6 - viga · coeficientes ae utilizados para calcular o valor da deflexão da base fb por vigas...
TRANSCRIPT
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 25
VIGA - VÃO EFETIVO DE VIGA
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 26
VIGA - MOMENTO FLETOR, FORÇA CORTANTE, MOMENTO TORÇOR E FLECHA Momento Fletor ( = a/L; = b/L)
Sistema
Carga Mmáx; xo/L Mmáx; xo/L Mdir Mmáx; xo/L Mesq Mdir Mesq
5,0;8
pL2
375,0;128
pL9 2
8
pL2
5,0;24
pL2
12
pL2
12
pL2
2
pL2
577,0;
39
pL2
447,0;515
pL2
15
pL2
548,0;64,46
pL2
30
pL2
20
pL2
3
pL2
423,0;
39
pL2
329,0;65,23
pL2
120
pL7 2
452,0;64,46
pL2
20
pL2
30
pL2
6
pL2
5,0;
4
PL 5,0;
32
PL5
16
PL3 5,0;
8
PL
8
PL
8
PL
2
PL
;PL
;PL
2
3 2 PL2
1 2
;PL2 22 PL2 PL2 PL
Força Cortante ( = a/L; = b/L)
Sistema
Carga Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq
2
pL
2
pL
8
pL3
8
pL5
2
pL
2
pL pL
6
pL
3
pL
10
pL
5
pL2 pL15,0 pL35,0
2
pL
3
pL
6
pL
40
pL11
40
pL9 pL35,0 pL15,0
2
pL
2
P
2
P
16
P5
16
P11
2
P
2
P P
P P P
2
3 2
P2
3 2
P)23( 2 P)23( 2 P
Momento Torçor ( = a/L; = b/L)
Carga
Sistema Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir 2
tL
2
tL
6
tL
3
tL
3
tL
6
tL
2
T
2
T T T
Tesq Tesq Tesq Tesq Tesq tL
2
tL
2
tL T T
Flechas ( = a/L; = b/L)
Sistema
Carga máx; xo/L máx; xo/L máx; xo/L dir
5,0;EI384
pL5 4
422,0;EI6,184
pL4
5,0;EI384
pL4
EI8
pL4
519,0;
EI
pL00652,0
4
447,0;EI3,419
pL4
525,0;EI2,764
pL4
EI120
pL11 4
481,0;
EI
pL00652,0
4
402,0;EI1,328
pL4
475,0;EI2,764
pL4
EI30
pL4
5,0;
EI48
PL3
447,0;EI548
PL3
5,0;EI192
PL3
EI48
PL5 3
5,0;
EI48
PL)43( 32
- - EI6
PL)3( 32
[MUSSO]
a b
L/2
a b
L/2
a b
L/2
L/2 a b
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 27
VIGA - FLECHAS EM DIVERSOS SISTEMAS COM DIFERENTES CARREGAMENTOS
[GRASSER]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 28
6.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 29
VIGA - DIMENSÕES LIMITES DE VIGAS
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 30
6.2.1 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M)
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 31
VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M) As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço tracionada h altura da seção transversal
sA área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com
As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples tracionada MG momento fletor da ação permanente G
As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) borda comprimida da seção transversal c encurtamento da fibra extrema de concreto
d distância do centróide da armadura comprimida yd fyd/Es deformação de escoamento do aço à borda comprimida da seção transversal s alongamento da armadura tracionada
d h - d s encurtamento da armadura comprimida dlim altura útil mínima com armadura simples x/d profundidade da linha neutra adimensional Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) compressão 0,85 coeficiente de redução da resistência de
fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão aos 28 dias Md/(bd2fcd) momento fletor adimensional
fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sd tensão de compressão na armadura longitudinal do aço
A – Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim)
Modelo resistente à momento fletor no estado limite último
fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) xlim 0,5d 0,4d A1
Md,lim cd2fbd272,0 cd
2fbd22848,0 A2
As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3
B – Altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim)
fck < 35 MPa > 35 MPa
dlim cd
d
bf272,0
M
cd
d
bf22848,0
M B1
