Fakulta hospodárskej informatiky Ekonomickej univerzity Bratislave

Galina Horáková, Anna Starečková

600 otázok a odpovedí z

teórie pravdepodobnosti

1

1.1.Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. Pravdepodobnosť, že zo sady 32 karát náhodne vyberieme 01 sedmičku, sa rovná 1/32 02 tri sedmičky (výber s vrátením), sa rovná 1/64 03 tri sedmičky (výber bez vrátenia), sa rovná 1/1240 04 súčasne tri sedmičky, sa rovná C(4,3)/C(32,3) 05 súčasne tri karty rovnakej farby, sa rovná C(7,3)/C(32,3) 06 tri karty s vrátením, z toho dve sedmičky, sa rovná 7/512 07 tri karty bez vrátenia, z toho dve sedmičky, sa rovná 21/620 08 súčasne tri karty, z toho aspoň dve sedmičky, sa rovná 21/620 09 súčasne tri karty, z toho dve sedmičky, sa rovná 21/620 10 tri karty rôznej hodnoty s vrátením, sa rovná 21/32 1.2. Klasická definícia pravdepodobnosti Určte, ktorý z nasledujúcich výrokovje pravdivý. Náhodne hodíme tri mince. Pravdepodobnosť javu, že z troch pokusov 01 padne hlava na jednej minci, je 3/8 02 nepadne hlava ani na jednej minci, je 0 03 padne aspoň jedna, alebo žiadna hlava, je 1 04 padnú najviac dve hlavy , je 1 05 padnú dve hlavy, alebo dva znaky, je 3/4 06 padnú dve hlavy sa rovná pravdepodobnosti negácie javu, že padnú aspoň dve hlavy 07 padnú menej ako tri hlavy , je 7/8 08 padne viac hláv ako znakov, je 3/8 09 nepadne ani jedna hlava, je 1/8 10 padnú dve hlavy je pravdepodobnosť javu, že z troch pokusov padne jedna hlava 1.3. Klasická definícia pravdepodobnosti Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. Z 28 študentov (12 dievčat a 16 chlapcov) bude 6 odpovedať. Pravdepodobnosť, že 01 študent XY nebude odpovedať, je C(27,5)/C(28,6) 02 nebudú odpovedať dievčatá sa rovná C(16,6)/C(28,6)= 1-C(12,6)/C(28,6) 03 bude odpovedať iba jedno dievča, je C(16,5)/C(28,6) 04 bude odpovedať aspoň jedno dievča, je 1-C(16,6)/C(28,6) 05 bude odpovedať rovnaký počet dievčat a chlapcov, je 12/16 06 bude odpovedať chlapec A a dievča B, je C(26,4)/C(28,6) 07 medzi odpovedajúcimi budú dvaja konkrétni študenti ,je C(26,4)/C(28,6) 08 budú odpovedať dvaja chlapci je C(16,2)/C(28,6)

2

09 bude odpovedať aspoň jeden chlapec je 1-C(16,0). C(12,6)/C(28,6) 10 bude odpovedať aspoň o 4 chlapcov viac ako dievčat , sa rovná C(16,5)/C(28,6) 1.4. Geometrická pravdepodobnosť Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. V štvorci o strane a=5 sa náhodne zvolí bod, ktorý je stredom kruhu o polomere r=2. Pravdepodobnosť toho, že 01 kruh bude celý ležať vo štvorci , sa rovná 1/25 02 kruh nepretne ani jednu stranu štvorca, sa rovná 1/5 03 kruh pretne práve jednu štvorca sa rovná, 8/25 04 kruh pretne najviac jednu stranu štvorca , sa rovná 9/25 05 kruh pretne aspoň jednu stranu štvorca sa rovná 24/25 06 kruh pretne práve dve strany štvorca sa rovná 16/25 07 kruh pretne menej ako dve strany štvorca, sa rovná 9/25 08 kruh pretne najviac dve strany štvorca, sa rovná 1 09 kruh pretne dve, alebo žiadnu stranu štvorca, sa rovná 17/25 10 kruh bude celý ležat mimo štvorca , sa rovná 0 1.5. Geometrická definícia pravdepodobnosti Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. Na trase AB dľžky h nastalo prerušenie (v ľubovoľnom bode s rovnakou pravdepodobnosťou.)Pravdepodobnosť, že prerušenie nastalo v bode C, ktorý 01 je od bodu A vzdialený najmenej o dľžku d, je (h-d)/h 02 je od bodu A vzdialený najviac o dľžku d ,je d/h 03 je totožný s bodom A, je 0 04 sa môže vyskytnúť v ľubovoľnom bode na trati AB, je 1/2 05 je od bodu A vzdialený aspoň o dľžku d ,je (h-d)/h 06 je totožný s bodom B, je 1 07 je od bodu A vzdialený 2h, je 0 08 je od bodu B vzdialený najviac o dľžku h, je 1 09 sa nachádza vo vzdialenosti d od obidvoch krajných bododov, je d/h 10 je od bodu B vzdialený najmenej o dľžku h , je 0 1.6. Úplný systém disjunktných javov Určte správnosť resp. nesprávnosť výroku: Daný systém náhodných javov tvorí úplný systém nezlučiteľných javov. 01 BABAABBA ∪∩∩− ,,, 02 BAABBABA ∩−∩∪ ,),(, 03 BABABABA ∩−∩∪ ,),(, 04 BABAA ∪∩ ,, 05 ABBAA ∩∩ ,, 06 BABBA ∩− ,,

3

07 BABAAB ∩−− ,, 08 BABAB ∪∩ ,, 09 ABBABABA ∩∩−∩ ,,,

10 BAABBABA ∩−∩∩ ,,, 1.7. Pole náhodných javov Určte, ktoré z množín F sú poľami náhodných javov, zodpovedajúcich množine

4321 ,,, EEEE=Ω

Ω

01 F=∅,( Ω),,(),, 4321 EEEE02 F=∅, Ω,),,,( 4321 EEEE03 F= ( ),,(),, 4321 EEEE04 F=∅, 4321 ,,, EEEE05 F=∅, Ω),,(),,( 4321 EEEE06 F=∅,( ,,),,(),,(),,,(),,, 342143421321 ΩEEEEEEEEEEEE 07 F=∅, Ω,,),,( 4321 EEEE08 F= Ω∩ ),,(),,(, 214321 EEEEEE09 F=∅,( Ω,),,( 321 EEE10 F=∅, Ω),,,(, 4312 EEEE 1.8. Základný pravdepodobnostný priestor Nech (Ω,F,P) je pravdepodobnostný priestor. Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 Náhodný jav ∈A F je ľubovoľná podmnožina základného priestoru Ω 02 Istý jav je náhodný 03 Zjednotenie ľubovoľného počtu elementárnych javov je jav náhodný 04 Ω je množina všetkých, navzájom rôznych výsledkov pokusu, ktoré sú vzájomne nezlučiteľné 05 Každý náhodný jav F patrí aj do základného priestoru Ω ∈A06 F je javové pole, ak s každým javom A do javového poľa patrí aj jeho negácia 07 Pre každý náhodný jav platí 0 1≤≤ A 08 Pravdepodobnosť je zobrazenie, ktoré náhodnému javu priradí hodnotu z intervalu >< 10;09 Pravdepodobnosť zobrazuje javové pole F do množiny R 10 Náhodné javy A,B ∈ F sú nezlučiteľné, ak ich zjednotenie je jav istý 1.9. Vlastnosti náhodných javov Nech (Ω,F,P) je pravdepodobnostný priestor, A,B,C∈F. Určte, správnosť nasledujúcich vzťahov. 01 BABA ∩=− 02 ( ) ( ) CBACBA ∩∪=∩∪03 ( ) ( )BABAB ∩∪∩= 04 BABA ∪=∩ 05 BABA ∩=∪ 06 BABA ∪=∩

