6è primària bateries de problemes · guia per a docents de 6è de primària - bateries de...

Guia per a docents de 6è de Primària - Bateries de problemes

6è Primària Bateries de problemes


PS6-1 Cercar sistemàticament 1. La raó entre la base i l'altura d'un paral·lelogram és d'1 : 2. L'àrea és 50 cm2. Quina és l'altura del paral·lelogram? Resposta: Crear una taula per a la base, l'alçada i l'àrea amb una raó de 1 : 2 entre la base i l'altura.

base alçada àrea1 2 22 4 83 6 184 8 325 10 50

L'altura del paral·lelogram és 10 cm. 2. a) La raó entre el llarg i l'ample d'un rectangle és de 4 : 3. El perímetre mesura 70 cm. Quina és l'àrea? b) La raó entre el llarg i l'ample d'un rectangle és de 7 : 4 i el seu perímetre fa 44 mm. Quina és l'àrea? Resultats: a) 300 cm2, b) 112 mm2 3. En un trapezi, la raó base1 : base2 : alçada = 3 : 5: 4. Si l'àrea del trapezi és 144 cm2, quina és l'altura? Resultat: 12 cm 4. La raó entre noies i nois d'una classe és de 5 : 3. Hi ha 8 noies més que nois. Quantes noies i quants nois hi ha? Resposta: 20 noies i 12 nois 5. Un examen té 4 preguntes. Cada pregunta val 3 punts. • Per cada resposta totalment correcta, l'alumne obté 3 punts. • Per cada resposta parcialment correcta, l'alumne obté 1 punt. • Per cada resposta en blanc o incorrecta, l'alumne obté 0 punts. a) Quina és la nota més alta que pot obtenir un alumne en l'examen? b) Quina és la nota més baixa que pot obtenir un alumne en l'examen? c) Com es pot obtenir una nota d'1? d) Com es pot obtenir una nota de 8? e) Com es pot obtenir una nota de 5? f) És possible que un alumne obtingui una nota d'11? g) Una alumna obté una nota de 4 i cap de les seves respostes és totalment correcta. Quantes respostes parcialment correctes ha donat? Respostes: a) 12; b) 0; c) 1 resposta parcialment correcta; d) 2 respostes totalment correctes i 2 respostes parcialment correctes; e) 1 resposta totalment correcta, 2 respostes parcialment correctes i 1 resposta en blanc o incorrecta; f) no; g) 4


6. a) Quants segments pots crear en una recta amb 5 punts? b) Quants punts necessites per crear 120 segments en una recta? Resolució seleccionada: a) marcar els cinc punts com A, B, C, D, E. Cada parell de punts marcats indica els extrems d'un segment. Fer una llista de tots els segments amb el punt A: AB, AC, AD i AE. Fer una llista de tots els segments amb el punt B: BC, BD i BE (ja s'han anotat els segments que inclouen A, de manera que no cal repetir AB). Fer una llista dels nous segments amb el punt C: CD i CE. Per al punt D, l'únic segment que queda és DE. En total, es poden crear 10 segments. Resposta: b) 16 punts 7. Quants múltiples de 9 hi ha entre els següent nombres? a) 1 i 901 b) 1 i 1.000 c) 901 i 1.000 Resultats: a) 100, b) 111, c) 11 8. Quin nombre sóc? a) Estic entre el 500 i el 600. Les meves xifres sumen 6. Sóc parell. b) Sóc un nombre imparell de tres xifres. Les meves xifres sumen 14. Sóc múltiple de 5, 7 i 13. c) Sóc un nombre parell de tres xifres. Sóc múltiple de 11 i de 37. d) Sóc un nombre parell de tres xifres. Sóc múltiple de 5 i de 9. Dos de les meves xifres són iguals. Resultats: a) 510, b) 455, c) 814, d) 900 9. El quadrat d'un nombre és aquest nombre multiplicat per si mateix. Un quadrat perfecte és el quadrat d'un nombre natural; per tant, 1, 4, 9, 16 i 25 són quadrats perfectes (1 = 1 × 1, 4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3, 16 = 4 × 4, 25 = 5 × 5). Quants quadrats perfectes hi ha entre els següents parells de nombres (incloent els mateixos números)? a) 1 i 901 b) 1 i 1.000 c) 901 i 1.000 Respostes: a) 30 × 30 és 900; per tant, hi ha 30 quadrats perfectes menors que 901; b) 32 × 32 = 1.024; per tant, hi ha 31 quadrats perfectes menors que 1.000; c) segons els apartats a) i b), l'únic quadrat perfecte entre 901 i 1.000 és 961 (31 × 31); per tant, la resposta es 1. 10. En el següent trencaclosques, les xifres del primer sumant són 4, 5, 8 i 9. Les xifres del resultat són 3, 4, 6 i 9. Completa tots els requadres. Pista: Comença per l'esquerra (la xifra de les unitats de milers). 4, 5, 8 i 9

