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Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
19
2
2.1 OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIÓN
2.2 OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
OBJETIVO:
Optimizar funciones de dos y tres variables sin restricciones y con restricciones
Debe ser tentador y en ocasiones imprescindible para el hombre tratar de optimizar recursos, de querer obtener máximas ganancias o mínimas pérdidas. Matemáticamente existen maneras de dar solución a esta
problemática
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
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2.1 OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIÓN
2.1.1 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Es casi probable que usted haya tratado la optimización de funciones de una variable real empleando el criterio de la primera derivada, trataremos ahora de
realizar la optimización empleando el criterio de la segunda derivada para que resulte fácil su generalización para dos, tres o más variables.
2.1.1.1 Definición de Máximo y Mínimo
Sea f una función de una variable definida
en un intervalo baI , , y sea Ix 0. Entonces:
1. 0xf es un valor máximo de f en el
intervalo I , si Ixxfxf );(0. Es decir, f
toma el mayor valor en 0
x .
2. 0xf es un valor mínimo de f en el intervalo
I . si Ixxfxf );(0 . Es decir, f toma el menor
valor en 0
x .
3. 0xf es un valor extremo de f en el
intervalo I , si es un máximo o un mínimo.
2.1.1.2 Punto crítico estacionario
" 0x " es llamado punto crítico estacionario de
f si y sólo si 0´ 0 xf .
Lo anterior quiere decir que en el punto " 0x " de la gráfica de f se puede
trazar una recta tangente horizontal.
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2.1.1.3 Criterio de la segunda derivada para establecer extremos
Sea f una función dos veces derivable en un
intervalo I , y sea Ix 0 un punto crítico
estacionario de f . Entonces:
1. Si
0)( 0xf entonces 0xf es un valor
Mínimo de f .
2. Si
0)( 0xf entonces 0xf es un valor
Máximo de f .
Ejemplo
Determinar los extremos para 23 32)( xxxf
SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos.
1. Puntos críticos Estacionarios: valores de x para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos
analizamos la derivada xxxf 66)´( 2
Ahora
0)1(6
066
0)´(
2
xx
xx
xf
, entonces serían: 0x y 1x .
2. Bien, ahora nos corresponde clasificar a los puntos críticos, para lo cual:
612)´´( xxf
a) 066)0(12)0´´( f (pos itivo) por tanto aquí hay un M ÍNIMO.
b) 066)1(12)1´´( f (negativo) por tanto aquí hay un MÁXIMO.
Observe la gráfica:
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Las funciones que trataremos, en su mayoría, son derivables; por tanto las definiciones y criterios que se han mencionado bastan para lo que pretendemos
proponer. Criterios para otros tipos de puntos no se los considera en este texto.
2.1.2 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
2.1.2.1 Definición de Máximo y Mínimo
Sea f una función de dos variables definida en
una región 2R , y sea Ryx 00 , . Entonces:
1. 00 , yxf es un valor máximo de f en R , si
Ryxyxfyxf ,);,(, 00 2. 00 , yxf es un valor mínimo de f en R . si
Ryxyxfyxf ,);,(, 00 3. 00 , yxf es un valor extremo de f en R , si es
un máximo o un mínimo.
Note que esta definición es análoga a la que se dio para funciones de una
variable. Algo parecido ocurrirá en adelante.
2.1.2.2. Punto crítico estacionario
" 00
, yx " es llamado punto crítico estacionario
de f si y sólo si:
0,
0,
00
00
yxy
f
yxx
f
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
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2.1.2.3 Criterio de la segunda derivada para establecer extremos
Sea f una función dos veces diferenciable en
una región 2R , sea Ryx 00 , un punto
crítico estacionario de f .
Defínase la Matriz Hessiana de f en el punto
00 , yx como:
),(
),(
2
22
2
2
2
00
00
yxyyyx
xyxx
yx
ff
ff
y
f
xy
f
yx
f
x
f
H
.
Además defínanse las matrices:
00
00
,
2,1,
yxyyyx
xyxx
yxxx ff
ffHHfH
Entonces:
1. Si 0021 HH , entonces ),( 00 yxf es un
mínimo de f en la región R .
2. Si 0021 HH , entonces ),( 00 yxf es un
máximo de f en la región R .
3. Si 02H , entonces ),( 00 yxf es un punto de
silla de f en la región R .
4. Si 02H , no se puede concluir.
PREGUNTA: ¿Qué es un punto de silla? (Investíguelo)
Ejemplo 1
Hallar los extremos para 22),( yxyxf
SOLUCIÓN: PRIMERO se encuentran los puntos críticos, candidatos a ser extremos.