C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’) Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)
cd2
d
fbd425,0
M11d25,1x C1
ydcds f/bxf68,0A C2
bhf/f035,0%;15,0máximoA ydcdmín,s C3
fck MPa 20 25 30 35
(a) )2/xd(fxb)x(fCzM cdd
(b) ydcdscdyds f/fxbAoufxbCfAT
:fbd)a( cd2
d2
x1
d
x
fbd
M
cd2
d ou
cd2
dd
22
fbd
M211
d)M(fxou211)c(
0)(2/)(2/)()(2/1
As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As e sA ; Md > Md,lim; x = xlim)
Armadura dupla (seção com As e sA ; Md > Md,lim; x = xlim)
)dd(f
MMAA
yd
lim,ddlim,ss
C4
)dd(
MMA
sd
lim,dds
C5
ydsydsd sef ; ydssssd seE C6
fck < 35 MPa > 35 MPa
s )d/d5,0(007,0 )d/d4,0(00875,0 C7fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8
(d) lim,ddlim,dd MMMouMMM
(e) )]dd(/[MAou)dd(AM sdssds
(f) ydsdslim,sssdsydlim,syds f/AAAouAfAfA
[MUSSO]
x
Md
x
T = Asfyd
C = bxfcd
2/xdz
fcd
h d
b
As LN
fcd
d
xlim
Md
Asfyd
sdsA
=
sdsA
sdsA
M
d-d´
As,limfyd
Md,lim
xlim
+
fcd fcd
d
b
As
LN
sA
d
d
xlim
c = 3,5‰
s
d s
d
lim
lim
s
x
‰5,3
dx
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 32
VIGA - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 33
VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 34
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 35
VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < xlim ; = 0,8 ; = 0,85) A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim)
)2/hd(fhbCzM fcdffRf A1 )2/xd(fxb)2/hd(fh)bb(
zCzCMMM
limcdlimwfcdfwf
wwaalim,walim,d
B1
C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín)
armadura simples seção retangular com Md e b = bf A)f/f024,0%;15,0(máximoA ydcdmín,s G1
fck MPa 20 25 30 35 As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15%
hbh)bb(A wfwf (área da seção T) G2
H - Tensão na armadura comprimida )( sd
)(f ydsydsd ; )(E ydssssd H1
fck < 35 MPa > 35 MPa
s
d
d5,0007,0
d
d4,000875,0 H2
cd2
f
d
fdb425,0
M11d25,1x D1
fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa
sA
mín,sydcdfs Af/xfb68,0A D2 yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3
E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)
abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura simples )2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa E1 adw MMM E4
ff h25,1
hx
E2
cd2
w
w
fdb425,0
M11d25,1x E5
was AAA
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A E3 ydcdww f/xfb68,0A E6
F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)
abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura dupla
)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa F1 adw MMM F4
)2/xd(fxbM limcdlimwlim,w F5
ydcdlimwlim,w f/fxb68,0A F6 f
f h25,1h
x
F2
)dd(
MA
sds
; lim,ww MMM F7
was AAA
sA
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A F3 ydsdslim,ww f/AAA F8
[MUSSO]
x
MRf
x = hf
T = Asfyd
C = bf hffcd
z = d - hf /2
fcd
h d
bf
As
LN
bw
hf xlim
Md,lim
xlim
T = As,limfyd
Ca = (bf - bw)hffcd
za = d - hf /2
fcd
h d
bf
As LN
bw
hfa w a
zw = d - xlim /2
Cw = bwxlimfcd
h d
bf
As
bw
hf
Md Ma
bf - bw
Aa
hf
d
bw
Aw
x
Mw d
Ma
bf - bw
Aa
hf
d
h d
bf
As
bw
hf
Md d
bf
As
x
Md
h d
bf
As
bw
hf
Md d
sA
bw
Aw
xlim
Mw
sA
d
d
sdsA
sdsA
M
d-d´+Aw,limfyd Mw,lim
bwxlimfcd
=
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 36
VIGA - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 37
6.2.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V)
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 38
VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (ELU-V) Asw área da seção da armadura transversal h altura da seção transversal
Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal Md momento fletor de cálculo b largura da seção transversal s espaçamento longitudinal entre estribos C força de compressão nas bielas de concreto 100 cm (para obter Asw em cm2/m) d altura útil da seção transversal cV força cortante resistida por outros mecanismos distância do centróide da armadura tracionada Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo à borda comprimida da seção transversal VRd2 força cortante de cálculo máxima resistida por
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão diagonal das bielas de concreto compressão VG força cortante da ação permanente G
fck resistência característica do concreto à VQ força cortante da ação variável Q compressão aos 28 dias Vsw força cortante de cálculo resistida pela
fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à armadura transversal tração z braço de alavanca
fctk 0,7fctm resistência característica do concreto à ângulo da tensão principal de tração tração 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do redução da resistência do concreto fissurado
concreto à tração por força cortante fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento c tensão principal de compressão do aço t tensão principal de tração
fyk resistência característica de escoamento do aço tensão tangencial da força cortante Fc força de compressão no concreto ângulo das bielas de concreto comprimidas Fs força de tração na armadura longitudinal
Analogia de treliça A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, d e fck, obter VRd2; Vd < VRd2)
Modelo resistente à força cortante no estado limite último Compressão diagonal das bielas de concreto (corte a-a)
cálculo simplificado
(45o) refinado
(30o a 45o)
VRd2 cdfbd45,0 2senfbd45,0 cd A1 fck MPa 20 25 30 35
0,552 0,540 0,528 0,516 (45o) 0,355 0,434 0,509 0,581 )bd/(V 2Rd (30o) 0,307 0,376 0,441 0,503
obs.: VRd2/(bd) em kN/cm2
B – Dimensionamento da armadura transversal (dados Vd, b, d, fck e fyk, obter Asw)
(a) 2senfbd45,0sencosfbzCsenV cdcd2Rd
cálculo simplificado
(45o) refinado
(30o a 45o)
Tração transversal dos estribos (corte b-b)
Asw yd
cd
df9,0
s)VV(
cotdf9,0
s)VV(
yd
cd B1
od VV od VV
cV oV oV o
o2Rd
d2Rd VVV
VV
B2
oV ctdbdf6,0 B3
Asw,mín ykctm f/bsf2,0 B4
fck MPa 20 25 30 35 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605
)bd/(Vo 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963
)bs/(A mín,sw
0,088% 0,103% 0,116% 0,128%
obs.: Vo/(bd) em kN/cm2 e Asw,mín/(bs) para fyk = 500 MPa
(b)
cdswcswd VVVouVVV
(c) cotfs
Ad9,0cotf
s
AzV yd
swyd
swsw
(b) em (c):
cotdf9,0
s)VV(A
yd
cdsw
[MUSSO]
tc 2
tc
t c
tração compressão
ab
b a
Vsw = (zcot/s)Aswfyd
estribos
fissuras
s
zcot
Vd
Vc z = 0,9d
Md
número de estribos em zcot
b
hAsw
d
Fs
Fc
fissuras
C = b(zcosfcd
zcos
Fs
bielas
Md
VRd2
b
hAsw
d z = 0,9d
Fc
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 39
VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 40
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 41
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - SIMPLIFICADO
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 42
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - REFINADO
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 43
6.2.3 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR (ELU-T)
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 44
VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR (ELU-T)
A bh área da seção transversal Fs força de tração na armadura longitudinal Ae behe área limitada pela linha média da seção h altura da seção transversal vazada s espaçamento longitudinal entre estribos
As área da seção da armadura longitudinal 100 cm (para obter Asw em cm2/m) tracionada te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da