+ 3 4 9 7 3, 4, 6 i 9 Resposta: 5.849 + 3.497 = 9.346


PS6-2 Estimar, comprovar i corregir 1. En una classe hi ha 33 alumnes. 7 alumnes no practiquen cap esport. Els altres alumnes practiquen bàsquet, beisbol o natació. 9 alumnes practiquen beisbol i hi ha 5 alumnes més que practiquen bàsquet que els que fan natació. Quants alumnes practiquen bàsquet? Resultat: 11 2. Una baralla té 68 cartes. 7 cartes són comodins i la resta té un nombre a l'atzar entre l'1 i el 10. Hi ha 13 cartes més que tenen un nombre imparell que cartes que tenen un nombre parell. Quantes cartes tenen un nombre imparell? Resultat: 37 3. N és un nombre natural. N6 és un nombre de 4 xifres. Quin nombre és N? Resultat: 4 4. (6n - 3)5 és un nombre de 6 xifres. Quin nombre és n? Resultat: 3 5. 3 × N7 és un nombre de 5 xifres. Quin nombre és N? Resultat: 4 6. Quatre vegades un nombre és igual a 15 més que aquest nombre. Quin nombre és? Resultat: 5 7. Quan un terç d'un nombre augmenta en 16, el resultat és 70. Quin nombre és? Resultat: 162 8. Troba el nombre natural A de manera que A2 + 6A + 8 = 3.024. Resultat: 52 9. Troba N de manera que N4 = 187.388.721. Resultat: 117 10. Troba N de manera que N3 + 3 × N2 + 3 × N + 1 = 32.768. Resultat: 31 11. La mare de la Rosa tenia 32 anys quan va tenir a la Rosa. D'aquí a deu anys, la suma de les seves edats serà 80. Quants anys té ara la Rosa? Resultat: 14


PS6-3 Diagrames d'arbre i factorització (PM.1, PM.7, PM.8) 1. a) Fes una llista de tots els divisors de 36 i la seva descomposició en factors primers. b) En què s'assemblen la descomposició en factors primers de 36 i la descomposició factorial dels divisors de 36? c) Quants divisors tenen els següents números? i) 2 ii) 22 iii) 23 iv) 24 v) 25 vi) 26 vii) 3 viii) 32 ix) 33 x) 34 xi) 35 xii) 36 d) Dedueix el nombre de divisors de 3100. Justifica la deducció. e) Per trobar els divisors de 22 × 32, podem fer una matriu multiplicant tots els divisors de 22 amb tots els divisors de 32, tal com es mostra a continuació: 1 2 22 1 1 2 22 3 3 3 × 2 3 × 22 32 32 32 × 2 32 × 22 Quants divisors té 22 × 32? Com podem saber-ho a partir de la matriu? f) Quants divisors tenen els següents números? i) 24 × 32 ii) 22 × 35 iii) 2 × 38 iv) 26 × 37 v) 2m × 3n vi) 3m × 7n g) Explica com pots utilitzar la llista de divisors de 23 × 32 per fer una llista dels divisors de 23 × 32 × 52 d'una manera organitzada. h) Quantes vegades més divisors té 23 × 32 × 52 pel que fa a 23 × 32? i) Quants divisors té 23 × 35 × 72? Respostes: a) 1, 2, 3, 4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 12 = 2 × 2 × 3,18 = 2 × 3 × 3, 36 = 2 × 2 × 3 × 3; b) 36 té dos 2 i dos 3 i els seus divisors tenen com a màxim dos 2 i com a màxim dos 3; c) i) 2, ii) 3, iii), 4, IV) 5, v) 6, vi) 7, vii) 2, viii) 3, ix), 4, x) 5, xi) 6, xii) 7; d) deducció: 101, un més que l'exponent; e) 3 × 3 = 9; f) i) 5 × 3 = 15, ii) 3 × 6 = 18, iii) 2 × 9 = 18, iv) 7 × 8 = 56, v) (m + 1) × (n + 1), vi) (m + 1) × (n + 1); g) cada divisor de 23 × 32 és també un divisor de 23 × 32 × 52; per tant, és 5 × cada un d'aquests divisors i 52 × cada un d'aquests divisors; h) 3; i) 4 × 6 × 3 = 72. 2. Troba el MCD dels següents parells de nombres. a) 16, 30 b) 72, 18 c) 45, 135 d) 81, 18 e) 24 × 32, 23 × 34 f) 22 × 34 × 53, 23 × 52 × 74 Resultats: a) 2, b) 18, c) 45, d) 9, e) 23 × 32, f) 22 × 52


