第6章 実験モード解析 - 畔上研究室¬¬6章 実験モード解析 6.1...
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第６章 実験モード解析
6.1 実験モード解析とは 6.2 有限自由度系の実験モード解析 6.3 連続体の実験モード解析
実験モード解析とは加振実験によって測定された外力と応答を用いてモードパラメータ（固有振動数，モード減衰比，正規固有モードなど）を求める（同定する）方法である．
6.1 実験モード解析とは
変位計/加速度計
力計
試験体
実験モード解析の概念
時間領域データを利用する方法
周波数領域データを利用する方法
( )( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ), , , , , , ,
, , , , ij j i i
ij j i
u x t f x t u x t xf x t u x tp x t u x t p x t x
σ ρ
σ ν
+ = ∈Ω
= ∈Γ
( )( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )2, , , , , , ,
, , , ,
ij j i i
ij j i
U x F x U x xF x U xP x U x P x x
σ ω ω ω ρ ωω ωω σ ω ν ω
+ = ∈Ω
= ∈Γ
6.2 有限自由度系の実験モード解析
２自由度ばね質点系の伝達関数
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
jiij
j
iij
GG
,j,i,FXG
FF
GGGG
XX
=
==
=
21
2
1
2221
1211
2
1
ωωω
ωω
ωωωω
ωω
Maxwell の相反定理
伝達関数行列 1x
2x
1k
2k
2m
1m1f
2f
周波数領域データを利用する方法では測定データから伝達関数を評価し，理論式と比較する． 非減衰
比例粘性減衰
一般粘性減衰
( )( ) ( )
( ) ( )2 21
r r Tn
rr n
U UX Fω ωω ω=
=−
∑
伝達関数行列
伝達関数行列
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 21 2
r r Tn
r r rr n n
U UX Fj
ω ωω ω ζ ω ω=
=− +
∑
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )1
r r T r r Tn
r r r rr d d
Z Z Z ZX Fj j
ω ωω ω σ ω ω σ=
= + − + + +
∑
比例粘性減衰の場合
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 21
1 1 1 2 1
2 1 2 2 22 2
1
1 2
2
1 2
r r Tn
r r rr n n
r r r r r rn
r r r r r rnn
r r rr n n
r r r r r rn n n n
X G F
U UGj
U U U U U U
U U U U U Uj
U U U U U U
ω ω ω
ωω ω ζ ω ω
ω ω ζ ω ω
=
=
=
=− +
= − +
∑
∑
伝達関数行列とモードパラメータ
正規固有モード
固有振動数 モード減衰比
伝達関数行列(対称行列)
( )( ) ( ) ( )1j G j X Fω ω ω ω ω
−=
伝達関数行列の種類
ｺﾝﾌﾟﾗｲｱﾝｽ(compliance ) 動剛性(dynamic stiffness)
ﾓﾋﾞﾘﾃｨｰ(mobility) 機械ｲﾝﾋﾟｰﾀﾞﾝｽ(mechanical impedance)
ｱｸｾﾚﾗﾝｽ(accelerance) 動質量(dynamic mass)
( ) ( ) ( )X G Fω ω ω= ( ) ( ) ( )1G X Fω ω ω− =
( ) ( ) ( )j X j G Fω ω ω ω ω=
( ) ( ) ( )2 2X G Fω ω ω ω ω− = − ( )( ) ( ) ( ) ( )12 2G X Fω ω ω ω ω−
− − =
比例粘性減衰を仮定して伝達関数行列を示せ．
例題(例4.2.4):比例粘性減衰系
( )( )
( ) ( )( )
( )
=
===+=
==⇒
−
−=
−
−
=
−
−+
−
−+
mkc
mkc
kc
kc,
kkkk
cccc
xx
kkkk
xx
cccc
xx
mm
rn
rn
rn
r
23
2222
1
0 2
22
2
00
22
22
00
2
1
21
21
21
ζ
ζωβωα
ωζ
βαβ
モード減衰比
1x
2x
k
m
k
m
c
ck
c
例題：比例粘性減衰系(cont.)
前出の伝達関数行列の式に代入する． ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
2
111
12
21111
212
1111
221
1111
221
1212111
2
122212
2
12222211221
2
1
2221
1211
2
1
======
−
−+−
+
+−=
−
−
+−+
+−
=
=
γγζζγωωζωωωβ
γβζβγβζβ
ωωζωωωωζωω
ωωωω
,,,mkc,
mk,
FF
jk
jk
FF
jm
jm
FF
GGGG
XX
nnnn
nnnn
比例粘性減衰パラメータではない
例題：比例粘性減衰系(cont)
伝達関数行列要素の振幅線図 ( ) 1 0201 == k,.ζ
11G 12G
21G 22G
( )1nωω ( )1
nωω
( )1nωω ( )1
nωω
例題：比例粘性減衰(cont.)
伝達関数行列要素の位相線図 ( ) 1 0201 == k,.ζ
11G∠ 12G∠
21G∠ 22G∠
( )1nωω ( )1
nωω
( )1nωω ( )1
nωω
例題：比例粘性減衰系(cont.)
伝達関数行列要素の実部線図 ( ) 1 0201 == k,.ζ
[ ]11Re G
( )1nωω ( )1
nωω
( )1nωω ( )1
nωω
[ ]12Re G
[ ]21Re G [ ]22Re G
例題：比例粘性減衰系(cont.)