As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal parede da seção vazada no perímetro ue Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo
Asw área da seção da armadura transversal TRd2 momento torçor de cálculo máximo resistido por Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal compressão diagonal das bielas de concreto
b largura da seção transversal TG momento torçor da ação permanente G c1 cm52/c tt TQ momento torçor da ação variável Q ct cobrimento do estribo u 2(b + h) perímetro da seção transversal d altura útil da seção transversal ue 2(be + he) perímetro da área Ae fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à be b – te largura da área Ae compressão he h – te altura da área Ae
fck resistência característica do concreto à diâmetro da armadura longitudinal compressão aos 28 dias t diâmetro da armadura transversal
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de
concreto à tração redução da resistência do concreto fissurado fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento por momento torçor do aço tensão tangencial do momento torçor
fyk resistência característica de escoamento do aço ângulo das bielas comprimidas de concreto Seção vazada de cálculo com espessura te Modelo resistente à momento torçor no estado limite
último Compressão diagonal e tração longitudinal (1 parede)
A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, h e fck, obter TRd2; Td < TRd2)
simplificado refinado cálculo
(45o) (30o a 45o)
TRd2 cdee ftA 2senftA cdee A1 fck MPa 20 25 30 35
0,460 0,450 0,440 0,430(45o) 0,657 0,804 0,943 1,075)tA/(T ee2Rd (30o) 0,569 0,696 0,817 0,931
obs.: TRd2/(Aete) em kN/cm2
B – Dimensionamento da armadura transversal (dados Td, b, h e fyk, obter Asw por parede)
(a) sencosfhtCsenA2
hTcdee
e
e2Rd
ou 2senftAT cdee2Rd
(b) ydeess fh)u/A()2/F(2cosC
(c) tanfhu
Atan)cosC(Csen
A2
hTyde
e
s
e
ed
ou
tanfA2
uTA
yde
eds
simplificado refinado Tração transversal (1 parede) cálculo
(45o) (30o a 45o)
Asw yde
d
fA2
sT
cotfA2
sT
yde
d B1
Asw,mín ykctme f/sft2,0 B2
C – Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Td, b, h e fyk, obter As total no perímetro ue)
simplificado refinado cálculo
(45o) (30o a 45o)
As yde
ed
fA2
uT
tanfA2
uT
yde
ed C1
As,mín ykctmee f/fut2,0 C2
(d) ydsw
e
e
ed fAs
coth
A2
hT ou
cotfA2
sTA
yde
dsw
[MUSSO]
torçãodefluxo)t( e
ee2ee1 b)t(V;h)t(V
2/hV22/bV2T e2e1d
eeeeee hb)t(bh)t(
ee A)t(2e
de A2
T)t(
e
ed1 A2
hTV ;
e
ed2
A2
bTV
Td
V2
Td he
be
V1
V2
V1
te
Ae
(behe)
seção real
seção de cálculo
e
e2Rd
A2
hT
e
ed
A2
hT
fissura
C = te(hecosfcd
hecos
Fs/2 = (As/ue)hefyd/2
biela
Fs/2
he
armadura longitudinal na parede he
b
h
As
d
Ae, ue
te
A, u
Td
(hecot/s)Aswfyd
estribos
fissuras
s
hecot
he
número de estribos em hecot
b
h
Asw
d
Ae, ue
te
A, u
Td e
ed
A2
hT
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 45
VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À M. TORÇOR, M. FLETOR E FORÇA CORTANTE A – Verificação da compressão diagonal do concreto A bh área da seção transversal (dados Vd, Td, b, h e fck: Vd/ VRd2 + Td/ TRd2 < 1) Ae behe área limitada pela linha média da seção
simplificado refinado vazada cálculo
(45o) (30o a 45o) As,M área da seção da armadura longitudinal
VRd2 cdfbd45,0 2senfbd45,0 cd A1 tracionada para Md fck MPa 20 25 30 35 As,T área da seção da armadura longitudinal
0,552 0,540 0,528 0,516 tracionada para Td simplificado refinado Asw,T área da seção da armadura transversal para Td cálculo
(45o) (30o a 45o) Asw,V área da seção da armadura transversal para Vd
TRd2 cdee ftA 2senftA cdee A2 b largura da seção transversal
fck MPa 20 25 30 35 c1 cm52/c tt