3. Troba el mcm dels parells de nombres de l'exercici 2 de la Bateria de problemes. Resultats: a) 240, b) 72, c) 135, d) 162, i) 24 × 34, f) 23 × 34 × 53 × 74 4. a) Multiplica els parells de nombres de l'exercici 2 de la Bateria de problemes. b) Multiplica el MCD i el mcm dels parells de números de l'exercici 2 de la Bateria de problemes. c) Compara els resultats dels apartats a) i b). Què observes? d) Com pots fer servir el MCD per trobar el mcm de dos nombres? Respostes: a-b) 480, 1.296, 6.075, 1.458, 27 × 36, 25 × 34 × 55 × 74; c) MCD × mcm és igual al producte de dos nombres; d) multiplicar els dos nombres i després dividir entre el MCD per trobar el mcm 5. Com pots trobar el mcm a partir de la descomposició factorial? Resposta: El mcm de dos nombres és el producte dels factors primers (amb els seus exponents) que no són comuns als dos nombres. Si dos nombres tenen un mateix factor primer amb exponents diferents, fem servir el factor amb l’exponent més gran, perquè aquest nombre no és comú als dos nombres.


PS6-4 Trencaclosques de multiplicació i divisió 1. a) Resol els trencaclosques. i) 9 × B = AB ii) 9 × A = BA b) En què s'assemblen els dos trencaclosques? En què es diferencien? Respostes: a) i) A = 4, B = 5; ii) A = 5, B = 4; b) Són el mateix trencaclosques, però A i B estan intercanviades. 2. Resol el trencaclosques A7 × A2 = 4.154. Resultat: A = 6 3. Resol el trencaclosques AB × 5B = 4.399. Resposta: Segons la xifra de les unitats (9), B ha de ser 3 o 7, perquè la xifra de les unitats del resultat de B × B és 9. Es comproven els dos casos: A3 × 53 = 4.399 i A7 × 57 = 4.399. A7 × 57 = 4.399 no és correcte perquè 87 × 57 és massa alt (4.959) i 77 × 57 és massa baix (4.389). En comprovar A3 × 53 = 4.399 amb A = 8, s’obté 83 × 53 = 4.399, que sí és correcte. 4. Troba la xifra que falta de manera que la resta sigui zero. a) 42 A 8 b) B2 9 c) 8C2 9 Resultats: a) A = 4, b) B = 7, c) C = 8 5. Troba M si… a) 3M8 13 té resta 0. b) M37 27 té resta 0. Resultats: a) M = 3, b) M = 8 6. Quin és el 500% del 50% del 5% de 5? Resposta: Treballar cap enrere: el 5% de 5 és 0,25, el 50% de 0,25 és 0,125, el 500% de 0,125 és 0,625. 7. Un nombre es multiplica per si mateix i després augmenta en 3. En duplicar el resultat, s'obté 104. Quin nombre és? Resposta: Treballar cap enrere: el resultat, al duplicar-se, és 104; per tant, el resultat és 52. Abans d'augmentar en 3, ha de ser 49. Quin nombre multiplicat per si mateix és 49? La resposta és 7, que pot saber-se per les taules de multiplicar o comprovant els nombres per ordre. 8. L'invers d'un nombre es multiplica per 3 i després augmenta en 2. En multiplicar el resultat per 5, se n’obté 40. Quin nombre és? Resposta: Treballar cap enrere: el resultat que es multiplica per 5 ha de ser 8. Ara, l'enunciat es pot expressar com "L'invers d'un nombre es multiplica per 3 i després augmenta en 2. El resultat és 8". Abans d'augmentar el nombre en 2 (per obtenir 8), el nombre és 6. L'invers del nombre es multiplica per 3 per obtenir 6. Per tant, l'invers té que ser 2. El nombre és 1/2.