4

07 ( ) ( ) ( ) ( )BABABABA ∩∪∩=∩−∪ 08 CBACBA ∩∩=∩∪ 09 IAA =∩ 10 ( ) BABBA ∩=−∪ 1.10. Nezávislosť náhodných javov Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je parvdivý. Ak pravdepodobnosť nastatia javu A je 0,5 , javu B je 0,4 a udalosti A a B sú nezávislé, potom pravdepodobnosť 01 nastatia javu A a súčasne javu B, je 0,15 02 nastatia aspoň jedného z javov A,B, je 0,7 03 nastatia práve jedného z javov A,B , je 0,5 04 nenastane ani jeden z javov A,B , je 0,2 05 že nastane práve jeden z javov A,B sa rovná pravdepodobnosti, že nastanú oba súčasne 06 súčasného nastatia negácie javu B a javu A, je 0,2 07 súčasného nastatia negácie javu A a javu B, je 0,2 08 nenastatia ani jedného z javov A,B , je 1-P(A B) ∪09 5,0)/( =BAP10 P( =0.7 )BA∪ 1.11. Závislosť náhodných javov Pravdepodobnosť, že sporí muž je 0,5 , že sporí žena je 0,4 , že sporí žena, ak sporí jej muž je 0,3 . Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. Pravdepodobnosť, že 01 závisle na sebe sporí muž i žena, sa rovná 0,2 02 sporí muž,ak sporí žena , sa rovná 0,375 03 závisle na sebe sporí muž i žena , sa rovná 0,375.0,4 04 nesporí ani jeden je negácia pravdepodobnosti, že sporí aspoň jeden 05 )()()( ZPMPZMP +=∪06 sporí iba muž, alebo iba žena, sa rovná 0,6 07 závisle na sebe nesporí ani jeden, sa rovná 0,25 08 aspoň jeden sporí , sa rovná 0,75 09 nesporia obaja , sa rovná 0 10 nesporia obaja, alebo pravdepodobnosť, že sporí muž aj žena, sa rovná 1 1.12. Podmienená pravdepodobnosť Pravdepodobnosť, že ide chlapec do kina 0,4 , že pôjde dievča do kina je 0,2 , že chlapec pôjde do kina, za predpokladu, že pôjde dievča do kina je 0,6 . Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. Pravdepepodobnosť, že 01 nepôjde chlapec, ak pôjde dievča , je 0,12 02 obaja pôjdu do kina , je 0,12 03 nepôjde dievča do kina, ak pôjde chlapec, je 0,3 04 pôjde iba chlapec, je 0,28 05 pôjde iba dievča, je 0,08

06 nepôjde dievča, ak nepôjde chlapec , je 1513

5

07 do kina nepôjde ani jeden , je2513

08 do kina pôjde aspoň jeden, je 0,36

09 nepôjde chlapec, ak nepôjde dievča , je 2013

10 )()()( CHPDCHPDCHP =∩+∩ 1.13. Podmienená a nepodmienená pravdepodobnosť V osudí sú dve čierne, tri biele a päť modrých gulôčok. Náhodne po sebe vyberieme tri gulôčky. Pravdepodobnosť, že 01 všetky tri sú biele (výber bez vrátenia), je 1/120 02 je jedna čierna a dve biele (výber bez vrátenia), je 1/60 03 prvá je biela,druhá a tretia je modrá (výber bez vrátenia), je 1/12 04 jedna je biela a dve sú modré (výber bez vrátenia ), je 1/12 05 všetky tri sú čierne (výber s vrátením), je 1/5 06 všetky tri sú čierne (výber bez vrátenia), je 1/8 07 prvá je čierna a ďalšie sú modré (výber s vrátením), je 1/18 08 sú dve biele a jedna čierna (výber s vrátením, je 27/500 09 každá je inej farby (výber s vrátením ) , je 18/100 10 každá je inej farby (výber bez vrátenia) , je 1/4 1.14. Veta o úplnej pravdepodobnosti Majme tri sady výrobkov po 20 kusoch. Náhodne vyberieme na kontrolu jeden výrobok. Pravdepodobnosť, že sa zistí nekvalitná výroba, ak 01 v prvej sade sú z 2/5 nepodarky a v ďalších len kvalitné výrobky, je 2/15 02 v prvej sade sú iba nepodarky a v ďalších len kvalitné výrobky, je 1 03 v každej sade je jeden nepodarok, je 3/20 04 v každej sade sú len kvalitné výrobky , je 0 05 v každej sade je 5 nepodarkov ,je 1/4 06 v dvoch sadách je 5 nepodarkov a v 3-tej sú len kvalitné výrobky, je 1/6 07 v prvej sade nie je viac ako 1 nepodarok a v ďalších sú len kvalitné výrobky, je 1/60 08 v prvej sade je 1, v druhej 4 a v tretej 5 nepodarkov , je 1/6 09 v prvej sade je 1,v druhej 4, v tretej 5 kvalitných výrobkov, je 1/6 10 v prvej a druhej sade je 1/4 nepodarkov, v tretej sade iba kvalitné výrobky, je 1/16 1.15. Baysova veta V prvom osudí sú 2 modré a 3 biele gulôčky, v druhom osudí je 1 modrá, 2 biele a 2 čierne gulôčky. Náhodne jednu z ľubovoľného osudia vyberieme. Nech H1 je gulôčka z prvého osudia H2 z druhého osudia, M-modrá, B-biela,C-čierna. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 P(H2/C) = 1 02 P(C/H1) = 0 03 P(C/H2) + P(C/H1) = P(C) 04 P(H2/M) + P(H1/M) = 1 05 P(H2/M) = 1/3 06 P(M/H2) = 1/5

6

07 P(M) = 3/10 08 P(C/H2) = P(M/H1) 09 P(H2/C) = P(H2/M) 10 P(M/H1) + P(M/H2) = 3/10 1.16. Opakované nezávislé pokusy Pravdepodobnosť úspechu akcie pri každom z dvoch nezávislých pokusov je 0,9. Označme udalosť A-akcia bude úspešná v prvom pokuse, B-akcia bude úspešná v druhom pokuse Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Pravdepodobnosť, že akcia bude úspešná v druhom pokuse, za predpokladu, že bola úspešná v prvom pokuse , 0,09 02 Udalosti A,B sú disjunktné 03 Pravdepodobnosť aspoň jedného úspechu z dvoch pokusov je P(A)+P(B) 04 Pravdepodobnosť aspoň jedného úspechu z dvoch pokusov je BAP ∩− (1 ) 05 Pravdepodobnosť aspoň jedného úspechu z dvoch pokusovj e )()( BPAP ⋅−1 06 Pravdepodobnosť práve jedného úspechu z dvoch pokusov je 0,18 07 Pravdepodobnosť práve druhého úspechu z dvoch pokusov P(B)=1-P(A) 08 Pravdepodobnosť ani jedného úspechu je 1-P(A ∪B) 09 Pravdepodobnosť ani jedného úspechu z dvoch pokusov je )( BAP ∩ 10 Pravdepodobnosť neúspechu pri druhom pokuse je )().()().( BPAPBPAP + 1.17. Opakované nezávislé pokusy Pravdepodobnosť nastatia javu A v každom z troch nezávislých pokusov je 0,5 . Označme nastatie javu A v i-tom pokuse, i=1,2,3. Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. iA01 )()()(1)( 321321 APAPAPAAAP ⋅⋅−=∪∪ 02 )()()()( 321321 APAPAPAAAP ⋅⋅=∪∪ 03 3,0,1)( ,321 ==−=∪∪ nkPAAAP nk 04 )()()()( 321321 APAPAPAAAP ++=∪∪ 05 Pravdepodobnosť, že jav A nastane z troch pokusov aspoň dvakrát, je 0,75 06 Pravdepodobnosť, že jav A nastane z troch pokusov v 1. a 3. pokuse, je 0,125 07 )()()(3)( 321321 APAPAPAAAP ⋅⋅=∪∪ )()()(3 321 APAPAP ⋅⋅+ + )()()(3 321 APAPAP ⋅⋅+ 08 )()()()( 321321 APAPAPAAAP ⋅⋅=∩∩ 09 )()/( 121 APAAP =10 Pravdepodobnosť, že z troch pokusoch nenastane jav A v prvom , sa rovná 0,5 1.18. Opakované nezávislé pokusy Dvaja rovnocenní partneri hrajú spolu šach. Nerozhodný výsledok neuvažujeme. Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. Pravdepodobnosť, 01 výhry v každej partii prvého hráča, je 1 02 prehry druhého hráča v každej partii, je 0 03 výhry prvého hráča v tretej partii , ak druhý hráč vyhrál prvé dve partie, je 1/3 04 že prvý hráč nevyhrá ani jednu partiu z dvoch je 0,5

7

05 že prvý hráč vyhrá aspoň jednu z dvoch partií je 3/4 06 že prvý hráč vyhrá dve partie z dvoch je 1/4 07 že druhý hráč vyhrá najviac jednu z dvoch partií je 3/4 08 že prvý hráč vyhrá jednu z dvoch partií je 1/4

09 že druhý hráč zo šiestich partíí vyhrá práve párne partie, je 621

10 výhry v piatej partii je pre oboch hráčov rovnaká , ak druhý hráč prvé štyri vyhral 1.19. Opakované nezávislé pokusy Hodíme tri razy po sebe kockou. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. Pravdepodobnosť , že v troch hodoch 01 aspoň raz padne párne číslo, je 7/8 02 najviac raz padne párne číslo, je 1/2 03 práve raz padne číslo väčšie ako tri, je 1/2 04 padne číslo 3 v každom z troch pokusov , j e 1/8 05 padne nepárne číslo v každom z troch pokusov, je 1/2 06 dva razy padne párne číslo a raz číslo 3, je 1/24 07 dva razy padne nepárne číslo a raz číslo 2 , je 1/8

