6 polyhydrologie statistique 2009
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Ecole Nationale des
Ponts et Chausses
D.E.A Sciences et techniques
de lenvironnement
HYDROLOGIE
CHAPITRE 6
HYDROLOGIE STATISTIQUE Introduction lEtude des Processus Hydromtorologiques
Application la Prdtermination
des Dbits de Crues
et dEtiage
Jacques MIQUEL
2009-2010
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SOMMAIRE
Introduction
Premire partie : introduction aux processus stochastiques hydromtorologiques
1. dfinitions et proprits des processus
2. utilit de ltude des processus stochastiques en hydromtorologie
3. les modles dinterpolation et de reconstitution
4. les modles de simulation stochastique
5. les modles de prvision
6. les modles de prdtermination
Deuxime partie : la prdtermination des crues
1. quelle variable faut-il tudier ?
2. quelle mthode employer ?
3. la mthode des Maxima Annuels
4. la mthode du Renouvellement
5. la mthode du Gradex
6. conclusions sur la prdtermination des crues
Troisime partie : valuation des risques de crue de la Garonne Mas dAgenais
1. lanalyse hydromtorologique
2. les donnes et leur critique
3. ltude par la mthode des Maxima Annuels
4. ltude par la mthode du Renouvellement
Quatrime partie : la prdtermination des tiages
1. Lapproche globale Dbit- Dure
2. Les principaux indicateurs dtiages
3. Analyse statistique des indicateurs dtiage.
4. Les courbes Dbit-Dure-Frquence
5. Conclusion sur la prdtermination des tiages
Annexe 1: ajustement de quelques lois usuelles en hydrologie
Annexe 2: estimation des paramtres de la mthode du Renouvellement et de leurs
incertitudes
Annexe 3: tables statistiques et papiers Gauss et Gumbel
Rfrences bibliograhiques
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INTRODUCTION
Ce cours est organis en quatre parties:
la premire partie, introduction aux processus stochastiques hydromtorologiques, est destine poser quelques bases gnrales auxquelles tous les travaux dhydrologie statistiques
se rattachent plus ou moins. Toute tude hydrologique a pour finalit de comprendre et
connatre davantage un ou plusieurs processus stochastiques hydromtorologiques, et/ou
dutiliser leurs proprits statistiques pour aider certains dcideurs mieux dimensionner et
mieux grer en continu des ouvrages ou des dispositifs soumis aux alas
hydromtorologiques.
la deuxime partie, la prdtermination des crues, applique les notions vues en premire partie en traitant un processus hydromtorologique particulier: elle prsente les diffrentes
approches thoriques les plus frquemment utilises pour rpondre la question de
lvaluation du risque de crue en un point dun cours deau.
la troisime partie, valuation des risques de crue de la Garonne Mas dAgenais, est une illustration sur un cas rel rel dune classe de mthodes de prdtermination mentionnes
en deuxime partie: les mthodes danalyse des sries chronologiques de dbits observs.
La quatrime partie, la prdtermination des tiages est ladaptation des mthodes des deux premires parties pour valuer le risque, cette fois, de pnurie deau.
En allant du gnral au particulier, ce cours a pour ambition la fois dapporter une vision
densemble, permettant de situer les mthodes usuelles, pouvant galement expliquer lintrt
actuel des chercheurs pour des thmes comme lanalyse rgionale, ou lidentification des
drives et ruptures hydrologiques avec leurs consquences dcisionnelles, mais aussi de se
frotter bien concrtement une question hydrologique essentielle avec un premier aperu des
outils existants, tout en sachant bien que la pratique et la critique des donnes construisent la
vraie comptence.
Ce cours doit beaucoup au professeur Jacques BERNIER qui a introduit en France lessentiel
de ces mthodes. La premire partie sinspire en particulier directement des exposs quil
faisait lENPC.
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PREMIERE PARTIE : INTRODUCTION AUX PROCESSUS STOCHASTIQUES
HYDROMETEOROLOGIQUES
1. Dfinitions et proprits des processus
On suppose connues les bases du calcul des probabilits et les principes de lanalyse
statistique, en particulier la notion de variables alatoires, de leurs proprits et des concepts
probailistes habituels (si un rafrachissement est ncessaire, les ouvrages de [2] et [5] sont
recommands).
Les dfinitions suivantes permettent de dcrire un processus stochastique
hydromtorologique:
Processus stochastique: un processus stochastique est une chronologie de variables ou dvnements inscrit dans le temps qui induit un ordre dans leurs occurences [1]. Il est donc
caractris par une ou plusieurs variables alatoires multidimensionelles: Z(x1,x2,....xn).
Processus stochastique hydromtorologique : cest un processus stochastique, en gnral deux dimensions, lespace et le temps, caractris par une variable alatoire
hydromtorologique, cest dire descriptive dun phnomne hydromtorologique:
Z(x, tx) x={x1,x2} coordonnes gographiques
tx=={t1,t2 ,.......,tnx} ensemble dinstants o ont t obtenues les observations de
Z
Exemples: La pluie mesure P (x, t1) un instant t1 au point x, est une ralisation observe du processus
constitu par la lame deau dune averse.
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Autre exemple : Une chronique de dbits mesurs Q(x, tx) en une station est une ralisation
observe du processus constitu par les dbits couls dans les diffrents cours deau dun bassin
versant.
Ou encore : Le quantile dcennal Q10(x, nx) de dbits en une station est une ralisation observe du
processus constitu par les dbits dcennaux dans les diffrents cours deau dun bassin versant. Champ spatial : cest le domaine de variations spatiales des coordonnes x. Les observations seront diversement distribues en quelques points x
1 ,x
2 ......x
k .
Variable rgionalise: variable hydromtorologique Z(x, tx) pour laquelle tx est indpendant de x. Autrement dit le processus Z(x) est dpendant des seules coordonnes
spatiales.
Exemples: La prcipitation totale dune averse sur lensemble dun bassin
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Processus intrinsque: cest un processus caractris par une variable rgionalise stationnaire du premier et du deuxime ordre par rapport x. Autrement dit:
E[Z(x)]=m(x)=m constante "x
Var[Z(x)-Z(x+h)]= fonction de h seulement "x
Variables spatiales changeables: ce sont des variables qui caractrisent un processus dont lala spatial est spar et indpendant de lala temporel.
Explication:
Z(x,t), x fix, constitue une variable alatoire Z(x) de densit de probabilit f(z;q(x)). Lala
temporel sexprime au travers de cette densit de paramtre q. En diffrents points x1 ,x2 ......xk,
les q(xi) constituent une variable rgionalise qi, traduisant lala spatial avec la densit de
probabilit p(q1,q2,... qk). On dira que les variables Z(xi) sont changeables si toute permutation
dans lordre des qi ne change pas la densit de probabilit p(qi), autrement dit p(q1,q2,... qk)
=p(qj1,qj2,... qjk). Exemple:
Cest le cas si, aprs changement de variable, une structure de distribution spatiale des pluies
mesures permet de constater que qi= m + ei , o ei est une variable rgionalise intrinsque. Les variables seront dites partiellement changeables si cette structure sexprime par une relation
du type qi= Sbi. fi + ei , o fi sont des variables explicatives et les bi des coefficients.
Echantillonage dune variable hydomtorologique: il sagit de la rpartition des instants dobservation. Cet chantillonage peut tre pas de temps constants (lintervalle de temps
entre deux mesures est toujours le mme) ou vnementiel (on connait les instants o certains
seuils sont franchis par la variable, ou son gradient).
Exemple dchantillonage pas de temps constants: la srie des dbits moyens journaliers en une
station.
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Exemple dchantillonage vnementiel: les surplus et dficits par rapport diffrents seuil en
dbit
Stationnarit du premier ordre dune variable hydomtorologique: une variable hydromtorologique Z(xt, t) chantillone pas de temps constant est dite stationnaire du
premier ordre si son premier moment est indpendant du temps. Autrement dit:
E(Z(xt, t)) = Z(xt, t).f(Z(xt, t),t) dxt= M1 (t) est constant " t.
Elle est dite stationnaire du deuxime ordre si son second moment et son autocovariance sont
indpendants du temps. Autrement dit
E([Z(xt, t)-M1(t)]2) =([Z(xt, t)-M1(t)]2).f(Z(xt, t),t) dxt= M2 (t) est constant " t.
[Z(xt, t)-M1(t)].[Z(x t-t, t-t)-M1(t-t)].f(Z(xt, t),Z(x t-t,t-t),t,t-t) dxtdxt-t= cov(t,t) est constant " t, et ne dpende que de t.
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Exemple de non stationnarit: Z(xt, t)= {dbits journaliers du jour t de lAllier Vieille Brioude}
Mmoire dune variable hydomtorologique: la mmoire dune
variable hydromtorologique Z(x, t)
chantillone pas de temps constant peut
se mesurer par son autocorrlation: r (t,t)=
cov(t,t) / [M2(t).M2(t-t)]2 qui est dautant
plus forte que r(t,t) est proche de 1.
Exemples de mmoire:
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2. Utilit de ltude des processus stochastiques en hydromtorologie
En quoi lensemble des dfinitions et proprits mentionnes au paragraphe prcdent
intressent elles lhydrologue ?
Premirement parce que les phnomnes physiques tudis ont de fortes variations spatiales et
temporelles, et ceci quil sagisse de tempratures, de pressions, de vent, de prcipitations, de
dbits, etc...
Ensuite parce quon identifie des structures aussi bien spatiales que temporelles dans ces
variations:
la gomorphologie des bassins (pente, superficie, chevelu hydrographique,...), leurs altitudes, leurs reliefs, leur gologie, leur couverture vgtale, ont une influence dterminante
sur les structures spatiales,
les facteurs climatiques, avec des effets saisonniers mais galement vnementiels sont dterminants aussi bien sur le plan temporel (scheresses) que spatial (orages locaux par
opposition aux perturbations gnralises).
laction de lhomme, toute proportion garde, nest pas ngligeable quil sagisse de rgulariser (rservoirs de soutien dtiage) ou daccentuer certains contrastes (prlvements).
