8/18/2019 6 - Derivadas parciais

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  Disciplina: Cálculo 2 (C2)Professor: Valério Matos

 Assunto(s): Derivadas parciais

Derivadas parciais 1/2

DERIVADAS PARCIAIS1. INTRODUÇÃO

Seja R I  f  :  uma função real de uma variável definida no intervalo  I  . A derivada de  f   em

 I a   é definida por

 

h

a f ha f 

a x

a f  x f a f 

ha x

0limlim' ,

desde que exista o limite.

O valor de a f  '  pode ser interpretado como a taxa de variação de  x f  y    em relação a  x .

Em se tratando de uma função RR:   2 D f  , o procedimento é fazer com que apenas

uma variável varie de uma vez enquanto a outra é mantida constante. Para funções de várias variáveis

deriva-se em relação a apenas uma variável por vez, considerando todas as outras como constantes.

2. DEFINIÇÕES

(2.1) Sejam RR   2: D f   uma função e   D y x   00; . Define-se

(i) A derivada parcial de  f  , em relação a  x , no ponto 00; y x  é

h

 y x f  yh x f 

 x

 y x f 

h

0000

0

00 ;;lim;  

,

desde que o limite exista.

(2.2) A derivada parcial de  f  , em relação a  y , no ponto 00; y x  é

k 

 y x f k  y x f 

 y

 y x f 

k 

0000

0

00 ;;lim;  

,

desde que o limite exista.

Notações:

1 D f  x

 f  x  

 ;

2 D f  y

 f  y  

.

3. PROPOSIÇÃO (operações com derivadas parciais): Sejam RR   2: D f   e

RR   2: Dg  funções que têm derivadas parciais no ponto   Dba X    ;0 . Então g f   ,

g f    eg

 f   também têm derivada em 0 X  , esta última com 0;   bag . Além disto,

(i)

 x

bag

 x

ba f 

 x

bag f 

;;;

;

(ii)

 

 x

bagba f bag

 x

ba f 

 x

bag f 

;;;

;;;

(iii)  

 

2;

;;;

;;

bag

ba f  x

bag

 x

ba f bag

 x

bag

 f 

.

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  Disciplina: Cálculo 2 (C2)Professor: Valério Matos

 Assunto(s): Derivadas parciais

Derivadas parciais 2/2

4. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Dada a função de duas variáveis RR:   2 D f   definem-se as derivadas parciais de  x

 y x f 

;  

e  y

 y x f 

;  considerando

 x

 f 

 e

 y

 f 

 como funções. As derivadas parciais de segunda ordem de  f  , quando

existem, são dadas por

 

h

 x

 y x f 

 x

 yh x f 

 x

 y x f 

 x x

 y x f  y x f 

h xx

 

  

 

;;

lim;;

;02

2

;

 

k 

 x

 y x f 

 x

k  y x f 

 x

 y x f 

 y y x f 

k  yx

 

  

 

;;

lim;

;0

;

 

h y

 yh x f 

 y

 yh x f 

 y y x f 

 x y x f 

h xy

 

  

 

;;

lim;;0

;

 

k 

 y

 y x f 

 y

k  y x f 

 y

 y x f 

 y y

 y x f  y x f 

k  yy

 

  

 

;;

lim;;

;02

2

.