08 padne vždy číslo rôzne od čísla 3, je3

65

09 padne súčet 2, je 1/6 10 padne súčet 5, je 1/12 1.20. Opakované nezávislé pokusy Hodíme trikrát kockou. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. Pravdepodobnosť toho, že z troch pokusov padne (padnú) 01 číslo 6 aspoň raz je 91/216 02 číslo 6 práve raz je (1/6).(5/6).(5/6) 03 nepadne číslo 6 ani raz , je 5/6 04 číslo 6 dvakrát je pravdepodobnosť toho, že dvakrát padne číslo 2 05 tri rôzne čísla je 6.(5/6).(4/6) 06 čísla 2, 4 a 6 je 1/36 07 trikrát párne číslo je V(3,3)/ (6,3)V′08 čísla 2, 4 a 6 je 6.V(3,3)/V'(6,3) 09 najvyššie možné číslo 2 , je 1/27 10 tri rôzne čísla je V(6,3)/V'(6,3)

8

2.1. Diskrétna náhodná premenná Diskrétna náhodná premenná nadobúda hodnoty x0, x1, x2, x3 s pravdepodobnosťami p0, p1, p2, p3 , pričom 13210 =+++ pppp . Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 334 )()( pxFxF =−02 Definičný obor funkcie F je interval >< 3;0 03 ( ) )()( 1320 xFxFxXxP −=≤<04 ( ) )( 00 xFxXP =≤05 ( ) 2120 ppxXxP +=≤<06 102 )( ppxF +=07 102 )( ppxF +=08 0)()( =−∞−∞ FF09 ( ) ( 33 1 xXPxF ≥−= )10 ( ) 2103 pppxF ++= 2.2. Diskrétna náhodná premenná Náhodná premenná X nadobúda hodnoty rovné počtu padnutých hláv pri dvoch hodoch mincou. Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 Funkcia F nadobúda hodnoty: 0 1;75,0;25,0;02 ( ) 1=XE03 Modus NPX 1=Mo 04 ( ) 5,0=XD05 je pravdepodobnosť, že padnú práve dve hlavy ( 1>XP )06 Centrálny moment prvého rádu ( ) 11 =Xµ 07 Začiatočný moment prvého rádu ( ) 01 =Xγ 08 ( ) 0>Xρ 09 ( ) RxxF ∈= 25,010 Stredná kvadratická odchýlka ( ) 2=Xσ 2.3. Diskrétna náhodná premenná Rozdelenie pravdepodobností náhodnej premennej X je dané tabuľkou

x 0 1 2 3 4 p(x) 0,01 0,2 0,3 0,4 0,09

Určte, ktorý z výrokov je pravdivý 01 Mo = 1 02 ( ) 36,2=XE03 ( ) 2,01 =F

9

04 ( ) ( ) ( )434 =+= XPFF 05 Rozdelenie pravdepodobností tejto náhodnej premennej je symetrické 06 ( ) 00 =F07 ( ) 9,031 =≤≤ XP08 ( ) 49,03 =≥XP09 ( ) (22 FXP =≥ )10 Definičný obor funkcie F je interval >< 4;0 2.4. Diskrétna náhodná premenná Náhodná premenná X nadobúda hodnoty 0 a 1 s odpovedajúcimi pravdepodobnosťami p0 a p1 , pričom p0 +p1 =1. Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 ( ) 1pXE =02 ( ) 1

2 pXE = 03 Ak p0 > p1 , tak Mo = p0 04 ( ) ( ) 15,05 pFF =−05 Funkcia F je spojitá

06 ( )

>≤<≤

=111000

0

xxpx

xF

07 F(0) = 1 08 ( ) ( ) 0101 ppFF −=−09 ( ) ( ) 0111 =≤−=> XPXP 10 ( ) 00 pXP =≤ 2.5. Diskrétna náhodná premenná Rozdelenie pravdepodobností náhodnej premennej X je dané tabuľkou

x 0 1 2 3 p(x) 0,1 0,3 0,4 0,2

Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 Mo = 0,4 02 ( ) 7,1=XE03 ( ) 3,01 =F04 ( ) 9,01 =≥XP05 ( ) 10 =>XP

06 ( )

>≤<≤<≤<≤

=

3 132 8,021 4,0

101,00 0

xxxxx

xF

07 Začiatočný moment druhého rádu ( ) 7,32 =Xγ

10

08 ( ) 27,17,3 −=Xσ

09 ( ) ( )∑=

=3

0x

txx xpetm

10 ( ) ( ) 223 pFF =− 2.6. Diskrétna náhodná premenná Funkcia F je distribučná funkcia NPX . Určte, ktorý z výrokov je pravdivý.

( )

>≤<≤<

≤<−

−≤

=

313275,0215,0

1131

10

xxx

x

x

xF

01 ( ) 01 =−=XP02 ( ) 25,02 ==XP03 Mo 3=04 ( ) 00 ==XP05 ( ) 25,01 =≤XP06 ( ) 5,021 =<<− XP07 ( ) 25,032 =<≤ XP

08 ( )321 =≥XP

09 ( ) 25,032 =≤< XP

10 ( )12521 =≤≤ XP

2.7. Diskrétna náhodná premenná Rozdelenie pravdepodobností diskrétnej náhodnej premennej X je dané funkciou

( )

≠

=−

=2,1,00

2,1,04

5

x

xxcxp

Určte, ktorý z výrokov je pravdivý.

01 31

=c

02 ( )1250 =F

03 ( ) 75.05,1 =F

04 ( )1241 =p

05 Mo 2=

11

06 ( ) 0<Xρ

07 ( )1210

1 =Xγ

08 ( ) ( ) (0220 FFXP −=<< )

09 ( )22

=Xσ

10 ( ) (212 FXP −=> )2.8. Diskrétna náhodná premenná Distribučná funkcia náhodnej premennej X je daná

( )

>≤<≤<≤<

≤

=

81867,063302,0

00

xxxcx

x

xF , pričom ( ) 4,06 =p .

Určte, ktorý z výrokov je pravdivý.

01 31

=c

02 ( ) 1,03 ==XP03 ( ) 5,2=XE04 Mo 8=05 ( ) 3,06 =F06 ( ) 86 FXP =≤ ( )07 ( ) 7,06 =≥XP08 ( ) 00 =p09 ( ) 7,01,6 =F10 ( ) 19 =p 2.9. Diskrétna náhodná premenná Náhodná premenná X nadobúda hodnoty rovné počtu zásahov pri troch nezávislých výstreloch na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu do cieľa pri jednom výstrele je 0,7. Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 Obor hodnôt NPX 3;2;1=H

02 ( )

>≤<≤<≤<≤

=

3132657,021216,010027,000

xxxxx

xF

03 Mo 441,0=04 ( ) 027,00 =p05 ( ) 0<Xρ

12

06 ( ) 216,05,1 =F08 ( ) 216,02 =≤XP

09 ( )313 =>XP

10 ( ) 657,03 =F 2.10. Spojitá náhodná premenná Nech funkcia f je funkciou hustoty pravdepodobnosti NPX

( )(((

>∈−>∈>∉

=2;121;02;00

xxxaxx

xf

Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 a 5,2=

02 ( )87

=XE

03 Koeficient asymetrie NPX ( )22

=Xρ

04 Mo = 1 05 Plocha ohraničená grafom funkcie f a osou x je rovná jednej

06 ( )

(

(

(

∈−+−

∈

∉

=

2;1122

1;02

2;00

2

2

xxx

xx

x

xF

07 Medián sa rovná jednej 08 0)6( =F09 ( ) 5,010 =≤< XP

10 ( )211 =≥XP

2.11. Spojitá náhodná premenná Nech funkcia f je funkciou hustoty pravdepodobnosti NPX

( )

∈

∉=

1;0

1;00

xkx

xxf

Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 k 3=

02 ( )32

=XE

03 ( ) 18/1=XD04 Začiatočný moment prvého rádu ( ) 21 =Xγ

13

05 Centrálny moment prvého rádu ( ) 11 =Xµ

06 ( )

∈

∉=

1;0

1;00

xk

xxF

07 Centrálny moment druhého rádu ( ) 18/12 =Xµ 08 ( ) 05,0 ==XP09 ( ) ( ) ( )25,075,075,025,0 FFXP −=<< 10 ( ) ( ) 001 =− FF2.12. Spojitá náhodná premenná Funkcia F je distribučná funkcia NPX. Určte, ktorý z výrokov je pravdivý.

( )

>≤<

≤

=212000

2

xxcxx

xF

01 c = 4

02 ( )(

(

∉

∈=

2;00

2;05,0

x

xxxf

03 Piaty decil 5,05,0 =x04 Pre piaty decil platí 25,0x ( ) 5,05,0 =xF 05 Dolný kvartil 125,0 =x 06 ( ) 0>Xρ 07 Mo 1=08 Pre horný kvartil platí 75,0x ( ) ( )075,075,0 FFx −=

09 Pre horný kvartil platí 75,0x ∫=75,0

075,0 d5,0

x

xxx

10 2=Me 2.13. Spojitá náhodná premenná Daná je funkcia hustoty pravdepodobnosti NPX

( )

−∉

−∈

=

2;

20

2;

2cos5,0

ππ

ππ

x

xxxf

Určte, ktorý z výrokov je pravdivý.

