627

UNIV. BEOGRAD. PuDL. ELEKTROTEHN. FAK.Ser. Mat. Fiz. JII'o602-JII'o 633 (1978), 177-190.

627. MATEMATIKA U TOKOVIMA ISTORIJE

Milorad Bertolino

Danasnji izuzetno bujan razvoj matematike (prema jednom, svakako veczastare10m podatku publikuje se u svetu oko 35000 naucnih radova godisnj~)daje utisak da su ranije epohe duboko prevazidene, kvantitetom i kvalitetom.Ovo je u mnogome tacno, ali ne sasvim. Kameni teme1jci za pojedina najsavre-menija i najapstraktnija naizgled istraZivanja polozeni su, resto, jos u drevna vre-mena. Pojedini "veoma stari" problemi jos nisu reseni. Ni jedna se naucna oblastne moZe smatrati zavrsenom, pa ni u matematici, osim u banalnim slucajevima,nema zavrsenih teorija, jer broj teorema u bilo kom njenom podrucju nije i nemoze biti ogranicen.

Nove potrebe teorije i prakse dovode, medutim, do stalnog ili privremenognapustanja pojedinih matematickih oblasti. Danasnja razudenost matematike ote-zava, cak i strucnjaku, pracenje vec i samih naslova novonastalih disciplina kojese fundiraju veCinom u sve apstraktnijim smerovima. Primitivisticki otpori, ne-mocni da novo shvate i razumeju, ili nedovoljno vredni da to cak i pokusaju, pro-glasavanju dobar deo savremenih istrazivanja za apstraktna i prazna rezonovanjaodvojena od zivota, zaboravljajuci toliki broj primera u kojima su matematickirezultati tek kasnije nalazili primenu i to u domenima najmanje ocekivanim.S druge strane, neki matematicari iz avangarde (ali ne i oni najbolji) pokazujuponekad sklonost nemotivisanom potcenjivanju svega i svacega sto se ne podu-dara sa njihovim uskim smerom, pogotovu ako pripada proslosti. Ovde je umesnocitirati sledecu Sopenhauerovu misao: "Vidim kako raste piramida, koju vi nistezapoceli, niti cete ju dovrsiti. No, zar ce poslednji radnik, koji ce se ponosno po-staviti na njen vrh, biti veCi od onoga, koji je postavio prvi kamen? VeCi od arhi-tekta, koji je citavu gradevinu zamislio i izradio plan?"

Ovo je izlaganje daleko od pretenzija da pruZi ma i najsazetiju istoriju mate-matike. Ono se ogranicava na sarno neke misli 0 matematici, ali donekle pracenekroz istoriju.

Kao opste poznatu cinjenicu uzecemo radanje matematike iz potreba, prakse,recimo zemljomerstva izmedu ostalog, kod drevnih Indusa, Kineza, Mesopota-maca, Egipcana. Stari Grci predstavljaju krunu anticke matematike. Sistemati-zovali su znanje svojih prethodnika, dodali mu mnogo sustinskih rezultata, stvoriliosnov za razvoj kasnije matematike, kako uvodenjem aksiomatske metode, takoi anticipacijom mnogih novih oblasti, recimo infinitezimalnog racuna. Svi su culiza slavna imena Talesa, Eratostena, Eudoksa, Diofanta, Pitagore, Euklida, Arhi-meda, Apolonija, Paposa i tolikih drugih. Izmedu svih ovih i danas znacajnih mate-maticara naroCito se izdvajaju geniji Arhimeda i Euklida. Cuveni francuski mate-maticar Lagranz smatrao je Arhimeda najveCim genijem koji se ikad posvetio

12 Publikacije E1ektrotehnickog faku1teta 177

178 M. Bertolino

matematici. Kao preteca infinitezimalnog racuna, posebno diferencijalnog i inte-gralnog, on je do te mere vidljiv, da postoje misljenja kako se infinitezimalni racunmogao konstituisati vec u Antici, a da je Aristotel svojim nerazumevanjem ma-tematike i ostracizmom prema pojmu beskonacnog, snagom svoga autoritetatoliko zaustavio razvoj infinitezimalnog racuna da je ovaj bio izbacen iz teorijskematematike. Aristotelova uloga, u odnosu na citavu matematiku, ne sme se,medutim, oceniti apsolutno negativno, cak kada bi gornja konstatacija bila u pot-punosti tacna. Aristotel kao logicar ima za matematiku krupnih zasluga.

Aksiomatska metoda Euklidova nema znacaj samo za geometriju koju jeuCinila naucnom, nego i za matematku uopste. Cuveno Euklidovo delo doziveloje, do pocetka ovog veka, oko 1.700 izdanja, pa su se na njemu vaspitale generacijevekovima, ne samo matematicki nego i logicki uopste. Ispitivanje osnova Euklidoveaksiomatike dovodi do stvaranja neeuklidske geometrije Lobaeevskog u XIX veku,a kasnije Riman, uvodenjem svoje geometrije daje toliko plodni opsti pojam ne-euklidskih geometrija. Jos kasnije ce Klajn, primenom teorije grupa dati takvuklasifikaciju raznih geometrija, ciji se znacaj sa pravom poredi sa znaeajem kojiu hemiji ima Mendeljejevljev periodni sistem elemenata.

Posle aksiomatizacije geometrije doslo je do slicnih pokusaja i u drugimnaukama. Njutn je to ucinio u mehanici. V matematici je ova metoda preovIa-dala, pa je danas tipicna za sve savremene matematicke discipline. Topologija,opsta algebra, matematicka logika, funkcionalna analiza vodece su matematickenauke, najkonsekventnije aksiomatizovane, Cije veoma opste teoreme s jednestrane sistematizuju i koncizno izrazavaju nepregledno obilje ranijih matematiekihrezultata, a s druge strane, neslucenim mnostvom interpretacija i asocijacija omo-gucavaju dobijanje novih rezultata i sirenje primene u Citavom spektru matematickihoblasti. Pravac aksiomatizacije prisutan je bitno u nauci uopste, pa i u filozofiji,gde je za njegovu primenu potrebna krajnja obazrivost i stalno prisutna svest 0ogranicenjima koja on namece. Poznati su pokusaji filozofske aksiomatizacije udelima Dekarta i Spinoze, da se ograniCimo sarno na neke od ranijih filozofa.

Period Srednjeg veka obicno se ocenjuje kao epoha opsteg mracnjastva inazadovanja nauke, matematike posebno. 0 izvesnom usporavanju moZe se govoritibez rezerve, ali ne i 0 apsolutnom regresu. Iako u smanjenom obimu, proucavanoje naslede antike i pripreman je teren za procvat u renesansi i kasnije. Arabljanisu veliki deo anticke nauke sacuvali od propasti, ali ne sarno to. Novija istrazivanjadaju sve veCi znacaj doprinosu Arabljana u idejnom produbljavanju matematickihgrana koje ce kasnije da se stvore. Najzad, kada je 0 Srednjem veku rec, valjapodvuCi da se tad a matematika vezala i za veoma suptilna proucavanja pojmabeskonacnog, tako karakteristicna za srednjevekovne filozofe. V mnogome nepre-masena srednjevekovna arhitektura rezultat je i uspesnog resavanja brojnih i vaznihproblema statike. Srednjevekovna ornamentika zasluzuje sliean komentar.

