Л О Г А Р И Ф М Ы И

И Х С В О Й С Т В А .

Рассмотрим уравнения:

82 x

43 х

431

х

235

х

Y=2^

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

y

.

ba х

Итак, для любого уравнения вида,

где а и b – поло-жительные числа, причем а ≠1, существует единственный корень и его условились записывать так:

bx alog

О П Р Е Д Е Л Е Н И ЕЛогарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить b (где а> 0, а≠1).

log a b = x(читается: «логарифм b по основанию a»).Например,

log 5 25 = 2, так как 5 2 = 25.log 4 (1/16) = - 2, так как 4 -2 = 1/16.log 1/3 27 = - 3, так как (1/3) – 3 = 27.log 81 9 = ½, так как 81 ½ = 9.

4

log 2 16; log 2 64; log 2 2;

log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

log 3 27; log 3 81; log 3 3;

log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

log1/2 1/32; log1/2 4; log0,5 0,125;

log0/5 (1/2); log0,5 1; log1/2 2.

Вычислить:

5

Определение логарифма на языке символов:

.

;0;1,0

:log

ba

baa

pb

p

a

Определение логарифма можно записать так:

Это равенство справедливо при b>0, а>0, а≠1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.

Например: 2 log 2 6 = 6; 3 – 2 log3 5 = (3 log 3 5 ) – 2 = 5 – 2 = 1/25.

Вычислите:

3 log 3

18; 3 5log 3

2;

5 log 5

16; 0,3 2log 0,3

6;

10 log 10

2; (1/4) log(1/4)

6;

8 log 2

5; 9 log 3

12.

8

ba ba log

Взаимосвязь операции возведения в степень и логарифмирования

• Возведение в степень • Логарифмирование

;4972

;1000103

;125

15 3

;0032,02,0 5

.249log7

.31000log10

.500032,0log 2,0

.3125

1log5

• 1.

• 2.

• 3.

Свойства, следующие из определения

;1log aa

;01log a

;log caca

.1 aa

.10 a

.cc aa

Свойства логарифмовbccb aaa logloglog

cbcb aaa logloglog

bqpb a

paq loglog

Приведем примеры применения формул:1) Log 6 18 + log 6 2 = log 6 (18·2) = log 6 36 = 2

2) Log 12 48 – log 12 4 = log 12 (48/4) = log 12 12 = 1

А здесь выполните вычисления самостоятельно:

log 10 5 + log 10 2;

log 12 2 + log 12 72;

log 2 15 – log 2 (15/16);

log1/3 54 – log1/3 2;

log 5 75 – log 5 3;

log 8 (1/16) – log 8 32;

log 8 12 – log 8 15 + log 8 20;

log 9 15 + log 9 18 – log 9 10;

12

Свойства логарифмов

abb

c

ca log

loglog

ab

ba log

1log

1loglog ab ba

xyyx baba loglogloglog

- формула перехода к новому основанию

Десятичные логарифмыЛогарифм по основанию 10 называется десятичным bb lglog10

Свойства десятичных логарифмов:

nn 10lg

nn )1.0lg(

nbb n lg10lg

nbbn lg

10lg

Натуральные логарифмы

логарифм,в котором за основание принято число е ,называется натуральным логарифмом.

bbe lnlog 71828.2e

4343.010ln1lg e 3026.2

lg110ln e

bb ln4343.0lg bb lg3026.2ln

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО

НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ.»

16

Я. А. КОМЕНСКИЙ.