6§аст… · web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали,...
TRANSCRIPT
![Page 1: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/1.jpg)
Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и
социологии.
Москва
Издательство МЦНМО
2010
![Page 2: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/2.jpg)
Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С.
Сборник задач по математическому анализу. Функция одной
переменной. Учебное пособие для факультетов менеджмента,
политологии и социологии. – М.: МЦНМО, 2010. ???? с.
ISBN ????????
Сборник задач составлен в соответствии с программой по
математическому анализу для подготовки студентов, обучающихся по
специальности менеджмент, социология, политология. Содержит
задачи по следующим разделам: предел последовательности, предел
функции, производная функции, формула Тейлора, исследование
функций и построение их графиков, интегрирование, обыкновенные
дифференциальные уравнения.
ISBN ???????? © Коллектив авторов
© Издательство НЦНМО, 2010
2
![Page 3: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/3.jpg)
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
1. Предел последовательности 5
2. Предел функции 9
3. Производная функции 15
4. Формула Тейлора 24
5. Исследование функций и построение их графиков 30
6. Интеграл 35
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 46
Ответы 53
3
![Page 4: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/4.jpg)
Предисловие
Настоящий сборник задач посвящен одному из основных
разделов высшей математики: основам дифференциального и
интегрального исчисления функций одной переменной. Он составлен
в соответствии с программами курса «Алгебра и анализ», читаемого
на различных факультетах Государственного университета - Высшей
школы экономики (ГУ-ВШЭ). Изложение материала в предлагаемом
сборнике ориентировано на углубленное изучение фундаментальных
математических идей и методов, широко применяемых в
исследовании социально-экономических процессов и явлений.
Для облегчения восприятия и удобства пользования весь
материал разбит на части. При этом основное внимание
сосредоточено на таких темах, как пределы последовательностей и
функций, производные и их применение, исследование функций и
построение их графиков, неопределенный и определенный интеграл,
методы решения простейших дифференциальных уравнений.
Большая часть задач снабжена ответами.
При подборе примеров и задач привлекались разнообразные
источники и, прежде всего, те книги, которые вошли в приведенный в
конце сборника библиографический список.
4
![Page 5: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/5.jpg)
1. Предел последовательности.
Вычислите пределы
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
5
![Page 6: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/6.jpg)
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
6
![Page 7: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/7.jpg)
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
7
![Page 8: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/8.jpg)
1.28.
1.29.
1.30.
1.31.
1.32.
8
![Page 9: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/9.jpg)
2. Предел функции.
2.1. Вычислите пределы
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
9
![Page 10: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/10.jpg)
к)
л)
м)
н)
о)
п)
р)
с)
т)
у)
10
![Page 11: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/11.jpg)
ф)
х)
ц)
ч)
2.2. Найдите порядок малости функций при
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
11
![Page 12: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/12.jpg)
2.3. Вычислите пределы, используя замены функций на эквивалентные
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
12
![Page 13: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/13.jpg)
к)
л)
м)
н)
о)
п)
р)
с)
т)
13
![Page 14: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/14.jpg)
у)
ф)
x)
ц)
ч) , если при
ш) , если при
14
![Page 15: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/15.jpg)
3. Производная функции.
3.1. Используя только определение производной, действия с ней и
табличные производные, найдите .
3.2. Используя только определение производной, действия с ней и
табличные производные, найдите .
3.3. Используя только определение производной, действия с ней и
табличные производные, найдите .
3.4. Используя только определение производной, действия с ней и
табличные производные, найдите .
3.5. Используя только определение производной, действия с ней и
табличные производные, найдите , если f(π/4) =2,
f(1) = 3, f (π/4) = 4, f (1) = 5.
3.6. Используя только определение производной, действия с ней и
табличные производные, найдите , если f(π/4)
=2, f(1) = 3, f (π/4) = 4, f (1) = 5.
Найдите производные следующих функций
3.7.
3.8.
15
![Page 16: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/16.jpg)
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
16
![Page 17: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/17.jpg)
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
3.31.
17
![Page 18: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/18.jpg)
3.32.
3.33.
3.34.
3.35.
3.36.
3.37.
3.38.