Pour comprendre et mieux agir, les processus et les structures sous-jacents des phnomnes
physiques ont t recherchs, et finalement des reprsentations schmatises baptises
modles ont t dveloppes. Ces derniers se classent, selon leur finalit, en quatre
catgories:
les modles dinterpolation ou de reconstitution: ils aident mesurer,observer, constater, estimer. Quil sagisse dacqurir linformation la plus reprsentative pour un effort de
mesure donn, et donc de slectionner les futurs lieux dobservation, ou bien dvaluer une
grandeur intgratrice dune grande diversit spatiale, ou encore de complter une information
momentanment manquante. Ils servent donc autant dcrire qu dcider.
les modles de simulation: ils reproduisent un processus, ou une partie de processus, partir dobservation existantes, mails il peuvent aussi gnrer des scnarios possibles et
conformes statistiquement au processus tudi. Ces modles sont par exemple trs utiles pour
simuler les effets ou le fonctionnement futur dun ouvrage. Ils permettent de faire des
projections sur lavenir, et sont intressants au plan dcisionnel, en particulier pour lanalyse
des risques, y compris conomiques.
les modles de prvision, cest dire utiliss un instant t pour prvoir lavenir. On devine quils auront une finalit essentiellement oprationnelle: alerte en priode de crue,
anticipation en priode de scheresse, plus gnralement aide la gestion de la ressource en
eau dun bassin.
les modles de prdtermination, cest dire qui valuent la probabilit doccurrence dun vnement, mais non le moment o il se produira, est surtout utile aux projeteurs, ceux qui
doivent dimensionner un ouvrage soumis aux alas hydromtorologiques, valuer les
risques.
Nous voquerons quelques uns de ces modles dans les paragraphes suivants.
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3. Les modles dinterpolation et de reconstitution
objectifs et principes: si, en un point donn, un dispositif de mesures de pluie ou de dbit tombe en panne momentanment, alors on va chercher reconstituer tout ou partie de linformation
manquante. Plus gnralement, pour des raisons conomiques videntes, il est impossible de
mesurer tout et partout: se pose alors la question de choisir des emplacements de mesures de
telle sorte qu partir de cette information il soit possible destimer les valeurs de la
variable hydrologique en tout point du champ spatial. Cest donc une sorte dinterpolation.
Dans tous les cas le principe est le mme: il sagit de reconstituer au mieux la ralisation
dun processus dont on en connait une partie, et ceci compte tenu des structures de processus
que lon mettra en vidence.
Transfert dinformation entre deux sites par rgression linaire: Considrons deux sries (par exemple de dbits en deux points dun mme cours deau), lune X1 de n observations xi(i) rgulirement espaces, et lautre X2 de p observations x2(i)
concommittantes avec une partie des observations de X1 (autrement dit p
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A noter que ce raisonnement fait deux dimensions peut stendre de faon analogue k
dimensions, cest dire lorsquil existe une relation Xk= q0+q1X1+....+qk-1.Xk-1 + e.
Interpolation spatiale par la mthode du Krigeage: Il sagit de calculer la valeur dune variable rgionalise en un point X non mesur, partir dobservations faites en k points Xk . Ceci est particulirement utile pour tracer des
courbes iso-valeurs dune grandeur rpartie spatialement comme par exemple la pluie.
On cherche alors approcher la valeur inconnue de Z(X) par une valeur approche
Z(X)=Sli(X).Z(Xi).
Si le processus est intrinsque et sans drive, cela signifie que la variable Z(X) est telle que
"x E[Z(x)]=m(x)=0
Var[Z(x)-Z(x+h)]= Variogramme = 2. F(h) (fonction appele variogramme ,
et ne dpendant que de h)
On calcule alors les li de faon que E[Z(X)-Z(x)]=0 et E[Z(X)-Z(x)]2= minimum. On
peut alors montrer [13] que cela revient rsoudre le systme:
Sli . gi,j + m = 0 ( j=1,...,k ) avec: gi,j =F ( distance[Xi;Xj] )
m = multiplicateur de Lagange
Sli = 1
La principale difficult de cette mthode est lestimation de la fonction F qui peut tre
sensible des phnomnes locaux et ponctuels. Cette estimation est ralise en utilisant les
covariances aux points observs selon leurs distances. Exemple schmatique :
Identifier g(h) partir des covariances
(Exemple emprunt Stphanie Bourgon de l'Universit Laval au Canada)
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Les mthodesclassique destimation de (h) sont rsume ci-dessous :
Limportance du choix du modle est visible sur lexemple rel ci-dessous :
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La mthode peut tre tendue au cas o la drive nest pas nulle, mais fixe, par exemple en
fonction des coordonnes gographiques des X.
Interpolation spatiale par lAnalyse en Composantes Principales:
Il sagit encore de calculer la valeur dune variable rgionalise Z en un point X non mesur, partir dobservations faites en k points Xk mais cette fois en supposant quil existe
un processus sous jacent Y; Autrement dit
Z(X,t)=SaX,i.Yj(t) + e(X,t) (j=1,...,k)
avec e(X,t) = rsidu en un point x (cart entre Z(X,t) et la partie explique par le
processus sous jacent, cest dire SaX,i.Yj(t) ).
Il faut donc identifier les aX,i et lesYj(t). Pour cela on va exploiter les covariances ri,j existant entre les Z(Xi, t) pour les diffrents i = 1,...,k, (ou sur leurs variables centres
rduites). Soit :
- R la matrice des covariances ri,j.
- lj ses valeurs propres, obtenues en rsolvant le dterminant de [R-lI] avec I=matrice unit, et ranges de la plus forte la plus faible.
- B=[bij] la matrice des vesteurs propres associs aux lj , et A=[aij]=B-1
=BT
Alors on peut montrer que les aij de la matrice A, et les Yj(t)= Sbj,i. Z(Xi, t) sont une
dcomposition possible des Z(Xi, t) initiaux, respectant la structure des corrlations.
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Il est possible de dfinir un processus sous jacent Y, obtenu en prenant non pas les k vecteurs propres, mais les plus essentiels, par exemple les p premiers: le pourcentage de
variance explique sera alors gale Lp / Lk , o Lp=Slj avec j= 1,...,p et Lk= Slj avec j= 1,...,k.
Dun point de vue pratique cela parmet de rechercher les 2 ou 3 facteurs explicatifs prpondrants dun phnomne spatial observ. Par exemple, pour expliquer les hauteurs de
plusieurs pisodes pluvieux, la cartographie des coordonnes dun vecteur propre peut aider
comprendre diffrents effets, comme leffet orographique.
Pourcentage de variance explique par les 30 premires composantes sur les hauteurs de pluies de 84 pisodes pluvieux observs en 73 stations des Cvennes:
Soulignons pour terminer que cette mthode peut tre trs intressante pour
optimiser un rseau, en montrant lapport
Exemple dACP sur des pluies mensuelles (BV Allier) daprs CREUTIN [12]
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dun point de mesure sur la variance explique, ou ce qui revient au mme sur les rsidus.
4. Les modles de simulation stochastique
objectifs et principes: Les modles de simulation ne cherchent pas reproduire une partie de la ralisation dun processus, mais gnrer des scnarios possibles dun processus dont on connait une
ralisation. Dun point de vue pratique ces scnarios, par exemple sil sagit de dbits,
peuvent tre utiles comme donnes dentre pour vrifier le bien fond dune gestion de crue,
pour calculer le bilan conomique de lexploitation dun rservoir, etc.
Les modles de simulation souvent sollicits pour dcrire les volutions temporelles, autant que spatiales, en gnrant des sries. Par exemple gnrer plusieurs centaines dannes
de dbits journaliers.
Leur principe est dutiliser des gnrateurs de variables alatoires qui devront respecter la structure statistique des processus reproduire.
Modle Markovien stationnaire dordre 1 Il sagit dun processus dont la variable alatoire X(t) peut se reprsenter par lquation suivante:
X(t)- m = r.[X(t-1)-m] + e(t). s.[1-r2]2
X= variable Normale (si ncessaire transforme de la variable initiale)
de moyenne m et dcart type s constants (processus stationnaire)
e = variable alatoire Normale centre rduite, indpendante de X et de
e(t-k)
r = constante
On peut montrer que r = E[(X(t)-m). (X(t-1)-m))]/s2
et plus gnralement rk= E [(X(t)-m).(X(t-k)-m)]/s2 = r
k.
1
r(k)
k
A noter que la gnration dune srie respectant ce processus Markovien de paramtres
[m;s;r ] consistera tirer au hazard une srie de valeurs {a1,a2,...ai,...an} suivant une loi
Normale centre rduite grce un gnrateur, puis gnrer le scnario:
X(1)=m + a1.s
X(2)=m + r.[X(1)-m] +a2 .s.[1-r2]2
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...............
X(i)=m + r.[X(i-1)-m] +ai .s.[1-r2]2 (i=3,....,n)
A noter que lorsque la moyenne et lcart type ne sont plus stationnaire, on peut parfois se ramener un processus analogue en effectuant le changement de variable
X(t)=[X(t)-m(t)]/s(t).
Modle Markovien gnral
Cette fois, la moyenne et lcart-type ne sont plus stationnaires, et la condition rk= rk
nest plus vrifie. Lexpression gnrale de ce modle scrit :
(X(t)- m(t))/s(t) = r.[(X(t-1)-m(t))/s(t-1)] + e(t).[1-r2]2
Ainsi un processus sera Markovien sil vrifie :
rt,t-2=rt.rt-1 rt,t-3=rt.rt-1.rt-2 etc...
t t-1 t-2 t-3
rt rt-1 rt-2
rt, t-2
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A titre dexemple, pour le Rhin Ble, les corrlations des dbits mensuels de la priode 1908-1926 taient:
mois rt.rt-1 rt,t-2 mois rt.rt-1.rt-2 rt,t-3
janv-fv 0.25 0.23 janv-avril 0.15 0.04
fv-avril 0.31 0.26 fv-mai 0.18 0.25
juin-aot 0.43 0.38 juin-sept 0.28 0.26
Ces valeurs montrent que la srie des dbits mensuels est assez bien reprsente par un processus de Markov de paramtres [m(t);s(t);r(t)] t=1,...12 o t est le numro de mois.
0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,125
0,15
0,175
0,2
0,225
0,25
0,275
0,3
0,325
0,35
0,375
0,4
0,425
0,45
Markov
Ob
se
rv
Modles Autorgressifs stationnaires: AR(p) Le modle rgressif voqu pour linterpolation, peut tre utilis en simulation: il suffit de
gnrer des rsidus e par tirage dans une loi Normale. Mais nous avons vu avec le modle de
Markov lintrt en simulation dun modle linaire qui prennent en compte non pas
seulement un processus support diffrent du processus tudi, mais galement les ralisations
antrieures de la variable elle mme. Sous lhypothse de stationnarit, ceci a t gnralis,
principalement par BOX et JENKINS [ ] en distinguant les modles autorgressifs simples
(AR(p)), les modles de moyennes mobiles (MA(q)) et les modles mixtes (ARMA(p,q)).
Lorsque des non stationnarits priodiques sont bien identifies, alors une version non
stationnaire de ARMA peut tre utilise: ARIMA(p,d,q) .