0,460 0,450 0,440 0,430 ct cobrimento do estribo Superposição de força cortante e momento torçor d altura útil da seção transversal
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à 1
T
T
V
V
2Rd
d
2Rd
d A3 compressão
B – Dimensionamento da armadura transversal fck resistência característica do concreto à (dados Vd, Td, b, d, h, fck e fyk, obter Asw,total) compressão aos 28 dias
simplificado refinado fctd fctk/1,4 resist. de cálculo do concreto à tração cálculo
(45o) (30o a 45o) fctk 0,7fctm resist. característica do concreto à tração
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do
Asw,V yd
cd
df9,0
s)VV(
cotdf9,0
s)VV(
yd
cd B1 concreto à tração
od VV od VV fyd fyk/1,15 resist. de cálculo de escoamento do aço
B2 fyk resistência característica de escoamento do aço cV oV oV o
o2Rd
d2Rd VVV
VV
h altura da seção transversal
oV ctdbdf6,0 B3 Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo
fck MPa 20 25 30 40 Md,lim momento fletor de cálculo máximo com fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 armadura simples
)bd/(Vo kN/cm2 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 s espaçamento longitudinal entre estribos
simplificado refinado 100 cm (para obter Asw em cm2/m) cálculo
(45o) (30o a 45o) te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da
parede da seção vazada Asw,T por
parede yde
d
fA2
sT
cotfA2
sT
yde
d B4Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo
Superposição de armaduras transversais TRd2 momento torçor de cálculo máximo resistido por
T,swV,swtotal,sw A2AA B5 compressão diagonal das bielas de concreto
C – Dimensionamento da armadura longitudinal ue 2(be + he) perímetro da área Ae (dados Md, Td, b, d, h, fck e fyk, obter As por face) u 2(b + h) perímetro da seção transversal
fck < 35 MPa > 35 MPa cV força cortante resistida por outros mecanismos xlim 0,5d 0,4d C1 Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo
Md,lim cd2fbd272,0 cd
2fbd22848,0 C2 VRd2 força cortante de cálculo máxima resistida por
Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) compressão diagonal das bielas de concreto be b – te largura da área Ae
C3 he h – te altura da área Ae
cd2
d
fbd425,0
M11d25,1x
x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU)
ydcdM,s f/bxf68,0A (face tracionada) C4 xlim profundidade máxima da linha neutra para
simplificado refinado ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) cálculo
(45o) (30o a 45o) diâmetro da armadura longitudinal
t diâmetro da armadura transversal As,T em ue yde
ed
fA2
uT
tanfA2
uT
yde
ed C5 0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de
Superposição de armaduras longitudinais redução da resist. do concreto fissurado por Td
eeT,sMporcomprimidaface,s u/bAA C6 0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de
eeT,slateralfacecada,s u/hAA C7 redução da resist. do concreto fissurado por Vd
eeT,sM,sMportracionadaface,s u/bAAA C8 ângulo das bielas comprimidas de concreto
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 46
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - SIMPLIFICADO
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 47
VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - REFINADO
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 48
6.3 - VIGA - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 49
6.3.1 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF)
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 50
VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF) As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G
sA área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG + 2MQ momento fletor da ação quase
