1

Quantité de mouvement et

moment cinétique

v76

p = mv

L = r × p

2

Impulsion et quantité de mouvementUne force F agit sur un corps de masse m, pendant un temps Δt.La vitesse du corps varie de Δv = vf − viL'accélération (moyenne) vaut a = Δv / Δt = (vf − vi) / ΔtPar la deuxième loi de Newton:

F = ma = m( vf − vi ) / Δt donc:

F Δt = mvf − mvi = pf − pi avec la définition:

quantité de mouvement = p = mv (un vecteur)Le produit FΔt est appelé impulsion (aussi un vecteur)

La variation de la quantité de mouvement est égale à l'impulsionF Δt = pf − pi

F = 0 <=> Δp = 0 c. à d. p est constante

3

Impulsion et quantité de mouvement, bis

Variation infinitésimale de la vitesse dv L'accélération vaut a = dv / dtDeuxième loi de Newton:

donc: F dt = mdv = dp

La variation de la quantité de mouvement est égale à l'impulsion

F dt = mdv = dp€

F =ma =mdvdt

et aussi: F = dp/dt

€

4

Conservation de la quantité de mouvementConsidérons deux corps qui effectuent un choc :

i) la quantité de mouvement totale vaut pi = p1+ p2

1

2p1

p2

p'2

p'1

i)

f)

choc)

Supposons que la collision dure δt.La force que 1 exerce sur 2 est égaleet opposée à celle que 2 exerce sur 1F1 = −F2

L'impulsion sur 1 : F2 δt = p'1 − p1 => p'1 = p1 + F2 δt = p1 − F1 δt

pour l'objet 2 : p'2 = p2 + F1 δt

f) la quantité de mvt totale estpf = p'1+ p'2 = p1 − F1 δt+ p2 + F1 δt = = p1 + p2 = pi

5

Exemple 1

i)

f)

v

v'

m M

M+m

L'objet de masse M est initialementau repos. L'objet de masse m a une vitesse v

Dans le choc "mou" M se réunit à mpour former un objet de masse M+m

pi = mv + 0 = pf = (M+m)v'

On applique le principe de laconservation de la quantité demouvement:

v' = mv/(M+m)

! Si l'on utilise la conservation de l'énergie: mv2/2 = (M+m)v'2/2 ce qui donne v'2 = mv2/(M+m) différent du résultat précédent !

6

Exemple 2Une bille qui se déplace sur une table sans frottement

p

w

N

La réaction de la table N est égale et opposée à w.La force totale est donc nulle, l'impulsion est donc aussi nulleet p est constant au cours du temps

7

Exemple 3

3)

1)

2) v

w

M

m

quantité de mvt totalptot = 0

ptot = 0 = mv + Mw

=> w = − mv/M

ptot = 0le tout est immobile

8

Mouvement du Centre de Masse CMLe CM (ou Centre de Gravité CG) d'un système non soumis àdes forces externes préserve son état de mouvement.

Exemple:le CM du systèmede l'Exemple 3 està tout instant immobiledans le laboratoire.

En effet il est immobile dans l'état initialet le système n'est passoumis à des forces externes.

vw

9

Mouvement du CM .2

m1

m2v1

v2

r2

r1

CM:

€

R =m1r1 +m2r2m1 +m2

calculons la vitesse du CM

€

vCM =ddtR =

ddtm1r1 +m2r2m1 +m2

"

# $

%

& ' =

1m1 +m2

ddtm1r1 +m2r2( )=

=1

m1 +m2

d(m1r1)dt

+d(m2r2)dt

"

# $

%

& ' =

1m1 +m2

m1v1 +m2v2( )=

=1

m1 +m2

(p1 + p2) =ptotmtot

La quantité de mouvement totale est une constante,donc vCM l'est aussi.

€

ptot =mtotvCM

10

Collision élastique vs inélastiqueLors d'une collision la quantité de mouvement est conservée.L'énergie mécanique ne l'est pas toujours, si la collision n'estpas parfaitement "élastique".

Considérons la collision de deux objets isolés.Dans le cas "totalement inélastique" il y aura un maximum deperte d'énergie cinétique

i) f)

11

Collision élastiqueOn peut utiliser la conservation de p et E pour calculerl'évolution du système mécanique

m1, w1 m2, w2m1, v1 m2, v2

€

p = p1 + p2 =m1v1 +m2v2 =m1w1 +m2w2

€

Ki =12(m1v1

2 +m2v22) = Kf =

12(m1w1

2 +m2w22)

€

m1v1 +m2v2 =m1w1 +m2w2

m1v12 +m2v2

2 =m1w12 +m2w2

2

" # $ à résoudre pour

les inconnues w1 et w2

12

Collision élastique .2

€

m1v1 +m2v2 =m1w1 +m2w2

m1v12 +m2v2

2 =m1w12 +m2w2

2

" # $

cas particulier v2 = 0

€

w1 = v11−R1+ R

w2 = v12

1+ RR =

m2

m1

cas particulier v2 = 0 et m1 = m2 ⇒ w1=0 et w2= v1

13

Collision inélastique

m=m1+m2 , vm1 , v1 m2 , v2

x

Conservation de p:

€

p = p1 + p2 =m1v1 +m2v2 =mv = m1 +m2( )v

v =m1v1 +m2v2m1 +m2

≡ vCME cinétique:

€

Ki =12(m1v1

2 +m2v22) Kf =

12mv2 =

12m m1v1 +m2v2

m1 +m2

"

# $

%

& '

2

=12m1v1 +m2v2[ ]