Uopste, u matematici, kao i drugim naukama, periodi duzeg zatisja ilikraceg, vreme su zatisja pred buru. V burama se radaju nove grane i isticu novaimena koja ostaju u istoriji, predstavljajuCi ne sarno sebe i svoju genijalnost,nego i mnoge pretece i ucenike iz kojih izrastaju i .kojima predaju svoju bakljudelom ih omogucavajuCi, ali delom i buduCi njima uslovljeni. Mi ovde nemamomogucnosti ni izbliza da navedemo sva imena koja to zasluzuju, jos manje da ob-jasnimo njihove pronalaske i uloge tih pronalazaka. Ogranicavamo se sarno napodsecanje na neka od tih imena, verovatno poznata i sirem krugu, no koja redecujemo na istom mestu i u isto vreme.

Matematika u tokovima istorije 179

*Vijetu dugujemo apstraktnu algebru, oslobodenu obaveznog geometrijskog

okvira, a Dekartu analiticku geometriju. I pored svih sporova kada se radi 0 prio-ritetu u detaljima, ostaje neosporno da je tek od Dekarta u potpunosti razjasnjenaveza izmedu geometrijskih objekata i algebarskih jednacina, izmedu ostalog i od-bacivanjem principa homogenosti. Van svake je sumnje njegova "Geometrija"izvrsila najdublji uticaj i istorijski zapoCinje analiticku geometriju. Nas Dubrov-canin Getaldic, je vredan saradnik Vijeta, koji sa svojim rezultatima stoji izmeduVijeta i Dekarta, razradujuCi Vijetov pravac, ali i priblizavajuCi se analitickojgeometriji. Ruder Boskovic, matematicar, fizicar, astronom, geodeta, inzenjer,filozof i pesnik u mnogome je vizionar neeuklidskih geometrija, savremenogpojma broja i savremenih koncepcija u atomistici. Njutn-Lajbnicovo otkrice di-ferencijalnog i integralnog racuna ima vise nego revolucionaran znacaj i nije sasvimbez osnova misljenje, koje se i danas javlja, da ni kasnija velika otkrica nisu podubini, odjeku i posledicama nadmasila ovaj pronalazak, kome je priblizno poznaeenju vec spomenuto stvaranje neuklidskih geometrija, ali i moderno algebarskostanoviste teorije grupa, koje se duguje jednom dvadesetogodisnjaku, EvaristuGaloa. Tesko je i pobrojati sve nove oblasti koje su nikle. Zadovoljavamo se samo,moze se reCi, pocetkom nabrajanja. Paskal formulise zakon matematicke indukcije,pronalazi prvu racunsku masinu, zasniva teoriju verovatnoce, gde i zaslugeFerma-a, nisu bitno manje. Kosi je pravi osnivac teorije kompJehnih funkcija,Monz nacrtne geometrije, Grasman je jedan od tvorca vektorskog racuna i, uopste,visedimenzionalne geometrije, Dezarg je dao osnove projektivne geometrije, aKantor je najkrupnije ime u zasnivanju teorije skupova koja danas, u izvesnomsmislu lezi u osnovi Citave matematike. Jos iz radova Ojlera, a naroCito Poenkarea,za koga se smatra da je poslednji veliki univerzalni matematicar, potice savremenatopologija. Hilbert i Banah najzasluzniji su za osnivanje i razvitak funkcionalneanalize. Bulova algebra nasla je danas neoeekivane primene, recimo kod matema-tickih masina. Gedelovi rezultati imaju izuzetno mesto u matematickoj logici ineosporno, sasvim ocekivan, filozofski uticaj. Znacaj Vinera u kibernetici sirokoje poznat. Soboljev i Svarc tvorci su teorije distribucija. I tu cemo se zaustaviti,ali zbog nedostatka prostora.

U pracenju matematike kroz istoriju upadljiva je tesna povezanost, ali po-nekad na slozen, pa i veoma posredan naCin, izmedu teorije i prakse. Valja razu-meti smisao pribliznosti u primeni matematike, sto bi vec bio predmet posebnogizlaganja. Ajnstajnovu misao da, ukoliko se zakoni matematike primenjuju nastvarnost, oni nisu sigurni, a ako su sigurni oni se ne mogu primeniti na stvarnost,treba shvatiti kao upozorenje na izbegavanje jednostranosti u zahtevima primene.Medutim, kako je rekao Lobaeevski: "Nema ni jedne matematicke grane, makoliko da je apstraktna, koja se jednom ne bi mogla primeniti na pojave stvarnogsveta". Poznato je kako su matematicki proracuni omoguCili otkrice Neptuna (1846)i Plutona (1930). Eli Kartan dosao je do jedne znacajne klase analitickih i geo-metrijskih transformacija koje su bile u vezi sa teorijom grupa. Petnaest godinaiza toga, fizicari su otkrili neke fenomene u vezi sa elektronima, koji su mogli bitiobjasnjeni idejama do kojih je dosao Kaftan. Neeuklidske geometrije nasle suprimene u Ajnstajnovoj teoriji relativiteta, ali i u teoriji povrsi.

Citave grane matematike, s druge strane, bile su inspirisane praksom, gdeje fizika jedan od najvaznijih izvora. Poznati su i drugi izvori, na primer nastajanjeteorije verovatnoce iz hazardnih igara. U pocetku istorije topologije stoji poznati

12*

180 M. Bertolino

problem: da Ii se moze preCi preko svih sedam mostova u Kenigsbergu uzastopce.a da se preko svakog od njih prede same jednom.

Ova prisna vezanost teorije i prakse ne predstavlja okov za matematiku,cija je sustina, kako je rekao Kantor, u njenoj slobodi. Mnogi rezultati matematikeradaju se iz njenih unutrasnjih potreba (tako je doslo i do neeuklidskih geometrija),a primene dolaze tek posle. Da navedemo jedan primer blizak nama. Jedan od naj-znaeajnijih savremenih struenjaka u numeriekoj matematici Lotar Kolac istieeda su pseudometrieki prostori jugoslovenskog matematieara Dure Kurepe zanumerieku matematiku najvaznije uopstenje pojma prostora do koga je doslo posleHilbertovih i Banahovih uopstenja. Medutim, Kurepa je 1934. godine uveo pojamo kome je ree i ne misleCi na ovu vr&tu primene. Poznati sovjetski mehaniear Ca-pligin resavajuCi neke probleme iz mehanike uzgred je dao svoju metodu priblizneintegracije koja je otvorila Citavu novu oblast u kvalitativnoj analizi diferencijalnihjednaCina. Skoro da se kaze, s druge strane, da sto je apstraktnija neka matema-tieka teorija, sve je vise izgleda da ce moCi biti primenjena, jer su sve sire klaseobjekata koje tom prime nom mogu biti obuhvacene.

Matematika se javlja, kako Kurepa kaze, "poput podesnog jezika koji sluzida se sredi i razume razvoj i transformacija Prirode; ree i pojam "Priroda" obuhvatatakoder proizvode ljudske kao sto su strojevi, produkcija itd.". Galilej je primeruske povezanosti teorije i prakse. Isti je slueaj sa nasim Boskovicem. Matematiekirad je za Njutna imao uglavnom pomocno znacenje, kao orude za fizikalna istra-zivanja. Fizicki spektri sluze nasem Mihailu Petrovicu kao inspiracija za mate-matieke spektre.