Commenons par le modle AR(p), dont la formulation gnrale est :
Z(t)=SFi.Z(t-i) + e(t) (j=1,...,p)
hypothses:
E[e(t)]=0
E[e(t). e(t-k)]=0 "k>0
E[e(t). Z(t-k)]=0 "k>0
Le processus tant stationnaire, on peut trouver un ensemble {Fi} qui respecte les covariances:
Sachant que E[e(t). Z(t-k)]=0, on a :
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E[Z(t). Z(t-k)]=SFi. E[Z(t-i). Z(t-k)] ( i =1,...,p)
Do lon tire :
rk=SFi.rk-i ( i =1,...,p)
ou encore
[r]=[P].[F] avec
r1 F1 1 r1 r2 .......................rp-1
r2 F2 r1 1 r1 ......................rp-2
.. .. ........................................
[r]= rk [F]= Fk [P]= rk-1 .............1 r1 ........... rp-k .. .. ........................................
rp Fp rp-1 .................................1
Rsoudre ce systme, dit de YULE WALKER, revient calculer ainsi les Fi :
[F] =[P]-1
.[r]
Comme prcdement, la simulation dun scnario consiste tirer alatoirement des e(t), et
un terme Z(1) initial, puis, connaissant les ri et Fi, en dduire la srie des Z(t).
Les autres modles Autorgressifs : MA(q), ARMA(p,q) et ARIMA(p,d,q) Le modle MA(q), Moving Average ou moyenne glissante, exprime que le processus est une sorte de lissage dun processus sous jacent:
Z(t)= -SQ i. e(t-i) + e(t) ( i =1,...,q)
dans ce cas se
2= sZ
2 / (1+SQ i
2) et rk=[-Qk
2. SQ i.Qi+k]/(1+SQ i
2)
Le modle ARMA(p,q) combine les deux modles prcdents:
Z(t)=SFi.Z(t-i) -SQ j. e(t-j) + e(t) ( i =1,...,p) ( j =1,...,q)
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Enfin le modle ARIMA(p,d,q) est un cas particulier du modle ARMA appliqu une variable transforme: Z(t)= Z(t)-Z(t-d), de faon gommer les nonstationnarits de priode
d.
Les modles conceptuels Ces modles intgrent dans la structure du processus des lments physiques : ainsi le processus des dbits sera reconstitu soit en partant du processus des pluies, en utilisant une
schmatisation pluie-dbit trs globale, et en compltant par des termes alatoires dont les
caractristiques auront t identifis sur des ralisations concommitantes.
Exemple du modle vidange-impulsion: cest la combinaison dun modle stochastique simulant des pisodes pluvieux et dun modle pseudo-dterministe utilisant une relation pluie-dbit pour gnrer des dbits
journaliers complt par un terme alatoire.
Q(i)=qi.Q(i1) + mi. P(i) + e (i) o Q(i) reprsente le dbit moyenne observ au jour.i.; P(i) la pluie moyenne tombe le jourX;
qi le paramtre de tarissement de la nappe
mi est le paramtre de rponse la pluie (reprsente la raction la pluie) e (i) est un rsidu qui suit une loi normale centre, dcart-type s
Le paramtre de tarissement traduit la chute du dbit en labsence de pluie : on a alors un modle
autorgressif paramtre variable: Q(i) =qi . Q(i-1) + e (i)
La quantit mi. P(i) est interprte comme tant le volume de pluie efficace cest--dire la fraction de la pluie brute P(i) qui est suppose atteindre lexutoire du bassin par ruissellement superficiel.
Le schma ci-dessus reprsente, de faon simplifie, lvolution des dbits au cours du temps. On constate quil
y a dcroissance exponentielle des dbits en labsence de pluie (cest lalimentation par la nappe) et des sauts
sinon (cest le ruissellement conscutif une pluie).
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La qualit du modle dpendra la fois de lidentification du processus simulant les pluies et de la qualit du modle pseudo-dterministe simulant les alas de la raction pluie-dbit. Ce dernier peut tre contrl ds
quon connait des ralisations de pluies et de dbits concommitantes (figure ci-dessous):
Exemple du modle DEJOREG-TIERCELIN: le principe de schmatisation et de simulation reste le mme
que prcdemment, sauf que ce modle ne travaille pas sur des impulsions de pluies, mais sur des averses
de volume V(i) quil rpartit de faon triangulaite sur une dure T(i) (figure ci-dessous)
Exemple du modle DPFT: ce modle affine le devenir de la pluie prcipite en modlisant la part efficace de la pluie qui participe directement lcoulement (le reste tant infiltr ou vapotranspir), et
recompose les dbits partir des pluies nettes successives (schmatisation linaire comme lhydrogramme
unitaire).
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Ainsi la pluie efficace PE se dduit de la pluie brute P: PE(i)=P(i)2 / [P(i)=b(i)] o b(i) est une fonction de ltat du sol au moment de laverse. Les dbits se calculent par une expression de la forme: Q(j)=Q(j-1)+Sli. PE(i)+e(j) o les sont des coefficients. Lidentification des b(i) et desli est itrative et fait loriginalit de la mthode.
Exemple des modles rservoirs: en modlisant les stocks et les flux globaux pour mieux prciser le devenir de la pluie, on atteint le stade le plus explicatif des modles conceptuels. A titre dexemple voici un shma de ce type de modle:
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5. Les modles de prvision
objectifs et principes: Les modles de prvision cherchent, un instant donn t, prvoir pour des instants
futurs (t+Dt) le devenir dune ralisation connue jusqu t. Par exemple, connaissant jusqu
aujourdhui le dbit dun cours deau en un point donn ainsi que les prcipitations en
quelques endroits du bassin versant, comment prvoir le dbit du mme cours deau, au mme
endroit, demain, aprs demain, etc...?
Leur principe est finalement proche des modles de simulation: chaque pas de temps t, prvoir revient gnrer un, ou plusieurs scnarios, pour en tirer le comportement futur le
plus probable, conditionn linformation connue. Pratiquement tous les modles passs en
revue pour simuler, sont utilisables en prvision.
Ce qui distingue les modles de prvision des modles de reconstitution, cest dune part le traitement qui est fait des erreurs, et dautre part lintgration de linformation connue,
parfois appele a priori. Des procdures ont t labores, consistant utiliser plusieurs
modles en parallle, analyser leurs erreurs, et ajuster la prvision en mixtant ou en
slectionnant les rsultats de ces modles en fonction de leurs erreurs passes.
Nous nen dirons pas plus sur les modles de prvision, mais si nous avons tenu garder un paragraphe spcifique ces modles de prvision, cest bien pour souligner ces diffrences
dutilisation entre simulation et prvision, mme si le coeur des modles utiliss sont les
mmes.
6. Les modles de prdtermination
objectifs et principes: quand il faut dimensionner un pont pour quil laisse passer une crue sans dommage, on ne sintresse pas au moment o la crue se produira, on ne cherche
donc pas prvoir, mais valuer la probabilit doccurence quune crue ne dpasse une
valeur critique: cest la prdtermination.
On choisira une ou plusieurs variables utiles pour le projeteur, et on valuera la probabilit doccurence de ces variables pendant une dure de rfrence. Cest par exemple
pour le pont, la probabilit que le dbit maximum dune crue ne dpasse une valeur Qc au
cours dune anne. On est davantage dans une problmatique de risque qui associe probabilit
doccurence dun vnement et dommages associs.
choix des variables alatoires: les variables qui peuvent intresser lhydrologue sont trs diverses: des pluies, dbits, tempratures, maximaux instantans ou moyens pendant une
priode, des volumes ou des dures au dessus ou au dessous de certains seuils, etc...variables
qui concernent aussi bien les crues, les tiages, les scheresses, et bien dautres phnomnes.
Pour des raisons de simplicit, on ne traitera dans la suite que des variables une dimension Z(t).
-
25
fonction de rpartition, priode de retour, intervalles entre crues, probabilit doccurrence: Considrons une variable Z(t) dont nous connaissons la fonction de rpartition, cest
dire F(Z)=Prob[z[Z, au cours dune dure Dt donne].
Alors on appelle priode de retour T(Z) la grandeur: T(Z)= Dt / [1-F(Z)]. Par exemple, la crue correspondant au dbit qui a une chance sur 100 dtre dpass lanne venir est de
priode de retour 100 ans: cest la crue centennale.
On entend souvent dire que la crue de priode de retour T revient en moyenne toutes les T annes: cest vrai au sens statistique si la stationnarit est parfaite. Mais bien
videmment les crues ne se produisent pas intervalles rguliers. En fait le processus
darrive des crues est poissonien: autrement dit lintervalle de temps IT sparant deux crues
successives de priode de retour T est uneloi exponentielle: Prob[IT>t]=exp(-t/T). A partir de l on peut calculer la probabilit doccurence dobserver au moins K crues
de priode de retour T en t annes:
Ces calculs sont intressants pour juger des risques globaux encourus par un ouvrage de dure de vie fixe.
les lois classiques:
Lobjectif est de trouver une loi thorique dont on puisse montrer quelle reprsente bien la fonction de distribution du processus tudi. Nous verrons plus loin comment ajuster plusieurs
lois partir des observations et en choisir une.
Mais commenons par lister les lois les plus frquemment utilises en hydrologie: Loi Normale : F(Q) = exp [- ] . dt
Loi Log.Normale : F(Q) = exp[ - ] . dt
Loi de Gumbel (ou Valeurs extmes) : F(Q) = exp [-exp (- ) ]
Loi de Frchet : F(Q) = exp [-exp (- ) ]
1
2p b
Q
-
1 t-a 2
2 b
1
2p b
Q
-
1 log t-a 2
2 b
Q-a
b
log Q-a
b
-
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Loi de Pearson : F(Q) = exp [- a (t b) ].[ a (t b) ] g-1
dt
Lois exponentielles : F(Q) = 1 exp [- r (a b)p ]
Loi de Poisson : P(n) = e m
. mn
/ n!