9. El Marc li dona a la Susanna el mateix nombre de monedes que la Susanna ja tenia. Susana li dona al Joan el mateix nombre de monedes que el Joan ja tenia. El Joan li dona a al Marc el mateix nombre de monedes que el Marc ja tenia. Ara tots tenen 40 monedes. Quantes monedes tenia cadascun al començament? Resposta: Treballar cap enrere: després que el Joan li doni al Marc tantes monedes com té el Marc, tots dos es queden amb 40 monedes; per tant, el Marc n’havia de tenir 20 abans d'això i el Joan n’havia de tenir 60 (J = 60, m = 20, S = 40). Després que la Susanna li donés al Joan tantes monedes com el Joan tenia, la Susanna tenia 40 monedes i el Joan en tenia 60. Per tant, Susanna li deu haver donat al Joan 30 monedes, el que significa que la Susanna va començar amb 70 i el Joan va començar amb 30 (J = 30, m = 20, S = 70). Després que el Marc li donés a la Susanna tantes monedes com la Susana tenia, el Marc en tenia 20 i la Susanna en tenia 70. Per tant, el Marc li duia donar a la Susanna 35 monedes. Això vol dir que el Marc va començar amb 55 monedes i la Susanna va començar amb 35 (J = 30, m = 55, S = 35).


PS6-5 Diagrames de cinta 1. Dissabte, la Fàtima llegeix 15 pàgines d'un llibre. Diumenge llegeix 2

5de les pàgines que li

queden. Encara li queden 36 pàgines per llegir. Quantes pàgines té el llibre? Resposta: 75 pàgines 2. L’Alex té 3 anys més que la Mar. La Mar té 7 anys més que el Ferran. La suma de les edats dels tres és 62. Quants anys té la Mar? Resposta: 22 anys 3. La Lídia té 5 lliures de farina. Utilitza el 25% de la farina per fer bunyols i el 15% de la farina que li queda per coure un pa. Quantes unces de farina li queden? Pista: 1 lliura = 16 unces. Resposta: 51 unces 4. La suma dels angles d'un triangle és 180 graus. Els angles són proporcionals als nombres 4, 7 i 8. Pots afirmar que tots els angles són aguts? Per què? Resposta: Sí, perquè 3 + 7 + 8 = 18 i 180/18 = 10; per tant, els angles mesuren 30, 70 i 80. 5. La raó entre els diners del Marc i els diners de l’Enric és de 3 a 4. La raó entre els diners de l’Enric i els diners de la Sara és de 6 a 5. El Marc té 27 €. Quants diners tenen els tres en total? Resposta: 93 €

6. La Fina li regala el 75% dels seus mocadors a la seva germana i 25dels mocadors restants

al seu germà. Quina fracció del nombre original de mocadors es queda la Fina? Resposta: 15% o 3/20

7. El Jaume compra material artístic amb 25dels seus diners i un llibre amb 3

8dels diners que li

sobra. El Jaume té ara 4,80 €. Quants diners tenia al principi? Resposta: 12,80 €


8. Exposa: Si una botiga paga 2 € per un bolígraf i augmenta el preu 1 € per vendre’l a 3 €, el que fa és augmentar el preu en un 50%. Com la quantitat del marge de benefici és el 50% del cost original, es diu que obté un marge de benefici del 50%.

a) Una botiga paga 300 € per 10 camises. El marge de benefici de les camises és del 50% A quin preu ven la botiga una camisa?

b) Quin és el preu després d'aplicar-li un 60% de marge de benefici? Respostes: a) 45 €, b) 48 € 9. Després d'aplicar un 25% de marge de benefici, uns pantalons texans costen 45 €. Quin és el cost original abans del marge de benefici? Resposta:

Preu després del marge de benefici = ?

50 50 50

100% = 30 €

20

20

20 %

$

20

20

20

20

20

100% = 30 €

Preu després del marge de benefici = ?