01 ( )

−∞=

>

44ππ FFXP

02 Graf distribučnej funkcie F je symetrický podľa priamky y = x 03 Mo = 1

04 2

cos21

22πππ

=

≤≤− XP

05 2/24

=

=

πXP

14

06 Definičným oborom distribučnej funkcie F je interval 2

;2

ππ−

07 ( ) ( )00 Ff =

08 ( )2

pre1 π>= xxF

09 Me = 0

10 ( ) ( )2

;2

pre 1sin21 ππ

−∈+= xxxF

2.14. Niektoré vlastnosti náhodnej premennej Nech (Ω,F,P) je pravdepodobnostný priestor X je náhodná premenná, definovaná na výberovom priestore Ω . Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 Reálnu funkciu F definovanú pre každé reálne číslo vzťahom ( ) ( xXPxF < )= nazývame distribučná funkcia NPX 02 Ak funkcia F je neklesajúca a zľava spojitá, tak F je distribučná funkcia NPX 03 Ak X je diskrétna náhodná premenná, tak nadobúda konečne, alebo spočitateľne veľa hodnôt 04 Ak X je spojitá náhodná premenná, tak ( ) 0== xXP pre každé reálne číslo x 05 Ak X je diskrétna náhodná premenná, tak ( ) 0== xXP pre každé reálne číslo x 06 Ak X je spojitá náhodná premenná, tak ( ) ( ) ( 1221 xFxFxXxP )−=≤≤ 07 Ak X je diskrétna náhodná premenná, tak ( ) ( ) ( 1221 xFxFxXxP )−=≤≤ 08 Funkcia f je kladná pre každé Rx∈ 09 Pre spojitú NPX platí: ( ) ( )xFxf ′= pre Rx∈∀ , v ktorom je funkcia f spojitá 10 Graf distribučnej funkcie F je vždy spojitá krivka 2.15. Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej Nech funkcia f je funkcia hustoty pravdepodobnosti a funkcia F je distribučná funkcia NPX. Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 0 ( ) 1≤≤ xF02 lim ( ) 0=

∞→xF

x

03 Definičný obor funkcie F je interval 1;0

04 Funkčné hodnoty funkcie F sú z intervalu 1;0

05 ( ) ( MeMe <= XPF )06 Obsah plochy ohraničenej grafom distribučnej funkcie F a osou x je rovný jednej 07 Pre každé platí Rx∈ ( ) ( )xFF ≥Mo 08 Ak graf funkcie f je symetrický podľa osi x , tak ( ) 0=Xρ 09 Disribučná funkcia NPX je spojitá funkcia 10 ( ) ( )xXPxF ≤= 2.16. Charakteristiky náhodnej premennej Nech (Ω,F,P) je pravdepodobnostný priestor, X je náhodná premenná definovaná na výberovom priestore Ω . Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 ( ) 5,0Me =F02 Stredná hodnota NPX je charakteristika rozptylu

15

03 ( ) ( ) 5,0MeMe =≥=< XPXP04 Modus je charakteristika rozptylu 05 ( ) ( )XXE 2µ= 06 ( ) ( )XX 2

2 σµ =

07 ( ) ( )XDX =σ 08 ( ) ( ) ( )22 XEXEXD −= 09 Disperzia sa dá vyjadriť pomocou začiatočných momentov 10 (X )ε je charakteristikou asymetrie rozdelenia NPX 2.17. Charakteristiky náhodnej premennej Nech (Ω,F,P) je pravdepodobnostný priestor, X je náhodná premenná definovaná na výberovom priestore Ω . Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 ( ) ( )XXD 1γ= 02 ( ) ( )XX 2µσ =

03 Ak NPX je diskrétna náhodná premenná, tak za predpokladu, že rad ( ) ( )∑∞

=

=1

3

iii xpxXE

je konvergentný 04 ( ) ( )( )[ ]k

k XEXEX −=µ 05 ( ) ( ) ( )XEXEX 22

2 −=µ 06 ( ) ( )XDX =2µ 07 ( ) 10 =Xγ 08 ( ) 01 =Xµ 09 ( ) ( ) ( )tmX k

xk =γ

10 ( ) (0′= xmXE ) 2.18. Niektoré vlastnosti náhodnej premennej Nech(Ω,F,P) je pravdepodobnostný priestor, X je náhodná premenná definovaná na výberovom priestore Ω . Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 NPX je zobrazenie množiny R do množiny R 02 Distribučná funkcia F náhodnej premennej X je definovaná vzťahom ( ) ( )xXPxF >=

( )

03 Ak NPX je spojitá, tak , za predpokladu, že integrál je konvergentný ( ) ( )∫∞

∞−

= xxfxX kk dγ

04 ( ) ( ) ( )0kxk mX =γ

05 ( ) 0== xXP06 Ak NPX je diskrétna, tak tak pre dve po sebe idúce hodnoty platí 21, xx ( ) ( ) 1221 xFxFxXxP −=<<07 Diskrétna NPX nadobúda vždy konečne veľa hodnôt

08 Ak NPX je spojitá, tak , za predpokladu, že integrál je konvergentný ( ) ( )∫∞

∞−

= xxfetm txx d

16

09 ( ) 0lim =−∞→

xFx

10 Ak NPX je diskrétna , tak ( ) 11

=∑∞

=iixp

2.19. Spojitá náhodná premenná Nech funkcia f je funkciou hustoty pravdepodobnosti NPX

( )

∉

∈=

bax

baxhxf

;0

;

Určte, ktorý z výrokov je pravdivý.

01 ab −

=1h

02 ( )2

baXE +=

03 ( ) baxabaxxF ; pre ∈

−−

=

04 ( ) bxxF >= pre 105 Me = E(X)

06 4

325,0

bax +=

07 ( )abahbXaP

−−

=≤≤

08 pre , latí cba << Rcba ∈,, p )()()( aFbFcXaP −=<≤

09 ( ) ( )12

2abXD −=

10 Ak a =2 a b = 4, tak h = 2 2.20. Spojitá náhodná premenná Nech f je funkcia hustoty pravdepodobnosti NPX . Určte, ktorý z výrokov je pravdivý.

( )

∉

∈+=

1;00

1;01 2

x

xx

axf

01 Funkcia f je funkciou hustoty pravdepodobnosti pre každé a R∈

02 ( )

>

≤<

≤

=

11

10arctg200

x

xx

x

xFπ

03 ( ) 12 =>XP

17

04 ( ) 02 ==XP05 ( ) ( ) (22 FFXP )−∞=> 06 ( ) ( ) 175,0 FFXP − ( )∞=> 07 ( ) (22 FXP =< )

)08 ( ) ( 25,025,0 fXP =<09 ( ) 0<Xρ

10

−=

<<

21arctg

43arctg

43

21 aXP

3.1. Binomické rozdelenie Majme sadu 32 karát. Náhodne z nej vyberieme päť karát (s vrátením). Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Pre NPX, popisujúcu rozdelenie počtu sedmičiek v danom výbere, platí: NPX ~ Bi(5;1/8) 02 Pre NPX, popisujúcu rozdelenie počtu sedmičiek a osmičiek v danom výbere platí: NPX ~ Bi(5;1/4) 03 NPX, popisujúca rozdelenie počtu karát rôznych od esa v danom výbere, má

pravdepodobnostnú funkciu 5

3228

55

)5(

⋅

=p

04 NPX, popisujúca rozdelenie počtu sedmičiek v danom výbere, nadobúda hodnoty 4,3,2,1,0=x05 Pre NPX1, popisujúcu rozdelenie počtu sedmičiek v danom výbere s pravdepodobnostnou funkciou a pre NPX)(1 xpX 2, popisujúcu rozdelenie počtu karát rôznych od sedmičky v

danom výbere s pravdepodobnostnou funkciou platí: )(2 xpX =)1(1Xp )4(2Xp06 Pre NPX1, popisujúcu rozdelenie počtu sedmičiek v danom výbere s pravdepodobnostnou funkciou a pre NPX)(1 xpX 2, popisujúcu rozdelenie počtu osmičiek v danom výbere s

pravdepodobnostnou funkciou platí :)(2 xpX =)1(1Xp )1(2Xp

07 Funkcia xx

xxp

−

⋅

⋅

=

5

3228

815

)( je pravdepodobnostná funkcia NPX ~ Bi(5;1/8)

08 Pravdepodobnosť, že vo výberu bude aspoň jedno eso, je 4

3228

81

15

)1(

⋅

⋅

=p

09 Pravdepodobnosť, že súčasne vyberieme päť karát, z toho dve sedmičky, sa rovná funkčnej hodnote pravdepodobnostnej funkcie NPX ~ Bi(5;1/8) pre 2=x10 Stredná hodnotu počtu sedmičiek v danom výbere je 1)( =XE 3.2. Binomické rozdelenie V zásielke šiestich výrobkov sú dva nekvalitné. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Pravdepodobnosť, že vo výbere 3 výrobkov s vrátením budú tri zlé je 0,2195 02 Pravdepodobnosť, že vo výbere 3 výrobkov bez vrátenia budú 3 zlé je 0,2195 03 Stredná hodnota počtu nekvalitných výrobkov vo výbere troch výrobkov s vrátením je 1