Dans ces lois les a, b,.... sont des paramtres qui doivent tre estims comme indiqu au prochain paragraphe.
lestimation des paramtres des lois:
Comment estimer les paramtres a et b de faon ce quune loi reprsente bien la distribution inconnue, dont on ne connait quune ralisation au travers dune srie de
Nobservations {Qi}? Voici les deux mthodes les plus frquemment utilises :
La mthode des Moments consiste verifier que les premiers moments de la loi et les
moments empiriques des observations concident, autrement dit :
m (a, b,.) = Q dQ et s (a, b,.) = [Q - m (a, b,.) ]2. dQ
La mthode du Maximum de Vraisemblance attribue les valeurs des paramtres qui maximisent la probabilit davoir observ les observations. Cette probabilit est appele
Vraisemblance de lchantillon. Elle scrit :
V(a,b,) = f (Q1,a,b,) . f (Q2,a,b,) . f (Q3,a,b,) . f (QN,a,b,)
Maximiser cette Vraisemblance par rapport a, b,etc, revient rsoudre le systme ci-dessous :
= 0 = 0 etc Comme prcdemment, le calcul des paramtres se dduit de la rsolution de ce systme. Pratiquement la mthode des Moments est souvent employe car les calculs sont plus simples
que ceux de la mthode du Maximum de Vraisemblance. Cependant on utilisera cette dernire
chaque fois que possible car elle est plus performante: on peut montrer quavec le mme
nombre N dobservations ses estimations convergent plus rapidement.
Comment apprcier la bonne adquation des lois? graphique et test du c 2
a G( g )
Q
e
-
F Q
-
F Q
V(a,b,) a
V(a,b,) b
-
27
Un ajustement graphique permet de voir si la forme de la loi F est bien celle de la distribution des Q1 observs. Pour cela on range les Q par ordre croissant QI 5 sinon
regrouper 2 classes) et soit NTi = N/K le
nombre quon aurait d avoir si on
suivait parfaitement la loi F(Q), alors la
quantit
c 2= S[(NOi - NTi)2 / NTi] i=1,...,K
suit une loi de c 2 n degrs de libert,
avec n=K-1-NPA o NPA est le nombre
de paramtres de F.
Enfin on sassure que le c 2 obtenu est infrieur la valeur thorique
correspondant au risque a accept (5%
par exemple) et au nombre de degrs de
libert (voir table du c 2).
les hypothses de base: homognit, indpendance et stationnarit
Les estimations seront solides condition quaucun phnomne parasite et systmatique
ne soit intervenu: drive dans le temps des sries par lamnagement des cours deau,
vnements dimportance ou dorigines trop diffrentes, interdpendance entre les
vnements,etc...
Les contrles sont faire au cas par cas. Il faut sassurer notament que les vnements de
lchantillon seront bien reprsentatifs des vnements dont on cherche lestimation: par
exemple les crues en dessous dun certain niveau ont peu avoir avec des vnement de
-
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priode de retour 1.000 ans, et peuvent masquer par leur nombre les quelques fortes crues
disponibles. Voici cependant trois contrles frquemment
utiliss:
- Homognit saisonnire (figure ci-contre): si les vne ments au cours de
lanne sont homognes, les estimations
seront cohrentes avec lestimation
annuelle si:
Fannuelle(Q)= Fhiver(Q).Fprintemps(Q).
Ft(Q).Fautomne(Q).
- Indpendance des vnements successifs: parfois un vnement et le suivant peuvent
avoir une relation entre eux (scheresse
par exemple) alors mme que les
estimateurs utiliss suppose
lindpendance. Ceci est facilement
vrifiable en calculant le coefficient
dautocorrlation de pas 1 et en testant
lhypothse quil est nul.
Stationnarit: que les caractristiques statistiques
soient invariantes avec le temps est videmment indispensable pour la crdibilit de
lestimation. Plusieurs tests peuvent tre faits sur diverses caractristiques: lun des plus
faciles est la comparaison des moyennes. Si on coupe en deux lchantillon initial, et quon
calcule les moyennes m et m, ainsi que les carts-type s et s de chaque sous-chantillon de
longueur n, alors la grandeur
t = n . (m-m) / (s2+s2)
suit une loi de Student 2n-2 degrs de libert.
incertitudes et intervalles de confiance Du fait de la longueur limit N observations, les estimations de probabilit des dbits
(ou de toute autre variable tudie) sont entaches dune incertitude, dite
dchantillonnage, fonction de N, mais galement de lestimateur utilis.
Une faon de quantifier cette incertitude est lIntervalle de Confiance, cest dire les
limites entre lesquelles il y a a% de chances que se situe la vraie valeur inconnue: par
exemple si la crue centennale a t estime la valeur la plus probable 250m3/s, on pourra
calculer quil y a 70% de chances que la vraie valeur se situe entre 220 et 285 m3/s. A
noter que le choix de la valeur a% est arbitraire comme dans tout test, et que les 70% de
lexemple ne sont que la valeur la plus couramment utilise de faon avoir des
intervalles sensibles lchantillonage sans tre xagrment larges et inutilisables par le
projeteur.
-
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En effet lorsquon fournit un projeteur une estimation, il est absolument ncessaire de lui fournir une ide du risque derreur dvaluation associ: mme sil nintgre pas toujours
cette information dans son analyse conomique, cela reste un lement de dcision aussi
important que lestimation elle mme: dune certaine faon louvrage sera expox un
risque qui combine la fois lala naturel et celui de lestimateur.
Il faut souligner que cette problmatique de prise en compte de lincertitude se pose
galement pour les modles de prvision, avec toutefois, on a vu, la particularit de
pouvoir intgrer les erreurs passes dans les prvisions.
Pour les principales lois voques prcdement, on trouvera en annexe 1 une aide au
calcul pour raliser leurs ajustements et proposer des estimations.
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DEUXIEME PARTIE : LA PREDETERMINATION DES DEBITS DE CRUES
Ds que l'on veut construire un pont, un barrage, un ouvrage fluvial expos aux dbits
extrmes, se pose le problme du dimensionnement : qu'il s'agisse de l'application d'une
norme ou du rsultat d'une tude conomique, on est forcment amen choisir un dbit, et
donc un risque de dpassement de ce dbit. Une erreur sur le risque associ ce dbit, peut
avoir des consquences catastrophiques, d'un point de vue conomique (ruine de l'ouvrage),
humain parfois (rupture de barrage par exemple).
1. quelle variable faut-il tudier ?
Dune faon gnrale cest lutilisation qui dtermine le choix de la variable: pour une
installation qui subira des dommages importants ds le dbut de la submersion, ce sera la
hauteur maximale atteinte par la crue, sil sagit dun dversoir dimensionner ce sera le dbit
maximum instantan voire lhydrogramme de crue complet, pour grer un rservoir les dbits
ou les volumes au dessus dun seuil seront plus pertinents, alors quenfin pour un producteur
agricole ce pourra tre la dure de submersion.
La probabilisation des hauteurs est cependant dconseille car:
Si la srie des dbits de crues est souvent relativement stationnaire, celle des hauteurs l'est rarement : il arrive souvent que deux crues, loignes dans le temps, aient eu le mme niveau
maximum avec pourtant des dbits sensiblement diffrents. Il suffit pour cela que le profil en
travers varie (creusement ou apport dus aux crues passes, travaux de protection, etc...).
Le point ci-dessus implique qu'il est peut-tre possible de trouver des lois de probabilits stables et ayant un sens physique, pour les dbits, mais bien rarement pour les hauteurs. Ceci
s'explique par le fait que les dbits sont le rsultat d'un ensemble de phnomnes
hydrologiques, assez rguliers. Par contre les hauteurs mlangent la fois l'aspect
hydrologique et l'aspect hydraulique, tout fait local, et modifiable dans le temps.
Comment valuer l'effet d'un barrage amont qui gre des dbits ? Le seul moyen est de repasser, au moins provisoirement, en dbit : donc autant probabiliser directement les
dbits.Une tude en dbit reste valable dans l'avenir : il est plus facile de rpercuter les
modifications locales de l'coulement pour retrouver la cote associe un risque fix. Par
contre une tude en hauteur devra tre reprise au dbut.
Enfin il est plus facile de vrifier la compatibilit des estimations en dbit de plusieurs stations d'une mme rivire.
Ce qui vient d'tre dit a des consquences propos des mesures : on trouve dans les archives
de nombreux renseignements sur des hauteurs de crue, mais souvent ils sont inexploitables.
En effet deux crues dcrites comme diffrentes donnent des hauteurs semblables (obstruction
d'un
-
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pont, prise en glace, etc...) et rendent inutile cette information, qui aurait t prcieuse si une
valuation mme grossire du dbit avait t faite. Une crue n'est correctement et utilement
dcrite que si son dbit est estim.
La variable la plus frquemment probabilise est donc le dbit moyen journalier maximum de
la crue. Cependant on est souvent intress par le dbit maximum instantan de la crue
(problme de submersion). L'cart entre maximum journalier et moyenne journalire est
parfois important et doit tre analys partir d'hydrogrammes continus.
2. quelle mthode employer ?
Le choix est si grand que le non-spcialiste s'y perd un peu, et que certains pays ont tout
simplement normalis, par textes de loi, l'analyse des dbits extrmes. Or, y regarder de plus
prs, beaucoup de mthodes ont des principes communs, avec des variantes statistiques
mineures.
Les mthodes probabilistes qui qui nous intressent peuvent se ranger en trois catgories :
les mthodes danalyse du processus des dbits, les mthodes hydromtorologiques qui intgrent linformation pluviomtrique, les mthodes de simulation stochastiques.
Les mthodes de simulation stochastiques, en modlisant statistiquement les processus
l'chelle journalire ou mensuelle, et en gnrant des scnarios sont trs utiles pour tudier par
simulation, des variables complexes, mais elles contrlent mal les incertitudes, ce qui limite la
validit des extrapolations. Comme elles sont nettement moins employes, nous ne les
aborderons pas ici.
Les mthodes hydromtorologiques sont fiables et oprationnelles pour des bassins versants
limits et homognes. Elles ont galement l'avantage d'analyser les vnements gnrateurs,
et d'tre ainsi plus proches de la physique des phnomnes. Nous en prsenterons la plus
utilise: la mthode du GRADEX.
Nous dtaillerons et illustrerons naturellement les mthodes danalyses des dbits, sous leur
forme traditionnelle (mthode des Maxima Annuels) ou plus rcente (mthode du
Renouvellement).
Nous dirons un mot enfin des mthodes empiriques ou dterministes qui en maxi-
misant les phnomnes n'valuent pas clairement les risques.
3. La mthodes des MAXIMA ANNUELS
Le recueil et la critique des donnes ayant t pralablement faits, on dispose au dpart dune
chronique de dbits journaliers, et on veut dterminer Prob[q*
-
32
Lchantillonage
Pour constituer lchantillon de travail, lide vient naturellement dextraire le dbit le plus
fort de chaque anne :
On obtient donc un chantillon {q*i} o i varie de 1 NA (nombre dannes). La marche suivre est ensuite la suivante:
- Aprs avoir rang ces q*i du plus fort au plus faible, on associe chacun une frquence empirique fi = i / (NA+1).
- On vrifie les hypothse dindpendance et de stationnarit.
