6 armerede bjÆlker - betonelement-foreningen (bef) · en armeret betonbjælke skal ifølge ec2...

BETONELEMENTER, SEP. 2009 BETONELEMENTBYGGERIERS STATIK

6.1

6 ARMEREDE BJÆLKER

6 ARMEREDE BJÆLKER 1

6.1 Brudgrænsetilstande 3 6.1.1 Bøjning 3

6.1.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode 3 6.1.1.2 Kanttøjning 5 6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering 5 6.1.1.4 Minimum- og maksimumarmering 8

6.1.2 Forskydning 9 6.1.2.1 Diagonaltrykmetoden 10 6.1.2.2 Minimumsarmering 15 6.1.2.3 Dimensioneringsforløb 15

6.1.3 Vridning 17 6.1.3.1 Kombineret vridning og forskydning 19

6.1.4 Beregning af forankringskraft 20 6.1.4.1 Forankring ved ren forskydning 20 6.1.4.2 Forankring ved ren vridning 21 6.1.4.3 Forankring ved kombineret forskydning og vridning 22

6.1.5 Eksempel – Bjælkeberegning i brudgrænsetilstanden 23 6.1.5.1 Beregningsforudsætninger 23 6.1.5.2 Bøjning 23 6.1.5.3 Forskydning 25 6.1.5.4 Vridning 28 6.1.5.5 Kombineret vridning og forskydning 30 6.1.5.6 Forankringskraft 31

6.2 Anvendelsesgrænsetilstande 32 6.2.1 Udbøjning 32

6.2.1.1 Krybning 32 6.2.1.2 Svind 32 6.2.1.3 Tension stiffening 33 6.2.1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværsnit 35 6.2.1.5 Udbøjning for urevnet tværsnit 36

6.2.2 Revnevidder 38 6.2.3 Eksempel – Bjælkeberegning i anvendelsesgrænsetilstanden 39

6.2.3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværsnit 41 6.2.3.2 Udbøjning for urevnet tværsnit 42 6.2.3.3 Udbøjning for tværsnit mellem fuldt revnet og urevnet 42


6.2

6.2.3.4 Revnevidder 44


6.3

6.1 Brudgrænsetilstande

I dette afsnit beskrives beregning af slapt armerede bjælker i det regningsmæssige brudstadie. Afsnit-

tet omhandler dimensionering af bjælker udsat for bøjning, forskydning og vridning. Desuden angives

en beregningsmetode til bestemmelse af den forankringskraft, som skal anvendes ved eftervisning af

armeringens forankring ved vederlaget.

6.1.1 Bøjning

I forbindelse med styrkeeftervisning af slapt armerede betonbjælker anvendes den generelle metode

for tværsnitsanalyse i EC2. Den generelle metode baserer sig på en ikke-lineær arbejdskurve af beto-

nen og en lineær-elastisk ideal-plastisk arbejdskurve af armeringen.

6.1.1.1 Tværsnitsanalyse – generel metode

Tværsnittets ligevægtsbetingelser i brudgrænsetilstanden opstilles som beskrevet i afsnit 2.1.1. Her

blev betonens trykbidrag til ligevægtsligningerne fundet. I dette afsnit findes armeringsbidraget og

ligevægtsligningerne for en bjælke opstilles og løses.

Nc

Nac

Nat1

x

cc

c1

ε0 σc

MRd

b

h

σ ε

y’

c2 Nat2

Tværsnittet, der benyttes, er armeret med et lag trykstænger med et areal Asc og to lag trækstænger

med arealerne Ast1 og Ast2 og med den geometriske placering givet ved cc, c1 og c2.

For en given værdi af den variable trykzonehøjde x og betonens tryktøjning i tværsnitskanten ε0, kan

de geometriske betingelser for armeringstøjningerne i tryklaget εsc og i træklagene εst1 og εst2 skrives

som:

Figur 6-1: Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse


6.4

0

11 0

22 0

csc

st

st

x cx

h x cx

h x cx

ε ε

ε ε

ε ε

−=

− −=

− −=

Tryk/trækkræfterne i armeringen er hermed givet ved:

Trykarmeringen

0minc

sc sac

sc yd

x c A EN x

A f

ε−=

Trækarmeringen

10 1

1

1

min st sat

st yd

h x c A EN x

A f

ε− −=

20 2

2

2

min st sat

st yd

h x c A EN x

A f

ε− −=

Hvor fyd er armeringens regningsmæssige flydespænding. Det er nu muligt at opstille ligevægtslignin-

gerne, som vil bestemme tværsnittets bæreevne.

Projektionsligningen:

catatac NNNN −++−= 210

Momentligningen om tværsnittets nullinje:

( ) ( ) ( )1 1 2 2'Rd c c ac at atM y N x c N h x c N h x c N= ⋅ + − + − − + − −

Hvor y’ er afstanden fra nullinjen til betontrykspændingens resultant, som bestemmes i afsnit 2.1.1.

MRd er tværsnittets momentkapacitet.

Her gives en kort opsummering af iterationsprocessen:

1. Først vælges en værdi for kanttøjningen ε0.

2. Herefter bestemmes x ud fra projektionsligningen.

3. Tværsnittets samlede momentkapacitet MRd fås af momentligningen om tværsnittets nullinje.


6.5

4. En ny værdi af kanttøjningen vælges og det undersøges om resultatet for MRd er gunstigere.

6.1.1.2 Kanttøjning

I stedet for at udføre iterationen som beskrevet i foregående afsnit, har det vist sig rimeligt at antage,

at kanttøjningen er lig med betonens brudtøjning, dvs. ε0 = εcu. Figur 6-2 viser kurver for ”arealet

under spændingsblokken”, Nc’, og ”placering af trykresultanten”, Nc’’. De fuldt optrukne kurver er be-

stemt ud fra antagelsen om at kanttøjningen er lig brudtøjningen. For de stiplede kurver er kanttøj-

ningen blevet optimeret, så tværsnittets momentkapacitet bliver så stort som muligt.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

'cN

''cN

f ck [MPa]

Forskellen på kurverne med kanttøjning sat lig brudtøjningen og kurverne med optimeret kanttøjning

ses at være meget lille, hvorfor det ved praktisk dimensionering er rimeligt at antage ε0 = εcu. Hermed

kan iterationen af kanttøjningen springes over og nullinjens beliggenhed, x, bestemmes direkte af

projektionsligningen og momentkapaciteten, MRd, af momentligningen.

6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering

Trykarmering i en bjælke har normalt meget lille betydning for brudmomentet og det er derfor ofte

rimeligt at se bort fra den i brudgrænsetilstanden. Derimod har trykarmeringen langt større betydning

ved beregninger i anvendelsesgrænsetilstanden.

For en bjælke uden trykarmering kan der opstilles en simpel formel for momentkapaciteten på bag-

grund af tværsnittets armeringsgrad, Φ. Armeringsgraden er givet ved:

Figur 6-2: N'c og N''c optegnet for ε0 = ε cu og for optimeret ε0

0,74


6.6

s yd

cd

A fbdf

Φ =

Hvor d er afstanden fra trækarmeringen til betonkanten.

Nat

σc

Nc y’ x

c

ε0

MRd

b

h

σ ε

d

Betonens trykresultant Nc, ”arealet under spændingsblokken”, Nc’, og ”placering af trykresultanten”,

Nc’’ findes som beskrevet i afsnit 2.1.1.1. Nullinjens placering ligger indenfor tværsnittet, dvs. x ≤ h,

hvilket giver:

( )( )203

1

2

1 1 2 2ln 12

'

'''

c cdc

cc

cd

cc

cd

A BN bxk f B B BB

NNbxfy NN

bx f

εε

− = + + + −

=

=

Projektionsligningen stilles op og trykzonens udbredelse bestemmes:

0 0 ''at c cd cd c

c

dN N bdf bxf N xNΦ

= − ⇔ = Φ − ⇔ =

Resultantens placering målt fra nullinien fås jævnfør afsnit 2.1.1.1:

=''

''

c

c

Ny x

N

Den indre momentarm er givet ved følgende, idet sammenhængen 'c

dxNΦ

= udnyttes:

Figur 6-3: Definitioner, som anvendes i tværsnitsanalyse


6.7

( )( )

( )Φ−≅

Φ

−−=

−−=−−−= 55,0111'

2'

'''

'

''

dN

NNd

N

Nxdyxchz

c

cc

c

c

Værdien

( )' ''

2'0,55c c

c

N N

N

−= er valgt som en konservativ betragtning på baggrund af en antagelse om,

at den kanttøjning, der giver den største momentbæreevne, er brudtøjningen εcu. Værdien ses at være

rimelig ud fra Figur 6-4, hvor

( )' ''

2'

c c

c

N N

N

− er optegnet for et bredt spektrum af betonstyrker. Den kraf-

tigt optrukne linje er udregnet for en kanttøjning lig brudtøjningen. Den stiplede linje angiver de til-

svarende værdier for et tværsnit, hvor kanttøjningen er optimeret.