45 €

%

$

25

9

25

9

10

25

9

25

9

25

9

100% = 36 €


PS6-6 Utilitzar estructures 1. Troba el terme 100.º de la sèrie. 12

, 1 22 3¥ , 1 2 3

2 3 4¥ ¥ , 1 2 3 4

2 3 4 5¥ ¥ ¥ …

Extra: 13

, 1 23 4¥ , 1 2 3

3 4 5¥ ¥ , 1 2 3 4

3 4 5 6¥ ¥ ¥ …

Resultats: 1/101. extra:(1 × 2) / (101 × 102) = 2 / 10.302 = 1 / 5.151

2. Calcula la suma: 1 2 91 2 ... 910 10 10

+ + + .

Resultat: 11/10 + 22/10 + ... + 99/10 = (11/10) × (1 + 2 + ... + 9) = (11 × 45) / 10 == 495/10 = 49 5/10 o 49 1 / 2 3. Calcula. a) (47 × 8) + (8 × 27) + (26 × 8) b) (35 × 3) + (17 × 3) - (3 × 19) c) (13 × 19) + (25 × 13) - (14 × 13) - (29 × 13) d) (172 × 27) - (27 × 135) - (27 × 26) Resultats: a) (47 + 27 + 26) × 8 = 800, b) (35 + 17-19) × 3 = 99, c) (19 + 25 - 14-29) × 13 = 13, d) (172-135 - 26) × 27 = 297

4. Calcula sense efectuar cap multiplicació: 6,9 3,41 6,9 3,412,3 6,82

¥ + ¥¥

Resultat: (3 × 2,3 × 3,41 + 3 × 2,3 × 3,41) / (2 × 2,3 × 3,41) = (6 × 2,3 × 3,41) / ( 2 × 2,3 × 3,41) = = 3

5. a) Calcula 132

% de 20 fent servir el 3% de 20 i el 4% de 20.

b) Calcula 154

% de 400 fent servir el 5% de 400 i el 6% de 400.Resolució seleccionada: a) el

3% de 20 és 0,6 i el 4% de 20 és 0,8. 3 1/2 està a mig camí entre 3 i 4; per tant 3 1/2% de 20 és 0,7. Resultat: b) 21 6. a) Si el 10% d'un nombre és 38,4, quin és el 5% d'aquest nombre? b) Si l'1% d'un nombre és 3,84, quin és el 0,75% d'aquest nombre? Respostes: a) 38,4: 2 = 19,2; b) 3,84 × 3/4 = 2,88 perquè 0,75 és 3/4 d'1.


7. Quin és el 23

% de 90?

Resultat: 0,6 8. El 86% 70 és el 43% de quin nombre? Resultat: 140 9. Un hexàgon regular i un triangle regular tenen el mateix perímetre. Com són les seves àrees en comparació? Resposta: Perquè les dues figures tinguin el mateix perímetre, la longitud dels costats del triangle ha de ser el doble de les de l'hexàgon, ja que l'hexàgon té el doble de costats. A la imatge següent, tots els triangles equilàters petits tenen la mateixa longitud de costat i la mateixa àrea: Per tant, l'àrea del triangle és 4/6, o 2/3, de l'àrea de l'hexàgon. 10. La mitjana de dos nombres és 30 i la mitjana d'altres tres nombres és 40. Quina és la mitjana dels cinc nombres? Resultat: 36 11. Quants nombres enters té un nombre invers que es troba entre (i incloent) els nombres següents?

a) 0,3 i 0,5 b) 1191

i 5891

Resolució seleccionada: a) l'invers de 0,3 és 10/3 (o 3,33) i l'invers de 0,5 és 2; per tant, hi ha dos nombres enters, el 2 i el 3. Resultat: b) 7 12. El pot A conté 5 cullerades de pintura vermella i 2 cullerades de pintura blanca. El pot B conté 1 cullerada de pintura vermella i 1 cullerada de pintura blanca. Totes les cullerades són de la mateixa mida. a) En quin pot la pintura vermella és més fosca? Justifica la teva resposta amb fraccions. b) Si aboques el contingut del pot B en el pot A, la pintura vermella del pot A s'enfosqueix o s'aclareix? c) Quina és la nova fracció de pintura vermella en el pot de l'apartat b)? Aquesta fracció és

major o menor que 57

? Com pots saber-ho sense fer cap càlcul?

d) 3569

és major o menor que una meitat?


e) Sense fer cap càlcul, usa la resposta de l'apartat d) per deduir si 3671

és major o menor que

3569

.