- Puis on choisit parmi les lois classiques (Normale, Log Normale, Gumbel, etc...) celle qui s'ajuste le mieux l'chantillon des crues maxima annuelles observes (voir 1re
Partie et annexe1).
- La meilleure loi F(Q) tant choisie, on pourra dire que
la crue Q est de priode de retour T =
Inversement T donne on pourra dterminer QT = F-1
(1 1/T)
- Il conviendra enfin d'indiquer quelle est la qualit de l'estimation au moyen des trois renseignements suivants :
~ l'ajustement graphique est-il bon, ou bien y a-t-il des anomalies locales
(dispersion) ou gnrales (courbures ou cassures) ? Q est-il dans une zone loigne
ou non de celles des observations (extrapolation) ?
~ rsultats du test du X2 (dispersion);
1
1 F(Q)
-
33
~ les limites de l'intervalle de confiance a % (l'usage est de prendre pour les crues
70% mais ce choix doend des consquences d'une erreur d'estimation).
Force et faiblesses
La force de cette mthode est sa simplicit, et on en trouvera une illustration en 3me Partie.
Elle nest cependant pas exempte de critiques:
L'aspect processus de la srie des dbits d'une rivire est compltement ignor : on se ramne un problme de tirage dans une urne. La mthode est particulirement simple, par
contre elle nglige beaucoup d'information : toutes les fortes crues qui n'ont pas eu la
chance d'tre le maximum de l'anne o elles se sont produites. Cette information oublie
fait cruellement dfaut lorsque l'chantillon est court.
Certaines annes la crue maximum annuelle n'a pas t forte : ce type de crue faible n'a pas grand chose voir avec les crues importantes dont on veut connatre la probabilit.
L'hypothse dhomognit de l'chantillon est donc mal vrifie.
Toutes ces raisons ont conduit dvelopper la mthode du RENOUVELLEMENT qui est
dcrite au paragraphe suivant.
4. La mthode du RENOUVELLEMENT
On veut toujours dterminer F(Q)= probabilit annuelle [q < Q], c'est--dire la probabilit
que le dbit le plus fort de l'anne ne dpasse pas Q.
Lchantillonage
Considrons la srie des dbits moyens journaliers observs. Cette srie est une ralisation
du processus des dbits journaliers.
On commence par ne retenir de ce processus que la partie qui contient de l'information utile
pour la connaissance des fortes crues. Pour cela on se fixe un seuil S et on conserve les dbits
suprieurs.
-
34
On obtient ainsi une srie de chapeau d'hydrogrammes dpassant le seuil S, dont on ne
retient que le maximum.
On limine les maxima faisant visiblement partie de la mme crue (le point B sur le schma
prcdent), car ils mettraient en dfaut lhypothse
dindpendance.
On devine ainsi l'effet du seuil S :
plus S est lev, plus les crues seront fortes et indpendantes, et plus l'chantillon sera homogne,
plus S est bas, plus nombreuses seront les crues retenues ce qui amliore l'chantillonnage.
Le choix de S est donc un compromis: en pratique l'tude de 2 ou 3 seuils suffit pour trouver
la bonne valeur, en sassurant quautour de cette valeur les estimations ne doivent pas varier
de faon importante.
-
35
Finalement on se retrouve la tte de deux chantillons:
les dbits maxima des crues suprieurs S: {q i } i=1,.....,NC (NC=nombre total de maxima de crue) les dates doccurence de ces maximas. En fait on va remplacer ce deuxime chantillon par la srie des nombres de maxima observs chaque anne.
{n k } k=1,.....,NA (NC=nombre dannes)
Le contrle des hypothses
Lhypothse dindpendance se contrle classiquement par le calcul du coefficient
dautocorrlation de pas_1. Autrement dit on vrifie que le coefficient de corrlation des deux
sries X et Y ci dessous nest pas significativement diffrent de 0:
X={q 1,q 2,......................,q NC-2,q NC-1}
Y={q 2,q 3,.......................,q NC-1 ,q NC}
Lhypothse de stationnarit peut tre vrifie par le test sur les moyennes. Une autre faon
consiste montrer que les dates doccurrences de crues suprieures au seuil S sont
uniformment rparties dans le temps:
Pour cela on trace les crues par ordre d'arrive. Il y a stationnarit si la courbe (C) serpente
bien autour de la droite (D). L'hypothse sera fausse si au contraire la courbe (C) se trouve
systmatiquement au-dessus ou bien en dessous, de (D).
Quantitativement on peut tudier la variable alatoire constitue par les dates d'occurrence des
crues observes : t1, ..., tN,.
Elles doivent tre uniformment rparties sur l'intervalle [t0,tN+1]. Dans ces conditions la
moyenne thorique m = (tN+1 + t0)/2 est comparer avec la moyenne observe m* = (Sti)/N
et la variance thorique s2
=( tN+1 - t0)2/12 est comparer avec la variance observe s*. Si
-
36
on admet que la variable u = N1/2
.(m-m*)/s suit une loi normale, on pourra accepter
l'hypothse de stationnarit avec un risque 5 % de se tromper chaque fois que u < 1,96 .
Le modle de Renouvellement
Soit q la crue la plus forte de l'anne. On veut dterminer :
F(Q) = Prob [q < Q].
Nous allons construire le modle en dcomposant cette probabilit en deux : la probabilit de
dpasser le seuil S un nombre de fois k dans lanne, et la probabilit de ne pas dpasser le
niveau Q bien quayant dpass S. On applique simplement les rgles de composition des
probabilits d'vnements indpendants :
Prob [q < Q] = Prob [Au cours de l'anne, $ 0 crue > S]
+ Prob [Au cours de l'anne, $ 1 crue > S et < Q]
+ Prob [Au cours de l'anne, $ 2 crues > S et toutes < Q]
..............................
+ Prob [Au cours de l'anne, $ k crues >S et toutes < Q]
........... .
en abrg :
Prob [q < Q] = S Prob [Au cours de l'anne, $ k crues >S et toutes < Q] k=0,.....,
ou encore :
Prob [q < Q] =S P(k).G(Q)k k=0,........,
O P(k) est la probabilit dobserver exactement k crues suprieures S en un an. On
constate en pratique que la loi de Poisson P(k) = e-m
. mk
/ k! sajuste bien aux observations,
sauf dans quelques cas rares la loi Binmiale Ngative la remplacera.
G(Q) est estime par une loi de type exponentielle. Elle sajuste trs classiquement
lensemble des dbits maximaux des crues ayant dpass le seuil S. La qualit dajustement
doit toujours tre vrifie grapgiquement et par le test du c2 . En gnral, lune des eux lois
ci-dessous convient :
G(Q) = 1 - e loi exponentielle simple
G(Q) = 1 - e loi de Weibull
-r(Q-S)
-r(Q-S)p
-
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Lorsqu'on s'intresse des crues rares, la Prob [q < Q] peut tre approxime par une relation
trs simple. En effet si la crue est rare cela signifie que G(Q) est proche de l :
F(Q)=Prob [q* < Q] =S P(k).G(Q)k
F(Q)Y S P(k).{ l - k[1 - G(Q)] }
F(Q) j l - N.[l- G(Q)]
o N est le nombre moyen annuel de crues dpassant S ( N =S k.P(k) )
Exemple d'application simple : On veut connatre la crue centennale d'une rivire dont on
dispose de 30 ans de relevs hydromtriques. On s'est fix un seuil S = 100 m3/s, on a observ
100 crues suprieures S et de moyenne 150 m3/s. Si ces crues suivent une loi G(Q)
exponentielle simple, on aura :
F(Q)=Prob [q* < Q] 1 - (100/30).exp[-(Q-100)/(150-10] F(Q)=Prob [q* < Q] 1 -3,33.exp[-(Q-100)/50] Ainsi la crues centennale Q100 390 m3/s
Remarques Tout ce qui vient d'tre dit pour l'anne (maximum annuel, nombre de crues par an
suprieures S, etc...) peut tre transpos d'autres chelles de temps : le mois, la saison,
etc... Il importe seulement de ne pas mlanger des rgimes diffrents : ne pas traiter l'chelle
mensuelle l'ensemble des crues d'hiver et d't, car le nombre moyen mensuel de crues est
diffrent en hiver et en t et la loi P(k) est galement diffrente. Par contre on peut faire une
tude l'chelle mensuelle si on dsire tudier les crues d't et que l'on ne retienne que les
dbits de juillet-aot : le rsultat final sera la probabilit de la crue maximum de ces deux
mois, ou de l'un d'entre eux (ceci intresse ceux qui doivent effectuer des travaux dans le lit
d'une rivire et qui veulent savoir quels risques ils s'exposent selon le mois).
II existe des variantes de ces mthodes (lois tronques sur les Maxima Annuels,
Renouvellement avec variations saisonnires des paramtres, etc...) mais leurs principes de
base se ramnent pratiquement toujours ceux qui ont t dcrits.
Lestimation des parametres du Renouvellement
La forme la plus usuelle de la fonction de rpartition par le Renouvellement scrit donc :
F(Q) = Prob [ q* < Q] = S P(k).G(Q)k k=0,.....,
Avec P(k) = e-m
. mk
/ k! et G(Q) = 1 - e
Il sagit de dterminer les paramtres r, m et p de ces lois partir des crues observes. Pour
cela, nous allons utiliser les deux chantillons que nous avons constitus, savoir :
Les dbits maxima des crues suprieures S : {Qi} i = 1, NC (nombre de crues >S)
-r(Q-S)p
-
38
Les nombres de crues suprieures S chaque annes : {nk} k = 1, NA (nombre dannes)
Lestimateur utilis est celui du Maximum de Vraisemblance (voir annexe 2 le dtail du
calcul).
Les paramtres r*, m* et p* optimaux sont les rsultats du systme ci-dessous, rsolu par
approximations successives :
m
= NC / NA
r = NC / S (Qi S)p
NC/p + S log(Qi S) . S (Qi S)p.log(Qi S) = 0 Ce jeu de paramtres r*, m* et p* trouv, il reste vrifier que les lois choisiees conviennent
bien, aussi bien graphiquement, quavec les test de type c2.