U toku nastajanja jednog matematiekog rezultata empirijski momenat jenezamenljiv. Dijalekticko jedinstvo indukcije i dedukcije vidno je u matematici,i pored sve deduktivnijeg naeina njenog izlaganja, uslovljenog preovladavanjemaksiomatske metode. Svako suprotstavljanje "teorijske" matematike "primenjenoj"u osnovi je lazno, jer jedinstvo dvaju aspekata jedne iste sustine ima svoje dubokoporeklo u pripadnosti eoveka Prirodi, Ciji je on neodvojivi deo, pa eovekovo saz-nanje ide najeesce prirodnim putevima koji, istina, nisu uvek ni pravi, ni laki, nibez stranputica.

*I drustveni polozaj matematike menjao se kroz vekove. Platon je, istina,

rekao da je nedostojan eovekova imena ko ne zna da dijagonala kvadrata nijesamerljiva sa njegovom stranom, ali bilo je i takvih perioda gde je matematieki radzabranjivan, a matematieari izjednaeavani sa vraeevima i vesticama (Justinijanovi Teodosijev kodeks). Danas je ugled matematike i neosporan i rapidno raste,jer skoro da nema oblasti u kojoj ona nije nasla svoju primenu.

Zestoke su, ipak bile borbe kroz koje ~e ona tako i toliko afirmisala, a iu okviru same matematike prisutni su bili teski idejni, a i ljudski sukobi, sto se,sire uzev, manje zna. I ovde novo tesko razbija staru inerciju, i ovde ljudskanesavrsenosti i sujete ne retko koee ili usporavaju progres, pa nisu nesporazumi,svesni ili nesvesni, odsutni ni kod najveCih duhova. Poznat je dug i mucan sporNjutn-Lajbnic oko prioriteta, gde je istorija dala pravo obojici. Mraena je ulogainaee genijalnog matematieara Gausa u odnosu na madarskog matematieara Boljaia.Grasman je celog Zivota radio kao profesor gimnazije, ne doeekavsi javnog priz-nanja, iako je objavljivao radove. Genijalni Galoa gine u podmetnutom dvobojuu dvadesetim godinama, posta je prethodno pao na prijemnom ispitu, a njegoviradovi bivaju shvaceni tek eetrdesetak godina kasnije. Vajerstras tek u eetrdesetim


godinama dolazi do univerzitetske karijere. Lebeg je osporavan cak i od stranetakvih vrsnih matematicara kao sto je bio Ermit, koji izjavljuje: "Sa strahom iuzasom odvraeam pogled od te bede - funkcija koje nemaju izvoda". A upravosu te funkcije i neSto najprirodnije i najblize primenama! Takav matematicar kaoKroneker zestoko se protivio iracionalnim brojevima i pisao Lindemanu: "Cemusluzi vase lepo proucavanje broja 7t? Zasto izucavati slicne probleme kad iracio-nalni brojevi (pa, prema tome, ni transcendentni) ne postoje". Ne treba ni spominjatitesku polemiku oko Zermelove akciome, ni uopste teskoeu da se shvati da u mate-matici ne mora uvek biti "ili-ili", nego da moze biti "i-i", i matematika fa Zermelo-yom aksiomom i matematika ~a suprotnim tvrdenjem, a da obe, u izve~nom smislu,imaju svoje opravdanje. Ni Lobacevski nije bio priznat za zivota, iako su mu ra-dovi tolerisani. Ruder Boskovie je nailazio u Rimu, a i drugde, na toliko drustvenihprepreka da je pisao: "Bog ti zna kad eu se tame vratiti er, vijeruj mi, dokle je totako, ti grad nije za mene, er ne bi mogo ziveti tego videCi". I jos: "Ja nista veCijesad ne zudim, nego utee u Carigrad, er ufam da eu nae da su Turci bolji negokarstjani".

I pored ovakvih slucajeva, ipak je, Cini se, stanje u ovom smislu sve bolje,narocito danas. Niti nepriznate genije, Ciji je broj, ipak, minimalan, treba mesatisa povremenim poplavama nepozvanih koji, bez ikakvog matematickog obrazo-vanja, ignorisuCi sve sto je pre njih radeno ili sta se radi sad, pokusavaju da afirmisusvoje potpuno pogresne iIi, u najboljem slucaju, ocigledno banalne rezultate.

Raznovrsne su sudbine matematicara kroz istoriju. One su najcesce veomamalo poznate siroj javnosti, jer se njihove biografije ne mogu onako refIektovatikroz njihove teoreme kao sto se zivoti knjizevnika ili filozofa cesto sustim,ki i za-konito ogledaju u njihovom delu. Delimicno je dramaticnost tih sudbina dotaknutavee u prethodnom odeljku. Od mirnog, dugog Zivota patrijarha matematicaraGausa do klosarskih sklonosti Bakunjinovog unuka, a znamenitog savremenogmatematicara Renato Kacopolija (koji je preminuo pre nekoliko godina), pejzazje zaista sarolik. Bilo je matematicara (kao Besel) za koje svet van matematike nijepostojao, ali i takvih Cija raznovrsnost upravo zadivljuje. Nas Mihailo Petrovic,matematicar koji je poznavao i nekoliko drugih prirodnih nauka cuveni je ribar iribarski strucnjak, pasionirani putnik i putopisac, poznavalac knjizevnosti, filozofi muzicar. Kao sto je rekao Vajerstras, "onaj ko u sebi nema nesto i poetskog,nece nikad biti potpun matematicar". Veza izmedu matematike i poezije kod PolaValerija odraz je njegovih svesnih nastojanja i njegove stvaralacke prirode u kojojsu se ove sklonosti sustinski preplitale. NaroCito je sklonost ka filozofiji prisutnakod matematicara. Dekart je sanjao 0 takvoj nauci koja bi bila neka vrsta univer-zalne matematike. Laplas razmislja 0 iluzornoj, univerzalnoj formuli sveta. Pit agorau vezi sa pojmom broja zasniva citavu misticnu filozofiju sa odredenim kultomi ritualom. Poljski matematicar Vronski osnovao je "mesijanizam" kao specificanfilozofski smer. Veliki Poenkare, predstavnik konvencionalizma bio je lose filo-zofske srece ako se njegov pravac gleda u celini, ali su pojedinacne njegove gno-seoloske zasluge neosporne. Paskal je sa svojom misticnom filozofijom, Cije sumnoge dubine ipak priznate, sirem krugu cak poznatiji kao filozof nego kao mate-maticar. Opsti pogled na matematicare kao filozofe kao da daje utisak bilo jedneteznje ka totalitetu, sveobuhvatnosti, dedukciji, bilo konvencionalnom shvatanjuraznih kategorija, cemu, i jednom i drugom, mozemo delimicno traziti porekloi u matematickim navikama autora.