3.39. Известно, что , и . Чему равно значение ?
3.40. Известно, что , и . Чему равно значение ?
3.41. Известно, что , и . Чему равно значение ?
3.42. Известно, что , , и . Чему равно значение ?
3.43. Найдите , если , где .
18
![Page 19: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/19.jpg)
3.44. Найдите , если , где .
3.45. Вычислите дробь , если h(x) = g(3x).
3.46. Вычислите дробь , если g(x) = ln h(x).
3.47. Найдите при x = 2 значение сложной функции f (x) = g(h(x)) и ее
производной, если g(1) =2, h(1) =1, g(x) = πxπ–1 и h(x) = 3x2 .
3.48. Найдите f (1), если f(x)=g(h(x) и h(1)=2, h(2)=3, h(1)=4, g(1)=3,
g(2)=10, g(5)=3, g(3)=4, g(2)=2, h(1)=5, g(5)=4, g(2)=-1.
3.49. Найдите h(7)(x), если h(5)(x) = .
3.50. Зависимость от задана параметрически ( и ),
причем и . Найдите при .
3.51. Зависимость от задана параметрически ( и ),
причем и . Найдите при .
Напишите уравнения касательных к графикам следующих функций, заданных параметрически, в точке, соответствующей
3.52. , ,
19
![Page 20: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/20.jpg)
3.53. , ,
3.54. , ,
3.55. , ,
3.56. Найдите значение производной функции , заданной неявно уравнением , в точке М(0; 1).
3.57. Найдите значение производной функции , заданной неявно уравнением , в точке М(0; 1).
3.58. Найдите значение производной функции , заданной неявно уравнением , в точке М(1; 1).
3.59. Найдите значение производной функции , заданной неявно уравнением , в точке М(2; 1).
3.60. Напишите уравнение касательной, проведенной в точке (1;1) к графику функции , заданной неявно .
3.61. Напишите уравнение касательной, проведенной в точке (2;1) к графику функции , заданной неявно .
3.62. Напишите уравнение касательной, проведенной в точке (1;1) к графику функции , заданной неявно .
20
![Page 21: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/21.jpg)
3.63. Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной неявно
.
3.64. Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(1;2) к графику функции , заданной неявно
.
3.65. Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(1;1) к графику функции , заданной неявно
.
3.66. Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной неявно
.
3.67. К графику функции y = 0,5 (x – 2)6 в точке M(3; 0,5) проведена касательная. На касательной взяты точки A и B с разностью проекций на ось Ox равной 5. Найдите разность их проекций на ось Oy.
3.68. В условиях предыдущей задачи найдите квадрат расстояния между точками A и B.
3.69. Прямая l получена зеркальным отражением касательной из предыдущей задачи относительно прямой y = x. Найдите квадрат расстояния между точками A и B, находящимися на прямой l, если разность их проекций на ось Ox равна 6.
3.70. Зависимость задана неявно уравнением . Найдите параметр в уравнении
касательной к графику в точке , если , , , .
3.71. Зависимость задана неявно уравнением . Найдите параметр в уравнении
21
![Page 22: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/22.jpg)
касательной к графику в точке , если , , , .
3.72. Найдите , если . Напомним, что эластичность
. Проверьте ответ, найдя эластичность функции
, эквивалентной при .
3.73. Найдите , если . Проверьте ответ, найдя
эластичность функции , эквивалентной при .
3.74. Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите приближенно значение x, если g(-5) = -3, g(x) = -2,96 и g′ (-5) = 2.
3.74. Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите приближенно значение x, если g(5) = 2, g(x) = 2,04 и g′ (5) = -4.
3.76. Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите приближенно значение x, если g(-5) = 2, g(x) = 2,04 и g′ (-5) = -4.
3.77. Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите приближенно значение x, если g(-3) = 5, g(x) = 5,04 и g′ (-3) = -2.
Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите приближенно значение функции в точке
3.78. ,
3.79. ,
3.80. ,
22
![Page 23: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/23.jpg)
3.81. ,
Используя понятие дифференциала функции, вычислите приближенно
3.82.
3.83.
3.84.
3.85. На сколько изменится начальный вклад, составляющий 980 рублей, за 3 года, если годовая процентная ставка составляет 0,1 %.