Il devient alors possible de calculer le dbit de la crue de priode de retout T :
QT = S +
A noter le cas particulier de la loi exponentielle simple qui nest autre que la loi de weibull
avec un paramtre p* gal 1: F(Q) = 1 - e-r(Q-S)
Dans ce cas le calcul des paramtres est immdiat: m* = NC/NA et r* = 1 / ( SQi - S)
Le calcul des incertitudes
Les valeurs trouves des paramtres m*, r* et p* ne sont que des estimations de leurs vraies
valeurs m, r et p inconnues. Autrement dit, m*, r* et p* nous apparaissent comme des
variables alatoires, dont on peut montrer quelles suivent une loi Normale, avec une matrice
de covariances explicitement calcule en annexe 2. On en dduit la variance de QT :
Var (QT ) = .Var r* + .Var m* + .Var p*
+ 2. .Cov r*p* - 2. . .Cov r*m*
- 2. .Cov m*p*
NC
S (Qi S)p
Log (m*T) 1/p*
r*
(QT S)2
r*2. p*
2
(QT S)2(1-p)
r*2. m*
2.p*
2
(QT S)2.log
2 (QT S)
p*2
(QT S)2.log (QT S)
r* . p*2
(QT S)(2-p)
r*2. m* . p*
2
(QT S)(2-p)
. log (QT S)
r*. m* . p*2
-
39
Si on fait ensuite lapproximation que QT suit une loi Normale, on en dduit lintervalle de
confiance 70%: [Q1;Q2] avec Q1= QT - 1,04.sQ et Q2= QT + 1,04.sQ
Linformation historique Lintervalle de confiance calcul ci dessus prend en compte les incertitudes dchantillonage
lies la taille limite de lchantillon. Il existe dautres sources dincertitudes trs
difficilement quantifiables: les erreurs de mesures qui peuvent entacher les donnes,
linadquation toujours possible des lois retenues surtout pour les trs grandes crues, des
dfauts de stationnarit, etc.... Pour sen prserver partiellement, il est vivement conseill de
rechercher linformation historique.
Longtemps nglige, parce que considre comme peu sre, l'information historique, c'est--
dire les renseignements sur des crues anciennes, particulirement fortes, au cours des 100 ou
200 dernires annes, est en fait capitale et mme dans certains cas plus prcieuse que la srie
des observations rgulires : par exemple si on dsire estimer la crue centennale, la
connaissance des 2 ou 3 plus forts vnements du sicle pass est plus importante qu'une
dizaine d'annes de dbits.
Supposons donc qu'une analyse critique ait permis de rassembler un catalogue des NP plus
fortes crues en NAS annes supplmentaires, et qu'elles soient ranges par ordre dcroissant.
Comment prendre en compte ces crues ?
La technique classique, utilise pour la mthode des Maxima Annuels, consiste affecter
chaque crue une probabilit empirique [ fi = i / (NAS+1)] et reporter les points reprsentatifs
de ces crues sur le graphique d'ajustement des crues de l'chantillon rgulier. On vrifie ainsi
que ces crues exceptionnelles sont compatibles avec le modle statistique retenu.
Ce procd est simple mais il offre deux inconvnients : d'abord il ne comporte pas de critre
clair pour accepter ou refuser un ajustement en fonction des carts observs, d'autre part
mme si les carts sont acceptables, on ne corrige pas la loi initiale en tenant compte de ces
crues historiques.
De son ct la mthode du Renouvellement peut intgrer facilement cette information : il
suffit dans le calcul de la vraisemblance de l'chantillon, d'introduire galement la
vraisemblance des crues historiques . On crira :
VT = V1 * V2
avec VT= Vraisemblance globale des deux chantillons
V1= Vraisemblance de lchantillon des crues rgulirement observes
V2= Vraisemblance de lchantillon des crues historiques
Le calcul de V1 est le mme que prcdemment. Tandis que V2 est la probabilit davoir
observ en NAS annes supplmentaires, dune part les crues de lchantillon, et dautre part
que toutes les autres crues suprieures S taient infrieures QNP.
-
40
Le calcul dtaill est fourni en annexe 2: le systme rsoudre pour avoir les nouvelles
valeurs de r, m et p, ainsi que est peine plus compliqu quavant.
En guise de conclusion concernant la mthode du Renouvellement, son domaine de validit,
comme dailleurs celui de la mthode des Maxima Annuels, est plutt celui des grands bassins
versants (plus de 10.000 km2). En effet ses estimations sont fondes sur des vnements
courants, dont le hasard des combinaisons est bien reprsent par les lois retenues. Ds que
lon veut estimer des vnements de priode de retour leve (100 1.000 ans), elle ne
conviendra pas pour les petits bassins versants o des effets tout fait locaux (orages par
exemple), parfois jamais mesurs aux points dtude, peuvent devenir dimensionnants.
La mthode du Gradex qui intgre dune certaine faon la physique des phnomnes
extrmes, prsente lavantage dtre bien adapte ces cas l.
5. La mthode du GRADEX
Avec la mthode du GRADEX nous abordons une autre classe de mthodes: celles qui
utilisent linformation hydromtorologique, cest dire la pluie gnratrice des coulements.
Ainsi on dispose de deux chantillons : un chantillon de pluies pas de temps fin (horaire
par exemple) et de dbits journaliers complts par quelques hydrogrammes de crue pas de
temps fin galement.
Principes, hypothses et domaine de validit Le postulat de base de la mthode est quil doit y avoir une relation entre la distribution des
dbits et celle des pluies gnratrices puisque les dbits sont forms par les pluies. Cette
relation est elle simple?
Dans certaines conditions dcoulement extrmes (crues exceptionnelles), oui : le sol est si
satur que tout accroissement de pluie va se traduire, exprim en volume, par le mme
accroissement en dbit. Autement dit tout ce qui est prcipit, ruisselle. Si la distribution de la
variable alatoire pluie est exponentielle, alors on peut montrer que celle des dbits dans ces
conditions extrmes est asymptotiquement exponentielle, et que ses paramtres se dduisent
de ceux des pluies. Examinons les hypothses qui correspondent ces conditions:
Hypothse 1: la distribution des precipitations moyennes sur un bassin pendant une dure
t de quelques heures ou quelques jours est de type exponentiel: F(P)]= 1 - constante.exp(-
P/at
). On peut
-
41
montrer quil sen dduit que la distribution des prcipitations maximales annuelles,
moyennes sur un bassin pendant quelques heures ou quelques jours est de type GUMBEL:
F(P)]= exp {-exp[ -(P0 - P)/ at] }
o P0 est une constante, ainsi que at qui est appel Gradex.
Hypothse 2 : si le dbit dpasse une certaine valeur (qui selon les sols peut varier du dbit dcennal au dbit cinquantennal), alors le sol est satur, de sorte que, pendant le temps
de base de ruissellement t, tout accroissement de pluie gale le mme accroissement en dbit,
autrement dit: dQ=dP.
Le mcanisme de saturation progressive au cours dune averse peut se traduire sur la figure ci-
dessous :
-
42
Le corollaire de cette hypothse combine la prcdente est que la distribution des dbits
sera asymptotiquement exponentielle, et de mme paramtre at
que celle des pluies.
Ds lors lestimation du dbit Qt
de priode de retour T sestime ainsi :
t t
tQ (T) = Q (T ) + a log (T / T ) 0 0 avec T > T0
et T0 est une priode de retour au-del de laquelle le sol est satur.
Hypothse 3: le rapport moyen, appel coefficient de forme, entre le dbit maximum
instantan dun hydrogramme de crue, et le dbit maximum moyen sur la priode t est
indpendant du dbit. La figure ci-dessous, concernant le rapport dbit maximum/dbit
moyen, est tablie chaque tude:
-
43
La premire et la troisime hypothses sont assez facile vrifier: les nombreux ajustements
de lois de GUMBEL sur des chantillons de pluie et les graphiques dbits de pointe/dbits
moyenns sur une dure t ont permis de montrer, hormis quelques cas rares, le bien fond de
ces hypothses. Reste la deuxime hypothse concernant la relation pluie/dbit: cest elle qui
fixe dune certaine faon le domaine de validit de la mthode. En effet on imagine bien que
la saturation de lensemble du bassin sera dautant plus vite atteinte que les sols sont peu
permables, et que le bassin versant est de petite taille (50 1.000 km2) pour tre arros de
faon homogne. Le choix de la priode de retour T0 est faire au cas par cas : elle doit tre
suffisement leve pour que la saturation soit bien garantie au-del de ce seuil.
Les tapes du calcul par la mthode du GRADEX Description des phnomnes et critique des donnes: comme pour toutes les mthodes le premier travail est la description hydroclimatologique et la critique des donnes. La mthode
du GRADEX demande en plus de constituer un chantillon pluviomtrique qui est en fait le
rsultat dune tude: en gnral on dispose deplusieurs sries pluviomtrique, et par des
analyses dinterpolation comme celes voques en premire Partie, on reconstitue une
chronique destimation de la lame deau moyenne.
Analyse des hydrogrammes : on en dduit le pas de temps t retenir (on arrondit celui
des donnes), et dautre part on tablit le coefficient de forme. En outre on value le dbit de
rtention limite partir duquel la saturation est suppose atteinte.
Calcul du Gradex des pluies : on estime pour chaque saison le Gradex en ajustant les pluies de la saison une loi de Gumbel, et on en dduit le Gradex annuel qui,
asymptotiquement, est le plus fort des Gradex saisonniers.
Calcul du dbit limite de rtention: on estime le dbit dcennal (ou plus si ncessaire) en appliquant la mthode des Maxima annuels ou du Renouvellement la srie des dbits
observs (moyens sur la dure t).
Calcul du dbit maximal instantan de priode de retour donn: aprs avoir calcul le Gradex Instantan partir du Gradex moyen (a=a.r o r est le coefficient de forme), on
tablit la distribution des dbits instantans traant la loi de Gumbel de paramtre a partir
du dbit limite de rtention.
-
44
Pour terminer soulignons que cette mthode est bien adapte aux estimations dvnements
extrmes (crues dcamillnnales) car lhypothse lie la saturation est dautant mieux
vrifie que le dbit est important.
6. Conclusions sur la prdtermination des crues
Nous venons de voir les trois mthodes de prdtermination des crues les plus utilises en
France, et dans les pays qui ont une approche statistique du risque prendre en compte pour
le dimensionnement douvrages.
Quelle mthode choisir ?
Les mthodes des Maxima Annuels ont pour elles, on la vu, leur simplicit, et il est vrai que
pour des bassins versants assez grands (plus de 10.000 km2), disposant de quelques dizaines
-
45
dannes de dbits observs, lestimation de la crue dcennale est accessible sans trop de
risques. Au del, il conviendra dtre prudent et disposer de suffisement dinformations.
De toute faon, compte tenu des moyens de calcul actuels, on a intrt utiliser la mthode du
Renouvellement, qui grce sa faon de bien valoriser linformation, et en plus de conforter
les extrapolations par linformation historique, est plus sre. Toujours pour des bassins
versants assez grands (plus de 10.000 km2), elle permet destimer, avec des incertitudes
souvent acceptables, des vnements de priode de retour pouvant atteindre 100 ans, voire
1.000 ans.