b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão; d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade
d distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G + 2Q ação quase permanente
d h - d Q ação variável Ecs 4760fck
1/2 MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta
Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses)
fctf fctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses) fctm 0,3fck
2/3 (fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à concreto à tração fibra extrema tracionada
fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) felástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga 1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118) flimite flecha máxima para limitar efeito visual f coeficiente para levar em conta a fluência do
desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftotal fimediata + fdiferida flecha total 2 0,3 para edifícios residenciais G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios públicos I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens Ic bh3/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente
Ie momento de inércia efetivo da seção ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida
A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares
elásticaf fck MPa 20 25 30 35 (ver flechas em diversos sistemas)
A1 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210
B – Flecha imediata fctf,EC2 MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457
e
celásticaimediata I
Iff B1
G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2) seção fissurada (MQP > Mr)
2
3
QP
rc
3
QP
re I
M
M1I
M
MI
(BRANSON) B2
seção não fissurada (MQP < Mr)
ce II B3
C – Flecha diferida
imediatafdiferida ff C1
seção real seção equivalente de concreto
'501
)t()t( of
C2 )a2/(]aa4aa[x 131
2222 G1
)meses70t( 32,0t t)996,0(68,0 2/ba1 G2
)meses70t( 2 C3
ss2 A)1n(nAa G3
t meses 1 3 6 12 > 70 dA)1n(dnAa ss3 G4
(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00 D – Flecha total
itelimdiferidaimediatatotal ffff D1
22s
22s
32
2 )dx(A)1n()xd(nA3
bxI G5
E – Flecha limite
250
Lf itelim (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1
profundidade da l. neutra
iii AAxx
momento de inércia
)AI(I 2iii
[MUSSO]
d
b
As
LN
sA
d
x2
d
b
nAs
LN
(n-1) sA
d
x2
d-x2
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 51
VIGA - SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO (SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA)
No estado limite de serviço de deformações (ELS-DEF), tanto o concreto quanto o aço tem comportamento linear. Assim, a área [A+(n-1)As] é uma área fictícia só de concreto (seção equivalente), que quando submetida a tensão c resulta na mesma carga P que atua na seção real composta de concreto e aço
MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA IC E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I2 Seção real Seção bruta de concreto Seção fissurada (estádio 2 puro)
Arm
adur
a S
impl
es
)a2/(]aa4aa[x 131
2222 (3)
2/ba1
s2 nAa
dnAa s3
22s
32
2 )xd(nA3
bxI (4)
Arm
adur
a D
upla
2
hxc (1)
12
bhI
3
c (2)
)a2/(]aa4aa[x 131
2222 (5)
2/ba1
ss2 A)1n(nAa
dA)1n(dnAa ss3
22s
22s
32
2 )dx(A)1n()xd(nA3
bxI
(6)
Arm
adur
a S
impl
es
f131
2222 h)a2/(]aa4aa[x (9)
2/ba w1
sfwf2 nAh)bb(a
dnA2/h)bb(a s2
fwf3
22s
2f
2fwf
3fwf
32w
2
)xd(nA2
hxh)bb(
12
h)bb(
3
xbI
(10)
Arm
adur
a D
upla
fwfw
2fwf
2w
c h)bb(hb
h)bb(hb
2
1x (7)
2f
cfwf
3fwf
2
cw
3w
c
2
hxh)bb(
12
h)bb(
x2
hhb
12
hbI
(8)
f131
2222 h)a2/(]aa4aa[x (11)
2/ba w1
ssfwf2 A)1n(nAh)bb(a
dA)1n(dnA2/h)bb(a ss2
fwf3
22s
2f
2fwf
3fwf
32w
2
)xd(nA2
hxh)bb(
12
h)bb(
3
xbI