18

04 Stredná hodnota počtu kvalitných výrobkov vo výbere šiestich výrobkov bez vrátenia je 2 05 Disperzia počtu dobrých výrobkov vo výbere troch výrobkov s vrátením je 2/3 06 Disperzia počtu dobrých výrobkov vo výbere troch výrobkov bez vrátenia je 4/3 07 NPX ~ Hg(6;2;3) nadobúda hodnoty x=0,1,2 08 NPX ~ Bi(6;1/3) nadobúda hodnoty x=0,1,2,3,4 09 Stredá hodnota počtu dobrých výrobkov vo výbere šiestich výrobkov bez vrátenia sa rovná strednej hodnote počtu dobrých výrobkov vo výbere šietich s vrátením . 10 Pravdepodobnosť, že vo výbere 3 výrobkov s vrátením budú 2 alebo 3 zlé je 0, 2592592 3.3. Binomické rozdelenie Náhodna premenná X sa riadi binomickým rozdelením Bi(30; 0,1). Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 E(X)=3 02 Smerodajná odchýlka σ(X)=1,64 03 Rozdelenie je ľavostranne zošikmené 04 NPX sa môže aproximovať NPX1, ktorá sa riadi Hg(100;10;30) 05 parameter n=30 určuje počet opakovaných nezávislých pokusov 06 Pravdepodobnosť, že NPX nadobúda hodnotu 1 sa približne rovná 0,149361 07 P(X<2) sa približne rovná 0,245 08 Momentová vytvárajúca funkcia NPX má tvar 30)1,09,0()( t

X etm +=09 P(X=10) určujeme pomocou Integrálnej vety M-L 10 Aproximácia P(X<7) pomocou Integrálnej vety M-L sa rovná 0,99 3.4. Binomické rozdelenie Nech NPX sa riadi binomickým rozdelaním Bi(n;p). Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 NPX nadobúda práve spočitateľne veľa hodnôt 02 D(X) a disperzia príslušného hypergeometrického rozdelenia.sa rovnajú 03 Binomické rozdelenie je symetrické rozdelenie pre ( )1;0∈p 04 NPX korešponduje s opakovaným výberom s vrátením 05 Hg(N; K; n) sa dá aproximovať Bi(n; p), kde p=K/N 06 Bi(n; p) sa dá aproximovať Po(λ), kde parameter λ =np 07 Stredná hodnota E(X) je parameter rozdelenia

08 )(lim xxnpq

npXPn

Φ=

<

−∞→

09 Pre dostatočne veľké n sa dá P(X=x) určiť pomocou Lokálnej vety M-L

10 Pre n platí: P(X>x)30≥

−Φ≈

npqnpx

3.5. Hypergeometrické rozdelenie Náhodná premenná X sa riadi hypergeometrickým rozdelením Hg(1000;100;30). Určte,

19

ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 E(X)=3 02 D(X)=2,7 03 NPX je spojitá náhodná premenná 04 P(X=7) sa približne rovná 0,021604 05 Hg(1000;100;30) možno aproximovať binomickým rozdelením Bi(30;0,1) 06 NPX a NPX1, kde X1~Bi(30;0.1), majú rovnaké stredné hodnoty 07 D(X1) > D(X), kde NPX1~Bi(30;0,1) 08 Hypergeometrické rozdelenie popisuje opakované nezávislé pokusy 09 Rozdelenie Hg(1000;100;30) možno aproximovať Poissonovým rozdelením Po(3) 10 012,0)100( ==XP 3.6. Hypergeometrické rozdelenie Denná produkcia v dielni je 5000 výrobkov, z ktorých je priemerne 5% nepodarkov. Z celkovej dennej produkcie je na konrolu vybraných 60 výrobkov. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Pravdepodobnosť, že medzi vybranými budú 3 chybné sa približne rovná 0,224042 02 Pravdepodobnosť, že medzi vybranými budú aspoň dva chybné, sa približne rovná 0,80845 03 Ak NPX sa riadi počom dobrých výrobkov vo výbere, tak E(X)=57 04 Ak NPX sa riadi počtom nepodarkov vo výbere, tak E(X)=3 05 Ak NPX sa riadi počtom dobrých výrobkov v danom výbere, tak D(X)=2,8164 06 NPX, vyjadrujúca počet nepodarkov vo výbere, nadobúda hodnoty x=0,..,250 07 Ak X~Hg(5000;250;60), tak NPX sa riadi počtom dobrých výrobkov v danom výbere 08 Ak NPX sa riadi počtom dobrých výrobkov vo výbere, tak P(X<60)=0,9626 09 Ak X ~ Hg(5000;250;60) a X1 ~ Bi(60;1/20), tak E(X)=E(X1) 10 Ak NPX sa riadi počtom zlých výrobkov, tak P(X=0)=0,00215

)

3.7. Hypergeometrické rozdelenie Nech NPX sa riadi hypergeometrickým rozdelením Hg(N;K;n). Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Hypergeometrické rozdelenie korešponduje s opakovanými nezávislými pokusmi 02 E(X) a stredná hodnota NPX1, ktorá sa riadi Bi(n,K/N) sa rovnajú 03 NPX nadobúda konečne veľa hodnôt 04 Za určitých podmienok sa dá Hg(N;K;n) aproximovať Po(λ ), kde λ=n.K/N 05 Hypergeometrické rozdelenie sa používa na aproximáciu príslušného binomického rozdelenia. 06 NPX nadobúda vždy hodnoty x=0,1,2,...,n 07 Ak NPX1 sa riadi Bi(n;p), , tak D(X)<D(X( 1;0∈p 1) 08 P(X=x)=0 pre každé reálne číslo x 09 NPX popisuje počet padnutých šestiek pri opakovaných n hodoch kockou 13 Koeficient asymetrie nemusí byť kladný 3.8. Poissonovo rozdelenie NPX sa riadi Poissonovým rozdelením Po(λ), kde λ je parameter rozdelenia. Určte,

20

ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Parameter λ nadobúda hodnoty z intervalu (-c;c), kde c∈ +R 02 E(X)=D(X) 03 Koeficient špicatosti sa rovná 1/E(X) 04 Bi(n;p) sa dá aproximovať Po(λ), kde λ =npq 05 Koeficient asymetrie je vždy kladné číslo 06 NPX nadobúda práve konečný počet hodnôt 07 P(2<X<5)=F(5)-F(2) 08 NPX je spojitá nahodná premenná 09 E(X)=λ 10 Toto rozdelenie sa s rastúcim parametrom λ stáva súmernejšie 3.9. Poissonovo rozdelenie Telefónna ústredňa spojí počas hodiny priemerne 15 hovorov. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Pravdepodobnosť, že obsluha zapojí počas 4 minut práve tri hovory, je 0,0613 02 Pravdepodobnosť, že sa zapoja počas 4 minút aspoň 2 a maximálne 5 hovorov, je 0,2636 03 Pravdepodobnosť, že počas 4 minút nikto nevolal , je 0,368 04 Pravdepodobnosť, že počas 4 minút obsluha zapojí viac ako 3 hovory, je 0,2342 05 Pravdepodobnosť, že počas 2 minút nikto nevolal, je 0,607 06 Ak NPX ~ Po(1), NPX1 ~ Bi(15;0,15), tak E(X)=E(X1) 07 Ak NPX sa riadi počtom zapojených hovorov počas desiatich minút, tak D(X)=14/5 08 NPX, ktorá sa riadi počtom hovorov, má záporný koeficient asymetrie 09 Pravdepodobnosť, že počas 12 minút obsluha zapojí práve 15 hovorov, je 0,000001 10 Stredná hodnota hovorov zapojených počas 4 minút je 0,5 3.10. Negativne binomické rozdelenie Výtvarník vypaluje predmety z hliny, vyrobené na hrnčiarskom kruhu. Pravdepodobnosť, že vypálený predmet z hliny je bez kazu je 0,8 . Určte, ktorý z nasledujúcich výrobkov je pravdivý. 01 Výtvarník predmety vyrába tak dlho, pokiaľ nevyrobí kus bez kazu. Pravdepodobnosť, že sa mu to podarí v treťom pokuse, je 0,032 02 Predmety vyrába tak dlho, pokiaľ nevyrobí vadný kus. Pravdepodobnosť, že kazový kus vyrobí v treťom pokuse, je 3 2,08,08,0 ⋅⋅⋅ 03 Predmety vyrába tak dlho, pokiaľ nevyrobí päť kusov bez kazu. Pravdepodobnosť, že sa

mu to podarí v ôsmom pokuse, je

35 2,08,047

⋅

04 Po treťom chybnom výrobku končí s výrobou. Pravdepodobnosť, že s výrobou skončí

piatym pokusom, je 22 8,02,024

⋅

05 NPX~NBi(4; 0,8) popisuje počet vyrobených predmetov bez kazu pri štyroch opakovaných nezávislých pokusoch 06 NPX~NBi(4; 0,2) popisuje výrobu predmetov do štvrtého výrobku s kazom 07 Ak NPX~NBi(1; 0,2) a NPX1~Ge( 0,2), tak X =X1

