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6장 행렬과 선형연립방정식

공업수학 Express

6.1 행렬의 정의와 기본 연산

6.2 특수행렬

6.3 기본행연산과 Gauss 소거법

6.4 행렬식과 역행렬

6.5 선형연립방정식의 해법

6.6 고윳값과 고유벡터

6.7 행렬의 대각화

쉽게 가르치고 배우는 공업수학 생능출판사

6.1 행렬의 정의와 기본연산

6.1 행렬의 정의와 기본연산 행렬의 표현

행

열

또는

행 벡터와 열 벡터

행 벡터 : 행이 하나인 행렬 열 벡터 : 열이 하나인 행렬



주대각요소

행렬의 상등

정방행렬(Square Matrix) : 행과 열의 개수가 같은 행렬

<예제>

주대각요소

차 정방행렬

동일한 크기를 가지는 두 행렬 가

모든 와 에 대하여 ,



행렬의 덧셈 및 뺄셈

각 대응되는 요소들의 합과 차로 정의

행렬의 스칼라 곱

연산 법칙

교환법칙 성립

결합법칙 성립

배분법칙 성립



행렬의 곱셈

( ) ( ) ( )



연산법칙 교환법칙 성립않는다.

결합법칙 성립

배분법칙 성립

행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립되지 않기 때문에 곱하는 순서에 주의해야 한다.

( O )

( X ) 행렬의 거듭제곱

; 정방행렬

; 단위행렬 주대각선요소만 1이고 나머지 요소가 모두 0인 행렬



행렬 다항식

<예제>


6.2 특수행렬

6.2 특수행렬

의 전치행렬

성질

주어진 행렬에서 행과 열을 서로 바꾸어 놓은 행렬

(1) 전치행렬(Transpose Matrix)


6.2 특수행렬

대칭행렬

주대각요소를 기준으로 대칭구조

를 만족하는 행렬

교대행렬

를 만족하는 행렬

일 때 를 만족해야 하므로

(2) 대칭행렬과 교대행렬

주대각요소가 0인 반대칭 구조


6.2 특수행렬

대칭행렬과 교대행렬의 합

은 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 항상 표현가능하다.

임의의 행렬

대칭행렬

교대행렬


6.2 특수행렬

주대각선 아래의 모든 요소가 0이거나 주대각선 위의 모든 요소가 0이 되는 정방행렬

(3) 삼각행렬


6.3 기본 행연산


연립방정식의 해를 구하기 위한 기본적인 대수조작

행렬의 기본 행연산

행렬의 기본 행연산은 연립방정식을 풀기 위한 체계적인 과정이다.



Gauss 소거법

가우스 소거법은 행렬의 기본 행연산을 통해 확장행렬 의 계수행렬 를 상삼각행렬로 만들어 나가면서 연립방정식의 해를 구하는 방법이다.

확장행렬 : 계수행렬 에 를 첨가한 행렬



확장행렬 피봇

<예제>



역방향 대입(Backward Substitution)

피봇




1차 행렬식

절대값 기호가 아니다 2차 행렬식

(1) 행렬식의 정의와 계산

<예제>



3차 행렬식

<예제>



4차원 이상의 행렬식의 계산 Laplace 전개

Laplace 전개

① 소행렬식의 정의

② 여인수의 정의

소행렬식에 부호를 붙인 행렬식

소행렬식 주어진 행렬식에서 행과 열을 제외한 나머지 요소들

로 구성된 한 차수 낮은 행렬식



③ Laplace 전개

행과 열을 선택하는데 있어 가능하면 요소 중에 0이 많은 행이나 열을 선택하면 계산량을 줄일 수 있다.



① 행렬식의 한 행과 다른 행을 교환하면 원래 행렬식의 -1배가 된다.

1행과 2행 교환한다.

짝수번의 행 교환은 행렬식 값을 변화시키지 않으며, 홀수번의 행 교환에 대해서만 행렬식 값이 (-1)을 곱한 것과 같다.

<예제>

(2) 행렬식의 성질



④

② 행렬식의 한 행에 0이 아닌 상수 를 곱하면 행렬식 값은 원래 행렬식 값의 배가 된다.

2행에 배한다.

③ 행렬식의 한 행에 0이 아닌 스칼라 를 곱하여 다른 행에 더하여도 행렬 식 값은 변하지 않는다.

3행에 배하여 1행에 더한다.

단, 와 는 정방행렬



정칙행렬(nonsingular) ; 역행렬이 존재하는 행렬

비정칙행렬(singular) ; 역행렬이 존재하지 않는 행렬

역행렬의 성질

역행렬의 역행렬

곱의 역행렬(순서에 주의!)

전치행렬의 역행렬

(3) 역행렬의 정의와 성질



의 역행렬 구하기 <예제>

(4) 공식에 의한 역행렬 계산



Gauss-Jordan 소거법

Gauss 소거법에 주대각요소의 아래뿐만 아니라 위에 있는 요

소들까지 기본 행연산을 통해 0으로 만드는 것이며, 계속 반복

하면 궁극적으로 주어진 행렬이 단위행렬이 된다.

(5) Gauss-Jordan 소거법에 의한 역행렬 계산



에 대하여 Gauss-Jordan 소거법을 적용하는 과정에서 행렬 가

단위행렬 로 변환될 수 없다면, 의 역행렬은 존재하지 않는다는

것이다.



의 역행렬을 Gauss-Jordan 소거법으로 구하기

<예제>



G-J 소거법




의 역행렬 가 존재한다고 가정하고 를 좌측으로 곱하면

(유일한 해)

의 역행렬이 존재하지 않으면 선형연립방정식은 무수히 많은 해를

가지거나 해가 존재하지 않는다.(부정, 불능)

(1) 역행렬에 의한 선형연립방정식의 해



선형연립방정식의 해를 행렬식 계산만으로 구할 수 있는 유용한 공식

(2)Cramer 공식



<예제>



6.6 고윳값과 고유벡터 정의

의 관계를 만족하는 스칼라 를 고윳값, 영이 아닌

벡터 를 에 대한 고유벡터라 정의한다.



특성방정식

(유일한 해)

특성방정식

의 고윳값과 고유벡터 구하기

특성방정식

<예제>



임의의 값

거듭제곱의 고윳값

: 고윳값

:

( 의 고유벡터와 동일)

일반적으로

( 의 고유벡터와 동일)



Cayley-Hamilton 정리

거듭제곱의 차수를 감소시키는데 사용

특성방정식

Cayley-Hamilton 정리는 이라는 것이다.

특성방정식 <예제>



유사변환

<예제>

의 거듭제곱


만일 이라면

의 계산은 로 간단하게 할 수 있다


<예제>



을 Cayley-Hamilton 정리를 이용하여 계산하려면 매우 긴 계산

과정이 필요하다.

<6장 끝>

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