักที ่ jออก

4.2 ค่ าของโคแฟคเตอร์ ของ A ที ่ ตำาแหน่ งij เขี ยนแทนด้ วยCij ( A )

C ij ( A )=(−1)i+ j M ij ( A )

Ex11ถ้ าA=[2 1 33 2 22 1 1]จงหาM 12+M 23

∴M 12+M23= (−1 )+ (0 )=−1 Ans .

M 12+M 23=(−1 )+ (0 )=−1 Ans .

5¿การหาโคแฟคเตอร์ (Cofactor )ของ A

C ij ( A )=(−1)i+ j M ij ( A )

Ex12 ถ้ าA=[2 1 33 2 22 1 1]จงหาC12+C13

∴C12+C13=(−1 )+(−1 )=−2 Ans .

Ex13 ให้ A=[ x y 23 1 1y x 5]และ M 32=4 ,C33=1

จงหาค่ าของC 23−M 13


M 32=4∴|x 23 1|=4∴ x−6=4∴ x=10

C33=1∴ (−1 )3+3|x y3 1|=1∴ x−3 y=1

∴10−3 y=1∴ y=3


∴ A=[10 3 23 1 13 10 5]

∴C23−M 13=(−1 )2+3|10 33 10|−|3 1

3 10|∴C23−M 13=−(100−9 )−(30−3 )=−118

Ans .4.3การหาDeterminant ของA แบบใช้ โคแฟคเตอร์นิ ยาม

|A|=∑i=1

n

aikc ik=∑j=1

n

akj ckj , k=1,2,3 , .. ,n

|A|=ผลบวกของการคู ณระหว่ างสมาชิ กในแถวใดแถวหนึ ่ งหรื อหลั กใดหลั กหนึ ่ งกั บโคแฟกเตอร์ ในตำาแหน่ งเดี ยวกั นแบบ1 :1|A3× 3|=a11c11+a12 c12+a13c13(แถวที ่ 1)|A3×3|=a21c21+a22 c22+a23 c23(แถวที ่ 2)|A3× 3|=a31c31+a32c32+a33 c33(แถวที ่ 3)|A3× 3|=a11c11+a21 c21+a31c31(หลักที ่ 1)|A3×3|=a12c12+a22 c22+a32 c32 (หลักที ่ 2 )

|A3× 3|=a13c13+a23 c23+a33c33(หลักที ่ 3)

Ex14จงหาdet ( A )เมื ่ อA=[1 −3 22 0 12 1 3]


c11=(−1)1+1|0 11 3|=(1)(0−1)=−1

c12=(−1)1+ 2|2 12 3|= (−1 )(6−2)=−4

c13=(−1)1+3|2 02 1|=(1 )(2−0)=2

c21=(−1)2+1|−3 21 3|=(−1 )(−9−2)=11

c22=(−1)2+2|1 22 3|= (1 )(3−4)=−1

c23=(−1)2+3|1 −32 1 |=(−1 )(1+6)=−7

c31=(−1)3+1|−3 20 1|=(1 )(−3−0)=−3

c32=(−1)3+2|1 22 1|=(−1 )(1−4 )=3

c33=(−1)3+3|1 −32 0 |=(1 )(0+6)=6

|A3×3|=a11c11+a12 c12+a13c13(แถวที ่ 1)¿ (1 ) (−1 )+ (−3 ) (−4 )+(2 ) (2 )=15

|A3× 3|=a21c21+a22 c22+a23 c23(แถวที ่ 2)¿ (2 ) (11)+ (0 ) (−1 )+(1 ) (−7 )=15

|A3×3|=a31c31+a32c32+a33 c33(แถวที ่ 3)¿ (2 ) (−3 )+(1 ) (3 )+(3 ) (6 )=15

|A3× 3|=a11c11+a21 c21+a31c31(หลักที ่ 1)¿ (1 ) (−1 )+ (2 ) (11 )+ (2 ) (−3 )=15

|A3× 3|=a12c12+a22 c22+a32 c32 (หลักที ่ 2 )