La mthode du Gradex est tout fait complmentaire puisquelle sapplique mieux aux
vnements les plus extrmes (dcamillennaux) survenant sur des bassins de taille modrs.
En outre elle nexige pas de longues sries de dbits, rarement disponibles sur les petits
bassins, mais demande des sries pluviomtriques.
Dautres mthodes sont-elles utilses?
De nombreuses variantes ou complments aux mthodes statistiques prsentes ici existent:
lois de Valeurs Extrmes Gnralises, changements de variables divers, combinaisons de
lois, etc...Signalons que parmi les approches statistiques intressantes qui na pu tre
prsente ici figure lanalyse Baysienne qui est bien plus quune estimation, mais plutt
une approche dynamique de la faon dutiliser linformation. En effet son principe est de
considrer que le projeteur a toujours au dpart, cest dire avant dutiliser une nouvelle
information, une apprciation a priori du phnomne quil tudie, et que linformation
reue va lui enrichir cette apprciation qui deviendra apprciation a posteriori, juqu la
prochaine information.....
Concernant la mthode du Gradex, dont le domaine de prdilection concerne les vnements
extrmes (10.000 ans), des travaux ont t conduits afin de la rendre davantage utilisable dans
la zone des crues moins extrmes (10 1.000 ans). La mthode AGREGEE mise au point par
le CEMAGREF sattache en particulier prciser la zone de transition au moyen de fonctions
de raccordement ajuster au cas par cas. La variante la plus utilise est AGREGEE
"Esthtique" : on considre que le paramtre Gradex varie entre deux valeurs :
a (T) = a T
T + p a et
a (T) = a (T) . T
T + donc a (T) = a
T
+ ) (T + )q p q
2
d a d
,(T
o (a et d sont des
constantes calcules grce une condition de raccordement la distribution des crues
observes). Ds lors : Q(T)= Q Ta
( - )
T
T
T
T( ) * .log .log0
0 0
+
+
+
-
+
+
a d
a
a
a
d
d
d
si T>T0
Dans les pays anglo-saxons, o les mthodes statistiques sont largement employes pour les
vnement de priode de retour modre (10 100 ans), la mthode de la PMF (Probable
Maximum Flood) est exige pour les dimensionnement douvrages o des vies humaines sont
concernes. Cette mthode nest pas statistique et consiste maximiser les variables
explicatives des prcipitations (humidit, vent, conditions de prcipitation), maximiser les
-
46
scnarios temporels de prcipitations (concommitances, prcipitations successives,...), puis
transformer cette pluie en dbit, dabord en dterminant la part efficace qui, comme le
Gradex est proche de dQ=dP, et ensuite en la convertissant en dbit par des mthodes plus ou
moins classiques en hydrologie (du type Hydrogramme Unitaire,...).
Bien que non statistique, cette mthode de la PMF devait tre mentionne car elle utilise par
de nombreux bureaux dtudes internationaux, souvent la demande de clients qui y voient
une forme de protection infranchissable. sans lui nier ses avantages, qui rsident dans
lanalyse hydromtorologique, et donc lintgration dun maximum dinformations, il
convient nanmoins de garder lesprit les limites de la mthode :
une crue de projet dont la probabilit nest pas estime (et pour cause) alors que les maximisations effectues sont bases sur les observations, qui peuvent tre trs rduites en
certains endroits: il sen suit un faux sentiment de scurit
des estimations linverse trs importantes quand les informations sont riches, qui surdimensionneraient exagrment les ouvrages, ce qui conduit les projeteurs corriger par
un coefficient dabattement non moins risqu...
enfin une complexit de mise en oeuvre qui gnrent beaucoup de choix difficiles et qui ne permet pas la fin du calcul davoir une forme dvaluation de lincertitude.
-
TROISIEME PARTIE : VALUATION DES RISQUES DE CRUE DE LA GARONNE MAS DAGENAIS
Cet exemple illustre lapplication de la mthode des Maxima Annuels et de celle du Renouvellement.
Pour rester simple et illustratif, tous les calculs dtaills ne sont pas exposs: en revanche les
rsultats majeurs de chaque tape sont fournis, de sorte quils peuvent tre retrouvs en saidant de
la Partie 2 et des annexes 1 et 2.
Nous verrons successivement:
lanalyse hydromtorologique
les donnes et leur critique
ltude par la mthode des Maxima Annuels
vrification des hypothses
ajustements des lois statistiques
rsultat et incertitudes
ltude par la mthode du Renouvellement
vrification des hypothses
ajustements des lois statistiques au nombre annuel de crues
ajustements des lois statistiques aux amplitudes de crues
rsultat et incertitudes
1. lanalyse hydromtorologique
La station de Mas dAgenais est situe sur la Garonne, juste laval du confluent avec le Lot,
correspondant un
bassin versant de 52.000
km2. Ses crues sont donc
formes de celles de la
Garonne amont, de
lArige, des rivires du
Lanmezan, du Tarn et du
Lot. La cohrence des
coulements a pu tre
tudie grce une srie
de stations hydro-
mtriques sur ces cours
deau ou intermdiaires
sur la Garonne, en
particulier Portet, Mas
Grenier, Hauterive,
Rouby, Lamagistre, et
Cahors. De plus des rservoirs, reprsentant au total un volume de 1,3 million de m3, construits
essentiellement aprs 1945, situs dans les Pyrnes et dans le Massif Central impactent les dbits de
la Garonne.
47
-
Sur le plan hydromtorologique, on distingue trois classes de crues, qui peuvent aussi se combiner:
les crues pyrnennes, les crues ocaniques, et les crues mditerranennes. A chacune delle
correspond des situations mtorologiques
identifies en fonction de la position de
lanticyclone (Golfe de Gascogne, ou ouest
Espagne ou sud Espagne) et dune ou plusieurs
dpressions associes (Irlande, France,
Mditerrane,...). Les fortes crues proviennent de
la Haute Garonne (crues ocaniques ou
ocaniques-pyrnennes), ou de crues ocaniques
de la Moyenne Garonne gonfles par une crue
dun affluent, ou encore du fait de crues
successives.Ci contre: exemple de situation mtorologique:
la journe du 22 janvier 1955
2. les donnes et leur critique
Nous ferons lhypothse pour cet expos que la variable utile au projeteur est le dbit moyen
journalier. Dautre part ltude cite ici en exemple ayant t ralise en 1977, les donnes
ultrieures nont pas t intgres.
La station de Mas dAgenais est abondante en donnes: dbits journaliers depuis 1913, auxquels
sajoutent 12 crues historiques en 143 ans supplmentaires. La qualit de ces donnes a fait lobjet
de nombreuses tudes, en particulier par PARDE qui proposait quelques corrections au dessus du
dbordement (3.800 m3/s). Ce sont ces valeurs qui ont t retenues et qui correspondent aux
chantillons ci aprs: crues maxima annuelles, crues suprieures 2.500 m3/s, et crues historiques
Crues maximales annuelles
crues historiques
1770 7.000 7.400 m3/s
1772 6.300 m3/s
1783 7.000 7.200 m3/s
1827 6.500 m3/s
1835 6.400 m3/s
1843 6.500 m3/s
1855 7.000 m3/s
1856 6.200 m3/s
1856 6.600 m3/s
1875 7.000 7.500 m3/s
1879 6.300 m3/s
1879 7.000 m3/s
48
-
Crues suprieures 2.500 m3/s
3. ltude par la mthode des Maxima Annuels
vrification des hypothses
Indpendance:
Le coefficient de corrlation de pas 1 sur 63 valeurs est de 0,034.
La variable test de Student t=R. [(N-2)/(1-R2)]0,5 vaut ici 0,264.
Le risque 5% de rejeter tort correspond t=1,68 : on peut considrer que lhypothse
dindpendance est largement acceptable.
Stationnarit:
En dcoupant en deux lchantillon, on obtient deux moyennes assez diffrentes:
m1= 4 317 m3/s s1= 1 268 m3/s
m2= 3 485 m3/s s2= 1 284 m3/s
La variable test de Student
t=(m1-m2).[32/(s12+s22)]0,5
vaut ici 2,6: lhypothse de
stationnarit peut donc tre
remise en cause. Le graphique
ci contre des moyennes glis-
santes montre effectivement
49
-
une particularit partir du milieu de la srie. Nous la gardons en mmoire pour la discussion finale
des incertitudes.
ajustements des lois statistiques
ajustement la loi Normale : il est peu satisfaisant, une courbure apparaissant.
loi Normale: loi Log-Normale:.:
loi des Valeurs Extrmes: .
50
-
ajustement la loi Log-Normale: il est meilleur. Le test de dispersion du 2 vaut 10,2 pour 10
classes, la valeur acceptable pour un risque de 5% tant 14.
ajustement la loi des Valeurs Extrmes: de qualit voisine de celle de la loi Log-Normale, le
test de dispersion est meilleur : 2 = 5,9.
Finalement la loi retenue est celle des Valeurs Extrmes (ou Gumbel).
rsultats et incertitudes
Sachant que la moyenne de lchantillon est 3.910 m3/s et son cart-type 1.330 m3/s, les paramtres
de la loi de Gumbel sont =3 310 et = 1 040, de sorte que le dbit de priode de retour donne
scrit: QT= 3 310 + 1 040.[-log[-log(1-1/T)]]
crue decennale 5.650 m3/s
crue centennale 8.100 m3/s
crue millennale 10.500 m3/s
Lintervalle de confiance 70% est calcul partir de labaque de BERNIER:
pour la crue millennale: T1=0,76
T2=0,66 ====> 8.600< Q1000
-
Deuxime vrification: les dates doccurence de crues suprieures 2.500 m3/s.
Le test de rpartition uniforme apparait ci
contre. Lorsque quon calcule la variable
test u (voir p. 25), on obtient 2,62 alors
que la valeur admissible 5% est 1,96:
nous trouvons donc de nouveau que
lhypothse de stationnarit nest pas trs
bien assure.
A y regarder de plus prs , on note une
absence de crue importante de 1946
1949. Ceci nexplique quen partie cette
difficulte.
ajustements des lois statistiques au nombre annuel de crues
Nous allons examiner si la loi de Poisson sajuste la srie du nombre dpassant chaque anne le
seuil 2.500 m3/s. Le paramtre de la loi de Poisson est m=NC/NA, ici = 2,32; On en dduit les
valeurs du nombre thorique dannes ayant k crues suprieures 2.500 m3/s:
k nombre observ nombre thorique (NTk= NA.exp(-2,32). 2,32k/k! )
0 8 6,4
1 16 14,8
2 15 17,2
3 8 13,3
4 11 7,7
5 et plus 7 5,6
2 = (NOk-NTk)2/NTk=4,65 pour 3 degrsde libert, la valeur admissible 5% tant
7,81.