21

08 NPX~NBi(5; 0,2) nadobúda hodnoty 5,,1,0=x 09 NPX~NBi(1; 0,2) nadobúda spočitateľne veľa hodnôt.

10 je funkčná hodnota pravdepodobnostnej funkcie negatívne =)3(p 73 8,02,039

⋅

binomického rozdelania NBi(7; 0,8) 3.11. Binomické a negativne binomické rozdelenie Z množiny desiatich žiaroviek, z ktorých sú tri chybné, náhodne žiarovky vyberáme (s vrátením). Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Pravdepodobnosť, že zo šiestich pokusov vyberieme dobrú žiarovku práve raz je 0,010206 02 Pravdepodobnosť, že zo šiestich pokusov vyberieme dobrú žiarovku práve raz a to v treťom pokuse je 0,001701 03 Žiarovky vyberáme tak dlho, pokiaľ nevyberieme prvú dobrú. Pravdepodobnosť, že tento jav nastane v šiestom pokuse je 0,021265 04 Pravdepodobnosť, že zo šiestich pokusov vyberieme práve tri dobré je 0,18522 05 Pravdepodobnosť, že zo šiestich pokusov vyberieme práve tri dobré a to v druhom , štvrtom a šiestom pokuse je 0,00926 06 Žiarovky vyberáme tak dlho, pokiaľ nevyberieme tri dobré. Pravdepodobnosť, že tento jav nastane v šiestom pokuse je 0,0926 07 Pravdepodobnosť, že z piatich pokusov vyberieme dvakrát dobrú sa rovná pravdepodobnosti, že z piatich pokusov vytiahneme trikrát vadnú. 08 Žiarovky vyberáme tak dlho, pokiaľ nevyberieme tri dobré. Pravdepodobnosť, že tento jav nastane v šiestom pokuse sa rovná pravdepodobnosti, že zo šiestich pokusov vyberieme práve tri dobré 09 Pre NP X~ )B s pravdepodobnostnou funkciou , NP Z~NBi ( 3,0;6(i )(1 xp )3,0;4 s pravdepodobnostnou funkciou platí :)(2 xp =)4(1p )2(2p

10 Ak Xi sú nezávislé NP, Xi~Ge(0,3), i=1,2,...,6 a X~ B , tak)3,0;6(i 621 ... XXXX +++= 3.12. Binomické , negativne binomické a hypergeometrické rozdelenie Z množiny desiatich žiaroviek, z ktorých sú tri chybné, náhodne žiarovky vyberáme. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Ak NP X~ ) , tak nadobúda hodnoty 4;7;10(Hg 4,...,1,0=x

02 Ak NP X~ )107;4(Bi , tak nadobúda hodnoty 4,...,1,0=x

03 Ak NP X~ ) , tak nadobúda hodnoty 4;3;10(Hg 4,...,1,0=x 04 Ak NP X~ ) , tak nadobúda hodnoty 10;7;10(Hg 10,9,8,7=x 05 Ak NP X~ ) , tak nadobúda hodnoty 8;7;10(Hg 7,6,5=x

06 Ak NP X~ )107;8(NBi , tak nadobúda hodnoty ,...1,0=x ,8

22

07 NP X~ )Hg( popisuje rozdelenie počtu dobrých žiaroviek vo výbere 6;7;10 šiestich žiaroviek bez vrátenia 08 NP X~ )Bi popisuje rozdelenie počtu chybných žiaroviek vo výbere 3,0;6( šiestich žiaroviek s vrátením

09 NP X~N )103;4(Bi popisuje rozdelenie počtu chybných žiaroviek vo výbere s vrátením,

ktorý končí štvrtou vybranou chybnou žiarovkou 10 Ak NP X1~ a NP X10)7;Hg(10; 2~ , tak funkčná hodnota )10;3;10(Hg pravdepodobnostnej funkcie , NPX)3(1p 1 sa rovná funkčnej hodnote pravdepodobnostnej funkcie , NPX)7(2p 2 3.13. Rovnomerné rozdelenie Čas čakania na uskutočnenie telefonického spojenia nie je dlhší ako 2minúty. Spojenie je v každom okamihu rovnako možné. NPX- čas čakania na spojenie. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 NPX je diskrétna náhodná premenná

02 Pre funkciu hustoty platí 2;0 pre 21)( ∈= xxf resp. 120;0 pre

1201)( ∈= xxf

03 2;05.0)( ∈= xxf , 2;00)( ∉= xxf 04 Pravdepodobnosť, že účastník čaká práve jednu minútu na spojenie, je 0,5 05 Pravdepodobnosť, že účastník čaká na spojenie menej ako minútu, je 0,5 06 RxxxF ∈= 225.0)( 07 Pravdepodobnosť, že účastník čaká na spojenie viac ako 20 sekúnd, je 5/6 08 E(X)=1 min 09 Smerodajná odchýlka σ(X)=0,577 10 NPX sa riadi Poissonovým rozdelením Po(1) 3.14. Normálne rozdelenie NPX sa riadi normálnym rozdelením N(0; 4). Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Krivka hustoty NPX je symetrická vzhľadom na os y-ovú 02 ,38301( =>XP 03 P(X=5)=0.276323

04

Φ=

2)( xxF pre každé x ∈ R

05 f(3)=0,5 ϕ )5,1(06 f(-3)=0,5 ϕ )5,1(07 F(-3)=Φ(3/2) 08 Me=1,3828 09 Graf hustoty NPX je vyšší v porovnaní s grafom hustoty NPY~N(0,1) 10 p% kvantil pre p=0,2 je hodnota 684,1=px 3.15. Normálne rozdelenie NPX sa riadi normálnym rozdelením N(2;9). Určte, ktorý z výrokov je pravdivý

01 Funkcia hustoty má tvar Rxexfx

∈π

=

−

−2

32

21

231)(

02 3)( =XE

23

03 2420,0)1( ==XP

04

−

Φ=≤3

2231)2(XP

05 5,0)2( =≥XP06 629,0)1( =≥XP07 7218,0)99( =≤≤− XP08 )1()2()21( Φ−Φ=≤≤− XP 09 76,26,0 =x10 241,14,0 =x3.16. Normálne rozdelenie NPX sa riadi normálnym rozdelením N(m;σ2). Určte, ktorý z výrokov je pravdivý. 01 E(X) nie je parameter rozdelenia 02 Koeficient asymetrie sa dá určit pomocou momentovej vytvárajúcej funkcie 03 Laplaceova funkcia je distribučná funkcia NPU~(0; 1) 04 )1()1(1( −<+>=> XPXPXP 05 )()()( 1221 xfxfxXxP −=<<06 Normálne rozdelenie je limitným rozdelením práve pre binomické rozdelenie 07 Y~N(0; 1) nadobúda takmer všetky hodnoty z intervalu 3;3− 08 Koeficienty asymetrie a špicatosti normovaného normálneho rozdelenia.sa rovnajú nule

09 NPU normuje NPX, ak 2σ−

=mXU

10 Ak X~N(m; σ2) a U~N(0;1), tak E(X)=E(U) 3.17. Normálne rozdelenie Nech NPX sa riadi normalným rozdelením N(m; σ2), NPU sa riadi N(0;1). Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Graf funkcie hustoty f(x) NPX je symetrický vzhľadom na os y-ovú 02 Funkcia hustoty ϕ (x) NPU je funkcia párna 03 Pre NPX platí: E(X)=Me=Mo=m 04 5,0)0( =≥UP05 0)( =mF06 Pre u<0 plati ϕ (-u)= ϕ(u) 07 Pre u<0 platí Φ (-u)= Φ (u)

08

σ−

φ=mxxF )( pre každé x ∈ R

09 Pre každé x , v ktorom je f spojitá platí

σ−

ϕσ

=mxxf 1)(

10 Pre 100p% kvantil NPX platí pre každé p ∈ (0;0,5) : mux pp +−σ= − )( 1 3.18. Exponenciálne rozdelenie Pravdepodobnosť obslúženia v čase kratšom ako 4minúty je 0,2592. Predpokladajme, že čas obsluhy má exponenciálne rozdelenie s A=1min. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý.