Las derivadas parciales para 22),( yxyxf son:
yy
f
xx
f
2
2
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El sistema
02
02
y
x da como resultado 00 x y 00 y
Por tanto tenemos en este caso un sólo punto crítico 0,0, 00 yx
SEGUNDO Clasifiquemos el punto crítico:
Las segundas derivadas parciales son:
0
2
2
yxxy
yy
xx
ff
f
f
La matriz Hessiana en este caso es:
20
02
)0,0(2
22
2
2
2
y
f
xy
f
yx
f
x
f
H
Ahora, como 021 H y 0420
022 H concluimos que en )0,0( hay un valor mínimo
para la función, que sería: 000)0,0( 22 Mínf
Ejemplo 2
Hallar los extremos para xyyxyxf 6),( 33
SOLUCIÓN: PRIMERO: Para hallar los puntos críticos, tenemos:
Las derivadas parciales son: xyf
yxf
y
x
63
632
2
Resolv iendo el sistema
063
0632
2
xy
yx tenemos:
En la segunda ecuación se obtiene 2
2yx y al reemplazarlo en la primera ecuación encontramos los
valores de 0y , es decir :
20
024
3
064
3
062
3
3
4
22
yy
yy
yy
yy
Luego; si 00 y entonces 02
02
0 x ; y ,
si 20 y entonces
22
22
0
x
Es decir, aquí tenemos dos puntos críticos 0,0 y 2,2 .
SEGUNDO: Clasificando los puntos críticos
Las segundas derivadas parciales son:
6
6
6
yxxy
yy
xx
ff
yf
xf
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La matriz Hessiana en este caso es:
y
x
y
f
xy
f
yx
f
x
f
H66
66
2
22
2
2
2
1. La matriz Hessiana para el punto )0,0( es:
06
60
)0(66
6)0(6H
Como 03606
602 H concluimos que )0,0( hay un punto de silla.
2. La matriz Hessiana para el punto )2,2( es:
126
612
)2(66
6)2(6H
Como 0121 H y 01236144126
6122 H entonces en )2,2( hay un valor
Mínimo para la función, y es: 8)2)(2(622)2,2( 33 MINf
Ejemplo 3
Un supermercado vende 2 tipos de cerveza. Una marca local que se obtiene a un costo de
30c cada lata y una marca nacional que se obtiene a un costo de 40c por lata. El tendero
calcula que si la de marca local se vende a ""x centavos por lata y la de marca nacional a
"" y centavos por lata, se venderán cada día aproximadamente yx 4570 latas de la
marca local y yx 7680 latas de la marca nacional. ¿Qué precio debería fijar el tendero a
cada marca para maximizar las utilidades?
SOLUCIÓN: Con la información proporcionada determinamos la función utilidad
5300240720105
)7680(40)4570(30
)7680(40)4570(30)7680()4570(
22
yyxxyxU
yxyyxxU
yxyxyxyyxxU
CIU
Las derivadas parciales para la función Utilidad son:
2401410
201010
yxU
yxU
y
x
Para los puntos críticos hacemos
0
0
y
x
U
U es decir
02401410
0201010
yx
yx
Despejamos x en la primera ecuación:
2
10
2010
102010
0201010
yx
yx
yx
yx
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Reemplazamos x en la segunda ecuación:
55
4
220
2204
0240142020
024014)2(10
y
y
y
yy
yy
Luego 532552 yx
Por tanto, tenemos un sólo punto crítico )55,53(P
La matriz Hessiana es
1410
1010
55,53yyyx
xyxx
UU
UUH
Como 010101 H y 0401001401410
10102
H entonces utilidades
máximas se producirán cuando 53x y 55y
Ejercicios Propuestos 2.1
1. Encuentre los ex tremos para:
a) 2596),( 23 yxxyyxyxf
b) 22 2),( yxyxf
c) )ln(4),( xyxyxf
2. Sea 1283
1),( 2233 yxyxyxf . Encuentre los puntos críticos y clasifíquelos en máx imos,
mínimos o punto de silla.
3. Encuentre los puntos críticos para la función )ln(2),( 222 xyyxyxf . Clasifíquelos en máximo o
mínimo relativo o punto de silla.
4. Una empresa planea introducir dos nuevos productos al mercado . Se calcula que si el primer producto se
valora en x cientos de dólares y el segundo producto en y cientos de dólares, aproximadamente
yx 5840 consumidores comprarán el primer producto y yx 7950 comprarán el segundo
producto. Si el costo de fabricación del primer producto es de $1000 por producto y el costo del segundo producto es $3000 por producto. ¿Qué precio debería fijar la empresa a los producto para generar la máxima utilidad posible?.
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2.1.3 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE TRES VARIABLES
2.1.3.1 Definición.
Sea f una función de tres variables definida
en una región 3R , y sea Rzyx 000 ,, .
Entonces:
1. 000 ,, zyxf es un valor máximo de f en R , si
Rzyxzyxfzyxf ,,);,,(,, 000
2. 000 ,, zyxf es un valor mínimo de f en R . si
Rzyxzyxfzyxf ,,);,,(,, 000
3. 000 ,, zyxf es un valor extremo de f en R , si
es un máximo o un mínimo.
2.1.3.2. Punto crítico estacionario
" 000
,, zyx " es llamado punto crítico
estacionario de f si y sólo si:
0,,
0,,
0,,
000
000
000
zyxz
f
zyxy
f
zyxx
f
2.1.3.3 Criterio de segunda derivada para extremos
Sea f una función dos veces diferenciable en
una región 3R , sea Rzyx 000 ,, un punto
crítico estacionario de f .