Raznovrsna je i angazovanost matematicara van matematike, posebno uoblasti drustvenih delatnosti. Bilo ih je koji su hteli i znali da sagrade svoju kulu

182 M. Bertolino

od slonove kosti, ali i onih eije je uCesce imalo vidne rezultate. Izvrsni francuskirnatematiear Penleve postao je predsednik vlade. Dva sekretara KPJ, Filip Fili-povic i Sima Markovic bili su matematieari. Francuski matematiear Loran Svarc,predstavnik teorije distribucije, jedne od najapstraktivnijih oblasti, Cije je porekloiz prakse neosporno, predstavnik u isto vreme "larpurlartistieke" matemati~ke pasi-jans-filozofije, s druge strane je istaknuti predstavnik francuske levice, dugogodisnjiSartrov saradnik i clan Raselovog suda u vezi sa Vijetnamom.

*Posto je visestrukost orijentacije i zapravo fascinantna plodnost u svim

smerovima Njutna i Lajbnica posebno izrazita, posveticemo joj vise paznje.Njutnova fundamentalna orijentacija na fiziku dala je euvena dela "Optika"

i "Matematieke principe prirodne filozofije". Njegov teleskop postao je u Engleskojpredrnet nacionalne gordosti. Davao je vrhunske rezultate i u teoriji i u eksperi-mentu. Bio je uzor onoga sto bi se danas zvalo radnim i politehniekim obrazovanjern,ukljueujuCi i izvanrednu vestinu brusenja stakla. Sisternatski se bavio hernijom(ukljueujuCi i alhemiju) i u vise mahova pokazivao temeljno znanje iz ove oblasti.Dosta su osnovane pretpostavke da je napisao i jedno obimno delo iz hernije, kojeje izgorelo prilikom poznatog pozara u njegovoj laboratoriji, a koje kasnije nijestigao da rekonstruise. Dosta apolitiean, kao clan Parlamenta nije progovorioni jednu ree, ali se kao glavni direktor Drzavne kovnice (sto nije bila sinekura negoveoma odgovorna i slozena duznost) vrlo studiozno bavio finansijskom i ekonom-skom politikom vlade. 0 smislu njegovih religioznih spisa reCicemo vise nesto kasnije,a ovde naglasiti da je iza njega ostalo i istorijsko delo: "Hronologija drevnih car-stava s dodatkom kratke hronike od prvih pomena i dogadajima u Evropi do os-vajanja Persije od strane Aleksandra Velikog".

Lajbnicova svestranost predstavlja jos mnogo sarolikiju panoramu. Osimmatematike i filozofije pravo je bilo vazan sektor Lajbnicovog interesa, gde je daokrupnih rezultata u cilju nauenog zasnivanja ove oblasti. Isto vazi i za Lajbnicovepolitieke studije jer je, za razliku od Njutna, bio veoma zainteresovan politieki.Rad na istoriji hanoverske vladajuCe kuce Braunsvajg-Lineburg predstavljao jedoduse spolja nametnutu obavezu, ali je u ovaj posao Lajbnic uneo mnogonapora i akribije. Preteea je rada na univerzalnoj enciklopediji. U fizici se najvisebavio delovanjem i zakonitoscu sila (njegovo ueenje 0 "zivim silama"). Imao jeideja bliskih relativistiekoj fizici. U hemiji se posebno bavio fosforom i destila-cijom. Zasnovao je modernu geologiju i mineralogiju. U biologiji ga je posebnointeresovao problem radanja zivih bica. U poneeemu je bio preteea Darvinoveteorije. U psihologiji je, izmedu ostalog, naslutio podrueje nesvesnog. Nije muizmakla fiziologija, tehnika (preteea parne masine, rudarstvo, usavrsavanje kola,smrkovi, osvetljavanje, brodogradnja, porecelan, platno) i medicina (termiekevode, organizacija saniteta). Bavio se osnivanjem evropskih akademija. Bio je ijedan od najboljih poznavalaca kineske kulture. Oeigledno je da bi ovakva sirinazadivila i kada bi se radilo samo 0 "skolskom" poznavanju stvari. Kod Lajbnicaje uvek, medutim, bila ree 0 vrhunskoj struenosti, a vrlo eesto i 0 znaeajnim pro-nalascima koji su utirali staze Citavim novim oblastima i naukama.

Njutnov rad na filozofskim i religioznim problemima zauzima spored nomesto u njegovom opusu, iako je i sam Njutn Cesto imao suprotno misljenje, kaoi njegova bliza i dalja okolina. To je doba u kome se bavljenje filozofskim i teolo-skim pitanjima nekako podrazumevalo uz svaki naueni rad: jos uvek u skladu sa


shvatanjem da su posebne nauke sarno delovi filozofije, izvorne i vrhunske, naukenad naukama.

Njutnovo filozofsko i teolosko obrazovanje bilo je veoma solidno. Njegovifilozofski i teoloski radovi metodoloski odaju matematicara, a jedan od vaznihciljeva tih radova je izmirenje crkvene dogrne sa rezultatima nauke. Njutn nijebigotan, daleko je od religioznog fanatizma. Njegov protestantizam deo je borbeprotiv katolicizma Stjuarta, odnosno stranke torijevaca. "Divno sjedinjavanje Sunca,planeta i kometa nije moglo nastati drukCije nego namerom mocnog i premudrogbica" - kaze Njutn u svojim "Principima". U osnovi, Njutn je najvise bice svodiona prvi impuls, a nije ga uplitao ni u kakve naucne detalje. Njutnova tumacenjaSvetog Pisma sadrze izvesne slobodoumnije elemente u vezi sa dogmom trojstva- posebno se moze izvesti skepticizarn oko bozanske prirode Hrista. Zivlji interesdvora za Njutna, narocito pri kraju njegovog zivota doveo ga je do svojevrsnogstatusa "dvorskog filozofa", sto ni u kom smislu nije uticalo na njegovu duhovnunezavisnost.

Lajbnicov filozofski rad je daleko siri, dublji i sistematicniji. U njegovomglavnom filozofskom spisu - "Monadologiji" uvedene su monade kao poslednjielementi iz kojih je sve stvoreno, svojevrsni atomi prirode, ali nematerijalni, ne-prostorni, nedeljivi. Monade su medusobno razlikuju jasnocom svojih predstava.Bog je najvisa monada, koja irna sarno jasne predstave. Najprostije monade suuvek nesvesnih predstava. Nastajanje vidljivih stvari je udruzivanje nedeljivih je-dinki u agregate. Monade poseduju izvesnu energiju u vidu zudnje. One su odvojenibeskrajno rnali svetovi, ali su tako postavljene da sve zajedno Cine jedan jedinstvensvet. Covek je bice koje se sastoji iz tela i duse, gde je dusa jedna monada, a telose sastoji iz vise monada.

Kako je bog savrsena monada i njegovo delo, svet, mora biti savrsen - naj-bolji od svih moguCih svetova. Ovde nije rec, i pored veoma duhovite Volterovesatire u "Kandidu" ni 0 kakvom jeftinom optimizmu i neuvidanju tarnnih strananvota. Radi se 0 pokusaju uvodenja smisla u say onaj besmisao koji bi mogao daucini iluzornim svaki Ijudski napor. Ljudska borba protiv zla nalazi ipak dovoljnomesta u Lajbnicovom deterministickom sistemu. Njegov "najbolji od svih moguCihsvetova" je i svojevrsno matematiziranje, tra.zenje optirnalnog resenja u problemunad problemima.