伝達関数行列要素の虚部線図 ( ) 1 0201 == k,.ζ
[ ]11Im G
( )1nωω ( )1
nωω
( )1nωω ( )1
nωω
[ ]21Im G
[ ]12Im G
[ ]22Im G
( ) 1 0201 == k,.ζ
例題：比例粘性減衰系(cont.)
伝達関数行列要素のベクトル線図
２次のモード円 １次のモード円
[ ]11Re G
[ ]11Im G
[ ]12Re G
[ ]12Im G
[ ]21Re G
[ ]21Im G
[ ]22Re G
[ ]22Im G
( ) 1 101 == k,.ζ
例題：比例粘性減衰系(cont.)
伝達関数行列要素のベクトル線図
[ ]11Re G
[ ]11Im G
[ ]12Re G
[ ]12Im G
[ ]21Re G
[ ]21Im G
[ ]22Re G
[ ]22Im G
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
1 1
2
r r Tn nr r r
nr r rr rn n
U UG G Gj
ω ω ω ω ωω ω ζ ω ω= =
= = ≈ ≈− +
∑ ∑
１自由度法
モード円の区別が明確な場合に適用できる．
( ) 1 101 == k,.ζ( ) 1 0201 == k,.ζ
適用可 適用不可
モード円が現れた（応答の測定点がモードの節になっていない）任意の伝達関数について
固有振動数の同定
[ ]11Im G [ ]11Im G
( )1nωω( )1
nωω =
( )2nωω =
( )1nωω = ( )2
nωω =
[ ]11Re G
モード円が現れた（応答の測定点がモードの節になっていない）任意の伝達関数について
モード減衰比の同定
[ ]11Re G
[ ]11Im G [ ]11Im G
( )1nωω
( ) ( )22 21 ζωω −= n
( ) ( )22 21 ζωω += n
( ) ( )11 21 ζωω −= n( ) ( )11 21 ζωω += n
3dB band
( )1ω∆
( )2ω∆
モード減衰比の同定(cont.)
3dB band ∆ω(r) を計測してモード減衰比 ζ(r) を計算する． 必要があれば，比例粘性減衰パラメータ α, β に変換
する．
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )21 2 1 2 2 1
2
rr r r r r r r r r
n n n rn
ωω ω ζ ω ζ ω ζ ζ ζω∆
∆ ≈ + − − ≈ << ⇒ ≈
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
2 111 21
1
2 122 1 2
1 22 2 1
112 222 1 ,
1 1 1 1422 2 2
n nn
n
n nn
n nn n n
AA
A
ω ωω α ζ ζζ α βω
ω ωωζ α β β ζ ζ ω ωω ω ω
= −= + ⇒ =
−= + = − +
加振点固定あるいは応答点固定の n 個の伝達関数についてモード円の大きさ Aij (j=1,2,…,n) を測定する．
正規固有モードの同定
( )( ) ( )
( ) ( )222
21
212
11 2 n
UUAωζ
=
[ ]11Re G
[ ]11Im G [ ]12Im G
( )( ) ( )
( ) ( )211
11
111
11 2 n
UUAωζ
=
[ ]12Re G
( )( ) ( )
( ) ( )222
22
212
12 2 n
UUAωζ
=
( )( ) ( )
( ) ( )211
12
111
12 2 n
UUAωζ
=
正規固有モードの同定(cont.)
モード円の大きさ Aij (j=1,2,…,n) から正規固有モードを計算する．
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 21 1 1 1 2 11
11 1 111 1 2
2 22 2 2 2 2 21
11 1 112 2 2
11 1 11111 11
1 1 2 11 1212 2
2 2211 11
2 2 22 212 2
22
22
22
2
nn
nn
n
n
UA U A
UA U A
UA UUUA U
A UUA U
ζ ωζ ω
ζ ωζ ω
ζ ωζ ω
ζ ω
= ⇒ =
= ⇒ =
== ⇒
=
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
11 211
11 1 2 11211
2 22 2 21 11
2 22 2 2 22 1211
2
2
2
n
n
n
n
A
AA
U A
U AA
ζ ω
ζ ω
ζ ω
=
時間応答あるいは伝達関数を計測して，モードパラメータ（固有振動数，モード減衰比，正規固有モードなど）を設計変数にした．
の最小化問題を解く．
2
= -
多自由度法
二乗誤差 実験データ 理論値
時間応答あるいは伝達関数
6.3 連続体の実験モード解析 実際の構造物は連続体である． 連続体の伝達関数作用素
1点(x=xj∈Γ1)加振の伝達関数作用素
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
1, , d , d
rr r
rr n
xU x z F z z z P zω ω ω
ω ω
∞
Ω Γ=
Φ= Φ + Φ Γ
−∑ ∫ ∫
伝達関数作用素 正規固有振動モード関数 変位の Fourier 変換
境界力の Fourier 変換 物体力の Fourier 変換
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )2 21
, 0 ,
,
rr
j jrrj j n
F x xU x x P
P x P x x
ωω ω
ω ω δ ω ω
∞
=Γ
= Φ ⇒ = Φ= − −
∑
連続体の伝達関数作用素
n 点(x=x1, x2,…, xn∈Γ1)加振 n 点応答の場合
n 自由度系の伝達関数行列と形式的に一致する．
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
2 21
, 0, , , , 1, 2, ,
, i ij j
n
n
n n n nn n
rri
ij jrr n
F xU x U i j n
P x P x x
U G G G PU G G G P
U G G G P
xG x
ωω ω
ω ω δ
ω ω ω ω ωω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
ωω ω
Γ
∞
=
= ≡ == −
=
Φ= Φ
−∑