23
![Page 24: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/24.jpg)
4. Формула Тейлора.
4.1. Разложите функцию по целым неотрицательным
степеням двучлена до члена четвертого порядка (включительно).
4.2. Найдите три члена разложения функции по целым неотрицательным степеням разности .
4.3. Функцию в окрестности точки приближенно замените многочленом третьей степени.
4.4. Функцию в окрестности точки приближенно замените многочленом третьей степени.
4.5. Напишите разложение многочлена четвертой степени по степеням , используя формулу Тейлора. Найдите , если
, , , и .
4.6. Напишите разложение многочлена четвертой степени по степеням , используя формулу Тейлора. Найдите , если
, , , и .
Используя правило Лопиталя, вычислите пределы
4.7.
4.8.
24
![Page 25: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/25.jpg)
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
Используя стандартные разложения элементарных функций по формуле Маклорена, вычислите пределы
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
25
![Page 26: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/26.jpg)
4.19.
4.20. Используя разложения по формуле Тейлора для элементарных функций, найдите приближенное значение , где
, ограничившись в разложении первым отличным от нуля членом.
4.21. Используя разложение по формуле Тейлора для элементарных функций, найдите приближенное значение , где
, ограничившись в разложении первым отличным от нуля членом.
4.22. Ограничившись тремя отличными от нуля членами табличного разложения соответствующей элементарной функции по формуле Маклорена, найдите приближенное значение , где
.
4.23. Используя разложение по формуле Тейлора для элементарных функций, найдите приближенное значение , где
, ограничившись в разложении первым отличным от нуля членом.
4.24. Ограничившись тремя отличными от нуля членами табличного разложения соответствующей элементарной функции по формуле Маклорена, найдите приближенное значение , где
.
4.25. Используя разложение по формуле Тейлора для элементарных функций, найдите приближенное значение , где
, ограничившись в разложении первым отличным от нуля членом.
26
![Page 27: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/27.jpg)
4.26. Ограничившись тремя отличными от нуля членами табличного разложения соответствующей элементарной функции по формуле Маклорена, найдите приближенное значение , где
.
4.27. Ограничившись тремя отличными от нуля членами табличного разложения соответствующей элементарной функции по формуле Маклорена, найдите приближенное значение , где
.
4.28. Используя формулу Тейлора найдите , где
.
4.29. Используя формулу Тейлора найдите , где
.
4.30. Используя формулу Тейлора найдите , где
4.31. Используя формулу Тейлора или правило Лопиталя, найдите
значение , если
дифференцируема в точке и ,
4.32. Используя формулу Тейлора или правило Лопиталя, найдите
значение , если
дифференцируема в точке и ,
27
![Page 28: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/28.jpg)
4.33. Применяя формулу Тейлора для функции в окрестности точки и, сохраняя члены до второго порядка малости включительно относительно , найдите приближенное значение выражения .
4.34. Применяя формулу Тейлора для функции в окрестности точки и, сохраняя члены до второго порядка малости включительно относительно , найдите приближенное значение выражения .
4.35. Применяя формулу Тейлора для функции в окрестности точки и, сохраняя члены до второго порядка малости включительно относительно , найдите приближенное значение выражения .
4.36. Применяя формулу Тейлора для функции в окрестности точки и, сохраняя члены до второго порядка малости включительно относительно , найдите приближенное значение выражения .
4.37. Используя стандартное разложение функции по формуле
Маклорена по степеням , найдите наклонные асимптоты
функции .
4.38. Используя стандартное разложение функции, по формуле
Маклорена по степеням , найдите наклонные асимптоты
функции .
4.39. Используя стандартное разложение функции по формуле
Маклорена по степеням , найдите наклонные асимптоты
функции .
28
![Page 29: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/29.jpg)
29
![Page 30: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/30.jpg)
5. Исследование функций и построение их графиков.
5.1. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке .
5.2. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке .
5.3. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке .
5.4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
5.5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
5.6. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
5.7. Найдите точку минимума функции , если – монотонно убывающая функция.
5.8. Найдите точку максимума функции , если – монотонно убывающая функция.