"Sarno Lajbnicovo irne podseca zapravo na nekoliko izvanrednih tvorevinafilozofskog duha, koje sa postale gotovo klasij:ne u istoriji filozofije, pa i filozofijiuopste, a od kojih je dovoljno navesti takve ideje i koncepcije, kao sto su "monada""prestabiIirana harmonija" i "najbolji od svih moguCih svetova" na podrucju meta-fizike, ili "princip dovoljnog razloga" i "univerzalni jezik" u okviru logike. Veomaje insistirao na principu identiteta i neprotivrecnosti, nalazeCi ih u samim osno-varna matematike. Njegova razmatranja matematickog pojma beskonacnostisu znatne filozofske dubine. Princip kontinuiteta iz matematike suMinski je pri-menio u svom ucenju 0 monadama. Njegove su monade u mnogome matematicketacke, snabdevene vitalitetorn u razlicitom stepenu.

ad Lajbnica potice tvrdenje: "Ja znam da svaka nauka, ukoliko je speku-lativnija, utoliko je i prakticnija". Smatrao je da jedino logika moze uneti materna-ticku egzaktnost i inventivnost u filozofiju, u posebne nauke, u tehniku i ostaleljudske veStine".

Odlucio je da od aristotelovske skolske logike matematiziranjem sacini uni-verzalnu matematiku. On kaze: "Medutim, iako ovaj jezik zavisi od istinske filo-

184 M. Bertolino

zofije, on ne zavisi od njenog savrsenstva. To znaCi da ovaj jezik moze biti ustanov-ljen, mada filozofija nije savrsena, i ukoliko bude rasla ljudska nauka, rasce i ovajjezik takode. Posto se postigne, on ce biti jedna izvanredna pomoc i da bismo sesluzili u onome sto znamo, i da bismo videli one sto nam nedostaje, i da bismootkrili sredstva da daleko stignemo, a naroCito da bismo iskorenili rasprave uoblasti koje zavise od misljenja. Jer tada ce misljenje i racunanje biti jedna te istastvar" .

*Nacini medusobne komunikacije matematicara posmatrani kroz istoriju pru-

zaju takode zanimljivu sliku. U starini su upadljivi kontakti preko prepiske u okvirukoje su postavljani i resavani problemi i davani razliCiti kcmentaJ i. Ovom stilu sedelimicno ima pripisati i okolnost da, recimo, veliki Ferma za svog zivota nije objavioni jedan rad, dajuCi mnoge rezultate i na marginama. U danasnje doba prave po-plave casopisa poznati i znacajni matematicari kao da se opet vracaju starom na-Cinu - prepisci i licnim kontaktima na kongresima i simpozijumima, gde se in-formacije mogu razmeniti na najkraCi i najneposredniji nacin. Prvi svetski kongresmatematicara odrian je u Cirihu, 1897. godine. Kolektivni naCin rada sve vise uzimamaha. Cuvena je francuska grupa Burbaki koja, pod slucajno izabranim imenomjednoga generala, vec preko cetrdeset godina izdaje tomove savremene matematike,organizovana na sasvim posebnim i originalnim principima.

Plodnost matematicara varira od kvalltitativno minimalne a revolucionarnoznacajne (Galoa) do neshvatljivo velike (Kosi, sa svojih 15000 stampanih stranamatematickih radova). Analogno Balzaku, Kosi koji u svom delu predstavlja ne-zadriivu te.znju novom, u politickim shvatanjima ostaje najkonzervativniji roja-lista - pristalica starije grane Burbona, kcme je cak Luj Filip suvise levi, takoda 1830 emigrira, da se vrati tek posle garancije francuske vlade da se ne morapoliticki angazovati (garancija koja se, po pravilu, ne daje nikome, ali koja svedocio izvanrednom Kosijevom ugledu).

Skromnost matematicara razlicita je: od primera apsolutne skromnosti skoroanonimnih velikih stvaralaca, do veoma samouverenih izjava pojedinih velikana.Veliki ruski matematicar Ostrogradski, prilikom jednog javnog predavanja, napitanja sta je to beskonacno mala odgovorio je: "Uzalud tezite to da saznate, jerto shvataju sarno dye osobe: ja i moj ucitelj Kosi", Poznata je izjava znacajnognemackog matematicara Sturm a, koji je jednu svoju teoremu nazvao: "Teoremacije ime imam cast da nosim". Skromnost ove izjave sarno je prividna.

Sudbina matematike i matematicara bitno se, kao sto vidimo, poboljsala idanas se rede mogu sresti sudbine slicne Abelovoj, coveka koji je mnogo dao, umrone dozivevsi ni trideset godina, a ziveo od zlehudih kondicija. Nerazumevanja ipakima, usled prilicne neobavestenosti u sirim krugovima, gde ponekad preovladajushvatanja 0 matematici kao 0 neCem apsolutno tacnom, ali i hermeticnom, zavr-senom, nepromenljivom. U obilju stvaranja komuniciranje i informisanost postajusve teZi i medu strucnjacima. Nerazumevanja nalaze plod no tie svuda gde vladapotcenjivanje svega onoga sto nas premasa ili sto se nismo potrudili da dostig-nemo. Kod velikih duhova iz nematematickih oblasti preovladivao je uvek ispravanstay prema matematici. Poznato je kako je Darvin, neupucen u matematiku, uvekzalio zbog toga, jer mu se cinilo da bi gledao svet nekako drukcije da ju je znao.Sin Darvinov svedoci da je Qarvin cak Citao radove iz oblasti koje nije poznavao,u prvom redv matematicke radove. Ovo citanje cinilo mu je cak posebno zadovolj-stvo, dok se trudio da nazre i oseti nacine razrnisljanja koji mu nisu bili bliski.


Gete je izjavio: "Cuo sam da me optuiuju da sam protivnik, neprijate]j matematike,a u stvari tesko da nju iko tako visoko ceni kao ja, jer matematika uistinu postizeone sto meni nije bi]o dato da uradim".

Teskoce ov]adavanja matematikom vezane su za njen neprekidni rast, kojije doveo i do permanentne krize u nastavi. Jer mnogo vise novog i znacajnog sejav]ja nego sto, izg]eda, starog zas]uzuje da bude odbaceno. I ovde dolazi do izra-zaja ona stara istina da je ontogeneza rekapitu]acija filogeneze, pa je izg]eda ipojedinacnom umu ]akse da u ucenju matematike pode od pojmova koje je cove-canstvo srelo u svojoj m]adosti. Otuda vidno zaostajanje nastave iza nauke, kojaotezava da ucenici srednjeg uzrasta b]agovremeno udu u savremene matematicketekovine koje bo]je nego ikoje druge prikazuju matematiku u svoj njenoj bujnosti,promenljivosti, s]obodi, nedogmaticnosti, povezanosti sa k]jucnim filozofskimproblemima, neodvojivosti od drugih nauka i prakse i nezavisnosti od njih u istovreme. Cini nam se da je pogodno pos]uziti se s]edeCim poduzim citatom britanskogmatematicara Brodbenta: "Kao teme]j ve]ikog deJa nase danasnje nauke i tehnikei, potpuno isto to]iko vazna kao velika stvara]acka umetnost, kao univerza]ni jezik,kao teme]jni naCin mis]jenja, matematika je sastavni deo nase moderne kulture,i tu tvrdnju tesko da bi mogao ko da porekne. Mozda tu tvrdnju ponekad docekujusa smehom. Sta, - kafu kriticari - hocete ]i ozbi]jno da tvrdite da Lebegov in-tegra] ima isto tako ve]iku i isto tako duboku priv]acnost i mesto u nasoj kulturikao, recimo, "Izgub]jeni raj" i]i "Vatikanska Afrodita"? Mog]i bismo odvratitida je prebrojavanje g]ava vrio ]os naCin procenjivanja vrednosti umetnickog deJa.A]i postoji i bo]ji odgovor, naime sme]a tvrdnja da ja verujem da isto to]iko ]judimoze da ceni i odista ceni Lebegov integJa] ko]iko ih ceni "Izgub]jeni raj", jer pritom ocenjivanju ja nameravam da isk]jucim sve one koji ce yam spremno reCi daje Milton ve]iki pesnik, a "Izgub]jeni raj" ve]iki spev, iako nikad nisu procita]ini jedno pevanje tog speva, niti ikada nameravaju da ga prccitaju, niti bi cak razu-me]i i jedan red kada bi to i ucini]i. Ne, izmerite oba po]ja obavestenog proce-njivanja i siguran sam da se nece mnogo raz]ikovati medu sobom".