¿ (−3 ) (−4 )+(0 ) (−1 )+(1 ) (3 )=15

|A3× 3|=a13c13+a23 c23+a33c33(หลักที ่ 3)¿ (2 ) (2 )+ (1 ) (−7 )+ (3 ) (6 )=15

สมบั ติ ของDerterminantและ Inverse

กำาหนดให้ A ,B ,C , D เป็ นเมทริ กซ์ มิติnxn

1¿|AB|=|A||B|2 ¿|An|=|A|n

3¿|AT|=|A|


4 ¿|A−1|= 1|A|

,|A−n|= 1|A|n

โดยที ่ |A|≠0

5¿|k An×n|=kn|An×n|, k∈R

6¿ ถ้ าA เป็ นnonsingular จะได้ ว่ า

6.1¿|A|≠0 6.2¿ AT เป็ นnonsingular ด้ วย

6.3¿|kA|−1=1k|A|−1

7¿|A±B|≠|A|±|B|

8¿|2k 3 k 4k1 2 33 4 5 |=|2 3 k 4

1 2 k 33 4 k 5|=k|2 3 4

1 2 33 4 5|

9¿|ka kb kckd ke kfkg kh ki|=k3|a b c

d e fg h i|

10¿|2 3 41 2 33 4 5|=−|1 2 3

2 3 43 4 5|=|1 3 2

2 4 33 5 4|

11¿|0 0 01 2 33 4 5|=|1 0 3

2 0 43 0 5|=0

12¿|1 2 31 2 33 4 5|=|1 1 3

2 2 43 3 5|=0

13¿|a 0 01 b 03 4 c|=|a 0 0

0 b 00 0 c|=abc

14¿ ( AB )−1=B−1 A−1

15¿|adj (An× n)|=|A|n−1

Ex15 ให้ A=[4 52 3] ,B=[3 3

4 5 ] จงหาค่ าของ

1¿det ( AB )2¿det ( A+B )3¿|16 B3 A4|


|A|=|4 52 3|=12−10=2

|B|=|3 34 5|=15−12=3

A+B=[4 52 3]+[3 3

4 5 ]=[7 86 8 ]

1¿det ( AB )=det ( A ) det ( B )=(2 ) (3 )=6

2¿|A+B|=|7 86 8|=56−48=8

3¿|16 B3 A4|=( 16 )

2

|B3||A4|=( 16 )2

|B|3|A|4

∴|16 B3 A4|=( 16 )

2

(3)3(2)4=12 Ans .

Ex16 ให้ A=[a b cd e fg h i ]และ B=2[3d 3 f 3 e

2a 2c 2bg i h ]

และ det(A)=3จงหาdet (B)

วิ ธี ทำาB=2[3 d 3 f 3e2a 2c 2bg i h ]=[6d 6 f 6 e

4 a 4c 4b2g 2i 2h ]

|B|=|6d 6 f 6 e4 a 4c 4b2 g 2i 2h|=(6 ) (4 )(2)|d f e

a c bg i h|

∴|B|=48|d f ea c bg i h|=−48|a c b

d f eg i h|

∴|B|=¿


Ex17กำาหนดให้ det ( A3×3 )=−0.5 จงหาdet (2 A3×3

5)

วิ ธี ทำาdet (2 A3×35 )=|2 A3×3

5|=23|A3×3|5

¿23(−12

)5

=−14

Ans .

Ex18 ให้ A=[1 −23 −4 ]และdet (2 A6B−1 )=96

จงหาdet (B2×2)

วิ ธี ทำา|A|=|1 −23 −4|=−4− (−6 )=2

|2 A6B−1|=96∴22|A|6|B|−1=96

∴2226|B|−1=96∴|B|−1=38∴|B|=8

3Ans .

Ex19 ให้ [5 43 2] A+[−3 0

2 4]=[4 31 3]

จงหาค่ าของdet (3 A2T)

วิ ธี ทำา[5 43 2] A+[ 3 0

−2 4]=[ 4 31 3]

[5 43 2] A=[ 4 3

1 3]−[ 3 0−2 4]

[5 43 2] A=[1 3

3 −1]∴|5 43 2||A|=|1 3

3 −1| ∴ (10−12 )|A|= (−1−9 )

∴−2|A|=−10∴|A|=5

∴|3 A2T|=32|AT|2=32|A|2=32 .52=225 Ans .

เมทริ กซ์ ผู กพั น¿

adj ( A )= [cij ]T

Ex20จงหาadj ( A )เมื ่ อA=[1 −3 22 0 12 1 3]

วิ ธี ทำาadj ( A )=[c ij ]T=[c11 c12 c13

c21 c22 c23c31 c32 c33 ]

T

c11=(−1)1+1|0 11 3|=(1)(0−1)=−1

c12=(−1)1+ 2|2 12 3|= (−1 )(6−2)=−4

c13=(−1)1+3|2 02 1|=(1 )(2−0)=2

c21=(−1)2+1|−3 21 3|=(−1 )(−9−2)=11

c22=(−1)2+2|1 22 3|= (1 )(3−4)=−1

c23=(−1)2+3|1 −32 1 |=(−1 )(1+6)=−7

c31=(−1)3+1|−3 20 1|=(1 )(−3−0)=−3

c32=(−1)3+2|1 22 1|=(−1 )(1−4 )=3

c33=(−1)3+3|1 −32 0 |=(1 )(0−6)=−6

adj ( A )=[−1 −4 211 −1 −7−3 3 −6 ]

T

=[−1 11 −3−4 −1 32 −7 −6 ]Ans .