5.9. Функция определена и имеет непрерывную вторую производную при всех . График функции имеет асимптоту при и при . Кроме того,
при всех . Изобразите эскиз графика и оцените возможные значения .
30
![Page 31: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/31.jpg)
5.10. Функция определена и имеет непрерывную вторую производную при всех . График функции имеет асимптоту при и при . Кроме того,
при всех . Изобразите эскиз графика и оцените возможные значения .
5.11. Найдите сумму ординат всех точек пересечения асимптот
графика .
5.12. Найдите сумму ординат всех точек пересечения асимптот
графика .
Проведя необходимое исследование, постройте графики следующих функций
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
31
![Page 32: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/32.jpg)
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25.
5.26.
5.27.
32
![Page 33: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/33.jpg)
5.28.
5.29.
5.30.
5.31.
5.32.
5.33.
5.34.
5.35.
5.36.
5.37.
5.38.
5.39.
33
![Page 34: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/34.jpg)
5.40.
5.41.
34
![Page 35: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/35.jpg)
6. Интеграл.
6.1. Вычислив производную , найдите .
6.2. Вычислив производную , найдите .
Найдите следующие неопределенные интегралы
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
35
![Page 36: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/36.jpg)
6.10.
6.11.
6.12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
36
![Page 37: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/37.jpg)
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
6.27.
6.28.
6.29.
6.30.
37
![Page 38: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/38.jpg)
6.31.
6.32.
6.33.
6.34.
6.35.
6.36.
6.37.
6.38.
6.39.
6.40.
6.41.
6.42.
38
![Page 39: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/39.jpg)
6.43.
6.44.
6.45.
6.46.
6.47. Найдите первообразную функции , проходящую
через точку . Используйте замену переменной .
6.48. Найдите первообразную функции ,
проходящую через точку (1, 1). Используйте замену переменной
.
6.49. Найдите первообразную функции ,
проходящую через точку . Используйте замену переменной
.
6.50. Найдите первообразную функции ,
проходящую через точку (1, 0). Используйте замену переменной
.
39
![Page 40: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/40.jpg)
6.51. Известно, что и . Найти .
6.52. Известно, что и . Найти .
6.53. Найдите неопределенный интеграл , если
, где – заданная функция переменных x и a,
C=const.
6.54. Найдите неопределенный интеграл , если
, где – заданная функция переменных x и a,
C=const.
6.55. Если непрерывна на [0;15] и , то чему равен
определенный интеграл .
6.56. Если непрерывна на [0;11] и , то чему равен
определенный интеграл .
6.57. Если непрерывна на [-1;19] и , то чему равен
определенный интеграл .
6.58. Если непрерывна на [-1;19] и , то чему равен
определенный интеграл .
40
![Page 41: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/41.jpg)
Вычислите следующие определенные интегралы
6.59.
6.60.
6.61.
6.62.
6.63.
6.64.
6.65.
6.66.
6.67.
41
![Page 42: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/42.jpg)
6.68.
6.69.
6.70.
6.71.
6.72.
6.73. Найдите , если
, а функция
имеет непрерывную первую производную и при .
6.74. Известно, что . Найдите .
6.75. Известно, что . Найдите , если ,
, , .
42
![Page 43: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/43.jpg)
6.76. Известно, что . Найдите , если
, .
Вычислите следующие несобственные интегралы или установите их расходимость.
6.77.
6.78.
6.79.
6.80.
6.81.
6.82.
6.83.
6.84.
6.85.
43
![Page 44: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/44.jpg)
6.86.
6.87.
6.88.
6.89.
6.90.
Исследуйте сходимость следующих несобственных интегралов.
6.91.
6.92.
6.93.
6.94.
6.95.
6.96.
44
![Page 45: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/45.jpg)
6.97.
6.98.
45
![Page 46: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/46.jpg)
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
7.1. Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
а) .
б) .
в) .
г)
д)
е) .
ж) .
з) .
и) .
7.2. Решите задачу Коши
а) , .
б) , .
в) , .
46
![Page 47: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/47.jpg)
г) , .
7.3. Найдите решение дифференциального уравнения ,
удовлетворяющее условию при .
7.4. Найдите решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию при .