Kontinuitet izmedu ranije matematicke mis]i i savremenije mnogo je pot-puniji nego sto se to cini onima koje plasi danasnja ko]iCina novog, obi]je novihsimbo]a, sve apstraktniji naCin govora. U aksicmama vecma opstih, metrickihprostora neopozivo uCestvuju us]ovi koji se s]azu sa nasim intuitivnim shvatanjemrastojanja. Otkrice matricnog racuna, teorije grupa i drugih grana mcderne a]gebreznaci uvidanje da postoje i drugi matematicki objekti koji se ponasaju kao brojevii koji se mogu tako proucavati. Arhimed je, na genija]an nacin anticipirajuCi metodediferencija]nog i integra]nog racuna, izracunao vise povrsina i zapremina ograni-cenih krivim linijama i povrsima, a Rimanov integra] daje opste matode, koje,kada se primene na objekte tretirane od strane starih matematicara daju, prirodno,isti rezultat, ali su pogodne za obuhvatanje mnogo sirih k]asa. Diferencijalne jed-nacine imaju dvostruko porek]o: njih je nezadr.zivo nametao niz prakticnihproblema, a]i su se javi]e i s]edeujuCi unutrasnju ]ogiku diferencijalnog i integra]nogracuna, kada je on bio stvoren. Dinamicki sistemi su jedan vazan vid sistema di-ferencijalnih jednacina, interesantan teorijski, a]i i nametnut praksom. Ovi sistemi,kao i diferencijalne (a i funkciona]ne, i druge) jednaCine predstav]jaju jednu vrstusifre, kljuca iza koga se, kao resenje, kriju krajnje raznovrsni skupovi krivih ]inijasa odredenim osobinama. Kada se dos]o do odredenog kvantiteta Cinjenicnog ma-terijala uvidelo se da postoji dovoljna osnova za aksiomatizaciju, pa je stvorenamoderna teorija dinarnickih sistema gde se naizgled gubi karakter sistema diferen-cijalnog, jer nema potreba da eksplicitno figurisu izvodi funkcija. Rezultati ove

186 M Bertol:no

teorije daju se, medutim, vrlo pogodno interpretirati kod diferencijalnih jednacina,ali i drugde, u <::emuje prednost teorije.

Kao sto je Rimanov integral uopstio rezultate anticke matematike, bio je ion prirodno uopsten Lebegovim integralom, kada se uvidelo da je pravo gradanstvaraznih "defektnih" funkcija potpuno, da se one cak prirodnije sreeu u iskustvu,gde nema onih bukvalnih pravilnosti koje su tek prva, istina neophodna, karikai aproksimacija u nasem saznanju. Uopstenja pojma integrala isla su i dalje, jer suizvesne QPste osobine zajednicke za razne vrste integrala omoguCile aksiomatizacijui u ovoj oblasti. Takozvani apstraktni integrali nalaze sada mnogo sire primene odone prvobitne, vezane za povrsine i zapremine, ali njihovo poreklo je jamo i bilobi veoma kratkovido potcenjivati niihove izvore, bez kojih ne bi bilo ni njih samih.

Dirakova delta funkcija, kao i uopstene funkcije do kojih se, polazeCi od njedoslo u teoriji distribucija inspirisana je bas praksom, iako je njena definicija, saklasicnog stanovista lisena cak svakog smisla.

Tretiranje kompleksnog broja kao uredenog para otklanja svaku mistikuoko imaginarnog broja kao nekog apsurdnog hadIatnog korena iz negativnogbroja, koga, silom prilika, zbog njegove korisnosti, prihvatamo upIkos apsUldnosti.Pravo je cudo kako pojedini kriticari moderne matematike prihvataju i komplehanbroj (valjda zato sto im je 0 njemu govoreno u srednjoj skoli). Jer vee u uvodenjukompleksnog broja imamo jednu aksiomatiku i jedan metod identican sa onimkoji u modernoj matematici preovladuje. Ustvari, ista je situacija i kod uvodenjarealnog broja, pa i kod racionalnog i celog. Minus puta minus nije plus zato sto<lrukcije ne moze biti, nego da se ocuvaju izvesni zakoni koji vare kod prirodnihbrojeva, jer je prilikom svakog uopstenja pogodno da se sacuvaju zakoni koji suvazili u uzem skupu. To su razlozi ekonomije, reda, prakticnosti i sto za suprotnepostupke nema nikakvih razloga. No i sa zasnivanjem prirodnih brojeva ima velikihteskoea. Da)je, poznato je da neprotivrecnost matematike u celini nije dokazana,te da se neprotivrecnost bilo koje matematicke teorije ne moze dokazati sredstvimanje same. U matematici se uvek tvrdi sarno to da se, sa na odreden nacin usvojenimpolaznim pojmovima i stavovima na osnovu kojih se na odreden naCin definisunovi pojmovi, uz sto preciznija pravila izvodenja, dobija odredena vrsta posledica,odnosno rezultata. I ovde je, u krajnjoj liniji, slaganje sa praksom poslednji arbitar,a ovo slaganje nas, s obzirom na burni razvitak primena, principijelno zadovoljava.Intuicionisticki prava.c u matematici ne treba shvatiti kao polemiku takve vrste cijije cilj da se dosadasnja matematika ukine, odbaci kao pogresna. Intuicionisti od-bacuju "iskljucenje treeeg", "aktuelnu beskonacnost" itd. i prave matematiku beznje, dakle sa drugim aksiomama, sa drugim hipotezama dobijaju se druge posle-dice. S jedne strane je matematika osiromasena, jer u njoj ne figurisu mnogi rezultatii mnoge teorije, ali je s druge strane obogaeena, jer su nikli i novi pojmovi i nekistari logicki svestranije osvetljeni. U nekim primerima biee pogodniji jedan pravac,a u nekim drugi.

.