2

m1 +m2

Kf

Ki

=

m1v1 +m2v2[ ]2

m1 +m2

m1v12 +m2v2

2 =m1v1 +m2v2[ ]2

m1 +m2( ) m1v12 +m2v22( )

14

Collision inélastique .2

€

Kf

Ki

=m1v1 +m2v2[ ]

2

m1 +m2( ) m1v12 +m2v22( )

Cas particulier: v2=0

€

Kf

Ki

=m1v1[ ]

2

m1 +m2( )m1v12=

m1m1 +m2

Cas particulier: v1=−v2 et m1=m2 Kf = 0

15

Relation énergie cinétique - quantité de mouvement

€

K =12mv2 =

121mm2v2 =

12m(mv)2 =

p2

2m

€

K =p2

2m

16

Moment cinétiqueLe moment cinétique L joue un rôle analogue à laquantité de mouvement, dans le cas de la rotation.

L = r × p

L

rp

L = r p = r m v = mr ωr = mr2 ω = I ω L = I ω

On peut lier L à la vitesse angulaire ω et au momentd'inertie I, dans le cas d'un mouvement circulaire de rayon r:

L = r p sinθ

... analogue à p = m v

17

Conservation du moment cinétiqueQuand la résultante des forces agissant sur un corps est nulle,la quantité de mouvement du corps est constante

F = ma = m (v2−v1)/Δt = (p2−p1)/Δt F = 0 ⇒ p2 = p1

Si l'on fait de même dans le cas d'un mouvement circulaire:

τ = Iα = I (ω2−ω1)/ Δt = (L2 − L1)/ Δt τ = 0 ⇒ L2 = L1

Quand la résultante des moments des forces agissant surun corps est nulle, le moment cinétique du corps estconstant au cours du temps.

18

Conservation du moment cinétique, bis

F = ma = m dv/dt = dp/dt F = 0 ⇒ dp = 0

De même, dans le cas d'un mouvement circulaire:

τ = Iα = I dω/dt = dL/dt τ = 0 ⇒ dL = 0

Quand la résultante des moments des forces agissant surun corps est nulle, le moment cinétique du corps estconstant au cours du temps.

19

ExerciceDresser une table d’analogies

mvt linéaire ⇔ mvt circulaire

(x,y) (x,y) ou (r,φ)

vitesse δd/δt …

φr

x

y

vitesse δd/δtvitesse angulaire ω=δφ/δt …

δd

δd

20

Les vecteurs τ, L et ω ne sont pas toujours //Ex: cylindre homogène de longueur d, rayon r et masse m.Le moment d'inertie pour une rotation selon l'axe est Ia = mr2/2.Pour une rotation autour d'un pivot central c'est Ic = md2/12.Si r < d/2 on a Ia< Ic.

Supposons que le cylindre tourne avec vitesses angulairesωa et ωc autour de l'axe et du pivot respectivement.P. ex. prenons ωa = ωc en module et 2Ia= IcOn obtient le résultat de la figure:

ωc

ωa

ωc

ωa

ω

La=Iaωa

L

L et ω ne sont pas //

Lc=Icωc

ω

21

La toupieΩ

ω

wr

On cherche la valeur de Ω pour que le mouvement soit stable...

La toupie a un momentd'inertie I autour de son axe.r position du CG, w poids

Avec une rotation rapide autour de l'axe, de vitesse angulaire ω,la toupie ne tombe pas. Elle se stabilise par un mouvementde rotation lent autour du pivot.

pivot

22

Toupie .2

vue d'en haut

Ω

w

wΩ

Le poids w produit le moment τ = r × w, en module: τ = rw.A tout instant L et τ sont orthogonaux: 0 = L . τ. De τ = dL/dt :

L L=Iω

L

τ

dL

La variation de L vaut dL = τdt

donc dL est orthogonalà L, donc le modulede L est constantau cours du temps.

Ω est égal à la vitesse de rotation du vecteur L...

r

τ

0 = L · dLdt

=d

dt

L2

2) L2 = cte

23

Toupie .3

L(t)

dL = τdtL(t+dt)

dα

Après dt, L (et ω) est déplacé de l'angle dα.Cela doit correspondre au déplacementangulaire de la toupie:

Ω

ω

wr

24

Le modèle de Bohr pour l'HOn considère un électron de charge -e et masse m en orbite circulaire autourdu proton de masse M et charge +e. On a m ~ M/2000 donc le CG est prochedu proton. A l'équilibre: F centrifuge = F Coulomb:

r

M

m

€

k eer2

=mv2

r

E cinétique:

€

K =12mv2 =

r2mv2

r=r2k e

2

r2= k e

2

2r

E potentielle:

€

U(r)= k −eer

= −k e2

r

E totale:

€

E(r)=K +U = k e2

r12−1

#

$ %

&

' ( = −k

e2

2r

L'énergie potentielle est < 0 car le potentiel est attractif,il faut fournir du travail pour éloigner le e− du p.

25

Le modèle de Bohr pour l'H .2Hypothèse de Bohr: les électrons sont sur des orbites telles que le momentcinétique L est un multiple de !=h/2π :

€

Ln ≡ pnrn = n!

€

k e2

r2=mv

2

rke2 =mv2r =

1mrm2v2r2 =

L2

mr

r =L2

mke2

Bohr⇒ Ln =mvnrn = n!

rn =(n!)2

mke2

€

E(rn )=Kn +Un = −k e2

2rn= −k2e4m2!2

1n2 -13.6

-3.39

-1.51

[eV]

h est la constante de Planck h=6.63 10-34 Js