La forme gnrale de lajustement graphique ci
contre tant assez satisfaisante (lallure gnrale
est respecte, mme si les classes 3 et 4
prsentent des carts sensibles), la loi de
Poisson peut donc tre retenue .
52
-
ajustements des lois statistiques aux amplitudes de crues
Nous ajustons la loi de Weibull (ci-dessous droite) et la loi Exponentielle Simple (ci-dessous
gauche), aprs avoir calcul leurs cofficients:
La qualit des deux ajustements est acceptable et la loi Exponentielle Simple savre pratiquement
suffisante.
Les crues millnnales estimes sont de 11.000 m3/s pour la loi Exponentielle Simple et 9600 m3/s
pour la loi de Weibull, tandis que Q = 900 m3/s.
ajustements utilisant lInformation
Historique
Nous reprenons lajustement de la loi de
Weibull (ci-contre) aprs avoir calcul leurs
cofficients: Les points des crues
historiques se placent bien, et la qualit de
lajustement demeure satisfaisant.
La crue millnnale estime reste aux
alentours de 9600 m3/s, tandis que Qdiminue 500 m3/s.
53
-
rsultat final et incertitudes
En retenant finalement les rsultats de la mthode du Renouvellement intgrant lInformation
historique le rsultat peut tre synthtis par la
figure ci-contre qui fournit les limites de
lintervalle de confiance 70% (Q =500 m3/s).
Le dbit de priode de retour T sestime ainsi:
QT = 2500 + [log(2,36.T)/0,00025]0,857
auquel sajoute lintervalle de confiance.
En matire dincertitudes nous avons dj
valu celles lies la taille limite de
lchantillon (2x 500 m3/s)..
Les incertitudes lies au choix du seuil ont t
values en rptant ltude avec plusieurs seuils:
9 1009 7009 7509 5509 6509 450Q1000
3 2503 0002 7502 5002 2502 000Seuil
On peut considrer que lincertitude rsiduelle ne dpasse gure 300 m3/s.
Les risques de non stationarit rencontrs deux reprises dans ltude ont t valus en rptant
ltude sur les sous chantillons 1913-1945 et 1946-1977: lcart maximal obtenu sur lestimation de
la crue millennale est de 400 m3/s.
De la mme faon une analyse de sensibilit sur la correction des donnes abouti un cart de 200
m3/s.
Bien entendu tous ces carts ne sont pas cumulatifs: ils constituent des ordres de grandeurs avoir
contrl avant une dcision de dimensionnement pour prendre les scurits adaptes aux enjeux.
_______________________________
54
-
QUATRIEME PARTIE : LA PREDETERMINATION DES ETIAGES
Ltiage, comme lhydrogramme de crue, constitue une partie du processus des dbits : il peut
tre statistiquement tudi comme le furent les dbits de crue, cette diffrence prs que le
dbit minimum instantan est rarement la variable intressante pour lutilisateur comme ltait
le dbit maximum instantan pour ltude des crues. Ce dernier sintresse ncessairement
des grandeurs couples dbits et dures : dbits mensuels, nombre total de jours annuels sous
un seuil en dbit, nombre de jours conscutifs sous un seuil en dbit, etcIl ny a donc plus
une variable privilgie une dimension dont il faut estimer la probabilit doccurrence ou de
dpassement comme nous lavions vu pour les crues, mais une variable deux dimensions
dbit-dure.
1. Lapproche globale Dbit- Dure
La prdtermination dune variable deux dimensions accrot singulirement la complexit
des estimations. Nanmoins plusieurs auteurs sy attaqurent dans les annes 1970-80 :
YEVJEVICH [25] qui dveloppa au USA et adapta pour ltiage les mthodes dites Partial
Duration Curves , et NORTH [26] qui proposa dans sa thse lEPL (Suisse) un modle
global.
Les premires applications en France ont dabord consist se ramener pragmatiquement
lestimation probabiliste dune variable conditionne par lautre, elle-mme fixe. Quitte
ensuite paramtrer cette variable fixe : par exemple on estime la probabilit que le dbit de
la Garonne reste plus de 90 jours en dessous de 70 m3/s, puis on rpte lopration pour
dautres seuils, comme 50, 90, 110, 120 m3/s, etc. On se ramne une variable, et on peut
ainsi utiliser la panoplie des outils de prdtermination classiques, simplement il faut ensuite
multiplier lanalyse pour des seuils fixs diffrents (en dbit ou bien en dure selon le cas).
Nous verrons que la prsentation des rsultats reprend une forme dj bien connue et utilise
pour ltude des pluies : les courbes Intensit-Dure-Frquence , baptises pour ltude des
dbits (et notamment des tiages), courbes Dbits-Dure-Frquence .
-
56
Ainsi, sur la figure ci-dessus Dbit Class-dure-frquence , on peut lire que le dbit class
dcennal de 350 jours (QC350), cest dire le dbit dpass 350 jours par an, vaut 58 m3/s, le
dbit class centennal de 350 jours (QC350) vaut 43 m3/s, ou encore que le dbit dcennal de
315 jours (QC315) vaut 75 m3/s.
Ces approches ont t dveloppes en France, par Electricit de France pour ltude de la
svrit des tiages des cours deau au droit de ses installations de production dnergie
(MIQUEL et coll. [27]), par des canadiens (MATHIER et coll. [28]), et par le CEMAGREF
en collaboration avec des chercheurs canadiens et roumains, non seulement pour lvaluation
des risques dtiage (GALEA, et coll. [29] et [30] ), mais galement des dures dinondation
(GALEA, et coll. [31] ).
2. Les principaux indicateurs dtiages
La mthode mme dtude a permis de dfinir les principaux indicateurs, soit en fixant un
dbit (on parle alors dindicateur dbit fix ), soit en fixant une dure (on parle alors
dindicateur dure fixe ).
Voici un tableau propos en 1978 par MIQUEL et coll. ([25]):
( Daprs [27] )
-
57
INDICATEURS
DEFINITIONS
DUREE
FIXEE
- Dbit class (Q, D)
- Dbit moyen mensuel (Q, i) - Dbit minimum mensuel (Q, i)
- Dbit moyen mobile minima (Q, D)
- Dbit dpass D jours dans lanne
- Dbit moyen du ime mois - Dbit minimum du ime
mois
- Moyenne glissante des dbits de D jours conscutifs la plus
faible de lanne
DEBIT
FIXE
- Dure classe annuelle (Q, D)
- Dure individualise (Q, D)
- Dure classe mensuelle (Q, D, i)
- Dure totale dans lanne o le dbit est infrieur Q fix
- Dure pendant laquelle le dbit reste sans interruption
infrieur Q fix
- Dure totale dans le mois i o le dbit est infrieur Q
fix
Bien entendu dautres indicateurs peuvent tre ajouts dans lune ou lautre catgorie, en
fonction de leur utilisation. Les indicateurs frquemment rencontrs sont :
Indicateurs dbit fix
- Les volumes manquants sous un seuil en dbit fix. Cet indicateur est utile pour valuer la capacit dune rserve maintenir ponctuellement un dbit aval. A
noter que les volumes manquants cumuls dans lanne sont lis aux dbits
classs.
- Les dficits mensuels successifs : au Canada (INRS Eau), un seuil mensuel Qm0 en dbit est dfini pour chaque mois (par exemple un quantile de la distribution des
dbits moyens du mois). Ensuite, chaque mois correspond deux possibilits : que
le dbit mensuel soit au dessus ou au dessous du seuil. Ds lors, lindicateur est le
nombre de mois successifs dficitaires ou au contraire sans dficit. Ce type
dindicateur convient bien aux analyses de risques de baisses de production
hydrolectrique associes aux dficits de la ressource en eau dallure assez lisse.
Indicateurs dure fixe
- QMNA : Dbit moyen mensuel le plus faible de lanne (trs utilis au niveau europen, et en France dans les plans scheresse pour caractriser de faon
gnrale la priode dtiage, notamment le QMNA5, de priode de retour 5 ans).
-
58
- VCNd: Dbit moyen minimum de d jours conscutifs de lanne, ou bien dun mois donn au cours. Cet indicateur dure fixe est analogue un Dbit moyen
mobile minima (Q, D) le plus faible de lanne.
- QCNd: Dbit seuil minimum (de lanne, ou bien dun mois donn) de d jours conscutifs. Cet indicateur dure fixe est analogue au seuil en dbit de la Dure
Individualise la plus faible de lanne.
- Le dbit moyen journalier le plus faible de lanne (de moins en moins utilis car trop dpendant des effets anthropiques).
- La plus faible moyenne des dbits de 7 jours conscutifs (utilis surtout aux USA dans les annes 1980). Cet indicateur nest rien dautre que le Dbit moyen mobile
minima (Q, 7) mentionn dans le tableau prcdent.
- Le module est une faon globale de juger de la svrit dune anne, mais il mlange plusieurs phnomnes (tiage, crue, dbits intermdiaires). Il peut
nanmoins tre utilement restreint une partie de lanne juge sensible pour un
usage. Il se rapproche alors soit dun dbit moyen saisonnier, soit dun dbit
moyen glissant sur de longues dures.
Cette liste nest pas exhaustive, et les indicateurs sont nombreux. Mais alors quel indicateur
choisir ?
La rponse cette question dpend essentiellement de lutilisation qui en sera faite : a-
t-on un problme de disponibilit de la ressource exprim en dbit seuil critique
(prises deau industrielles par exemple), ou bien en terme de capacit tenir pendant
une dure limite (si un usage dispose dune rserve), ou bien encore cherche-t-on un
indicateur multi-usage , utile un ensemble dusages plus ou moins bien cibls,
pour lesquels il faut qualifier la svrit dun pisode ?
Accessoirement, il peut tre intressant que lindicateur soit peu sensible aux effets
anthropiques, ou en tout cas permette de facilement identifier les effets anthropiques
de la partie naturelle : cest la raison pour laquelle le dbit instantan annuel est dlicat
manier, compte tenu de sa sensibilit de multiples interactions parfois trs brves et
difficiles identifier.
3. Analyse statistique des indicateurs dtiage
La plupart des indicateurs utiliss en pratique sont chantillonnage annuel, c'est--dire
forms par des sries de dbits ou de dures annuelles comme ltaient les dbits maxima
annuels de crue.
Cependant, les chantillons de certains indicateurs, notamment dbit fix, comme les Dures
Individualises son