U vezi sa spomenutim Cinjenicama 0 neprotivrecnosti matematickih teorijasavremena matematicka misao otkriva svojevrsnu objektivnu dijalektiku. Za visokoformalizovane elementarne teorije brojeva zna se da su protivrecne ako su potpune,a da njihova neprotivrecnost povlaci nepotpunost. Cim, dakle, hoeemo celinu,totalitet, "Citavu istinu", dolazimo cak do opasnosti formal no logickih protivrec-nosti. Logicka Cistota u smislu odsustva protivrecnosti moze se traziti sarno u uskimteorijama.

I u matematici postoje razliCiti idejni pravci u pogledu filozofskih shvatanjaosnova i smisla matematike, kao i prave prirode ..matematickih biea". Neka od


tih shvatanja impliciraju idealisticka filozofska stanovista, a druga idealistickapostaju kada se primene na sire vanmatematicke oblasti. Ima i takvih koja unosepromene u matematiku samu, ne priznajuCi iz nacelnih, idejnih razloga, odredenepostupke, pojmove, definicije, stavove, a uvodeCi druge umesto njih. Tako mogu,na specijalan naCin, Ciniti matematicke nauke bogatijim novim analizama, dubljimpoimanjima veza izmedu matematickih teorija, iako im je opsta idejna poruka beznarocitog znacaja, ili tesko prihvatljiva.

o osnovnim pravcima u matematici, shvacenim na ovaj naCin, postoji obimnaliteratura. Spomenimo sarno i kod nas prevedenu "Filozofiju matematike" StefanaBarkera, te clanak Z. Mamuzica "Klasicna - moderna - konstruktivna mate-matika" (Matematicka biblioteka 20, 1963).

Tako Platon smatra da predmeti geometrijskog znanja imaju svoje realnobice van naSe svesti, mada su nedostupni culnom iskustvu. On je preteca tzv. realiz-ma, koji je, i pored svog naziva, sasvim idealisticki, pridajuCi svojevrsnu apriornurealnost vaniskustvenom. Po njemu, nasa sposobnost da znamo zakone geometrije,potice iz toga sto smo postojali u jednom drukcijem metafizickom stanju, gde smoimali mogucnost da posmatramo savrSene tacke, linije i figure. Ti su, dakle, pojmoviu nama a priori, jer u culnoj stvarnosti idealnih tacaka, linija i figura nigde nema.Kantov konceptualizam je jos produbljeniji i razradeniji platonizam: prostorniizgled stvari sarno je izgled koji im daje nas duh.

Intuicionisti, kao sto smo videli, odbacuju pojam aktualno beskonacnogskupa, a "iskljucenje treceg" priznaju sarno kada je rec 0 konacnim skupovima.Ako neki broj nije iracionalan, za intuicioniste ne mora biti racionalan. Brauerje, kao i Kant, tvrdio da "Cista intuicija" vremenskog brojanja sluzi kao polaznatacka za matematiku (otuda "intuicionizam"). Intuicionizam, inace, unosi prilicnupustos u klasicnu matematiku, odbacujuCi neke njene metode rasudivanja i nekenjene akciome. Zato on uvodi nova rasudivanja i algoritme, koji su od posebnogmatematickog interesa. Ako se posmatra siri filozofski kontekst sa kojim se in~tuicionizam moze povezati, onda je to "realizmu" suprotni nominalizam. Podlogisticizmom se podrazumeva glediste da je matematika grana logike. Frege jesamo tvrdio da bi se zakoni broja mogli svesti na logiku, Uajthed i Rase! su totvrdili za citavu matematiku. Ma koliko ovo glediste bilo jednostrano, i ono je,u svojoj matematickoj razradi, dovelo do novih i interesantnih rezultata. Realis-ticko stanoviSte prepoznajemo u sledeCim Raselovim recima: "Svako znanje morabiti prepoznavanje, po cenu da bude cista obmana; aritmetika se mora otkrivatitacno u istom smislu u kojem je Kolumbo otkrio Zapadnu Indiju, i tW nista visene stvaramo brojeve nego sto je on stvorio Indijance. Sve ono 0 ceiiiu se mozemisliti postoji, a njegovo postojanje je preduslov a ne rezultat, da se 0 njemumoze misliti. "Formalizam (D. Hilbert) je protivakcija intuicionizmu. U razvitkuteorije bitnu i jedinu ulogu trebalo bi da igraju odredene forme i odredena pravila(slicno pravilima za igru i oznakama za opis igre u sahu), dok intuicionizam priz-naje sarno tzv. konstruktivne dokaze i pojmove. Rase! pise: "Cista matematikasastoji se iskljucivo iz tvrdenja da ako je jedan takav i takav stay 0 nekoj stvariistinit, onda je takav i takav drugi stay 0 toj stvari isto tako istinit. Lezi u sustinistvari da se ne diskutuje 0 tome da Ii je prvi stay odista istinit, i da se ne pominjesta je neka stvar za koju se pretpostavlja da je istinita. Tako se matematika mozedefinisati kao predmet kod kojega nikada ne znamo 0 cemu govorimo i da Ii jeono sto kazemo istinito".

Osvrnueemo se znatno detaljnije na takozvani konvencionalizam, koji spadau pravce filozofskog idealizma uopste, a cija znacajna izvorista su u shvatanjima

188 M. Bertolino

nekih matematieara i fizieara. Njegove primene u drugim oblastima mogu bitijos stetnije nego kada je ree 0 do sada pobrojanim pravcima.

U vezi sa konvencijcm u matematici, njenim mestcm i uJogom, postoje mnoginesporazumi. Veoma prisutna "konvencionalnost" matematike, iako sasvim speci-fiene vrste i vrIo reJativnog karaktera, na\cdi mnoge da njen znaeaj apsolutizujui da na osnovu nje izvode gnoseoJoske i fiJozofEke zakJjlleke u daJeko sirim obJastima.S druge strane, neshvatanje iJi eak neuoeavanje priwst' a komencije u matematicidovodi razne nadobudne i neosnovane samouverene Jaike do veema bukvalnogshvatanja matematiekih istina i pojmova,a zatim, stirn u vezi, do bitno neadekvatnihzakljueaka.

Precenjivanje konvencionalnosti vodi do raznih subjektivistiekih fiIozcfema,a potcenjivanje odnosno nerazumevanje konvencije unesrecuje one koji rdavajurazne "kvadrature kruga".

Jedna od osnovnih ideja Poenkareovog konvencionalizma jeste u shvatanjuda naueni zakoni imaju dogovorni karakter i da se ne mogu u potpunosti dokazati,ni u potpunosti oboriti. Svoje fiJozcf~ke pogJede pretd.no je izntO u svojim knji-gama "Nauka i hipoteza", "Vrednost nauke", "Nauka i metcda". Oni se svrstavajuu idealistieku filozofiju, sa devizom "Materija je iseezJa". Zadriacemo se nestopodrobnije na ovim idejama i na njihovoj kritici.