24

01 Graf hustoty NPX, ktorá sleduje čas obsluhy, je klesajúca krivka 02 Graf hustoty NPX, ktorá sleduje čas obsluhy závisí od parametra A 03 E(X)=A=1 04 11pre 0)( ≤= xxF 05 Parameter rozdelenia δ=10 06 Pre NPX, ktorá sleduje čas obsluhy je P(X<11)=0,631 07 NPX, ktorá sleduje čas obsluhy sa riadi exponenciálnym rozdelením E(11;10) 08 Pre NPX, ktorá sleduje čas obsluhy je P(6<X<11)=0,454 09 Pre NPX, ktorá sleduje čas obsluhy je P(X>1)=1 10 Pre NPX, ktorá sleduje čas obsluhy je medián Me=1-10ln0,5 3.19. Rozdelenia niektorých spojitých náhodných premenných. Nech NPX je spojitá náhodná premenná. Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý. 01 Ak X ~ N(0; 9), tak E(X)=3 02 Ak X~N(-3;4), tak graf hustoty je symetrický vzhľadom na priamku x=3 03 Ak X ~ E(1;10), tak P(X<21)=0.864 04 Ak X ~ E(1;10), tak E(X)=1 05 Ak X ~ E(1;10),tak D(X)=10 06 Ak X ~ N(0; 9), tak P(X<x)=0.6 pre 76,0=x 07 Ak X ~ N(2;9),tak E(2X+4)=8 08 Ak X ~ N(2;9), tak D(2X+4)=12 09 Ak X ~ χ2 (30), tak p% kvantil pre p=0,6 je hodnota xp=47 10 Ak X ~ chí-kvadrát(60), tak p% kvantil pre p=0,6 je hodnota xp=31,47 3.20. Normálne rozdelenie NPX sa riadi normálnym rozdelením N(3;4). Určte, ktorý z nasledujúcich výrokov je pravdivý 01

−

Φ=≤2

32)2( XP

02

−

Φ=<2

32)2( XP

03 0,8413 =≥ )1(XP

04

−

Φ−

−

Φ=≤≤2

312

32)21( XP

05 1499,0)21( =≤< XP06 =≥ )1( XP 1 )1()1( −+− FF07 9973,0)93( =≤≤− XP08 pre hodnotu7,0)( =≤ xXP 3524,02 +⋅=x

09 Ak 2,02

3=

−

Φx , tak 31676,1=x

10 2,02

3<

−x

Φ , tak 31676,1<x

25

Výsledky Kódy správnych a nesprávnych odpovedí 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 01n 01s 01n 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01n 01n 01n 01s 01s 01s 02n 02n 02s 02n 02s 02s 02s 02s 02n 02s 02s 02s 02n 02n 02s 03s 03s 03n 03s 03s 03n 03n 03n 03n 03s 03s 03n 03s 03n 03n 04s 04n 04s 04s 04n 04s 04n 04s 04s 04n 04s 04s 04n 04s 04s 05n 05s 05n 05s 05s 05s 05s 05n 05s 05n 05n 05s 05n 05s 05s 06n 06n 06s 06s 06n 06s 06s 06n 06s 06n 06s 06s 06n 06s 06s 07s 07s 07s 07s 07s 07n 07n 07n 07s 07s 07s 07s 07n 07s 07s 08n 08n 08n 08s 08s 08s 08s 08s 08n 08s 08s 08n 08s 08s 08s 09s 09s 09s 09s 09n 09s 09n 09s 09n 09n 09s 09s 09s 09n 09n 10s 10s 10n 10s 10s 10s 10n 10n 10s 10s 10s 10s 10s 10n 10n 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 01n 01n 01n 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 02n 02s 02n 02s 02n 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 03n 03s 03n 03n 03n 03s 03s 03s 03s 03s 03s 03s 03s 03s 03s 04s 04n 04n 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 05s 05n 05s 05n 05n 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 06s 06s 06s 06n 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 07n 07n 07s 07s 07n 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 08s 08s 08n 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 09s 09s 09s 09n 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09s 10s 10s 10s 10n 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01s 01n 01s 01n 01s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02s 02n 02s 02n 02n 03s 03s 03s 03s 03s 03s 03s 03s 03s 03s 03n 03s 03s 03n 03n 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04s 04n 04n 04n 04s 04s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 05s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06s 06n 06s 06s 06s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 07s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08s 08n 08n 08s 08s 08n 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09s 09n 09s 09n 09s 09s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10s 10n 10n 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. 01s 01n 01n 01s 01s 01s 01s 01n 01s 01s 01n 01n 01s 01n 01s

26

02s 02s 02s 02s 02n 02s 02s 02s 02n 02n 02s 02s 02s 02n 02s 03s 03s 03s 03s 03s 03n 03s 03s 03n 03n 03s 03s 03n 03s 03s 04s 04s 04n 04n 04n 04s 04s 04n 04s 04n 04s 04s 04n 04n 04s 05s 05n 05s 05s 05n 05s 05s 05s 05s 05s 05n 05n 05s 05n 05s 06n 06n 06n 06n 06s 06s 06s 06n 06s 06s 06n 06s 06s 06s 06s 07n 07s 07n 07n 07s 07s 07s 07s 07n 07n 07s 07n 07n 07s 07s 08n 08n 08n 08n 08n 08n 08s 08s 08n 08n 08s 08s 08n 08n 08s 09s 09n 09s 09s 09s 09n 09s 09s 09n 09s 09n 09s 09s 09s 09s 10n 10s 10s 10n 10s 10s 10s 10n 10n 10s 10n 10s 10s 10s 10s Výsledky úloh označených kódom n

1.1. 1. 81 ; 2. 38

1 ; 5. 4C(4,3)/C(32,3); 6. 51221 ; 8. (C(4,2)C(28,1)+C(4,3))/C(32,3).

1.2. 2. Jav B-padnú tri znaky, ,BA ≡ =)(BP81 ; 4.

87 ; 6. A-padnú dve hlavy na troch

minciach je totožný s javom, že na troch minciach padne práve jeden znak,; 8. 21 .

1.3. 1. 1 C(28,6) ; 3. 12 ; 5. 0,327; 8. C(16,2)C(12,4)/C(28,6); /)5,27(C− )6,28(/)5,16( CC 10. (C(12,1)C(16,5)+C(16,6))/C(28,6).

1.4. 2.251

1.5. 4. 0; 6. 0; 9 . 0 . 1.6. 3. ≠∩∩− )()( BABA ∅; 7. IBABAAB ⊂∩∪−∪− )()()( 1.7. 3. F=∅, ;4. Napr. Ω∪∪ ,, 4321 EEEE FI ∉ ; 7. Napr. FE ∉4 ; 9. Napr. FEEE 421 ∉∪∪ . 1.8. 3. Konečného počtu ; 5. Ω⊂A ; 6. Nie je postačujúca podmienka ; 7. ∅ IA⊂⊂ ; 10. =∩ BA ∅. 1.9. 2. ; 3.)()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ )()( BABAB ∩∪∩= ; 9. =∩ AA ∅. 1.10. 1. 0,2 ; 4. 0,3; 5. že nenastane žiadny z daných javov, alebo nastanú oba súčasne ; 6. 0,3 ; 9. P - javy sú nezávislé 5,0)A(P)B/A( ==1.11. 1. 0,15 ; 5. )()()()( ZMPZPMPZMP ∩−+=∪ , pretože javy M,Z nie sú

disjunktné

1.12. 1. 4,0)/(1)/( =−= DCHPDCHP ; 3. 7,0)/( =CHDP ; 8.1512)( =∪CHDP .

1.13. 2.201 ; 4.

41 ; 5. 35

1 ; 6. ∅; 7. 201

1.14. 2. 31 ; 3.

201 ; 9.

65 ; 10.

61

1.15. 3. )/()()/()()( 2211 HCPHPHCPHPCP ⋅+⋅= ; 9. 31)/(,0)/( 22 == MHPCHP ;

10. 53

1.16. 1. ; 2.9,0)()/( == BPABP ≠∩⇒=⋅=∩ BABPAPBAP 09,0)()()( ∅; 3. )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ ; 7. 09,0)( =∩ BAP 1.17. 2. )()()(1)( 321321 APAPAPAAAP ⋅⋅−=∪∪ ;4. Platí iba pre disjunktné javy; 5. 0,5;

27

7. )()()()( 321321 APAPAPAAAP ⋅⋅=∪∪ )()()( 321 APAPAP ⋅⋅+ + )()()( 321 APAPAP ⋅⋅+ + +∩ )( 21 AAP +∩ )( 23 AAP )( 31 AAP ∩ -

)()()(2 321 APAPAP ⋅⋅−

83

81

81

361

365

65

61

⋅⋅⋅216125 !3)3,6(

3

⋅⋅ C

81

( ) 1=∞−F

0 ( )

=xF

( ) ( )34 =< FX

( ) =0F

9,0

) 5,01 =≤

( ) ( )611 =− F

( )20 XP <<

( ) 2,00 =p) 657,0= P

( )

−

−=

12

2

0

2

2

x

x

xF

1.18. 1. 0,5 ;2. 0,5 ; 3. 0,5 ; 4. 0,25 ; 8. 0,5 .

1.19. 2. ; 5. ; 6. ; 9. 0 ; 10. .

1.20. 2. ; 3. ; 5. 61

64

65

=⋅⋅1 ; 7. ; 8.

2161

2.1. 2. R ; 4. ( ) ( 10 xFxXP = )≤ ; 8. ( )−∞F ;

2.2. 6. ( ) 01 =Xµ ; 7. ( ) 11 =Xγ ; 8. ( ) =Xρ ; 9.

>

≤<

≤<

≤

21

2143

1041

00

x

x

x

x

;

10. ( ) ( )22

== XDXσ .