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

f ck [MPa]

( )2'

'''

c

cc

N

NN −

Momentligevægten opskrives for moment om betonens trykresultant. Hermed fås kun et bidrag fra

trækarmeringen og momentkapaciteten kan bestemmes direkte:

( ) 21 0,55Rd at cdM z N bd f= ⋅ = Φ − Φ for st syε ε≥

Figur 6-4: ( )2

' ''

'c c

c

N N

N

− optegnet for ε 0 = ε cu og for optimeret ε 0


6.8

Ovenstående udtryk gælder kun, når der er flydning i armeringen. Dette kontrolleres ved at undersø-

ge om tværsnittets armeringsgrad er mindre eller lig den balancerede armeringsgrad. Den balancere-

de armeringsgrad, Φbal, er et udtryk for den armeringsgrad, der netop giver flydning i armeringen.

balΦ ≤ Φ

Sammenhængen mellem tøjning og armeringsgrad kan skrives:

' '

1 1 1c cst cu cu cu cu

dN Nd x dx x d

ε ε ε ε ε − = = − = − = − Φ Φ

Herved fås den balancerede armeringsgrad ved at erstatte armeringstøjningen, εst, med armeringens

flydetøjning, εsy:

'

1

cbal

sy

cu

Nεε

Φ =+

På den sikre side kan der regnes med følgende værdier; se også Figur 6-2:

74,0' ≥cN for MPa 50≤ckf

0,003syε ≤ for MPa 600≤ykf

En armeringsgrad på den sikre side fås således til:

40,0

0035,0003,01

74,0=

+≤Φ

6.1.1.4 Minimum- og maksimumarmering

En armeret betonbjælke skal ifølge EC2 minimum have et armeringsareal, As,min, for den langsgående

trækarmering givet ved:

,min

0,26max

0,0013

ctmt

yks

t

f b dfA

b d

=

bt er trækzonens middelbredde, for rektangulære tværsnit fås bt = b.

fctm er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke.


6.9

( )2 30,30ctm ckf f= ⋅ for betoner med fck ≤ 50 MPa

Armeringen begrænses i EC2 også med et maksimum for træk- eller trykarmeringens tværsnitsareal,

As,maks:

, 0,04s maks cA A=

Udtrykket gælder uden for områder med stød.

6.1.2 Forskydning

En bjælkes forskydningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenholde forskydningskraften

VEd med forskydningskapaciteten VRd. Når en bjælkes reaktioner er fastlagt, findes forskydningskraften

i et snit ved at kræve ligevægt for en af de to bjælkedele, som det pågældende snit deler bjælken i.

Ved bestemmelse af forskydningskraftkurven er det vigtigt at tage hensyn til om lasten er bunden

eller fri, da forskydningskraften i visse snit øges ved at fjerne last fra dele af bjælken. Dette gælder

især ved store enkeltkræfter. Den farligste lastopstilling kan findes på følgende måde:

- Al last opfattes på den sikre side som fri last.

- Forskydningskraften i et givent snit bestemmes henholdsvis umiddelbart til venstre og til højre

for snittet, idet lasten opfattes som fri for den betragtede bjælkedel. Den maksimale værdi af

forskydningskraften for de to beregninger benyttes.

For bjælken Figur 6-5 bestemmes den kritiske forskydningskraft i snit A.

A

A

pEd

l

x RA RB

Venstre bjælkedel betragtes ved at opfatte lasten på stykket x som fri:

Figur 6-5: Bestemmelse af forskydningskraften for en bjælke


6.10

( )2

,12Ed venstre A Ed

l xV R p

l−

= =

Højre bjælkedel betragtes og nu opfattes lasten på stykket l-x som fri:

2

,12Ed højre B Ed

xV R pl

= =

Forskydningskraften i snit A fås nu som den største værdi af forskydningskraften henholdsvis til ven-

stre og til højre for snittet.

,

,max Ed venstre

EdEd højre

VV

V

=

Bestemmes forskydningskraftkurven på almindelig vis for udelukkende bunden last, vil kurven for

bjælken i Figur 6-5 danne en ret linje med et nulpunkt på midten. Ved at benytte ovenstående metode

til bestemmelse af forskydningskraftkurven, fås en forskydningskraftkurve på den sikre side uden

nulpunkter, som vist på Figur 6-6.

Forskydningskræfter i kN

0

20

40

60

80

100

120

140

: : : :

6.1.2.1 Diagonaltrykmetoden

For armerede betonbjælker bestemmes forskydningskapaciteten ved diagonaltrykmetoden. Det forud-

sættes i det følgende, at bjælken er forsynet med lodret forskydningsarmering, enten i form af lukke-

de bøjler eller som en kombination af bøjler og opbøjede stænger, eksempelvis i T-tværsnit. Op til 50

% af forskydningsarmering må udføres som opbøjede stænger.

Figur 6-6: Forskydningskraftkurve for en bjælke


6.11

Ved bestemmelse af bjælkens forskydningskapacitet i snit A betragtes det viste rombeformede udsnit

af bjælken. Udsnittet overfører de lodrette kræfter som vist på Figur 6-8, mens vandret ligevægt og

momentligevægt sikres via kræfter i bjælkens trykzone Nc og i hovedarmeringen Nat. Trykzone og

trækzonen regnes her koncentreret i deres respektive tyngdepunkter.

Figur 6-7: Forskydningsarmering udført som lukkede bøjler og opbøjede stænger

bw

A

A

Nc

Nat

V z

Figur 6-8: Placering af udsnit i bjælkekrop


6.12

Selve bjælkekroppen tænkes nu opdelt i en række diagonale tryklameller, der som vist på Figur 6-9

forbinder et knudepunkt mellem en bøjle og hovedarmeringen på den ene side af snit A med et tilsva-

rende knudepunkt mellem bøjle og trykzone på den anden side af A. Forskydningskraften VEd skal nu

optages af de n bøjler over trækningen z·cotθ for at passere snit A, hvor z er den indre momentarm.

Som en tilnærmelse kan z = 0,9d normalt benyttes. d er afstanden fra trækarmeringen til den trykke-

de betonkant.

tEd NnV ⋅=

Bemærk at n ikke nødvendigvis er et heltal. Med bøjleafstanden s bliver n:

cotzns

θ=

Den lodrette trækkraft i den enkelte bøjle findes til:

cot cotw

t Ed ts bsN V N

zτ

θ θ⋅

= ⇒ =

Hvor forskydningsspændingen i tværsnittet er indført ved følgende udtryk:

Ed

w

Vb z

τ =

Figur 6-9: Udsnit med diagonale tryklameller

A

Nat*

A

Nat

Nc Nc*

N’t = Nt - a⋅pEd

N’t

N’t

Nt

Nt

Nt

z

a

z⋅cotθ

θ

PEd


6.13

bw betegner betonkroppens tykkelse. For et rektangulært tværsnit fås bw = b.

Det ses, at jo større cotθ vælges, jo mindre bliver trækket i bøjlerne. Imidlertid kan cotθ ikke vælges

vilkårlig stor, hvilket kan indses ved at betragte en enkelt tryklamel.

Den skrå kraft i tryklamellen fås ved at kræve lodret ligevægt af knudepunktet mellem bøjle og ho-

vedarmering:

' 'sin 0sin

tt b b

NN N Nθθ

− = ⇒ =

Kraften Nb’ optages som enaksede betontrykspændinger i den skrå tryklamel:

'2' ' sin sin

b t tc

w w w

N N Nb b b b s b

σθ θ

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Idet tryklamellens bredde er b’ =s·sinθ. Herefter indsættes det tidligere fundne udtryk for Nt:

2

2

1 cotcot1 cot

1 cot

w

c

w

s b

s b

τ θθσ τθ

θ

⋅+

= =⋅ ⋅

+

Figur 6-10: Forhold i knudepunkt mellem bøjle og hovedarmering

a

T T + Nb’cosθ

Nb’

b’

Nt

θ


6.14

Hvor det ved indsætningen er benyttet, at θ

θ2

2

cot1

1sin

+= .