Sea
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000 ,, zyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
fff
fff
fff
H
la Matriz Hessiana de f en el punto 000 ,, zyx .
Defínanse las matrices:
000
000
000
,,
3
,,
2,,1 ,,
zyx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zyxyyyx
xyxxzyxxx
fff
fff
fff
HHff
ffHfH
Entonces:
1. Si 000 321 HHH , entonces
000 ,, zyxf es un mínimo de f en la región R .
2. Si 000 321 HHH , entonces
),,( 000 zyxf es un máximo de f en la región
R .
Ejemplo 1
Hallar los extremos para 242),,( 222 zxzyxyxzyxf SOLUCIÓN: PRIMERO determinamos los puntos críticos estacionarios.
Las derivadas parciales son:
zxz
f
yxy
f
zyxx
f
2
8
4
Resolv iendo el sistema simultáneo
02
08
04
zx
yx
zyx
tenemos:
Despejando " y " en la segunda ecuación resulta 8
xy .
Despejando " z " en la tercera ecuación resulta 2
xz .
Luego reemplazando " y " y " z " en la primera ecuación, encontramos " x ", es decir:
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29
0
02
1
8
14
028
4
x
x
xxx
Por lo tanto 08
0
8
xy y 0
2
0
2
xz
Hay un solo punto crítico )0,0,0(P
SEGUNDO: Clasificando el punto crítico.
La matriz Hessiana sería:
201
081
114
0,0,0zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
fff
fff
fff
H
De aquí tenemos:
201
081
114
81
144 321 HHHH
Calculando los determinantes tenemos:
054
201
081
114
03181
14044 321 HHHH
Por lo tanto, se concluye que en el punto )0,0,0(P se produce un mínimo, cuyo valor es:
2
200400020)0,0,0( 222
minf
f
Ejercicios Propuestos 2.2
1. Hallar los valores ex tremos de: 222 3),,( zyzyyxzxzyxf
2. Determine los valores de x , y , z (si es que existen) que maximicen o minimicen la función
xzyzyxzyxf 2),,( 222.
3. Los precios de tres productos están dados por
33
22
11
675
5105
463
QP
QP
QP
, y el costo total de la producción de los
productos está dado por 21520 QQC donde 321 QQQQ es la cantidad total demandada
de los productos. Determine los niv eles de demanda que hagan máx ima la utilidad.
4. Para los productos A , B y C de una empresa el costo está dada por
12222),,(322
ACBACBACBA ppppppppppC donde CBA ppp ,, son
los precios de los productos. Encuentre los precios que minimicen el costo.
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2.1.4 MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE
"n" VARIABLES
Sea la Función Objetivo ),,,,( 321 nxxxxfw , dos
veces diferenciable. Suponga que se obtiene el
punto crítico estacionario ),,,,( 0000 321 nxxxxP ,
resolviendo el sistema simultáneo
0
0
0
0
4
3
2
1
x
f
x
f
x
f
x
f
Sea:
),,,,( 0302010321
4342414
3332313
2322212
1312111
nnnnnn
n
n
n
n
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
ffff
ffff
ffff
ffff
ffff
H
La Matriz Hessiana para f
Defínanse las matrices:
111 xxfH ,
2212
21112
xxxx
xxxx
ff
ffH ,
332313
322212
312111
3
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
fff
fff
fff
H , HHn ,
Entonces:
1.- Si 0000 321 nHHHH , entonces en
),,,,( 0030201 nxxxx la función tiene un mínimo.
2.- Si 0)1(000 321 n
n HHHH ,
entonces
en ),,,,( 0030201 nxxxx la función tiene un máximo.
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
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2.2 OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Hasta aquí se ha determinado extremos de funciones objetivos sin que exista
condicionamiento para sus variables. Suponga que sea necesario restringir las variables a ciertas condiciones, entonces habrá que considerar otro aspecto que lo vamos a tratar a continuación.
2.2.1 CRITERIO PARA ESTABLECER EXTREMOS CON UNA RESTRICCION EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Suponga que se desea optimizar la función de dos
variables f , dos veces diferenciable, sujeta a la
restricción o ligadura ,),( kyxg donde k es una
constante.
Defínase la Función Langragiana
kyxgyxfyxL ),(),(),,(
donde es llamado Multiplicador de Lagrange.
Suponga que se obtiene el Punto crítico
estacionario ,, 00 yx resolviendo el sistema
0
0
0
y
x
L
L
L
,
o el sistema
kyxg
gf
gf
yy
xx
),(
Defínase el Hessiano Orlado, como la matriz:
,, 00
0
yxyyyxy
xyxxx
yx
yyyxy
xyxxx
yx
LLg
LLg
gg
LLL
LLL
LLL
H
Entonces:
1. Si 0H entonces en ),(00
yx la función f tiene
un Máximo.