นิ ยาม|A|=∑i=1

n

aikc ik=∑j=1

n

akjckj , k=1,2,3 , .. ,n

|A|=a11c11+a12 c12+a13 c13

|A|=(1 ) (−1 )+ (−3 ) (−4 )+ (2 ) (2 )=15

|A|=a12c12+a22c22+a32 c32

|A|=(−3 ) (−4 )+(0 ) (−1 )+ (1 ) (3 )=15

นิ ยามA−1= 1|A|

adj(A )= 1|A|[ cij ]

T โดยที ่ |A|≠0

Ex21จงหา A−1เมื ่ อA=[1 −3 22 0 12 1 3]

วิ ธี ทำาจาก A−1= 1|A|

adj ( A )= 1|A| [c ij ]

T และจากข้ อมู ลEx18จะได้

A−1= 1|A|[c11 c12 c13

c21 c22 c23c31 c32 c33 ]

T

= 115 [−1 11 −3

−4 −1 32 −7 −6]

Ans .

นิ ยามถ้ าA=[a bc d ]แล้ วA

−1

= 1ad−bc | d −b

−c a |

Ex22 ให้ A=[5 81 2]จงหา A−1

วิ ธี ทำาA−1= 110−8 [ 2 −8

−1 5 ]A−1=1

2 [ 2 −8−1 5 ]=[ 1 −4

−0.5 2.5 ]Ans .

Ex23 ให้ |A4× 4|=2,|B3×3|=3

จงหาdet (adj ( B ) )+det (adj ( A ))

วิ ธี ทำาจาก|adj (Bn×n )|−|adj (Am×m )|¿|B|n−1−|A|m−1=32−23=9−8=1 Ans .

Ex24 จงหา A−1จากสมการ

[2 10 4] A+[ 4 1

−2 1]=[1 12 3]A+[1 0

3 2][1 10 2]


[2 10 4] A−[1 1

2 3]A=[1 03 2 ][1 1

0 2]−[ 4 1−2 1]

[ 1 0−2 1 ]A=[0 1

3 7]−[ 4 1−2 1]=[−4 0

5 6 ][ 1 0−2 1 ]A=[−4 0

5 6]∴[ 1 0

−2 1] A A−1=[−4 05 6] A−1

∴[ 1 0−2 1]=[−4 0

5 6] A−1

∴[−4 05 6]

−1

[ 1 0−2 1 ]=A−1

∴ 1−24 [ 6 0

−5 −4 ][ 1 0−2 1]=A−1

∴ A−1= 1−24 [6 0

3 −4 ]Ans .

การแก้ สมการโดยใช้ Cramer ’ s Rule

[a b cd e fg h k ] [ xyz ]=[mnp ]

∆ A=|a b cd e fg h k| , ∆ x=|m b c

n e fp h k|

∆ y=|a m cd n fg p k| , ∆ z=|a b m

d e ng h p|

x= ∆ x∆ A

, y= ∆ y∆ A

, z= ∆ z∆ A

Ex25จงแก้ สมการหาค่ าx , y , z โดยใช้ Cramer ’ s Rule

เอกสารประกอบการเรยีนคณิตศาสตร ์ ”Matrix” โดย….อ.สทุธ ิ คณุวฒันานนท์ จากสมการต่ อไปนี ้ 1−12

3 x−2 y−2 z=1……(1) 2 z− y+4 x=9……(2)

x+3 z+3 y=4……(3)

วิ ธี ทำาจั ดสมการใหม่ ดั งนี ้

3 x−2 y−2 z=1……(1) 4 x− y+2 z=9……(2)

x+3 y+3 z=4……(3)

จะได้วา่ [3 −2 −24 −1 21 3 3 ][ xyz ]=[194 ]

|A|=|3 −2 −24 −1 21 3 3 |

∴|A|= [−9−4−24 ]− [2+18−24 ]

∴|A|= [−37 ]−[−4 ]=−33

|X|=|1 −2 −29 −1 24 3 3 |

∴|X|= [−3−16−54 ]− [8+6−54 ]

∴|X|= [−73 ]−[−40 ]=−33

|Y|=|3 1 −24 9 21 4 3 |

∴|Y|=[81+2−32 ]−[−18+24+12 ]

∴|Y|=[51 ]−[18 ]=33

|Z|=|3 −2 14 −1 91 3 4|

∴|Z|= [−12−18+12 ]−[−1+81−32 ]

∴|Z|= [−18 ]−[48 ]=−66

∴ x=|X||A|

=−33−33

=1

∴ y=|y||A|

= 33−33

=−1

∴ z= |z||A|

=−66−33

=2 Ans .