Respostes: a) el color vermell és més fosc en el pot A perquè la fracció de pintura vermella és 5/7, mentre que en el pot B és 1/2, i 5/7 és major que la meitat; b) s'aclareix, perquè s'afegeix pintura que és d'un vermell més clar al pot A; c) 6/9 o 2/3, que és menor que 5/7; d) major; e) 36/71 és menor que 35/69.


PS6-7 Trobar un patró 1. Quin és el 90è terme? a) 2, 3, 4, 5 ... b) 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5 ... c) 4, 7, 10, 13 ... d) 1, 4, 1, 7, 1, 10, 1, 13 ... e) 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6 ... Resultats: a) 91, b) 46, c) 271, d) 136, i) 32

2. Troba el 100è terme: 14

, 1 44 7¥ , 1 4 7

4 7 10¥ ¥ , 1 4 7 10

4 7 10 13¥ ¥ ¥ …

Resposta: Després de simplificar les fraccions, la sèrie és 1/4, 1/7, 1/10, 1/13 ... Els denominadors són 4, 7, 10, 13 ... El 100è terme de la sèrie és 3 × 100 +1 ; per tant, la resposta és 1/301.

3. Una sèrie que comença amb 35

, 23

. El següent terme es calcula multiplicant els dos termes

anteriors i dividint 6 pel resultat. Per tant, el següent terme és6: 35x 23

= 15.

Troba el 56.º terme de la sèrie. Resultat: 2/3 4. Calcula l'expressió (n + 4) × (n - 3) - (n - 4) × (n + 3) per a n = 4, 5 i 6. Dedueix el valor de n = 441. Justifica la deducció. Resposta: 8, 10, 12; el valor per n = 441 és 882, perquè l'expressió és equivalent a 2n. 5. Troba la xifra de les unitats. a) 2119 b) 735 Respostes: a) 8, perquè el patró de la xifra de les unitats de les potències de 2 és 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 ...; b) 3, perquè el patró de la xifra de les unitats de les potències de 7 és 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1 ... 6. Troba la resta en dividir entre 5. Pista: Fes servir les respostes de l'exercici 5 de la bateria de problemes. a) 2119 b) 735 Resultats: a) 3, b) 3 7. a) Quants factors té cada nombre? i) 31 ii) 32 iii) 33 iv) 34 b) Hi ha algun patró en les respostes? Dedueix quants factors té 3100. Justifica la teva resposta. Respostes: a) i) 2, ii) 3, iii) 4, iv) 5; b) sí, el nombre de factors és un més que l'exponent; per tant, 3100 té 101 factors.


8. Aquests camins formen una espiral, tal com es mostra a continuació. Cada fletxa representa 1 unitat seguint els eixos x o y. Quina és la longitud del camí? a) de (0, 0) a (0,10) b) de (0, 0) a (0, -20) Respostes: a) 100 unitats, b) 1.620 unitats

x

y

x

y


PS6-8 Utilitzar el raonament lògic 1. En una balança equilibrada hi ha 2 quadrats i 3 triangles en un costat i 3 quadrats i 1 triangle en l'altre. Quants triangles es necessiten per equilibrar-se amb 1 quadrat? Resposta: Treure els objectes comuns en ambdós costats: ; per tant, 2. En una balança equilibrada hi ha 2 maons i un pes de 5 unces en un costat i 1 maó i tres quarts de lliura en l'altre. Quant pesa el maó en lliures? Pista: 1 lliura = 16 unces. Resposta: 7 unces 3. Un quadrat, 2 cercles i 6 triangles estan en equilibri amb 3 quadrats i 5 cercles. Dos quadrats i 1 cercle s'equilibren amb 3 triangles. Quants quadrats s’equilibren amb 1 cercle? Extra: Quants quadrats s'equilibren amb un triangle? Respostes: Ja que 3 triangles s'equilibren amb 2 quadrats i 1 cercle, els 6 triangles de la primera balança es poden substituir amb 4 quadrats i 2 cercles. En treure el mateix nombre de cercles i quadrats en ambdós costats, s'obté un cercle equilibrat amb 2 quadrats. Extra: Substituir el cercle de la segona balança amb 2 quadrats. Quatre quadrats s'equilibren amb 3 triangles; per tant, 1 triangle s'equilibra amb 4/3 quadrats, o 1 1/3 quadrats. 4. Expressa les desigualtats. Treu el mateix pes de tots dos costats. A continuació, expressa la nova desigualtat. Pista: Pots ratllar bosses plenes. a) b) Respostes: a) x + 5> 2x + 1, 4> x; b) x + 4 <3x + 2, 2 <2x, 1 <x 5. Hem resolt x + 6 <13 restant 6 a ambdós membres, així:

x +6 < 13 - 6 - 6 x < 7

x

x x x

x

x

x


Per resoldre x - 6 <13, sumem 6 a ambdós membres, així:

x - 6 < 13 +6 + 6 x < 19

Suma el mateix nombre als dos membres per resoldre les desigualtats. a) x − 12 < 18 b) x − 3 > 11 c) 15 > x − 4 d) 21 < x − 8 Respostes: a) sumar 12, x <30; b) sumar 3, x> 14; c) sumar 4, 19> x; d) sumar 8, 29 <x

6. Hem resolt 3x > 12 dividint els dos membres entre 3 per obtenir x > 4. Per resoldre 123x > ,

multipliquem els dos membres per 3 per obtenir x > 36. Multiplica els dos membres pel mateix nombre per a resoldre les desigualtats.

a) 45x < b) 6

3x > c) 5

10x < d) 6

2x>

Respostes: a) multiplicar per 5, x < 20; b) multiplicar per 3, x > 18; c) multiplicar per 10, x < 50; d) multiplicar per 2, 12 > x 7. La Marta treballa en un torn de 12 hores. Aquest torn dura més que els 2 torns idèntics en els què va treballar la setmana passada. Què pots afirmar sobre la durada dels torns en què va treballar la Marta la setmana passada? Resposta: Cada torn durava menys de 6 hores. 8. El Xavi té una ampolla d'aigua d'un litre. En l'ampolla cal més aigua que la suma de 3 ampolles més petites idèntiques. Què pots afirmar sobre la capacitat de cada botella petita? Resposta: A cada ampolla cap menys de 1/3 de litre. 9. D'aquí a 5 anys, tots els familiars de l’Alícia tindran 18 anys o més. Què pots afirmar sobre les edats actuals dels familiars de l'Alícia? Resposta: Tots tenen 13 anys o més.


PS6-9 Triar estratègies 1. L’Anna, el Robert i el Carles participen en una cursa de 600 m. Cadascú va a la seva pròpia velocitat constant durant la prova. L’Anna acaba 200 m per davant del Robert i 300 m per davant del Carles. a) Quan l'Anna acaba la cursa de 600 m, quina distància ha corregut el Robert? Quina distància ha corregut el Carles? b) Quan Roberto acaba la cursa de 600 m, quina distància ha corregut el Carles en total? Respostes: a) el Robert ha corregut 400 m, el Carles ha corregut 300 m; b) 450 m 2. a) De quantes maneres poden alinear-se 5 persones en línia recta? b) De quantes maneres poden seure 5 persones a una taula rodona? (Les rotacions no compten com una manera diferent, però sí les reflexions.) Respostes: a) Per a la primera posició hi ha 5 possibilitats. Un cop la primera posició està ocupada, hi ha 4 possibilitats per a la segona posició, 3 possibilitats per a la tercera posició, 2 possibilitats per a la quarta posició i sol 1 possibilitat per a la cinquena posició. 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 possibilitats . b) Només hi ha una posició possible per a la primera persona, perquè tots els llocs al voltant de la taula són idèntics. Com la primera posició no està determinada (al contrari que en una línia recta), fins que no es col·loqui la primera persona no es pot tenir en compte la resta de posicions. La segona persona pot triar qualsevol de les posicions que queden; per tant, té 4 possibilitats. La tercera persona té 3 possibilitats, la quarta persona té 2 possibilitats i la cinquena persona només té 1 possibilitat. 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24 possibilitats. 3. Quants decimals tenen 10 posicions decimals i arrodoneixen a 4,36 tenint en compte que la 10a posició decimal no és zero? Resposta: Crear un patró que respongui la mateixa pregunta per a 3 posicions decimals, 4 posicions decimals, etcètera: 3 posicions decimals: 10 - 1 = 9 (4,355, 4,356 ...; 4,364; però no 4,360 perquè l'última posició decimal és un zero). 4 posicions decimals: 100 - 10 = 90 5 posicions decimals: 1.000 - 100 = 900 ⁞ 10 posicions decimals: 90.000.000 4. La següent figura té 1 angle de 270° i 5 angles de 90°.