I henhold til EC2 skal trykspændingen i de skrå tryklameller overholde følgende:

c v cdfσ ν≤ ⋅

Effektivitetsfaktoren νv bestemmes for forskydning i henhold til det nationale anneks:

0,7200

ckv

fν = −

Derfor må cotθ ikke vælges større ende at følgende ulighed er opfyldt:

21 cotcot v cdfθ τ ν

θ+

≤ ⋅

Er dette overholdt findes den nødvendige forskydningsarmering over strækningen z·cotθ ud mod ve-

derlaget fra det betragtede snit A ved at kræve

t sw ywdN A f≤

Asw er forskydningsarmeringens tværsnitsareal i snittet, det vil sige for bøjlearmering snittes

gennem begge bøjlens ben.

fywd er forskydningsarmeringens regningsmæssige flydespænding

Med det fundne udtryk for Nt må bøjleafstanden ikke vælges større end

cotsw ywd

w

A fs

bθ

τ≤

⋅

For slapt armerede bjælker med lodrette bøjler skal cotθ desuden holdes indenfor følgende intervaller:

1 cot 2,5θ≤ ≤

1 cot 2,0θ≤ ≤ for afkortet hovedarmering (normalt ikke interessant for elementer)

Forskydningsbæreevnen kan kort opsummeres med følgende formler, hvor den første gælder flydning

i forskydningsarmeringen og den anden svarer til det skrå betontrykbrud:


6.15

· ·cot

min1cot

cot

swywd

Rd w v cd

A z fs

V b z f

θ

ν

θθ

=

+

6.1.2.2 Minimumsarmering

I det nationale anneks til EC2 stilles nogle minimumskrav til forskydningsarmeringsforholdet og af-

standen mellem forskydningsarmeringen.

Forskydningsarmeringsforholdet er givet ved:

sww

w

Asb

ρ = hvor ,min

0,063 ckw w

ywk

ff

ρ ρ≥ =

fck er betonens karakteristiske trykstyrke

fywk er forskydningsarmeringens karakteristiske flydespænding

Den maksimale afstand mellem forskydningsarmering målt langs bjælkeaksen må ikke overstige smax.

Bøjlearmering: ,max 0,75ls d=

Opbøjede stænger: ,max 0,6bs d=

Desuden må tværafstanden mellem benene i en række af bøjler ikke overstige st,max:

,max 0,75 600ts d mm= ≤

6.1.2.3 Dimensioneringsforløb

Ved dimensionering efter diagonaltrykmetoden findes først den maksimale forskydningskraft i bjæl-

ken, hvilket normalt i bjælkeelementer vil være ude ved et vederlag. Bøjleafstanden kan vælges kon-

stant langs hele bjælkeaksen, svarende til den maksimale forskydningskraft. Dette er naturligvis på

den sikre side. For større bjælker kan det imidlertid være hensigtsmæssigt at optimere bøjleafstanden

lidt mere. Her vælges en bøjleafstand over strækningen l1, bestemt på baggrund af forskydningen V1 i

snit 1, og en anden bøjleafstand over l2 bestemt på baggrund af forskydningen i snit 2.


6.16

Dimensioneringen forløber på følgende vis. Diagonaltrykkets vinkel ved vederlaget, cotθ0, vælges så

begge nedenstående udtryk opfyldes:

21 cot

cot v cdfθ τ νθ

+≤ ⋅ og 1 cot 2,5θ≤ ≤

Afstanden mellem bøjlearmeringen over strækningen l1 bestemmes af:

0

11

cotsw ywdA f zs

Vθ

= , 1 maxs s≤

Hvor Asw er en bøjles tværsnitsareal, fywd er bøjlens regningsmæssige flydespænding og V1 er forskyd-

ningskraften i afstanden z·cotθ fra vederlaget. På tilsvarende vis findes bøjleafstanden s2 over stræk-

ningen l2.

Som vist er det tilladt at regne med forskellig værdi af cotθ hen langs bjælkeaksen. I så fald bestem-

mes cotθ0 ved V0, cotθ1 ved V1, osv.

Større koncentrerede laster, P, kræver ekstra forskydningsarmering. Dette kan der tages hensyn til

ved eksempelvis at bestemme bøjleafstanden over strækningen l2’ svarende til, at der i snit 2 regnes

med en formel forskydningskraft af størrelsen V2 + P, hvor V2 er den reelle forskydningskraft i snit 2.

Over strækningen l2’ findes således bøjleafstanden:

Figur 6-11: bjælke med forskellige trykhældninger

zcotθ0 zcotθ1

l1 l2

z

V = 0

0 1 2

θ0 θ1


6.17

1

22

cot' sw ywdA f z

sV P

θ=

+ , 2 maxs s≤

På strækningen l2-l2’ bestemmes bøjleafstanden svarende til den reelle forskydningskraft V2 i snit 2.

6.1.3 Vridning

En bjælkes vridningsbæreevne verificeres i et kritisk snit ved at sammenholde vridningsmomentet,

TEd, med vridningskapaciteten, TRd. Vridning i en bjælke opstår eksempelvis, hvis forskydningskraften

eller reaktionen er placeret excentrisk i forhold til bjælkeaksen.

Bestemmelse af vridningsbæreevnen er baseret på diagonaltrykmetoden og minder i høj grad om

bestemmelse af forskydningsbæreevnen. Vridningsmomentet forudsættes optaget som et lodret og et

vandret kraftpar, Vl og Vv, som vist på Figur 6-13. Snitkræfterne antages at fordele sig svarende til en

jævn fordelt forskydningsspænding τt over et tyndfliget tværsnit rundt langs bjælkens periferi.

Figur 6-12: bjælke med større enkeltkræfter

l’2 l2 – l’2

l1 l2

z

V = 0

0 1 2

θ0 θ1

P


6.18

Den effektive vægtykkelse af det tyndfligede tværsnit sættes til:

efAtu

=

Hvor A er tværsnittets totale areal, inklusive hulrum, og u er den udvendige omkreds:

( )2A bhu b h

=

= +

tef bør ikke regnes mindre end to gange afstanden mellem betonens yderkant og længdearmeringens

midtpunkt.

For vridningsmomentet TEd fås forskydningsspændingen i en væg i tværsnittet til:

Vv

Vv

Vl Vl

b’

h’ Td = b’Vl + h’Vv

tef

h’ = h – tef

b’ = b – tef

Figur 6-14: Tyndfliget tværsnit

Figur 6-13: Indre kraftpar


6.19

2

Edt

k ef

TA t

τ =

Hvor ( )( )k ef efA b t h t= − − er arealet omsluttet af midterlinjerne i det tyndfligede tværsnit, inklusive

hulrum.

Forskydningsspændingen τt omskrives til en forskydningskraft i en væg i tværsnittet, VEd,i.

,Ed i t ef iV t zτ=

Hvor zi er sidelængden i den betragtede tværsnitsvæg.

Eftervisningen af vridningsmomentets optagelse er nu reduceret til en opgave bestående i at eftervise

forskydningsoptagelsen i det tyndfligede tværsnits vægge. Løsningen af denne opgave er helt analog

til eftervisningen af bjælkens forskydningsbæreevne ved hjælp af diagonaltrykmetoden. Forskydnings-

spændingen τt indsættes i udtrykkende for forskydningskapaciteten og der isoleres med hensyn til TRd:

· ·cot· ·cot

min min 21 1cot cot

cot cot

swswk ywdywd

Rd Rd ef k t cdw v cd

AA A fz fss

V T t A fb z f

θθ

νν

θ θθ θ

= ⇒ = ⋅

+ +

Her er udnyttet at den indre momentarm z = zi og tværsnitsbredden bw = tef. Endvidere er armerings-

arealet Asw det samme som ved forskydningsberegningen, det vil sige for en bøjle snittes gennem

begge bøjlens ben.

Effektivitetsfaktoren for vridningspåvirkning er i det nationale anneks til EC2 givet ved:

0,7 0,7200

ckt

fν = −

6.1.3.1 Kombineret vridning og forskydning

Når bjælken påvirkes af kombineret forskydning og vridning, skal det eftervises, at nedenstående

udtryk er opfyldt.

1Ed Ed

Rd Rd

T VT V

+ ≤


6.20

Vridningsmomentet udtrykkes ved forskydningskraften TEd = VEde. Ved indsættelse i ovenstående og

isolering af VEd fås:

·1,0 ...

·Ed Ed Rd Rd

EdRd Rd Rd Rd

T V T VVT V V e T

+ ≤ ⇔ ⇔ ≤+

Hermed fås en reduktion af tværsnittets forskydningskapacitet som kan sammenlignes direkte med

forskydningskraftkurven. Excentriciteten e varierer gennem bjælken. På den sikre side kan den mak-

simalt forekommende excentricitet, emax, anvendes i alle bjælkesnit. Alternativt laves en beregning for

hvert kritisk snit, med anvendelse af den nøjagtige excentricitet i snittet.