22s )dx(A)1n(
(12)
Obs.: )AI(inérciademomentoI;A/Aixneutralinhadadeprofundidax 2iiiii
[MUSSO]
d h As
b
d h
As’
As
b
d´
bw
As
bf
hf d h
h
b
xc
LN
bw
bf
hf
h
xc
LN
bw
As
bf
hf d d´
h
As’
bw
nAs
bf hf
d d´
x2
(n-1)As’
LN
dnAs
b
x2
LN
bw
nAs
bf
hf d
x2
LN
d
(n-1)As’
nAs
b
d´x2
LN
cs
scc
cs
ss
cs
cc
s
ss E
Enonden
E
E
EE
]A)1n(A[)nAA(AnAAAP scsccscccsscc
nAs
P As
Ac A
(n-1)As
P s = c
s
Es 1
s aço
c
Ecs 1
c concreto
Ac
A real equivalente
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 52
VIGA - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 53
VIGA - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 54
VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 55
VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 56
6.3.2 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 57
VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-W)
Seção não Fissurada (Estádio 1) wk = 0
Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs
aço Es = 210.000 MPa (11) concreto 2/1ck
2/1ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E MPa (12)
Verificação da Segurança ELS-W
wk < wlim (15)
[MUSSO]
Momento Fletor de Cálculo MF
MF = MGk + 1MQ1k + n2jMQjk (1)
(combinação freqüente) MGk parcela permanente 1MQ1k parcela variável principal
n2jMQjk demais parcelas variáveis
Tabela 1 – Coeficientes 1 e 2 Finalidade da Estrutura 1 2 edifício residencial 0,4 0,3 edifício comercial 0,6 0,4 biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6
Momento de Fissuração Mr,w É o valor do momento fletor que produz na seção bruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada
W,ctcW,r fWM (2)
Wc módulo resistente da seção bruta em relação a fibra extrema tracionada tc y/I (3)
Ic momento de inércia da seção bruta yt distância do centróide à fibra ext. tracionada fct,W resistência do concreto à tração na flexão
(módulo de ruptura) (MPa) )gulartanreseção(f05,1 ctm (NBR 6118) (4a)
)Tseção(f84,0 ctm (NBR 6118) (4b)
)2EC(fctm (4c)
MF < Mr,w ? Sim Não
Seção Fissurada (Estádio 2)
)6(454
E5,12w);5(
f
3
E5,12w
rs
s
12
ctm
s
s
s
11
)w;w(mínimow 21k (7)
wk abertura de fissura característica diâmetro da barra da armadura longitudinal 1 coeficiente de conformação superficial da barra s tensão no aço tracionado no estádio 2 Es módulo de elasticidade do aço fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck
2/3 (MPa) (8) r taxa de armadura As na região de envolvimento Acr
= As/Acr (9) As área de aço da armadura longitudinal tracionada Acr área da região de envolvimento
Área de Envolvimento Acr
Acr = mín[(y+7,5; h/2].b (10)
d h Acr
b
< h/2
7,5
y
Tensão no Aço Tracionado na Seção Fissurada s (Estádio 2 puro)
)xd(I
Mnn 2
2
Fcs (14)
n razão Es/Ecs (13) MF momento fletor para combinação frequente I2 momento de inércia da seção no estádio 2 d altura útil da seção x2 profundidade da linha neutra no estádio 2
x2; I2 (ver ELS-DEF)
Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial 1Tipo de Barra 1
lisa (CA-25) 1,00
entalhada (CA-60) 1,40
alta aderência (CA-50) 2,25
Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlim Classe de
Agressividade Ambiental
Agressividade Tipo de Ambiente wlim (mm)
I fraca rural ou submerso 0,4 II moderada urbano III forte marinho ou industrial
0,3
IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 59
VIGA BIAPOIADA - (b = 20 cm; C25)
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 60
VIGA MONOENGASTADA - (b = 20 cm; C25)
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 61
VIGA BIENGASTADA - (b = 20 cm; C25)
[MUSSO]
Fernando Musso Junior [email protected] Estruturas de Concreto Armado 62
VIGA EM BALANÇO - (b = 20 cm; C25)
[MUSSO]