Tenim una altra figura amb 17 angles de 270°. Tots els altres angles són de 90°. Quants angles té en total aquesta segona figura? Resposta: Dibuixar exemples amb diferents nombres d'angles de 90° i de 270°. El nombre de angles de 90° sempre és 4 més que el nombre d'angles de 270°. La segona figura té 21 angles de 90°; per tant, en total té 17 + 21 = 39 angles. 5. El tercer capítol d'una novel·la comença a la pàgina 561 i acaba a la pàgina 802. Es més llarg o més curt que la mitjana dels dos primers capítols? Resposta: més curt 6. Un triangle té tres altures i costats x, y i z, sent x < y < z. Si l'alçada més curta és h, quina és l'altura més llarga? Pista: Calcula l'àrea amb dos costats i altures diferents. Resposta: zh / x 7. Un camí alterna les direccions nord o sud i est o oest. Comença dirigint-se 1 unitat cap a l'est i després, cada vegada que canvia la direcció, va 1 unitat més lluny. Calcula la longitud del camí més curt que acabi en el mateix punt on comença. Pista: Comença observant els trams que van cap a l'est i l'oest; a continuació, fixa't per separat en els trams que van cap al nord i cap al sud. exemples: Resposta de mostra: Els trams que van cap a l'est i l'oest són nombres senars: 1, 3, 5 ..., i els trams que van cap al nord i el sud són nombres parells: 2, 4, 6 ... Per anul·lar els trams cap al est i l'oest amb el recorregut més curt possible, cal utilitzar 1 i 7 en una direcció (per exemple, cap a l'est) i 3 i 5 en l'altre (per exemple, cap a l'oest). (1 + 5 = 3 +3 seria més curt, però no està permès utilitzar dos 3). Per anul·lar els trams cap nord i el sud, es pot usar 2 + 4 = 6. Per tant, la longitud dels trams del camí és 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, anant, per exemple, en les direccions E, N, O, N, O, S, E. Per tant, la longitud és 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. 8. Completa el Material manipulable: Sumar inversos. Respostes seleccionades: 1. a) més, 1, menys; b) més, 3, menys, 2, més; c) menys, 4, menys, 1, menys; d) menys, 70, 1, més, 30, 3, més, 70 + 30 = 100 3. b) menys, 2/7, més, 2/5, més, més; c) menys, 3/8, més, 3/5, més, més; d) menys, 3/11, més, 3/8, més, més 4. a) 61/30 o 2 1/30, b) 74/35 o 2 4/35, c) 89/40 o 2 9/40, d) 185/88 o 2 9/88


Extra: b − a, x/b, x/a, major; hem de a < b, per tant x/a > x/b perquè un denominador menor fa que la fracció sigui més gran, ja que els numeradors són els mateixos; més gran que 1 + 1 = 2 perquè la quantitat més gran que 1 és més gran que la quantitat inferior a 1. 9. Calcula.

a) 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 7 8 9¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ b) 1 1 1 1

2 2 2 23 7 15 31¥ ¥ ¥

Resultats: a) 10/2 o 5, b) 63/3 o 21 (PM.1) 10. Troba els dos nombres següents de la sèrie expressant primer cada nombre com un nombre al quadrat. 4, 16, 36, 64, 100, 144, ____, ____ Resposta: 22, 42, 62, 82, 102, 122. Per tant, els següents nombres són 142 = 196 y 162 = 256. (PM.1) 11. Troba les dues fraccions següents de la sèrie expressant primer cada fracció com la potència d'un quocient. 14

, 827

, 81256

, ____, ____

Resposta: (1/2)2, (2/3)3, (3/4)4; per tant, les dues fraccions següents són (4/5)5 = 1.024/3.125 y (5/6)6 = 15.625/46.656 (PM.1) 12. Troba una sèrie de rectangles amb un ample de 5 cm. Quina és la raó entre la longitud i l'àrea? Pots trobar una raó entre la longitud i el perímetre? Resposta: L'àrea d'un rectangle amb un ample de 5 cm és de 5ℓ, on ℓ és la longitud del rectangle en centímetres. La raó entre la longitud i l'àrea és de 1 : 5. En aquest cas, el perímetre en centímetres es 2ℓ + 10 i no és proporcional a la longitud.

6è primària bateries de problemes · guia per a docents de 6è de primària - bateries de...

Documents