6.1.4 Beregning af forankringskraft

Forskydnings- og vridningspåvirkning af en bjælke giver anledning til trækkræfter i længdearmerin-

gen, se eksempelvis Figur 6-15. Ved dimensionering af længdearmeringen er det tilstrækkeligt at

vælge en armeringsmængde svarende til det maksimale moment. Ved vederlaget, hvor forskydningen

er ofte er størst, er det imidlertid vigtigt at sikre, at længdearmeringen er forankret for den trækkraft

som forskydning og vridning er årsag til. I dette afsnit bestemmes forankringskraften for henholdsvis

forskydning og vridning, hvorefter de kombineres.

6.1.4.1 Forankring ved ren forskydning

Forankringskraften for forskydningspåvirkning bestemmes ved simpel momentligevægt. Der tages

moment om trykresultanten i afstanden zcotθ fra vederlaget. Under forudsætning af at der er tilstræk-

keligt med bøjler og at de er jævnt fordelt, kan forskydningsresultanten antages at angribe ½⋅z⋅cotθ

fra vederlaget. Det ses at den lodrette kraft, der skal forankres for, er forskydningskraften ved veder-

laget, V0.

Momentligevægt: 0 0 01 1cot cot cot2 2td tdV z V z F z F Vθ θ θ= + ⇔ =


6.21

1/2·z·cot(θ)

V0

z

V0

Ftd

Fc

z·cot(θ)

6.1.4.2 Forankring ved ren vridning

Ved vridningsoptagelse kan tværsnittet opfattes som et tyndfliget tværsnit med forskydningsspændin-

ger i de tynde vægge som vist på Figur 6-14. Forankringskraften for længdearmering ved vridning kan

herefter findes for de enkelte tynde vægge som forankring ved forskydning, afsnit 6.1.4.1. Dette giver

en trækforankringskraft i hvert af tværsnittets hjørner. Den længdearmering, der tilføres tværsnittet

af hensyn til vridning bør fordeles over sidelængden, men for mindre tværsnit kan den koncentreres i

hjørnerne.

h

b

τ

τ

τ

τ

tef

Ftd,V Ftd,L

Ftd,L Ftd,V

Forskydningsspændingerne i en enkelt tynd væg, τ , kan bestemmes jævnfør afsnit 6.1.3 som:

( )( )2 2Ed Ed

tk ef ef ef ef

T TA t h t b t t

τ = =− −

Figur 6-15 Forankringskraft ved ren forskydning

Figur 6-16: Tværsnit påvirket til vridning


6.22

Forskydningskraften i hver af de fire vægskiver kan nu bestemmes af ,Ed i t ef iV t zτ= , hvilket giver føl-

gende forskydningskræfter i henholdsvis de lodrette og vandrette vægge:

· ·( )2 ( )( ) 2( )

· ·( )2 ( )( ) 2( )

Ed EdL ef

ef ef ef ef

Ed EdV ef ef

ef ef ef ef

T TV t h tt h t b t b t

T TV t b tt h t b t h t

= − =− − −

= − =− − −

Forankringskraften i de fire hjørner fås af 1 cot2tdF V θ= :

,

,

·cot( )4( )

·cot( )4( )

Edtd L

ef

Edtd V

ef

TFb tTFh t

θ

θ

=−

=−

Forankringskraften i det ene hjørne kan være forskellig fra forankringskraften i det andet hjørne, af-

hængigt af tværsnittets dimensioner.

6.1.4.3 Forankring ved kombineret forskydning og vridning

Som udgangspunkt bestemmes den samlede forankringskraft for vridning og forskydning som sum-

men af de to bidrag. Forankringskraften i bunden af bjælken fås således principielt til:

, , ,td bund td td L td VF F F F= + +

Tilsvarende fås forankringskraften i toppen af bjælken principielt til:

, , ,td top td L td VF F F= +

Da forankringskraften ikke nødvendigvis er ens i hjørnerne bør kræfterne på den sikre side bestem-

mes som vist nedenfor, således at forankringskraften kan fordeles ligeligt mellem de to hjørner.

{ }{ }

, , ,

, , ,

2·max ;

2·max ;td bund td td L td V

td top td L td V

F F F F

F F F

= +

=


6.23

6.1.5 Eksempel – Bjælkeberegning i brudgrænsetilstanden

I dette eksempel betragtes en simpelt understøttet betonbjælke i brudgrænsetilstanden. Bjælkens

bæreevne bestemmes med hensyn til bøjning, forskydning, vridning og forankring.

6.1.5.1 Beregningsforudsætninger

Tværsnit 420 mm x 300 mm

Karakteristisk betontrykstyrke fck = 35 MPa

Regningsmæssig betontrykstyrke fcd = 35 MPa/1,4 = 25 MPa

Armering 4 stk. Y16, én i hvert hjørne.

Asc = 402 mm2

Ast = 402 mm2

c = 40 mm

Karakteristisk flydespænding for længdearmeringen fyk = 500 MPa

Regningsmæssig flydespænding for længdearmeringen fyd = 500 MPa/1,2 = 417 MPa

Forskydningsarmering bøjler Y6.

Asw = 2⋅28 mm2

Karakteristisk flydespænding for bøjlearmeringen fyk = 410 MPa

Regningsmæssig flydespænding for bøjlearmeringen fyd = 410 MPa/1,2 = 342 MPa

Bjælkelængde L = 5000 mm

6.1.5.2 Bøjning

Det maksimale regningsmæssige moment bestemmes ud fra lastopstillingen Figur 6-17. Moment-

kurven er givet ved:

420 m

m

300 mm

2 stk. Y16

2 stk. Y16

Bjl. Y6 pr. 150/200

a=0,7 m

L=5,0 m

pd = 14,0 kN/m

Qd = 35 kN

Figur 6-17: Bjælketværsnit og statisk system


6.24

( ) ( ) 21 1 12 2 2

dd d d d d

Q aL xM x p x L x Q a p x p L x Q aL L− = − + = − + − +

Punktet for momentmaksimum findes:

( )1

1 2' 0 02

1 35 0,714 5,02 5,0 2,15

14

dd

dd d

d

Q ap LQ a LM x p x p L xL p

kN kN mmm mx mkN

m

−= ⇔ − + − = ⇔ =

⋅⋅ ⋅ −= =

Det maksimale moment findes ved indsættelse af x i udtrykket for momentkurven:

( ) ( )5,0 2,151 14 2,15 5,0 2,15 35 0,7 56,92 5,0Ed

m mkNM m m m kN m kNmm m

−= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ =

Der ses bort fra trykarmeringen. Hermed kan de simple formler fra afsnit 6.1.1.3 benyttes.

Armeringsgrad:

402 417 0,0588

300 380 25s yd

cd

A f mm MPabdf mm mm MPa

⋅Φ = = =

⋅ ⋅

0,4Φ ≤ det vil sige, at armeringsgraden er mindre end den balancerede armeringsgrad. Der er flyd-

ning i armeringen og nedenstående udtryk for momentkapaciteten kan anvendes.

Momentkapacitet:

( )

( ) ( )

2

2

1 0,55

0,0588 1 0,55 0,0588 300 380 25 61,6

Rd cd

Rd

M bd f

M mm mm MPa kNm

= Φ − Φ

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Momentbæreevnen ses at være tilstrækkelig: 56,9 61,6Ed RdM kNm M kNm= ≤ =

Den indre momentarm bestemmes til brug for forskydningsberegningen:

( ) ( )1 0,55 380 1 0,55 0,0588 367,7z d mm mm= − ⋅Φ = − ⋅ =


6.25

6.1.5.3 Forskydning

Tværsnittet forsynes med bøjlearmering bestemt efter diagonaltrykmetoden. Diagonaltrykkets vinkel

ved vederlaget vælges til cotθ = 1,5, hvilket er indenfor intervallet 1 cot 2,5θ≤ ≤ . Vinklen holdes

konstant i hele bjælkens længde. Bjælken inddeles i længder af cot 367,7 1,5 0,55z mm mθ = ⋅ = .

Minimumsarmeringsgrad og den maksimale bøjleafstand findes:

,min

2

0,0630,063

2 28 410 205300 0,063 35

ywkck sww w

ywk w ck

ff Asf b f

mm MPas mmmm MPa

ρ ρ≥ = ⇔ ≤

⋅≤ =

,max 0,75 0,75 380 285ls d mm mm= = ⋅ =

Det vil sige at bøjlerne placeres pr. minimum 200 mm.

Herudover tjekkes, om tværsnittet er så bredt, at der behøves mere end én bøjle pr. snit:

,max 0,75 0,75 380 285 600ts d mm mm mm= = ⋅ = ≤

Afstanden mellem bøjlebenene fås til: ,max300 2 40 2 6 208 285tmm mm mm mm s mm− ⋅ − ⋅ = ≤ = ,

hvilket er ok. Der behøves kun én bøjle pr. snit.

Forskydningskraften bestemmes for hvert område. Princippet fra afsnit 6.1.2 benyttes.