2. Si 0H entonces en ),(00
yx la función f tiene
un Mínimo.
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
32
Ejemplo
Hallar los valores máximos y mínimos de xyyxf ),( , sujeto a que 822 yx
SOLUCIÓN:
En este caso 22),( yxyxg . Por tanto la función Langragiana sería:
8),(),(),,( 22 yxxykyxgyxfyxL
8),(0
20
20
22 yxkyxgL
yxgfL
xygfL
yyy
xxx
Despejando en las dos primeras ecuaciones, e igualando se obtiene:
xyxyy
x
x
y
y
x
x
y
22
22
2
2
Reemplazando en la tercera ecuación, resulta:
2
24
82
8
2
2
22
x
xx
x
yx
Por tanto:
2
22
2
22
y
yx
y
yx
Es decir, ex isten cuatros puntos críticos: )2,2( , )2,2( , )2,2( y )2,2( .
Hallemos el Hessiano Orlado
212
122
2200
y
x
yx
LLg
LLg
gg
H
yyyxy
xyxxx
yx
Y como y
x
2 , se tiene
yx
yx
y
x
yx
H
2
2
212
122
220
Ahora clasifiquemos los puntos críticos:
1.- Para )2,2( tenemos:
114
114
440
H
Entonces, como 064)8(4)8(4 H se dice que 4)2)(2()2,2( f es un
MÁXIMO.
2.- Para )2,2( tenemos:
114
114
440
H
Ahora, como 064)8(4)8(4 H se dice que 4)2)(2()2,2( f es un MÍNIMO.
3.- Para )2,2( se tiene:
114
114
440
H
Ahora, como 064)8(4)8(4 H se dice que 4)2)(2()2,2( f es un
MÍNIMO.
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
33
4.- Para )2,2( se tiene:
114
114
440
H
Entonces, como 064)8(4)8(4 H se dice que 4)2)(2()2,2( f es un
MÁXIMO.
Ejemplo 2
A un editor se le han asignado 000,60$ para invertir en el desarrollo y la promoción de un
nuevo libro. Se calcula que si se gastan ""x miles de dólares en desarrollo y "" y miles en
promoción se venderán aproximadamente yxyxf 23
20),( ejemplares del libro. ¿Cuánto
dinero debe asignar el editor a desarrollar y cuánto a promoción para maximizar las ventas?
SOLUCIÓN:
En este caso la Función objetivo sería yxyxf 23
20),( sujeta a la restricción 60 yx
La función Langragiana sería: )60(20),,( 23
yxyxyxL
Para obtener los puntos críticos, hacemos:
23
23
21
21
20020)1(0
3002
320)1(0
600
xxL
yxyxL
yxL
y
x
Igualando las dos últimas ecuaciones, resulta: xyxyx3
22030
23
21
Lo último lo reemplazamos en la primera ecuación y se obtiene:
36
1205
12023
603
2
x
x
xx
xx
Por tanto:
24
)36(3
2
y
y. Es decir, ex iste sólo un punto crítico: )24,36(
El Hessiano Orlado sería:
0301
30151
110
21
21
21
x
xyxH
Y para el punto )24,36( es:
01801
180601
110
H
Como el determinante es: 0300)120(1)180)(1( H , concluimos que el editor debe invertir
$36000 en desarrollo y $24000 en promoción para obtener las máximas ventas.
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
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Ejercicios Propuestos 2.3
1. Encuentre los ex tremos de la función xyyxf ),( sujeta a que 6 yx
2. Encuentre los ex tremos de la función 22),( yxyxf sujeta a que 24 yx
3. Dadas las ecuaciones de utilidad presupuestal de un consumidor
21
21
43100
23
qqU
. Determine los v alores
de 1q y 2q que maximizan la utilidad del consumidor.
4. La relación entre las v entas "S" y las cantidades "x " y "y" gastadas en dos medios de publicidad está dada
por y
y
x
xS
10
100
5
200 . La Utilidad neta es
5
1 de las ventas menos el gasto en publicidad. El
presupuesto para publicidad es de $25. Determine cómo debe asignarse este presupuesto entre los dos medios para maximizar la utilidad neta.
5. Una empresa de computadoras tiene un presupuesto mensual publicitario de $60,000. Su departamento de ventas estima que si se gastan " x " dólares cada mes en publicidad en periódicos y " y " dólares cada mes
en publicidad por telev isión, las ventas mensuales estarán dadas por 43
41
90 yxS dólares. Si la utilidad
es el 10% de las ventas menos el costo de la publicidad, determine cómo asignar el presupuesto publicitario para maximizar la utilidad mensual. Compruébelo utilizando el Hessiano Orlado.
6. Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P
unidades de su producto, en donde )(560),( 22 KLKLP . Los costos de la mano de obra y de
capital son de $200 y $100 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 4500 unidades. Halle el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con objeto de minimizar el costo total.
7. En un taller de mecánica se reparan 2 tipos de autos A y B . La función de trabajo conjunto está dado por:
xyyxyxf 22 2),( , donde x e y representa el números de autos por día del tipo A y B
reparados, respectiv amente. Para minimizar el trabajo, ¿cuántos autos de cada tipo deben repararse, si diariamente se puede reparar 8 autos?
8. Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos A y B . Obtiene una
utilidad de $4 por unidad de A y de $6 por unidad de B . Los números de unidades de los dos tipos que pueden producir mediante la planta están restringidos por la ecuación del transformación del producto:
044222 yxyx Con x y y los números de unidades (en miles de dólares) de A y B
respectiv amente, producidos por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar la utilidad.
9. Si una empresa gasta " x " miles de dólares en publicidad en la ciudad A , sus v entas potenciales (en miles
de dólares) en tal ciudad están dadas por 10
300
x
x. Si gasta " x " miles de dólares en la ciudad B , sus
ventas potenciales (en miles de dólares) en tal ciudad son 5.13
500
x
x. Si la utilidad es del 25% de las ventas
y la empresa dispone de una restricción del presupuesto de 16500 destinados a publicidad en las dos ciudades. ¿Cuánto deberá gastar en cada ciudad con objeto de max imizar la utilidad neta de la empresa? Utilice el Hessiano Orlado para verificar los resultados.
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
35
2.2.2 INTERPRETACIÓN DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
Suponga que M es el valor máximo (o mínimo) de ),( yxf sujeta a la
restricción kyxg ),( que usualmente significa disponibilidad o presupuesto. El
multiplicador de Lagrange "" es la razón de cambio de M con respecto a k ,
es decir: dk
dM . (Demuéstrelo)
El valor máximo o mínimo M es función de la disponibilidad k ( )(kfM ),
entonces:
)( kM
kdk
dMM
Si 1k entonces M . Es decir, es el cambio de M debido a un
incremento de 1 unidad en k .
Ejemplo 1
Si al editor del problema anterior se le asigna 200,60$ en lugar de 000,60$ para invertir en
el desarrollo y la promoción del nuevo libro. Calcular de qué manera afectará el nivel
máximo de ventas los 200$ adicionales. SOLUCIÓN:
En el ejemplo anterior teníamos la función objetivo yxyxf 23
20),( sujeta a que
k
yx
60 . Ahora
en lugar de $ 60 mil se dispone de $ 60.2 mil es decir que tenemos una variación de la disponibilidad k de $
0.2 mil; es decir 2,0k .
Del desarrollo del ejemplo anterior se tiene que yx 21
30 , por lo tanto 4320
)24(3630
Ahora, bien como kM entonces 864)2,0)(4320( MM unidades
Es decir que teniendo una disponibilidad adicional de $200 el editor verá incrementada sus ventas máximas en 864 unidades.
Ejemplo 2
Un consumidor tiene 600$ para gastar en 2 artículos, el primero de los cuales tiene un valor de
/20$ unidad y el segundo /30$ unidad. Si la utilidad obtenida por el consumidor de ""x unidades del
primer artículo y "" y unidades del segundo está dada por 4.06.010),( yxyxf .
a) ¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar su utilidad? SOLUCIÓN:
En este caso la función Objetivo es 4.06.010),( yxyxf sujeta a que 6003020 yx .
La función Langragiana es )6003020(10),,(
)),((),(),,(
4.06.0
yxyxyxL
kyxgyxfyxL
Obteniendo los puntos críticos tenemos:
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
36
xy
yx
yxyx
yxyx
yxyxL
yxyxL
yxyxL
y
x
9
4
4520
)3(152)10(
20
6
30
4
30
40304
20
60206
60326003020
4.04.06.06.0
4.04.06.06.0
6.06.06.06.0
4.04.04.04.0
Reemplazando en la primera ecuación (la Restricción), tenemos:
18
54030
5401218
609
122
609
432
x
x
xx
xx
xx
Y como xy9
4 entonces 8y .
Por lo tanto resulta el punto crítico )8,18( .
Para clasificar el punto crítico, calculamos el Hessiano Orlado:
6.16.06.04.0
6.04.04.04.1
)8,18(6.16.06.04.0
6.04.04.04.1
)8()18(4.2)8()18(4.230
)8()18(4.2)8()18(4.220
30200
4.24.230
4.24.220
30200
yxyx
yxyxH
Como 0H entonces el consumidor, para obtener las máximas utilidades, debe comprar 18 unidades del
primer artículo y 8 unidades del segundo artículo.
b) ¿De qué manera afectará a la utilidad máxima si el consumidor tiene 601$ para gastar en los
artículos en lugar de los 600$ ?
Ahora tenemos 1k . Por tanto:
22.0)21689.0(
30
)8()18(4
)1(30
4
6.06.0
6.06.0
M
M
yxM
kM
Las Utilidades máximas se incrementarán en $ 0.22.