7.5. Найдите решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию при .
7.6. Найдите решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию при .
7.7. Найдите решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию при .
7.8. Решите однородные дифференциальные уравнения
а)
б)
в)
г)
д)
47
![Page 48: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/48.jpg)
7.9. Решите линейные дифференциальные уравнения
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
7.10. Решите уравнения Бернулли
а)
б)
в)
г)
48
![Page 49: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/49.jpg)
д)
7.11. Решите задачу Коши
а) , при
б) , при
в) при
Решите следующие системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
49
![Page 50: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/50.jpg)
7.18. (одно из собственных чисел равно 1)
7.19.
7.20. (одно из собственных чисел равно 1)
7.21. (одно из собственных чисел равно 1)
Решите следующие линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
50
![Page 51: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/51.jpg)
7.27.
7.28.
7.29.
7.30.
Найдите решения уравнений, удовлетворяющие указанным
условиям.
7.31.
7.32.
7.33.
7.34.
51
![Page 52: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/52.jpg)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1. Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др. Сборник
задач по математике. М.: Наука, 1986.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу. М.: Наука, 1997.
3. Зимина О.В., и др. Высшая математика. Решебник. М.:
Физико-математическая литература, 2001.
4. Самовол В.С. Основы математического анализа для
политологов.
Ч. I, Ч. II. Учебное пособие. М.: ГУ-ВШЭ, 2001.
5. Сборник задач по математическому анализу. Т.1-3, Под ред.
Л.Д.Кудрявцева, М.:Физматлит, 2003.
6. Сборник задач по высшей математике для экономистов:
учебное пособие. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2005.
7. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным
уравнениям. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2000.
8. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное
пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.
52
![Page 53: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/53.jpg)
Ответы.
1.1. 3/2. 1.2 -2/3. 1.3. 25/9. 1.4. 64. 1.5. 2. 1.6. 9. 1.7. .
1.8. -3. 1.9. -15/2. 1.10. 1/6. 1.11. 4. 1.12. 1. 1.13. 1/9. 1.14. 8.
1.15. 0. 1.16. 1. 1.17. 1/2. 1.18. 4/3. 1.19. 5/4. 1.20. -1/6. 1.21. 2.
1.22. . 1.23. 1/2. 1.24. 1/3. 1.25. 0. 1.26. 0. 1.27. .
1.28. . 1.29. 1/2. 1.30. 2/3. 1.31. . 1.32. .
2.1. а)-5. 2.1. б) . 2.1. в) 0. 2.1. г) 4/3. 2.1. д) -4/3.
2.1. е) 2/3. 2.1. ж) -12. 2.1. з) 1. 2.1. и) 1/3. 2.1. к) 0 2.1. л) .
2.1. м) 1. 2.1. н) -1. 2.1. о) 2. 2.1. п) . 2.1. р) 3. 2.1. с) -3/2.
2.1. т) 3/19. 2.1. у) 0. 2.1. ф) 2/3. 2.1. х) 8. 2.1. ц) 0. 2.1. ч) .
2.2. а) . 2.2. б) . 2.2. в) . 2.2. г) . 2.2. д) . 2.2. е) .
2.2. ж) . 2.3. а) 2/3. 2.3. б) 1. 2.3. в) 1/6. 2.3. г) 1/18. 2.3. д) -6.
2.3. е) -1/6. 2.3. ж) -1/8. 2.3. з) -8/25. 2.3. и) . 2.3. к) -4/3.
2.3. л) 1/5. 2.3. м) 6. 2.3. н) 3. 2.3. о) 3/2. 2.3. п) . 2.3. р) .
2.3. с) . 2.3. т) . 2.3. у) . 2.3. ф) . 2.3. х) .
2.3. ц) . 2.3. ч) . 2.3. ш) .
3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. . 3.5. f (tg
π/4)(cos π/4)-2 = f (1)2 = 10. 3.6. (f (π/4)tg π/4 + f(π/4)(cos π/4)-2)/4
= 2.
3.39. Неизвестно. 3.40. . 3.41. Неизвестно. 3.42. . 3.43. 125.