2.3. 1. Mo ; 3. ; 4. 3= ( ) 01,03 =F ( ) ( )34 =+= XPPF ; 5. Nie je. 9. ( ) ( ) ( )21212 FXPXP −=<−=≥ ; 10. Definičný obor funkcie F je R . 2.4. 3. Mo ; 5. Funkcia F je zľava spojitá; 7. 0= ( ) =< 0XP P(∅) = 0;

8. ( ) ( ) 001 pFF =− . 2.5. 1. ; 3. ; 5. 2=Mo ( ) 1,01 =F ( )0 =>XP ;

2.6. 1. ( )311 =−=XP ; 3. ; 5. 1−=Mo (XP ;

6. ( ) ( ) 22121 =<≤=<<− FXPXP .

2.7. 2. ; 5. Mo ; 6. ( ) 00 =F 0= ( ) 0>Xρ ; 8. ( ) ( ) ( )1221 FFXP −=<≤= ; 10. ( ) ( ) ( )21212 FXPXP −=<−=≥ .

2.8. 1. =c ; 3. ; 4. 3,0 ( ) 1,5=XE 6=Mo ; 8. ; 10. ( ) 09 =p . 2.9. ; 3. Mo ; 8. 3;2;1;0=H 2= ( 2≤XP ; 9. ( ) 03 =>X .

2.10. 1. a = 1; 2. ( ) 1=XE ; 3. ( ) 0=Xρ ; 6.

>

≤<−+

≤<

≤

2

2112

10

0

x

xx

x

x

8. 1)6()6( =<= XPF ;

28

2.11. 1. ; 4. 2=k ( )32

1 =Xγ ; 5. ( ) 01 =Xµ ; 6. ; 10. ( )

>≤<

≤

=111000

2

xxxx

xF ( ) ( ) 101 =− FF .

2.12. 1. c ; 3. 25,0= 25,0 =x ; 6. ( ) 0<Xρ ; 8. ( ) ( )075,075,0 FxFx −= . 2.13. 2. Nie je symetrický podľa priamky xy = , pretože ( ) ( ) 1 a 0 =∞=∞− FF ; 3.

; 4.0=Mo 122

=

≤≤−

ππ XP ; 5. Pre :Rx∈∀ ( ) 0== xXP ; 6. R. =)(FD

2.14. 2. Naviac musí platiť 0)(lim =−∞→

xFx

a 1)(lim =∞→

xFx

. Potom existuje výberový

priestore (Ω,F,P) a na ňom NPX s distribučnou funkciou F; 5. ; 7. ( ) ( ) 00 =⇔== xpxXP ( ) ( ) ( ) ( 133121 xFxFxXxPxXxP −= )<≤=≤≤ ; 8. funkcia f je nezáporná na R; 10. Ak X je diskrétna náhodná pramenná, tak funkcia F je zľava spojitá. 2.15. 2. ; 3. Definičný obor funkcie F je R ; 6. Obsah plochy ohraničenej ( ) 1lim =

∞→xF

x

grafom funkcie hustoty pravdepodobnosti f a osou x je rovný jednej; 7. Pre každé platí Rx∈ ( ) (xfMof ≥ ) ; 8. Ak ( ) 0=Xρ , tak graf funkcie f je symetrický podľa

priamky )(XEx =2.16. 2. je charakteristika polohy ; 4. Modus je charakteristika polohy; ( )XE 5. ( ) ( )XXE 1γ= ; 8. ( ) ( ) ( )XEXEXD 22 −= ; 10. ( )Xε je charakteristika špicatosti rozdelenia náhodnej premennej X .

2.17. 1. ( ) ( )XXD 2µ= ; 3. ; 6. ( ) (∑∞

=

=1

33

iii xpxXE ) ( ) ( )XDX =2µ ; 9. ( ) ( ) ( )0k

xk mX =γ .

2.18. 1. NPX je zobrazenie množiny Ω na množinu R ; 2. ( ) ( xXPxF <= ) ; 5. Pre diskrétnu NPX je ( ) 0== xXP práve vtedy, keď ( ) 0=xp ; 6. Pre diskrétnu NPX

; 7. NPX nadobúda konečne veľa, alebo spočitateľne veľa hodnôt. ( 021 =<< xXxP )2.19. 7. ; 8. Modus neexistuje ; 10. ( 1=≤≤ bXaP ) 5,0=h .

2.20. 1.π2

=a ; 3. ( ) ( ) ( ) ( )2121212 FXPXPXP −=<−=≤−=> ;

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 75,075,0175,0175,0175,0 FFFXPXPXP −∞ )=−=<−=≤−=> ; 8. ( ) ( 25,025,0 FXP )=< ; 9. ( ) 0=ρ X .

−

3.1. 3.xx

xxp

⋅

⋅

=

5

324

32285

)( , je jej funkčná hodnota; 4. x=0,1,2,...,5; )5(p

8. )0(1)5()2()1( pppp −=+++ ; 9. Súčasne vybrať päť karát je to isté, ako vybrať päť karát postupne bez vrátenia; 10. =)(XD 5/8. 3.2. 1. 0,037037; 2. ∅)=0; 4.(P 4)( =XE ; 6. 0,4 ; 9. x=0,1,2,...,6. 3.3. 4. Naopak, NPX môže aproximovať NPX1; 9. Treba použiť lokálnu vetu LM-L; 3.4. 1. NPX nadobúda hodnoty x=0,1,2,...,n; 2. NPX ~ Bi(n; p), NPX1 ~Hg(N;K;n),

; 3. Práve pre )()(/ 1XDXDNKp >⇒= 5,0=p ; 10

−Φ−≈≥

npqnpxxXP 1)( .

3.5. 2. 432,211000

10010007,2)( =−−

=XD ; 3. DNPX nadobúda hodnoty x=0,1,2,...,30 ;

8. Opakované závislé; 10. NPX nadobúda hodnoty x=0,1,2,...,30, preto

29

0)100( ==XP .

3.6. 6. x=0,..., min(60;250); 7.5000250

=p , t.z. rozdelenie nepodarkov;

8. P(X<60)=0.9826, ak NPX sa riadi počtom dobrých výrobkov v danom výbere; 9.D(X)<D(X1); 10. P(X=0)=0.046069. 3.7. 1. Hypergeometrické rozdelenie popisuje opakované závislé pokusy, výber

bez vrátenia. 5. Binomické rozdelenie aproximuje za určitých podmienok hypergeometrické; 6. );min(,),;0max( KnNKnx −+= ;7. Iba v prípade,

žeNKp = ; 8. pre0= min(,),;0max( NKnx)( = xXP ); Kn−+≠ ; 9. Hod kockou-

opakované nezávislé pokusy. 3.8. 1.λ ;4.λ ; 6. ; 7.0> np= ,2,1,0=x )3((5)5)3(5)X2( FFXPP −=<≤=<< ; 8.DNP 3.9. 4. 0.369; 6. NPX1 ~ Bi(15; 1/15), tak E(X)=E(X1); 7. D(X)=2,5; 8. Poissonovo rozdelenie má vždy kladný koeficient asymetrie; 10. E(X)=1.

3.10. 2. 0 ; 4. ; 5. Popisuje výrobu, ktorá končí štvrtým dobrým 2,08,08, ⋅⋅ 23 8,02,024

⋅⋅

vyrobeným výrobkom; 8. ,2,1,0=x

3.11. 3. 0,001701; 8.

; 9.≠⋅⋅⋅

⋅ 3,03,07,0

25 32 33 3,07,0

36

⋅⋅

=)4(1p

, ⋅⋅⋅

24 7,03,0

46

=)2(2p 3,07,03,014

142 23 ⋅⋅⋅

−−+ ⋅

3.12. 3. x ; 4. 3,2,1,0= 7=x ; 6. ,2,1,0=x

3.13. 1. spojitá; 4. ; 6.0)1( ==XP ,2;0 pre2

)( ∈= xxxF

2 pre 1)( ,0 pre 0)( >=<= xxFxxF ; 10. Ro(0;2). 3.14. 2. 0,62; 3. NPX je spojitá, 0)5( ==XP ; 7. =− )5(F )5.1(1 Φ− =0,067; 8. Me=0; 9. Pre NPX je 00σ=2, pre NPY σ=1; 10. 684,1−=px .

3.15. 2. E(X)=2; 3. ; 4.0)1( ==XP

−

Φ=≤3

22)2( XP ;7. 989,0)99( =≤≤− XP ; 8.

)3/1()0()1()2()21( −Φ−Φ=−=≤≤− FFXP 3.16. 1. E(X)=m; 5. )()()( 1221 xFxFxXxP −=<< ; 6. Normálne rozdelenie je vhodné na

aproximáciu niektorých diskrétnych aj spojitých rozdelení ;.9.σ−

=mXY ;

10. Pre m . 0=3.17. 1. Vzhľadom na priamku mx = ; 5. MeXEm == )( , 5,0)( =mF ; 7. Pre u<0 platí (u)= 1-Φ (-u) ; Φ3.18. 3. E(X)=11; 4. ;1,pre 0)( =≤= AAxxF 7. E(1,10); 8. P(6<X<11)=0.23846; 3.19. 1. E(X)=0; 2. Na priamku 3−=x ; 4. E(X)=11; 5. D(X)=100; 8. D(2X+4)=36.

30