Ejemplo 3
Un fabricante planea vender un nuevo producto a $350 la unidad y estima que si se invierten " x" miles de dólares en desarrollo y "y" miles en promoción, los consumidores comprarán
5
100
2
250
x
x
y
y unidades del producto, aproximadamente. Los costos de fabricación de este producto
son $150 por unidad. a) ¿Cuánto debería invertir el fabricante en desarrollo y cuánto en promoción para generar la máxima
utilidad posible, si dispone de fondos ilimitados? En este caso habrá que formar la Función Objetivo, que es la Utilidad:
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
37
yxx
x
y
yyxU
yxx
x
y
y
x
x
y
yU
InversiónCostosIngresosU
100010005
100
2
250200),(
100010005
100
2
250150
5
100
2
250350
El punto crítico, sin restricciones, será:
5
105
)5(100
)5(5500
5)5(
500
1000)5(
500200
01000)5(
100500100200
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
xU
x
xxU
x
x
y
8
102
)2(100
)2(5500
5)2(
500
01000)2(
250500250200
01000)2(
)2(150000
2
2
2
2
2
y
y
y
y
y
y
yyU
y
yyU
y
y
Compruebe que en el punto crítico )8,5( se produce un máximo (Hessiano).
Es decir que el fabricante debería invertir $5000 en desarrollo y $8000 en promoción del nuevo libro para obtener las máximas utilidades.
b) Si el fabricante sólo tiene $11,000 para invertir en el desarrollo y la promoción del nuevo producto. ¿Cómo debería distribuirse este dinero para generar la máxima utilidad posible?
Para este caso tenemos la misma Función Objetivo
yxx
x
y
yyxU 10001000
5
100
2
250200),(
pero ahora sujeta a la restricción de que 11 yx .
Trabajamos ahora con la función Langragiana
)11(100010005
100
2
250200),,(
yxyx
x
x
y
yyxL
Encontrando los puntos críticos, tenemos:
1000)2(
1000000
1000)5(
1000000
110
2
2
yL
xL
yxL
y
x
Igualando las dos últimas ecuaciones, resulta:
3
52
)5()2(
10000)2(
1000001000
)5(
100000
22
22
xy
xy
xy
yx
Reemplazando y en la restricción, tenemos:
4
82
1132
113
11
x
x
x
xx
yx
Entonces:
7
11
11
y
xy
yx
Compruebe que en el punto crítico )7,4( se produce un máximo. (Hessiano Orlado).
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
38
Por tanto, cuando sólo hay $11000 para inversión, habrá que dis tribuirlos de la siguiente manera para obtener las máximas utilidades: $4000 en desarrollo y $7000 en la promoción del nuevo libro. c) Si el fabricante decide invertir $12,000, en lugar de $11,000, en el desarrollo y la promoción del
nuevo producto, emplear el multiplicador de Lagrange para estimar ¿de qué manera afectará este cambio la máxima utilidad?
Ahora tenemos 1k , entonces:
57.234
)1(100081
100000
)(1000)5(
100000
)(
2
M
M
kx
M
kM
Es decir, si el fabricante decide invertir $1000 más en el desarrollo y la promoción, su utilidad Máxima se incrementará en $234.57
Ejercicios Propuestos 2.4
1. La función de producción para un cierto fabricante es yxyxyxf 24),(
a) Suponga que la máx ima inv ersión posible en trabajo y capital es de $2000 y que las unidades " x " de
trabajo y " y " de capital cuestan, respectivamente $20 y $4. Calcular el nivel de producción máx imo
para ese fabricante.
b) Estime en cuánto varía la producción máxima si se tuv iese para invertir $2100 en lugar de los $2000.
2. La función de producción de una empresa es 22 5.13800),( KLLKP , en donde L y K
representan el número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $250 y cada unidad de capital cuesta $50 y la empresa dispone de $6750 para gastar en producción.
a) Determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxima.
b) Determine el incremento en la producción máxima si la empresa destinara $6755 a la producción.
3. Cuando se inv ierten L unidades de trabajo y K unidades de capital, la producción Q de un fabricante está
dada por la función 54
51
5 KLQ , cada unidad de trabajo cuesta $11 y cada unidad de capital $33.
a) Si se v an a gastar exactamente $11880 en trabajo y capital, determine las unidades de trabajo y de capital que deben inv ertirse para maximizar la producción.
b) Si se pudiera gastar $12500 en vez de los $11880, estime en cuanto variará la producción máxima.
4. La función de producción de una empresa es 41
43
80, KLKLP , en donde L y K representan el
número de unidades de mano de obra y de capital utilizadas y P es el número de unidades elaboradas del producto. Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60 y cada unidad de capital cuesta $200 y la empresa dispone de $40,000 destinados a producción.
a) Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange determine el número de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear a fin de obtener una producción máxima.
b) Demuestre que cuando la mano de obra y el capital están en sus niveles máx imos, la razón de sus productividades marginales es igual a la razón de sus costos unitarios.
c) En este nivel máx imo de producción, determine el incremento en la producción si se dispone de $1
adicionales destinados a producción. Pruebe que es aprox imadamente igual al multiplicador de Lagrange.
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
39
2.2.3 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE 3 VARIABLES SUJETA A UNA RESTRICCIÓN
Suponga que se desea optimizar la función de tres
variable f , dos veces diferenciable, sujeta a la
restricción kzyxg ),,( .
