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6. Mecânica Quântica
Sumário
● A função de onda● A equação de Schrödinger● Partícula em uma caixa● Poço de potencial● Barreira de potencial e o efeito túnel● Oscilador harmônico
A função de onda Ψ
● descreve uma partícula material na mecânica quântica
● não tem uma interpretação física direta (pode ser complexa!)
● o problema da mecânica quântica consiste em determinar Ψ para uma partícula como função da posição e do tempo
Interpretação probabilística
● |Ψ|2 = Ψ*Ψ é proporcional à probabilidade de encontrar a partícula num dado ponto do espaço
● |Ψ|2 é uma densidade de probabilidade.
● ∫ dV |Ψ|2 = 1 (condição de normalização)
● a partícula deve estar em algum ponto do espaço!
Ondas progressivas numa corda
● y: deflexão vertical● x: direção de propagação● y = A cos (kx-ωt)● A: amplitude (y máximo)● k = 2π/λ: número de onda● λ: comprimento de onda● ω = 2πν: frequência angular● y = A cos[-2π(-x/λ + νt)]
● usando a relação:eiα = cos α+i sen αonde cosα = Re(eiα) é a parte real de eiα
● y = A Re[e-2πi( -x/λ + νt)]
Ondas de matéria● Ψ é, em geral, um número complexo● Ψ = A e-2πi(-x/λ + νt)
● Planck: E = h ν →ν = E/h, De Broglie: λ = h/p● Ψ = e(-2πi/h)(-px+Et), ∂Ψ/∂x = (2πi/h) p Ψ
∂2Ψ/∂x2 = (2πi/h)2 p2 Ψ2 ∂Ψ/∂t = -(2πi/h) E Ψ● para uma partícula livre: E = K = p2/2m● E Ψ = (p2Ψ)/2m, isto é, a onda de matéria de uma
partícula livre satisfaz a equação diferencial:
-(h/2πi) ∂Ψ/∂t = -(h2/8mπ2) ∂2Ψ/∂x2
Partícula num campo de força
● forças conservativas: são deriváveis de uma energia potencial V(x):
● F(x) = - dV(x)/dx● ex: energia potencial
elástica V(x) = kx2/2● F(x) = - kx (Lei de Hooke)● energia total E = K + V(x)
= p2/2m + V(x)
Equação de Schrödinger (1927)
● para uma partícula com energia potencial V(x) temos que
● E Ψ = (p2 Ψ)/2m + V(x) Ψ● a função de onda satisfaz
a seguinte equação diferencial:
-(h/2πi) ∂Ψ/∂t = V(x) Ψ -(h2/8mπ2) ∂2Ψ/∂x2
Equação de Schrödinger independente do tempo
● para uma partícula livre Ψ(x,t) = e(-2πi/h)(-px+Et)
● se a partícula tiver energia potencial V(x)
● Ψ(x,t) = ψ(x) e(-2πi/h)Et
● substituindo na equação de Schrödinger
-(h2/8mπ2) d2ψ/dx2 + V(x)ψ = E ψ
● Densidade de probabilidade |Ψ|2 = Ψ* Ψ● Vimos que Ψ(x,t) = ψ(x) e(-2πi/h)Et
● Complexo conjugado: Ψ*(x,t) = ψ*(x) e(+2πi/h)Et
● Logo |Ψ(x,t)|2 = |ψ(x)|2 : para uma partícula que está num estado com a energia definida a densidade de probabilidade é independente do tempo
● Condição de normalização da função de onda (em uma dimensão): ∫ dx |Ψ(x,t)|2 = 1
● Portanto ∫ dx |ψ(x)|2 = 1
Partícula em uma caixa● caixa unidimensional de paredes infinitamente rígidas (impenetráveis)
● V = 0 se 0 < x < L-(h2/8mπ2) d2ψ/dx2 = E ψ
● definindo k2 = 8mπ2E/h2
ψ'' + k2ψ = 0● que tem a soluçãoψ = A sen kx + B cos kx
Autofunções e autovalores● a função de onda deve se anular
nas paredes● ψ(0) = 0 →A = 0● ψ(L) = 0 →sen kL = 0 ● kL = nπ (n=1,2,3,... )● autovalores de energia
En= n2h2/8mL2
● autofunções da energia
ψ(x) = A sen (nπx/L)
Normalização da função de onda
● condição de normalização:
∫ dx ψ2 = B ∫ dx sen (nπx/L) = 1 (0<x<L)
● obtemos daí B = √2/L● autofunções normalizadas
ψ(x) = √2/L sen (nπx/L)● densidade de probabilidade
= ψ2 = 2/L sen2 (nπx/L)
Problema resolvido
● Uma partícula está no estado fundamental, num poço de potencial verticial e infinito. Achar a probabilidade de se encontrar a partícula (a) na região 0 < x < L/4, e (b) em ∆x = 0,01 L, nas vizinhanças de x = L/2.