นิ ยามกำาหนดระบบสมการเชิ งเส้ นที ่ มี mสมการn ตั วแปรดั งนี ้

a11x1+a12 x2+a13 x3+…….+a1n xn=b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3+…….+a2n xn=b2

a31 x1+a32 x2+a33 x3+…….+a3n xn=b3

…… ..+…….+………+…….+….…=…

am1 x1+am2 x2+am3 x3+…….+amn xn=bm

เมทริ ซ์ แต่ งเติ ม( Augmented Matix ) ของระบบสมการนี ้ คื อ

[a11 a12 a13 ⋯ a1n ⋮ b1a21 a22 a23 ⋯ a2n ⋮ b2a31…am1

a32…am2

a33 … a3n ⋮ b3…am3

……

…amn

⋮⋮

…bm

]นิ ยามให้ A เป็ นn×n เมทริ กซ์ เรี ยกการดำาเนิ นการต่ อไปนี ้ ว่ า


เป็ นการดำาเนิ นการตามแถว(row operation )กั บเมทริ กซ์ A

1.การสลั บที ่ แถวที ่ iและ j ของ A เขี ยนแทนด้ วยRij

2. คู ณสมาชิ กในแถวที ่ i ด้ วยค่ าc ซึ่ งc≠0 เขี ยนแทนด้ วยc Ri

3. เปลี ่ ยนแถวที ่ iของ A โดยนำาค่ าC มาคู ณสมาชิ กในแถวที ่ j ( j≠ i )แล้ วนำาไปบวกสมาชิ กแต่ ละตั วในแถวที ่ i เขี ยนแทนด้ วยRi+c R j

นิ ยามถ้ าเมทริ กซ์ Bที ่ ได้ จากA โดยการดำาเนิ นการตามแถว

แล้ วจะกล่ าวได้ ว่ าBสมมู ลแบบแถว(row equivalent )กั บA

เขี ยนแทนด้ วยA B

Ex26จงแก้ ระบบสมการ

3 x+ y−z=4

3 z−2 y=−1

2 x+3 y−2 z=6

[3 1 −1 ⋮ 40 −2 3 ⋮ −12 3 −2 ⋮ 6][ 1 −2 1 ⋮ −20 −2 3 ⋮ −1

−7 0 1 ⋮ −6] R1−R3¿ R3−3R1

[1 0 −2 ⋮ −10 1 −1.5 ⋮ 0.50 −7 4 ⋮ −10 ] R1−R3

−0.5R2

0.5 (R3−7 R1 )

[1 0 −2 ⋮ −10 1 −1.5 ⋮ 0.50 0 −6.5 ⋮ −6.5 ] ¿

(R3−7 R2 )

[1 0 −2 ⋮ −10 1 −1.5 ⋮ 0.50 0 1 ⋮ 1 ] ¿

−213 (R3−7 R2 )

[1 0 0 ⋮ 10 1 0 ⋮ 20 0 1 ⋮ 1]

R1+2 R3R2+1.5R3

¿

x=1 , y=2 , z=1 Ans .

Ex27จงหา A−1 ด้ วยวิ ธี การการดำาเนิ นการตามแถว

เมื อกำาหนดให้ A=[2 1 30 1 21 0 1]

วิ ธี การทำาจั ดให้ อยู ่ ในรู ปแบบ

[ A|I ]แล้ วดำาเนิ นการตามแถวทำาให้ เป็ น[I|A−1 ]

[2 1 3 |1 0 00 1 2 |0 1 01 0 1 |0 0 1]

[−1 1 0 |1 0 −30 1 2 |0 1 01 0 1 |0 0 1 ]R1−3 R3

¿


[−1 1 0 |1 0 −30 1 2 |0 1 00 1 1 |1 0 −2 ] ¿

R3+R1

[1 0 1 |0 0 10 1 2 |0 1 00 1 1 |1 0 −2]R3−R1

¿

[1 0 1 |0 0 10 1 2 |0 1 00 0 1 |−1 1 2] ¿

R3−R1

[1 0 0 |1 −1 −10 1 0 |2 −1 −40 0 1 |−1 1 2 ] R1−R3

R2−2 R3¿

∴ A−1=[ 1 −1 −12 −1 −4

−1 1 2 ] Ans .

59 matrix-101059

Education