Defínase la Función Langragiana
)),,(),,(),,,( kzyxgzyxfzyxL
Suponga que se obtiene el Punto Crítico ,,, 000 zyx
resolviendo el sistema
0
0
0
0
x
y
z
L
L
L
L
o el sistema
zz
yy
xx
gf
gf
gf
kyxg ),(
Defínase el Hessiano Orlado, como la matriz:
,,, 000
0
zyxzzzyzxz
yzyyyxy
xzxyxxx
zyx
LLLg
LLLg
LLLg
ggg
H
Sean
yyyxy
xyxxx
yx
LLg
LLg
gg
H
0
3 y HH 4
Entonces
1. Si 0043 HH entonces en ),,( 000 zyx la
función f tiene un Máximo.
2. Si 0043 HH entonces en ),,( 000 zyx la
función f tiene un Mínimo.
Ejemplo
Encuentre los extremos de zyxzyxf 953),,( sujeta a que 25xyz .
SOLUCIÓN:
La función Langragiana es: )25(53),,,( xyzzyxzyxL
Para el punto crítico obtenemos:
)(0)(90
)(0)(50
)(0)(30
250
zxyL
yxzL
xyzL
xyzL
z
y
x
Multipl icando por yx, y z respectivamente las tres últimas ecuaciones, y despejando, resulta:
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
40
zyx
xyzy
xyzz
xyzx
953
5
9
3
39
3
5
3
xz
xz
xy
Reemplazando en la restricción:
5
5
2535
3
33
x
x
xxx
De donde :
3
5
3
z
y
Por lo tanto hay un solo punto crítico: 35,3,5
Para este caso 5
332
y
y el Hessiano Orlado sería:
0315
301
105
1550
0
0
0
0
59
325
59
325
5
33
535
z
yx
xyxy
xzxz
yzyz
xyxzyz
H
De aquí tenemos:
01
105
50
325
325
3H
Los determinantes sería: 03
2503 H y 06754 HH
Por tanto en 3
5,3,5 la función tiene un mínimo.
Ejercicios Propuestos 2.5
1. Determine el v alor máximo o mínimo de la función 222 32),,( zyxzyxf si
49432 zyx . Emplee el Hessiano Orlado.
2. Determine el v alor máx imo o mínimo de la función zxyzyxzyxf 222 2),,( si
35 zyx . Emplee el Hessiano Orlado.
3. Determine el valor máximo de xyzzyxf ),,( si 6 zyx . Emplee el Hessiano Orlado.
4. Encuentre el mínimo para 222),,( zyxzyxf siempre que 1 zyx
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
41
2.2.4 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE n VARIABLES SUJETA A UNA RESTRICCIÓN
Para el caso de funciones de n variables tenemos:
Sea la Función Objetivo ),,,,( 321 nxxxxfw sujeta a
la restricción kxxxxg n ),,,,( 321 .
Defínase la Función Langragiana
kxxxxgxxxxfxxxxL nnn ),,,,(),,,,(),,,,,( 321321321
Suponga que se obtiene el Punto Crítico
),,,,,( 0030201 nxxxx resolviendo el sistema:
nnn xxx
xxx
xxx
xxx
gfL
gfL
gfL
gfL
kxxxgL
0
0
0
0
),,,,(0
333
222
111
321
Defínase el Hessiano Orlado, como la matriz:
),,,,,(321
2232221
1131211
0030201
2
1
3210
nn
n
xxxxnnnnnx
nx
nx
xxxx
LLLLg
LLLLg
LLLLg
gggg
H
Sea
2221
12113
2
1
210
LLg
LLg
gg
H
x
x
xx
,
333231
232221
1312114
3
2
1
3210
LLLg
LLLg
LLLg
ggg
H
x
x
x
xxx
,…, HH n
Entonces:
1. Si 0)1(000543
nn HHHH
entonces en ),,,,( 0030201 nxxxx la función tiene un
Máximo.
2. Si 0000543
nHHHH (todos
negativos) entonces en ),,,,( 0030201 nxxxx la función
tiene un Mínimo.
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
42
2.2.5 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE 3 VARIABLES
SUJETA A DOS RESTRICCIONES.
Suponga que se desea optimizar la Función
Objetivo ),,( zyxfw sujeta a que
2
1
),,(
),,(
kzyxh
kzyxg.
Defínase la función Langragiana:
21 ),,(),,(),,(),,,,( kzyxhkzyxgzyxfzyxL
Entonces el máximo o el mínimo de la función se
produce en el Punto Crítico ),,,,( 000 zyx que se
obtiene al resolver el sistema:
zzzz
yyyy
xxxx
hgfL
hgfL
hgfL
kzyxhL
kzyxgL
0
0
0
),,(0
),,(0
2
1
Ejemplo
Encuentre los puntos críticos de yzxyzyxf ),,( sujeta a que 822 yx y
8yz
SOLUCIÓN: En este caso la función Langragiana es:
)8()8(),,,,(
),,(),,(),,(),,,,(
22
21
yzyxyzxyzyxuL
kzyxhkzyxgzyxfzyxuL
Para los puntos críticos tenemos:
yy
zyzx
xy
yz
yx
hgfL
hgfL
hgfL
kzyxhL
kzyxgL
zzzz
yyyy
xxxx
0
2
02
8
8
0
0
0
),,(0
),,(022
2
1
De la última ecuación 1 .