3.44. 8748= . 3.45. . 3.46. h(x). 3.47. f (2) = 2 3π
+ 1; f (2) = 3π2 3π–1. Указание. Найдите, сначала, функции g(x) и h(x)
отдельно. 3.48. -6. 3.49. . 3.50. 2 (
при ). 3.51. 5 ( при ).
53
![Page 54: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/54.jpg)
3.52. . 3.53. . 3.54. .
3.55. . 3.56. 3. 3.57. -1. 3.58. 3. 3.59. -1.
3.60. . 3.61. . 3.62. .
3.63. . 3.64. . 3.65. .
3.66. . 3.67. yB – yA = k( xB – xA) = 3 5 = 15. 3.68. 250.
3.69. 40. 3.70. -3. 3.71. 8. 3.72. 3. 3.73. -1. 3.74. -4,98. 3.75. 4,99.
3.76. -5,01. 3.77. -3,02. 3.78. 32,08. 3.79. 0,96. 3.80. 1,03. 3.81. 1,2.
3.82. 1,075. 3.83. 2,995. 3.84. 0,805. 3.85. 2,94 руб.
4.1. .
4.2. .
4.3. . 4.4. .
4.5. =2. 4.6. =12. 4.7. 0. 4.8. 1/3. 4.9. 3/2. 4.10. 3/2.
4.11. 1/3. 4.12. 0. 4.13. 0. 4.14. 0. 4.15. 0. 4.16. 2. 4.17. -1/12.
4.18. 1/3. 4.19. 1/3. 4.20. , 0,5. 4.21. , -0,27.
4.22. , 1/8. 4.23. , -1/32.
4.24. , -1/64. 4.25. , -0,04.
4.26. , 0,32. 4.27. , 1/32.
4.28. , .
4.29. , .
4.30. , . 4.31. -6. 4.32. -8.
4.33. . 4.34. . 4.35. .
54
![Page 55: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/55.jpg)
4.36. . 4.37. . 4.38. .
4.39. .
5.1. 16. 5.2. 688. 5.3. 58. 5.4. , .
5.5. , . 5.6. , . 5.7. x=2 (x=4
максимум). 5.8. x=-5 (x=3 минимум). 5.9. .
5.10. . 5.11. 12 (5+7, y=2x+3 , x=2, x=2).
5.12. 18 (15+3, y=-2x+7 , x=-4, x=2). 5.13. - горизонтальная
асимптота, , , , ,
точки перегиба: , 5.14. - горизонтальная
асимптота, - вертикальная асимптота, ,
, , точка перегиба: .
5.15. - наклонная асимптота, ,
, , . 5.16. - наклонная асимптота,
- вертикальная асимптота, , , . 5.17.
- наклонная асимптота, - вертикальные асимптоты,
, , , ,
- точка перегиба. 5.18. - наклонная асимптота, ,
, - точки перегиба. 5.19. -
наклонная асимптота, - вертикальная асимптота, ,
, , - точка перегиба. 5.20. -
55
![Page 56: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/56.jpg)
наклонная асимптота, - вертикальная асимптота, ,
, .
5.21. - горизонтальная асимптота, - вертикальная
асимптота, , , , - точка
перегиба. 5.22. - наклонная асимптота,
- вертикальная асимптота, , ,
, . 5.23. - наклонная
асимптота, - вертикальная асимптота, ,
, , . 5.24. - наклонная
асимптота, - вертикальная асимптота, ,
, , . 5.25. - наклонная
асимптота, - вертикальная асимптота, ,
, , , точка
перегиба: . 5.26. - наклонная асимптота,
- вертикальная асимптота, , ,
, - точка перегиба. 5.27. - вертикальные
асимптоты, , , ,
, точки перегиба: . 5.28. - горизонтальная асимптота, , , ,
точки перегиба: . 5.29. - горизонтальная асимптота
при , , , , точка
56
![Page 57: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/57.jpg)
перегиба: . 5.30. - горизонтальная асимптота при ,
- вертикальная асимптота, , ,
. 5.31. - наклонная асимптота,
- вертикальная асимптота при , ,
, , , точка перегиба:
. 5.32. - наклонная асимптота, - вертикальная
асимптота при , ,
, , точка перегиба: .