6.26

V1 (x=0,55m)

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

1,

2

22

1,

12

5,0 0,55 35 5,0 0,71 14 27,7 30,1 57,82 5,0 5,0

0,551 1 14 0, 42 2 5,0

dvenstre d

højre d

L x Q L aV p

L Lm m kN m mkN kN kN kN

m m m

mx kNV p kNL m m

− −= +

− −= ⋅ + = + =

= = ⋅ =

1,1

1,

57,8max max 57,8

0,4venstre

højre

V kNV kN

V kN

= = =

Afstand mellem armeringsbøjler:

20

1 31

cot 2 28 342 367,7 1,5 18357,8 10

sw ywdA f z mm MPa mms mmV N

θ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ , 1 max 200s s mm≤ =

Bøjleafstanden vælges til 150 mm.

Figur 6-18: Bestemmelse af forskydningskræfter

l’2

a=0,7 m

L=5,0 m

pd = 14,0 kN/m

Qd = 35 kN

l1 l2 – l’2

V1 V2 V3


6.27

V2 (x=1,10m)

( ) ( )

( )

2 2

2,

22

2,

5,0 1,101 1 14 21,32 2 5,0

1,11 1 35 0,714 1,7 4,9 6,62 2 5,0 5,0

venstre d

dhøjre d

L x m mkNV p kNL m m

mQ ax kN kN mV p kN kN kNL L m m m

− −= = ⋅ =

⋅= + = ⋅ + = + =

2,2

2,

21,3max max 21,3

6,6venstre

højre

V kNV kN

V kN

= = =

Punktlasten Qd er beliggende på strækningen l2. Derfor skal forskydningsarmeringen øges på stræk-

ningen l’2. Her regnes med forskydningskraften V2 + Qd.

Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l2:

21

2 32

cot 2 28 342 367,7 1,5 49621,3 10


θ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ , 2 max 200s s mm≥ =

Bøjleafstanden er givet ved smax og sættes til 200 mm.

Afstand mellem armeringsbøjler på strækningen l’2:

21

2 3 32

cot 2 28 342 367,7 1,5' 18821,3 10 35 10

sw ywd

d

A f z mm MPa mms mmV Q N N

θ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

+ ⋅ + ⋅ , 2 max' 200s s mm≤ =

Bøjleafstanden vælges til 150 mm.

V3 (x=4,45m)

I den modsatte ende af bjælken bestemmes forskydningskraften V3 beliggende 0,55 m fra understøt-

ningen. Snit 3 er det snit, der giver den største forskydningskraft for den resterende del af bjælken.

( ) ( )

( )

2 2

3,

22

3,

5,0 4,451 1 14 0,42 2 5,0

4,451 1 35 0,714 27,7 4,9 32,62 2 5,0 5,0

venstre d

dhøjre d

L x m mkNV p kNL m m

mQ ax kN kN mV p kN kN kNL L m m m

− −= = ⋅ =

⋅= + = ⋅ + = + =

3,3

3,

0,4max max 32,6

32,6venstre

højre

V kNV kN

V kN

= = =


6.28

Afstand mellem armeringsbøjler:

22

3 33

cot 2 28 342 367,7 1,5 32432,6 10


θ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ , 3 max 200s s mm≥ =

Bøjleafstanden er givet ved smax og sættes til 200 mm, og den resterende del af bjælken forskyd-

ningsarmeres ligeledes med minimumsarmering.

Til slut undersøges om trykstyrken i betonen overskrides for den valgte vinkel θ:

Største forskydningsspænding: 357,8 10 0,5

300 367,7Ed

w

V N MPab z mm mm

τ ⋅= = =

⋅

Effektivitetsfaktor for forskydning: 350,7 0,7 0,525

200 200ck

vfν = − = − =

Følgende udtryk ligning skal opfyldes:

2 21 cot 1 1,5 0,5 1,1 0,525 25 13,1

cot 1,5v cdf MPa MPa MPa MPaθ τ νθ

+ +≤ ⋅ ⇔ ⋅ = ≤ ⋅ =

Der er således ikke problemer med betontrykket i forhold til diagonaltrykkets vinkel.

Forskydningskapaciteten udregnes for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 200 mm og for tryk-

brud i beton. Disse kapaciteter er praktiske i forhold til den følgende undersøgelse af kombineret vrid-

ning og forskydning.

Bøjler pr. 150 mm: 22 28· ·cot 367,7 342 1,5 70, 4

150sw

Rd ywdA mmV z f mm MPa kNs mm

θ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ =

Bøjler pr. 200 mm: 22 28· ·cot 367,7 342 1,5 52,8

200sw

Rd ywdA mmV z f mm MPa kNs mm

θ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ =

Trykbrud i beton: 300 367,7 0,525 25 668, 21 1cot 1,5

cot 1,5

w v cdRd

b z f mm mm MPaV kNν

θθ

⋅ ⋅ ⋅= = =

+ +

6.1.5.4 Vridning

De påsatte laster antages nu at angribe bjælken med en excentricitet, hvilket giver en vridningspå-

virkning. Excentriciteten for den jævnt fordelte last pd sættes til 20 mm, mens den for enkeltkraften

Qd sættes lig 50 mm. Vridningsmomentet bestemmes i de samme tre snit, som vist i eksemplet afsnit


6.29

6.1.5.3. Vridningsmomentet er givet ved Ed EdT V e= ⋅ , hvilket giver følgende værdier for vridnings-

moment og samlet excentricitet i de tre snit vist på Figur 6-19:

1 1, 1,

1

27,7 20 30,1 50 2,1

2,1 3627,7 30,1

p p Q QT V e V e kN mm kN mm kNmkNme mm

kN kN

= + = ⋅ + ⋅ =

= =+

2 2, 2,

2

21,3 20 0,420

p p Q QT V e V e kN mm kNme mm

= + = ⋅ =

=

3 3, 3,

3

27,7 20 4,9 50 0,8

0,8 2527,7 4,9

p p Q QT V e V e kN mm kN mm kNmkNme mm

kN kN

= + = ⋅ + ⋅ =

= =+

Det kritiske snit ses at være snit 1, både med hensyn til vridningsmoment og excentricitet. I den vide-

re beregning benyttes følgende maksimale vridningsmoment og excentricitet:

max

2,136

EdT kNme mm

==

De geometriske parametre bestemmes.

Tværsnitsareal: 2300 420 126000A bh mm mm mm= = ⋅ =

Udvendig omkreds: ( ) ( )2 2 300 420 1440u b h mm mm mm= + = ⋅ + =

Effektiv tykkelse: 2126000 87,5

1440efA mmt mmu mm

= = =

Hvilket er større end 2 2 40 80c mm mm⋅ = ⋅ =

Tværsnitsareal:

( )( ) ( ) ( ) 2300 87,5 420 87,5 70656k ef efA b t h t mm mm mm mm mm= − − = − − =

Effektivitetsfaktoren for vridning er 350,7 0,7 0,7 0,7 0,368

200 200ck

tf

ν = − = − =

Vridningskapaciteten for henholdsvis bøjler pr. 150 mm, bøjler pr. 200 mm og for trykbrud i beton fås

nu af:


6.30

Bøjler pr. 150 mm:

2

22 28· ·cot 70656 342 1,5 13,5150

swRd k ywd

A mmT A f mm MPa kNms mm

θ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ =

Bøjler pr. 200 mm:

2

22 28· ·cot 70656 342 1,5 10,1200

swRd k ywd

A mmT A f mm MPa kNms mm

θ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ =

Trykbrud i beton:

22 2 87,5 70656 0,368 25 52,51 1cot 1,5

cot 1,5

ef k t cdRd

t A f mm mm MPaT kNmν

θθ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

+ +

Det ses at vridningskapaciteten set isoleret er fuldt tilstrækkelig, da TEd = 2,1 kNm ≤ TRd for begge

bøjleameringsgrader.

6.1.5.5 Kombineret vridning og forskydning

Vridning og forskydningskapaciteterne skal kombineres, hvilket giver en reduceret forskydningskapa-

citet, der kan sammenlignes direkte med VEd i det pågældende snit. På den sikre side benyttes e = 36

mm for alle snit.

Bøjler pr. 150: · 13,5 70,4 59,3

· 70,4 0,036 13,5Rd Rd

EdRd Rd

T V kNm kNV kNV e T kN m kNm

⋅≤ = =

+ ⋅ +

På strækningen l1 fås V1 = 57,8 kN ≤ 59,3 kN OK!

På strækningen l’2 fås V2 + Qd = 21,3 kN + 35 kN = 56,3 kN ≤ 59,3 kN OK!