De la penúltima ecuación
y
xyx
zyzx
22
12
De la antepenúltima ecuación: x
yxy
22
Igualando se obtiene 22
22
yx
x
y
y
x
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
43
Reemplazando en la primera ecuación:
2
82
8
8
2
22
22
x
x
xx
yx
Por tanto 22
22
yx
yx y como
yz
8 resultan los siguientes puntos críticos: )4,2,2( ,
)4,2,2( , )4,2,2( y )4,2,2(
Ejercicios Propuestos 2.6
1. Encuentre los puntos críticos de 22 2),,( zyxzyxf sujeta a que 02 yx y a que
0 zy .
2. Encuentre los puntos críticos de 222),,( zyxzyxf sujeta a que 1 zyx y a que
1 zyx .
3. Encuentre los puntos críticos de xyzzyxf ),,( sujeta a que 12 zyx y a que 0 zyx .
4. Encuentre los puntos críticos de 222),,( zyxzyxf sujeta a que 42 zx y a que
8 yx .
Misceláneos
1. Una lechería produce leche entera y leche descremada en cantidades x e y galones, respectiv amente.
Suponga que el precio de la leche entera es xxp 520)( , y el de la leche descremada es
yyq 24)( . Suponga que 42),( xyyxC es la función de costos conjuntos de los productos.
¿Cuáles deberían ser x e y para maximizar las utilidades?
2. Un fabricante planea v ender un nuevo producto al precio de 150$ por unidad y estima que si se gastan x
miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en promoción, los consumidores comprarán
aprox imadamente 4
160
2
320
x
x
y
y unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto
son 50$ por unidad, ¿cuánto debería gastar el fabricante en desarrollo y cuánto en promoción para generar la may or utilidad posible en la venta de este producto?
3. Un consumidor tiene 200$ para gastar en dos artículos, el primero de los cuales cuesta 2$ por unidad y
el segundo 5$ por unidad. Suponga que la utilidad obtenida por el consumidor de x unidades del primer
artículo e y unidades del segundo es 75.025.0100),( yxyxU .
a) ¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar las utilidades?
b) Calcule la utilidad marginal del dinero e interprete el resultado en términos económicos.
4. Una empresa emplea dos tipos de materia prima, A y B en la elaboración de su producto. Usando x
UNIDADES de A e y UNIDADES de B , la empresa puede elaborar T UNIDADES de su producto, en
donde:
22 54324070),( yxxyyxyxT
a) ¿Cuántas unidades de su materia prima debería utilizar la empresa a fin de MAXIMIZAR su producción?
b) Si le cuesta a la empresa $ 5 por cada unidad de A y $ 7 por cada unidad de B y la empresa puede vender todo lo que produce a $ 10 por unidad. ¿Qué cantidad de A y B MAXIMIZARÁN la utilidad de la empresa?
Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Optimización de varias variables
44
c) Si los costos de la materia prima son los mismos de la parte b) y si la empresa dispone de $ 250 para materia prima ¿Qué cantidades MAXIMIZARÍAN la producción de la empresa?
d) Si lo que se dispone incrementa en $ 3 ¿cómo CAMBIA la producción?
5. Las funciones de COSTO MARGINAL y de INGRESO MARGINAL de una empresa son:
2)5(5)(́ xxC y xxR 437)(́ respectiv amente.
En donde " x " denota el número de unidades producidas. Los costos fijos son de 25.
a) Encuentre el nivel de producción que MAXIMIZARÁ las utilidades de la empresa.
b) Calcular la UTILIDAD TOTAL de la empresa en este nivel de producción.
c) Determine la UTILIDAD si el nivel de producción se INCREMENTA EN 2 UNIDADES más allá del nivel de utilidad máximo.
6. Suponga que un monopolista está practicando discriminación del precio en la venta de un producto cobrando
diferentes precios en dos mercados separados. En el mercado A la función de demanda es:
AA qp 100 , y en B es: BB qp 84 ; donde Aq y Bq son las cantidades
vendidas por semana en A y en B y Ap y Bp son los precios respectiv os por unidad. Si la función
de costo del monopolista es: )(4600 BA qqc . Entonces:
a) ¿Cuánto debe venderse en cada mercado para maximizar la utilidad ?
b) ¿Qué precios de v enta dan la utilidad máxima?
c) Encuentre la utilidad máxima .
7. Determine el valor mínimo de la función 222),,( zyxzyxf si 6 zyx . Emplee el
Hessiano Orlado.
8. Encuentre los puntos críticos de xyzzyxf ),,( sujeta a que 32 zyx y a que
0 zyx .