Problema proposto
● Achar a energia (em eV) de um elétron, confinado numa caixa unidimensional, de comprimento 0,1 nm, no seu estado fundamental.
● Fazer um diagrama dos níveis de energia e achar os comprimentos de onda dos fótons emitidos em todas as transições que principiam no estado n = 3, ou num estado mais baixo, e terminam em qualquer estado mais baixo
Potencial degrau
● Caso E > V0: há transmissão (com diminuição da velocidade) e reflexão de partículas
● Caso E < V0: a onda de matéria penetra na região classicamente proibida (com atenuação exponencial) , e as partículas são totalmente refletidas
Poço de potencial finito
● é uma caixa de paredes não-rígidas
● E = K + V(x)
● se E > V0 a região é classicamente permitida (K positiva)
● se E < V0 a região é classicamente proibida (K negativa, velocidade imaginária)
Penetração da parede
● nas regiões classicamente proibidas a onda de matéria penetra um pouco
● mas é exponencialmente atenuada
● partícula é refletida após penetrar um pouco na parede
● autofunções e autovalores mudam em relação à caixa de paredes rígidas
Valores esperados
● valor médio na medição da posição de um grande número de partículas com a mesma função de onda ψ(x)
● <x> = ∫ dx x |ψ(x)|2 ● <f(x)> = ∫ dx f(x) |ψ(x)|2
● Problema resolvido: Calcular o valor esperado da posição x de uma partícula no estado fundamental de um poço quadrado infinito
● Problema proposto: idem para x2
Barreira de potencial
● nas regiões classicamente permitidas a onda se propaga normalmente
● dentro da barreira (E < V0) a região é classicamente proibida e há atenuação exponencial da onda
● se a barreira for curta o suficiente a partícula atravessa a barreira (efeito túnel)
Efeito túnel
● ondas de matéria podem penetrar barreiras intransponíveis para partículas clássicas
● parte da onda é refletida pela barreira
● parte da onda é transmitida com amplitude menor
● aplicações em eletrônica
Problema resolvido
● Um elétron com energia 5,1 eV aproxima-se de uma barreira com altura 6,8 eV e largura 750 pm. (a) Qual o comprimento de onda do elétron incidente? (b) Qual o coeficiente de transmissão pela barreira?
Problema proposto: repita o problema se a partícula incidente for um próton.
Exemplos de efeito túnel
● elétrons num metal: poço de potencial com paredes finitas
● junção metal-isolante-metal: há uma barreira de potencial
● aplicação de campo elétrico: emissão “fria” de elétrons
● conexão USB
Microscopia de varredura de tunelamento
Oscilador harmônico
● partícula de massa m presa a uma mola de constante elástica k
● Lei de Hooke F = -kx● energia potencial elástica
V(x) = k x2/2● solução da equação de
movimento
x(t) = A cos(ωt)● ω = √k/m: frequência natural
Equação de Schrödinger
-(h2/8mπ2) d2ψ/dx2 + (kx2/2) ψ = E ψ
● só possui solução se os valores da energia forem quantizados
En = (n+1/2) h ν (n = 0, 1, 2,...)
● energia de ponto zero
E0 = h ν/2
● níveis de energia são igualmente espaçados de ΔE = hν
Autofunções de energia (não-normalizadas)
● n=0: ψ0 = e-x2/2
● n=1: ψ1 = x e-x2/2
● n=2: ψ2 = (2x2-1) e-x2/2
● n=3: ψ3 = (2x3-3x) e-x2/2
● anulam-se em |x| = ∞● autofunções ímpares se
anulam na origem● há alguma penetração na
região classicamente proibida
Problema resolvido
● Normalize a autofunção do estado fundamental do oscilador harmônico
● Problema proposto: normalize a autofunção para o primeiro estado excitado
Densidade de probabilidade
● P(x) = ψ2 dx : probabilidade de achar a partícula entre x e x+dx
● n=0: e-2x2/2● n=1: x2 e-2x2/2● n=2: (2x2-1)2 e-2x2/2● n=3: (2x3-3x)2 e-2x2/2● P=0: pontos onde é menos
provável encontrar a partícula
Problema resolvido
● Determine os valores esperados de x e x2 para uma partícula no estado fundamental do oscilador harmônico
● Problema proposto: idem para a autofunção com n = 1
Problema proposto
● Determine a energia de ponto zero (em eV) para um pêndulo de período igual a 1s.
FIM