Bøjler pr. 200: · 10,1 52,8 44,4

· 52,8 0,036 10,1Rd Rd

EdRd Rd

T V kNm kNV kNV e T kN m kNm

⋅≤ = =

+ ⋅ +



Den nødvendige forskydningsarmering for en kombineret påvirkning med forskydning og vridning er

vist på Figur 6-19.


6.31

6.1.5.6 Forankringskraft

Længdearmeringen skal forankres for vridning og forskydning. Forankringen skal ske for den maksi-

male forskydningskraft, hvilket i dette tilfælde er V0 ved vederlaget nærmest enkeltkraften. V0 be-

stemmes:

( ) ( )

0

35 5,0 0,71 1 14 5,0 65,12 2 5,0

dd

Q L a kN m mkNV p L m kNL m m

− −= + = ⋅ + =

Forankring ved ren forskydning: 01 1cot 65,1 1,5 48,82 2tdF V kN kNθ= = ⋅ ⋅ =

Forankring ved ren vridning: ( )

( )

,

,

2,1·cot( ) 1,5 3,74( ) 4 300 87,5

2,1·cot( ) 1,5 2, 44( ) 4 420 87,5

Edtd L

ef

Edtd V

ef

T kNmF kNb t mm mmT kNmF kNh t mm mm

θ

θ

= = ⋅ =− −

= = ⋅ =− −

Forankring ved kombination af forskydning og vridning:

{ }

{ }, , ,

, , ,

2·max ; 48,8 2 3,7 56, 2

2·max ; 2 3,7 7, 4td bund td td L td V

td top td L td V

F F F F kN kN kN

F F F kN kN

= + = + ⋅ =

= = ⋅ =

Figur 6-19: Nødvendig bøjlearmering for kombineret forskydning og vridning

0,7 m 4,3 m

pd = 14,0 kN/m / e = 20 mm

Qd = 35 kN / e= 50 mm

l1 l’2 l2 – l’2

V1 V2 V3

Bjl. Y6 pr.

150 mm

Bjl. Y6 pr. 200 mm


6.32

6.2 Anvendelsesgrænsetilstande

I anvendelsesgrænsetilstanden er der principielt to væsentlige emner, nemlig udbøjning og revnevid-

der. Der stilles normalt krav til udbøjningernes maksimale størrelse, dels af æstetiske årsager, men

også rent funktionelt, hvor konstruktionen bygges sammen med andre og mere følsomme bygnings-

dele, eksempelvis en glasfacade. Revnevidder har betydning for betonens holdbarhed og modstands-

evne mod vandindtrængning.

6.2.1 Udbøjning

Der er mange faktorer, der spiller ind når der laves en tværsnitsanalyse i anvendelsesgrænsetilstan-

den. Størrelsen på udbøjninger er betinget af belastningens størrelse samt krybning og svind. Kryb-

ning afhænger af lastens varighed, mens svind relaterer sig til betonens alder. Begge dele er detalje-

ret beskrevet i afsnit 2.1.3 samt i afsnit 6.2.1.1 og 6.2.1.2.

Beregningerne vanskeliggøres yderligere, fordi betonens stivhed varierer afhængig af, hvor vidt tvær-

snittet er revnet eller urevnet. I anvendelsesgrænsetilstanden regnes med en lineærelastisk arbejds-

linje for betonen, hvor trækstyrken tages med i regning. Det urevnede tværsnit besidder således en

trækkapacitet, mens der ikke kan overføres træk gennem et fuldt revnet tværsnit. I praksis befinder

mange tværsnit sig i grænsetilstanden mellem urevnet og fuldt revnet tværsnit, hvor trækkapaciteten

er begrænset men dog til stede. Tension stiffening er et udtryk for denne effekt i grænsetilstanden.

Ved analyse af udbøjninger er det oftest nødvendigt at lave en beregning både for det urevnede og

det revnede tværsnit, hvorefter effekten fra tension stiffening kan vurderes og den endelige udbøjning

bestemmes. Dette vises i afsnit 6.2.1.3.

6.2.1.1 Krybning

Ved langvarig belastning kryber betonen, det vil sige at betonens tøjning øges mens spændingen for-

bliver konstant. Dette har betydning for betonens stivhed og dermed størrelsen af udbøjninger. Den

letteste måde at tage højde for krybning i anvendelsesstadiet er ved at benytte faktoren α, som angi-

ver forholdet mellem armeringens og betonens elasticitetsmodul. Grunden til at dette er den mest

rationelle måde er, at belastninger ofte består af en kombination af korttids- og langtidslaste, hvor

kun langtidslasten giver anledning til krybning. Første skridt i en udbøjningsanalyse er således at

skønne hvor stor en andel af belastningen, der er henholdsvis langtids- og korttidslast og dermed

bestemme α. Dette er nærmere beskrevet i afsnit 2.1.2.

6.2.1.2 Svind

Svindets bidrag til udbøjningen kan beregnes med følgende formel:

2110

as cs s

T

Su LI

ε α=


6.33

us er udbøjningstillægget fra svind

εcs er svindtøjningen, der bestemmes iht. afsnit 2.1.3

Sa er det statiske moment af armeringen om tværsnittets tyngdepunktsakse

IT er tværsnittets transformerede tværsnit

α er forholdet mellem armeringens elasticitetsmodul og betonens elasticitetsmodul, som be-

skrevet i afsnit 6.2.1.1

Ls er søjlelængden

For symmetriske urevnede tværsnit ses svindbidraget at falde bort, da det statiske moment af arme-

ringen om tyngdepunktet er nul.

6.2.1.3 Tension stiffening

Konstruktionselementers udbøjning afhænger af om tværsnittet er revnet eller urevnet. I overgangs-

tilstanden mellem det urevnede og det fuldt revnede tværsnit er der en reduceret trækkapacitet om-

kring de begyndende revner. Effekten af dette kaldes tension stiffening.

Grafen Figur 6-20 viser en udbøjningsberegning dels for et urevnet og et revnet tværsnit samt over-

gangen mellem de to kurver givet ved en beregning, hvor tension stiffening medregnes.

Udbøjningen i bestemmes ud fra følgende formel:

( )1revnet urevnetu u uζ ζ= + −

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Beregnet udbøjning inkl.

tension stiffening

Udbøjning ved urevnet tværsnit

Udbøjning ved revnet tværsnit

Bæreevnen iht EC2

M 0Ed [kNm]

u [mm]

Figur 6-20: Udbøjning for revnet og urevnet tværsnit, samt tension stiffening


6.34

ζ er fordelingskoefficient, der tager hensyn til tension stiffening og den bestemmes ved

2

1

−=

s

sr

σσ

βζ

For urevnet tværsnit er ζ =0. På den sikre side kan ses bort fra tension stiffening (i.e. ζ =1),

og uurevnet er i så fald ikke nødvendig at beregne.

β er en koefficient der tager hensyn til lastvarigheden. For vægge og søjler, hvor en stor andel

af lasten som regel er egenvægt skal β sættes til 0,5. For en enkelt forekommende kort-

tidslast sættes β = 1.

σs er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse om at tværsnittet er fuldt

revnet.

σsr er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse af revnet tværsnit, men på-

virket af den last, der netop forårsager den første revne. σsr bestemmes ud fra det moment,

der fremkalder spændingen fctm i den nederste betonfiber, når tværsnittet er påvirket af den

normalkraft, der er antaget i anvendelsesstadiet.

urevnet er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om at tværsnittet er fuldt revnet, dvs. trækstyr-

ken af betonen ikke længere har nogen betydning.

uurevnet er udbøjningen bestemt ud fra en antagelse om at tværsnittet er urevnet.

For urevnet tværsnit sættes ζ =0, hvilket betyder at der ikke er en kontinuert overgang mellem revnet

og urevnet tværsnit for β = 0,5.

Det er vigtigt at gøre sig klart, at bidraget til udbøjningen fra tension stiffening gør, at de beregnede

udbøjninger og tværsnitsspændinger ikke giver en statisk ækvivalent løsning.

For asymmetrisk tværsnit skal der som nævnt i afsnit 6.2.1.2 tillægges et udbøjningsbidrag fra svind.

Også for dette udbøjningsbidrag anvendes formlen for tension stiffening, nu på formen:

( ), , 2

, ,

1 110

a revnet a urevnets sc s

T revnet T urevnet

S Su L

I Iε α ζ ζ

= + −

Bestemmelse af σsr

Det moment, der netop revner tværsnittet, Mr, fås ved at sætte betonspændingen i den trækpåvirkede

betonkant lig trækstyrken fctm. Momentet bestemmes ved hjælp af Navier, på baggrund af antagelse

om urevnet tværsnit:


6.35

,

, 22

T urevnetrctm T r ctm

T urevnetT

IM hf y M fhI y

= + ⇔ = +

fctm er middelværdien for betonens enaksede trækstyrke.