5.33. - вертикальная асимптота при , ,
, . 5.34. - горизонтальная
асимптота, , , ,
, точки перегиба: .
5.35. - горизонтальная асимптота, , , , , точки перегиба:
. 5.36. , , .
5.37. , , , точка перегиба:
. 5.38. - горизонтальная асимптота при ,
- вертикальная асимптота при , , ,
точка перегиба: . 5.39. , , ,
, точка перегиба: . 5.40. - наклонная
57
![Page 58: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/58.jpg)
асимптота при , - наклонная асимптота при ,
, , точка перегиба: .
5.41. - наклонная асимптота при , -
наклонная асимптота при , , ,
, , точка перегиба: .
6.1. . 6.2. .
6.3. . 6.4. .
6.5. . 6.6. . 6.7. .
6.8. . 6.9. .
6.10. . 6.11. . 6.12. .
6.13. . 6.14. . 6.15. .
6.16. . 6.17. . 6.18. .
6.19. . 6.20. .
6.21. . 6.22. .
6.23. . 6.24. . 6.25. .
6.26. . 6.27. .
58
![Page 59: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/59.jpg)
6.28. . 6.29. . 6.30. .
6.31. . 6.32. .
6.33. . 6.34. .
6.35. . 6.36. .
6.37. . 6.38. .
6.39. . 6.40. .
6.41. .
6.42. .
6.43. . 6.44. .
6.45. . 6.46. .
6.47. . 6.48. .
6.49. . 6.50. .
6.51.–1. 6.52. 100. 6.53 .
6.54. . 6.55. .
6.56. . 6.57. . 6.58. .
6.59. 20. 6.60. 21/8. 6.61. .
59
![Page 60: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/60.jpg)
6.62. . 6.63. . 6.64. . 6.65. 2. 6.66. 6. 6.67. 1.
6.68. 9. 6.69. . 6.70. . 6.71. .
6.72. . 6.73. 600=6!-5!. 6.74. 3. 6.75. 13. 6.76. -2.
6.77. 1. 6.78. Расходится. 6.79. Расходится. 6.80. при ,
Расходится при . 6.81. . 6.82. . 6.83. . 6.84. 2. 6.85.
Расходится. 6.86. Расходится. 6.87. Расходится. 6.88. при
, расходится при . 6.89. Расходится. 6.90. .
6.91. Сходится. 6.92.Сходится. 6.93. Сходится. 6.94. Расходится.
6.95. Сходится. 6.96. Сходится. 6.97. Сходится. 6.98. Сходится.
7.1. а) . 7.1. б) . 7.1. в) .
7.1. г) . 7.1. д) . 7.1. е) .
7.1. ж) . 7.1. з) , . 7.1. и) ,
. 7.2. а) . 7.2. б) .
7.2. в) . 7.2. г) . 7.3. .
7.4. . 7.5. . 7.6. . 7.7. .
7.8. а) . 7.8. б) .
7.8. в) , . 7.8. г) . 7.8. д) ,
. 7.9. а) . 7.9.б) . 7.9. в) . 7.9. г)
. 7.9. д) . 7.9. е) . 7.9. ж)
60
![Page 61: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/61.jpg)
. 7.10. а) . 7.10. б) , .
7.10. в) . 7.10. г) .
7.10. д) . 7.11. а) . 7.11. б) .
7.11. в) . 7.12. .
7.13. . 7.14. ,
.
7.15. .
7.16. .
7.17. .
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
7.22. . 7.23. . 7.24. .
7.25. . 7.26.
7.27. 7.28.
7.29.
61
![Page 62: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/62.jpg)
7.30.
7.31. 7.32. 7.33. 7.34.
62
![Page 63: 6§аст… · Web view2011/10/20 · Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к графику функции , заданной](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071016/5fcfc0017e873275084fa958/html5/thumbnails/63.jpg)
Учебное издание
Логвенков Сергей Алексеевич,
Мышкис Петр Анатольевич,
Самовол Владимир Симхович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии.
Учебное пособие
Редактор
Корректор
Оригинал-макет
Оформление
Лиценция
Подписано в печать . Формат
Усл. печ. .л . Тираж 500 экз.
63