( )2 30,30ctm ckf f= ⋅ for betoner med fck ≤ 50 MPa

IT,urevnet er det transformerede inertimoment for urevnet tværsnit, som bestemmes i afsnit 6.2.1.5.

yT er afstanden fra tværsnittets centerlinje til tyngdepunktsaksen, ligeledes bestemt i afsnit

6.2.1.5. Bemærk fortegnsregningen.

σsr er spændingen i trækarmeringen bestemt på baggrund af antagelse om revnet tværsnit. Momentet

Mr påføres tværsnittet og der udføres en tværsnitsanalyse som beskrevet i afsnit 6.2.1.4. Hvis tvær-

snittet har mere end et trækarmeringslag, kan spændingen σsr bestemmes som en vægtet værdi af

trækarmeringsspændingerne.

6.2.1.4 Udbøjninger for fuldt revnet tværsnit

Nedenfor opstilles den statiske ækvivalens for et betontværsnit med trykarmering samt to lag træk-

armering påvirket af moment. I anvendelsesgrænsetilstanden benyttes en lineær-elastisk arbejdslinje,

hvor forholdet mellem spændingerne i beton og armering er givet ud fra tværsnittets geometri samt

størrelsen α.

σsc/α

σ st2/α

x

cc

c1

ε0(1+ϕef) σ c

MEd

b

h

σ ε

c2

σ st1/α

Betonens kantspænding benævnes σc. De geometriske betingelser giver hermed armeringsspændin-

gerne:



6.36

11

22

csc c

st c

st c

x cx

h x cx

h x cx

σ ασ

σ ασ

σ ασ

−=

− −=

− −=

Ligevægtsligningerne kan nu opstilles.

Projektionsligningen:

1 1 2 2102 c sc sc st st st stbx A A Aσ σ σ σ= + − −

Momentligningen om tværsnittets centerlinje:

1 1 1 2 2 212 2 3 2 2 2Ed c sc sc c st st st st

h x h h hM bx A c A c A cσ σ σ σ = − + − + − + −

Nullinjens beliggenhed findes ved at indsætte de geometriske betingelser i projektionsligningen. Dette

giver en 2.grads-ligning, der kan løses for x.

Tværsnitsspændingerne kan bestemmes på følgende måde: Betonkantspændingen σc findes ved ind-

sættelse af x i momentligningen og armeringsspændingerne fås til slut af de geometriske betingelser

ved at indsætte σc.

Bjælkens udbøjningskurve antages at være parabelformet. Udbøjningen kan tilnærmelsesvis skrives:

2110

u Lκ=

Hvor κ er bjælkens krumning. Udtrykkes krumningen ved hjælp af betonkantspændingen fås:

2110

crevnet

su LE x

σ

α

=

6.2.1.5 Udbøjning for urevnet tværsnit

Når betontværsnittet er urevnet er spændings og udbøjningsbestemmelsen end del lettere end for

revnet tværsnit. Beregningerne for urevnet tværsnit baseres på transformeret tværsnit, hvor areal,

statisk moment og inertimoment bestemmes. Armerings- og betonspændinger kan herefter findes ved


6.37

hjælp af Navier’s formel. I denne fremstilling påvirkes tværsnittet af både et bøjende moment og en

normalkraft. Den anvendte metodik gælder derfor både for bjælker og søjler.

For et rektangulært tværsnit med et lag trykarmering og to lag trækarmering kan tværsnitskonstan-

terne opstilles på følgende vis.

Transformeret areal: 1 2( )T C S C sc st stA A A A A A Aα α= + = + + +

Transformeret statisk moment om centerlinjen:

1 1 2 202 2 2T C S sc c st sth h hS S S A c A c A cα α

= + = + − − − − −

yT angiver placering af tværsnittets tyngdepunktsakse i forhold til tværsnittets centerlinje:

TT

T

SyA

=

Bemærk at yT her regnes positiv, når den ligger over centerlinjen. Dette betyder, at yT ofte vil være

negativ.

Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen:

2 2 223

1 1 2 21

12 2 2 2T C S T sc T c st T st Th h hI I I bh bhy A y c A y c A y cα α

= + = + + − − + + − + + −


MEd

y

ε0(1+ϕef)

½ h yT

x

σst1/α

σc

cc

c1

c2 σst2/α

σsc/α

tyngdepunktsakse

NEd


6.38

Udbøjningen for en given momentpåvirkning MEd er nu tilnærmelsesvis givet ved:

2110

Edurevnet

ST

Mu LE Iα

=

Hvor bjælkens krumning er udtrykt ved det påførte moment og det transformerede inertimoment:

Ed

sT

ME I

κ

α

=

Armeringsspændinger og betonkantspændingen for urevnet tværsnit findes af Navier’s formel:

1 1

2 2

2

2

2

2

Ed Edc T

T T

Ed Edsc T c

T T

Ed Edst T

T T

Ed Edst T

T T

N M h yA I

N M h y cA I

N M h y cA I

N M h y cA I

σ

σ α

σ α

σ α

= + −

= + − −

= − + + −

= − + + −

NEd er lig nul for bjælker uden normalkraft, men er som nævnt medtaget her af hensyn til senere søj-

le/væg beregninger.

6.2.2 Revnevidder

Revnevidder bestemmes i henhold til EC2. Revnevidderne bestemmes for langtidslast ud fra en anta-

gelse om, at tværsnittet er fuldt revnet. Dette betyder, at de beregnede udbøjninger og revnevidder

ikke svarer til den samme spændingstilstand.

Den maksimale revnevidde er givet ved:

( )cmsmmaksrk sw εε −= ,

sr,maks er den maksimale revneafstand.

εsm er middeltøjningen i armeringen under den relevante lastkombination, inklusiv virkningen af

tvangsdeformationer og under hensyntagen til virkningen fra tension stiffening.


6.39

εcm er middeltøjningen i betonen mellem revnerne.

Forskellen mellem εsm og εcm kan beregnes som:

( ),,

,

10,6

ct effs t e p eff

p eff ssm cm

s s

fk

E E

σ α ρρ σε ε

− +− = ≥

σs er spændingen i trækarmeringen under antagelse af revnet tværsnit.

fct,eff er middelværdien af betonens effektive trækstyrke på det tidspunkt, hvor revnerne tidligst

kan forventes at opstå. For betonelementer og andre betonkonstruktioner hvor revnedannel-

sen først forventes efter 28 døgn fås: fct,eff = fctm.

αe er forholdet Es/Ecm

ρp,eff er armeringsforholdet bestemt som

( ),

,

3 2min ; ;2,5

st st st stp eff

c eff

A A A AA b c b h x bh

ρ = = ⋅ ⋅ −

kt er en faktor, der afhænger af belastningens varighed. kt = 0,4 for langtidslast.

sr,maks er den maksimale revneafstand som beregnes af:

( ), 3 1 2 4, ,

3, 4 0,17 1,32 2r maks

p eff p eff

s k c k k k c h xφ φ φ φρ ρ

= − + = − + ⋅ ≤ −

Her er koefficienterne sat til:

k1 = 0,8 for armering med stor vedhæftning

k2 = 0,5 for bøjning

k3 = 3,4 anbefalet værdi

k4 = 0,425 anbefalet værdi

φ er armeringsdiameteren for trækarmeringen

6.2.3 Eksempel – Bjælkeberegning i anvendelsesgrænsetilstanden

Bjælken fra afsnit 6.1.5 betragtes i anvendelsesgrænsetilstanden. Lastopstillingen er den samme som

ved brudgrænsetilstanden, dog regnes med følgende karakteristiske laster:

12,035

k

k

p kN mQ kN

==


6.40

Det maksimale moment fås af momentkurven:

( ) ( ) 21 1 12 2 2

kk k k k k

Q aL xM x p x L x Q a p x p L x Q aL L− = − + = − + − +

Punktet for momentmaksimum findes:

( )1

1 2' 0 02

1 35 0,712 5,02 5,0 2,09

12

kk

kk k

k

Q ap LQ a LM x p x p L xL p

kN kN mmm mx mkN

m

−= ⇔ − + − = ⇔ =

⋅⋅ ⋅ −= =

Det maksimale moment findes ved indsættelse af x i udtrykket for momentkurven:

( ) ( )5,0 2,091 12 2,09 5,0 2,09 35 0,7 50,82 5,0Ed

m mkNM m m m kN m kNmm m

−= ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ =

Som udgangspunkt benyttes følgende elasticitetsmodul for korttidspåvirkninger af betonen i anvendel-

sesgrænsetilstanden:

,350,7 51000 0,7 51000 26031

13 35 13ck

c Kck

f MPaE MPaf MPa

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+ +

Ved langtidspåvirkninger skal krybning medtages. Dette gøres ved at benytte faktoren α, der indirekte

giver en reduktion af betonens elasticitetsmodul. For beton med en karakteristisk trykstyrke på 35

MPa foreslås i afsnit 2.1.2 følgende α-værdier:

Langtidslast: 23,6Korttidslast : 7,7

L

K

αα

==

I dette eksempel vurderes ca. 75% af lastvirkning at skyldes langtidslast mens de resterende 25%

skyldes korttidslast. Den effektive α-værdi bestemmes ved vægtning:

23,6 0,75 7,7 0,25 20effα = ⋅ + ⋅ =


6.41

6.2.3.1 Udbøjning for fuldt revnet tværsnit

De geometriske betingelser fås til:

4020

420 40 38020 20

sc c c

st c c c

x c x mmx x

h x c mm x mm mm xx x x

σ ασ σ

σ ασ σ σ

− −= = ⋅ ⋅

− − − − −= = ⋅ ⋅ = ⋅

Dette indsættes i projektionsligningen og x bestemmes:

2 2

2

1 10 3002 2

40 38020 402 20 402

0 150 16080 3376800 105,7

c sc sc st st c

c c

bx A A mm x

x mm xmm mmx x

x x x mm

σ σ σ σ

σ σ

= + − = ⋅ ⋅ ⋅

− −+ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

= + − ⇔ =

Betonkantspændingen findes ved at tage moment om tværsnittets centerlinje:

2

2

12 2 3 2 2

1 420 105,750,8 300 105,72 2 3

105,7 40 42020 402 40105,7 2

380 105,7 42020 402 40105,7 2

Ed c sc sc st st

c

c

c

h x h hM bx A c A c

mm mmkNm mm mm

mm mm mmmm mmmm

mm mm mmmm mmmm

σ σ σ

σ

σ

σ

= − + − + − ⇒

= ⋅ ⋅ ⋅ − +

− ⋅ ⋅ − +

− ⋅ ⋅ −

6 3

50,8 7,17,167 10c

kNm MPamm

σ

⇔

= =⋅

Der er ikke brud i betonen da 25c cdf MPaσ ≤ =

Armeringsspændingerne fås af de geometriske betingelser:

40 105,7 4020 20 7,1 88105,7

380 380 105,720 20 7,1 369105,7

sc c

st c

x mm mm mmMPa MPax mm

mm x mm mmMPa MPax mm

σ σ

σ σ

− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

− −= ⋅ = ⋅ ⋅ =


6.42

Der er ikke flydning i armeringen da 417s ydf MPaσ ≤ = . Hvis der havde været flydning i armerin-

gen må nullinje og tværsnitsspændinger bestemmes forfra, hvor armeringsspændingen sættes lig

flydespændingen.

Udbøjningen for revnet tværsnit bestemmes:

( )225

1 1 7,1 5000 16,82,0 1010 10 105,7

20

crevnet

s

MPau L mm mmE MPax mm

σ

α

= = ⋅ =⋅

⋅

6.2.3.2 Udbøjning for urevnet tværsnit

For urevnet tværsnit findes udbøjningen ved hjælp af transformeret inertimoment.

Transformeret areal:

2 2300 420 20 2 402 142080T C SA A A mm mm mm mmα= + = ⋅ + ⋅ ⋅ =

Tværsnittet er symmetrisk hvorfor tyngdepunktsaksen er sammenfaldende med tværsnittets center-

linje.

Transformeret inertimoment om tyngdepunktsaksen:

( )

2 23

23 2 9 4

112 2 2

1 420420 300 20 2 402 40 2,317 1012 2

T C S sc c st sth hI I I bh A c A c

mmmm mm mm mm mm

α α = + = + − + −

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅

Udbøjningen for en given momentpåvirkning MEd er nu for urevnet tværsnit, tilnærmelsesvis givet

ved:

( )225

9 4

1 1 50,8 5000 5,92,0 1010 10 2,317 10

20

Edurevnet

ST

M kNmu L mm mmE MPaI mmα

= = ⋅ =⋅

⋅ ⋅

6.2.3.3 Udbøjning for tværsnit mellem fuldt revnet og urevnet

Tværsnittet befinder sig et sted mellem fuldt revnet og urevnet. Den faktiske udbøjning i denne til-

stand findes ved at tage hensyn til tension stiffening.


6.43

Det moment, der netop revner tværsnittet og armeringsspændingen σsr bestemmes jævnfør afsnit

6.2.1.3.

Trækstyrken fås til: ( ) ( )2 3 2 30,30 0,30 35 3,2ctm ckf f MPa= ⋅ = ⋅ =

Revnemoment udregnes på baggrund af urevnet tværsnit:

9 4

, 2,317 103, 2 35,3420' 0

2 2

T urevnetr ctm

I mmM f MPa kNmh mmy mm

⋅= = ⋅ =

+ +

Betonkantspændingen bestemmes på baggrund af revnet tværsnit, hvor nullinjedybden er givet ved x

= 105,7 mm. Der sættes ind i momentligningen:

2

2

12 2 3 2 2

1 420 105,735,3 300 105,72 2 3

105,7 40 42020 402 40105,7 2

380 105,7 42020 402 40105,7 2

r c sc sc st st

c

c

c

h x h hM bx A c A c

mm mmkNm mm mm

mm mm mmmm mmmm

mm mm mmmm mmmm

σ σ σ

σ

σ

σ

= − + − + − ⇒

= ⋅ ⋅ ⋅ − +

− ⋅ ⋅ − +

− ⋅ ⋅ −

6 3

35,3 4,97,177 10c

kNm MPamm

σ

⇔

= =⋅

Armeringsspændingen findes ved de geometriske betingelser:

380 380 105,720 20 4,9 254105,7sr c

mm x mm mmMPa MPax mm

σ σ − −= ⋅ = ⋅ ⋅ =

Fordelingskoefficienten, der tager hensyn til tension stiffening bestemmes af:

2 22541 1 0,625 0,704369

sr

s

MPaMPa

σζ βσ

= − = − =

Hvor ( )0,5 0,5 1 0,75 0,625β = + ⋅ − = svarer til, at belastning vurderes at bestå af 75 % langtidslast

og 25 % korttidslast. Den faktiske lastbetingede udbøjning af bjælken kan nu bestemmes:


6.44

( ) ( )1 0,704 16,8 1 0,704 5,9 13,6revnet urevnetu u u mm mm mmζ ζ= + − = ⋅ + − ⋅ =

Da det betragtede tværsnit er symmetrisk, vil der ikke være noget svindbidrag til udbøjningen. Den

samlede udbøjning for karakteristisk last fås derfor som u = 13,6 mm. Hvis svind havde givet et bi-

drag, ville den samlede udbøjning været givet ved summen af lastinduceret udbøjning og tillægget fra

svindudbøjningen.

6.2.3.4 Revnevidder

Revnevidden for langtidslast bestemmes jævnfør afsnit 6.2.2. Først findes forholdet εsm - εcm:

( ) ( ),

,,

5

3, 21 369 0,4 1 5,87 0,0064100 0,002

2,0 10

ct effs t e p eff

p effsm cm

s

f MPak MPa

E MPa

σ α ρρ

ε ε− + − ⋅ ⋅ + ⋅

− = = =⋅

Kontrol: 5

3690,6 0,6 0,0012,0 10

ssm cm

s

MPaE MPaσε ε− ≥ = ⋅ =

⋅

Følgende hjælpestørrelser er benyttet i beregningen:

, 3, 2ct eff ctmf f MPa= = udregnet i afsnit 6.2.3.3.

52,0 10 5,87

34077s

ecm

E MPaE MPa

α ⋅= = =

( )

( ){ }

,,

2 2 2

3 2min ; ;2,5

402 3 402 2 402min ; ;300 2,5 40 300 420 105,7 300 420

min 0,0134;0,0128;0,0064 0,0064

st st st stp eff

c eff

A A A AA b c b h x bh

mm mm mmmm mm mm mm mm mm mm

ρ = = ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = =

Den maksimale revneafstand udregnes:

, 3 1 2 4, ,

3,4 0,172 2

16 163, 4 40 0,17 108,82 100

r maksp eff p eff

s k c k k k c

mm mmmm mm

φ φ φ φρ ρ

= − + = − + ⋅

= ⋅ − + ⋅ =

Kontrol: ( ) ( ), 1,3 1,3 420 105,7 408,6r makss h x mm mm mm≤ − = ⋅ − =


6.45

Den maksimale revnevidde fås til:

( ), 108,8 0,002 0,22k r maks sm cmw s mm mmε ε= − = ⋅ =

6 armerede bjÆlker - betonelement-foreningen (bef) · en armeret betonbjælke skal ifølge ec2...

Documents