Prema Poenkareu, nauena hipoteza moze biti sarno manje iJi vise "zgcdna"ili "udobna". On izriee na dosta kategoriean naCin: "U nas(m reJativncm svetusvaka istina je laz". AJi ovoj svojoj kategorienosti daje tLmacenje i ublazenje:"Bez sumnje nam teorije, na prvi pogled, izgJedaju trosne, i istorija nauke namdokazuje da su efemerne; pa ipak ne umiru one eitave i ed svake od njih ostajenesto. Treba se truditi da se to nesto razmrsi, jer tu prebiva, i E,,,mo tu, istinskastvarnost". Ova vera u istinsku stvarnost svcdi mnege cd Pcenkareovih reJati-vizama na sumnju u apsolutnost naseg saznanja, a ne na nevericu u objektivnurealnost kao kategoriju nezavisnu od naseg uma. Ovakvo tl.::maeenje mde se pri-pisati i sJedecoj njegovoj misli: "Sada se vidi u kakvcm sirckc m ~mislu treba pro-tegnuti relativnost prostora; prost or je, u stvari, amorfan i jedino shari koje su unjemu d,aju mu obJik. Sto onda treba misliti 0 onoj neposlednoj intuiciji koju bitrebalo da imamo 0 pravoj ili distanciji? Mi tako maJo imamo intuiciju 0 distancijipo sebi, da preko noti . . . jedna distancija bi mogla postati hiljadu puta veca ada mi to ne uzmognemo ni primetiti ako su i sve ostale distancije pretrpeJe istupromenu". Oeigledno je ree 0 nedovoljnosti nasih eula s jedne stlane, i, s drugestrane, 0 tendencijama da se ospori ma kakvo konaeno, evrsto sbvatanje prostora.Egzistencija prostora kao kategorije ne dovodi se u pitanje, sarno mu se pripisuje,kategoricnije nego sto odgovara opstem reJativistiekom dubu razmatranja, "amorf-nost" na jedan previse neopoziv naCin.

Sledeci citat Poenkarea navodi se kao primer subjektivno-idealistiekog stavaprema aksiomama. Videcemo, medutim, da on sadrZi danas manje-vise opstepriznata shvatanja 0 prirodi i porekJu aksioma i da ne odrice svaku vezu aksiomasa eksperimentalnim Cinjenicama. Zakljueci su jedino nesto ostriji nego sto bimoralo proisticati iz prethodne analize, sto se kod Poenkarea eesto desava. Citato kome je ree gJasi:

"Geometrijske aksiome nisu ni sinteticki apriorni sudovi, ni eksperimentalneeinjenice. One su uslovnog karaktera; pri izboru svih mogutib uslova mi se ruko-vodimo eksperimentalnim einjenicama, no sam izbor ostaje slobodan i ogranieensarno potrebom da se izbegne svaka protivreenost. Zato postulati mogu biti stro-


go pravilni cak kada su eksperimentalni zakoni koji su oprede1ili njihov izborsarno priblizni.

Drugim recima, aksione geometrije (ja ne govorim 0 aksiomama aritmetike)nisu nista vise nego zamaskirane definicije. Ako sada postavimo pitanje da Ii jeEuklidova geometrija istinita, videcemo da ovo pitanje nema smisla.. To je istokao kada bi se pitalo da Ii je ispravniji metricki sistem od starinskih mera ili Dekar-tove koordinate od polarnih. Jedna geometrija ne moze biti istinitija od druge,moze biti sarno udobnija".

U cuvenom Lenjinovom delu "Materijalizam i empiriokriticizam" nailazimona ostre zamerke Poenkareu kao uglednom predstavniku "konvencionalizma".NaCi ce se, medutim, u Poenkarea i ovakvih misli: "Nas duh daje jednu kategorijuprirodi. Ali ova kategorija nije Prokrustova postelja u koju silom smestamo pri-rodu prema svojim potrebama. Pruzamo prirodi jedan izbor postelja medu kojimabiramo onu koja najvise odgovara njenom stasu". Poenkare i sam priznaje da pri-roda ne pruza mnogo otpora zakonima koje joj "namecemo". PriznajuCi egzi-stenciju prirode van nas, govoreCi cak 0 njenom "stasu", Poenkare je ipak sklonzakljuccima koji kao da prirodi osporavaju njene objektivne osobine, one u pri-rodi sto uslovljava njen "neveliki otpor".

Lenjin je i sam podvukao nedoslednost Poenkarea. Ostro isticuCi negativnestrane nedoslednosti Lenjin je manje ili nikako isticao "stihijski materijalizam"Poenkarea i ostalih prirodnjaka, pa cak ni veoma dragocena Poenkareova za'pa-zanja sto se tice gnoseoloskih potankosti. Osnovno je Lenjinu bilo suzbijanjesvih dramatizacija "krize fizike", "krize matematike" i s1. kroz koje je smatrao dase protura "kriza materije", odnosno "kriza objektivne realnosti".

Lenjin je nazvao Poenkarea, "krupnim fizicarem a sitnim filozofom,,'nenaglasavajuCi znacaj Poenkarea kao matematicara. Medutim, bas u matematickombicu Poenkarea mogu se traziti objasnjenja nekih od korena njegova konvencio-nalizma. Primetimo samo ulogu Poenkarea u dokazu nezavisnosti V postulata.Poenkare je bio duboko prozet aksiomatskom metodom i posebno fasciniran stvar-nom slobodom matematicara u izboru postulata pocev od kojih se deduktivnoizvode odgovarajuCi zakljucci. Uzmimo dalje, zasluge Poenkarea. u zasnivanju teorijerelativnosti. Isuvise svestan pribliznosti kojcm nase teorije opisuju prircdne pojave,dobro znajuCi relativnost mnogih nasih osnovnih pojmova i zakljucaka, bolje negoiko uvidajuCi dogovorni karakter mnogih naizgled sasvim jasnih skoro "opipljivih"matematickih istina. Poenkare je mogao biti i bio je sklon precenjivanju svegatoga, sve do zakljucka da su naSe teorije sarno "udobnosti" i da se objektivna real-nost u potpunosti identifikuje sa svetcm nasih subjektivnih predstava i da nam je,kako on kaze, "sve jasnije sta moze da ucini ljudski um kada se sve vise i vise oslo-bada tiranije spoljasnjeg sveta".

TragajuCi, kao matematicar, za dokazima neprotivrecnosti matematickihteorija, dajuCi u ovom smislu cak i znacajnije priloge, Poenkare je zaista mogaobiti sklon prosirenju zahteva za neprotivrecnoscu, a time svojevrsnoj adijalektic-nosti. Protivrececi, medutim, u izvesnom smislu sebi samom, on ce reCi, na IIinternacionalnom matematickom kongresu 1900. godine: "Sada su u matematiciostali samo celi brojevi. Matematika je potpuno aritmetizovana. Mozemo reCi.da je postignuta apsolutna strogost". Protivrecnost je u ovako "apsolutistickoj"tvrdnji od jednog ubedenog relativiste!

Zaista, Poenkare nije mario druzenje sa protivrecnostima! Posle otkricaparadoksa teorije skupova, Poenkare potpuno napusta kantorovsku teoriju. Ova

190 M. Bertolino

cinjenica mnogo je uticala na Brauera, a time i na radanje matematickog "intuicio-nizma".

*Danas je sve manje univerzalnih matematicara, a jos manje onih koji se sa

podjednakom kompetencijom mogu baviti i teorijom i primenama. Pogled u proslostotkriva vise univerzalnih genija, sto ne znaci da je genija danas zaista manje. Ustare doba bilo je ipak vise mogucno ovladati citavim cinjenickim materijalom,koji je bio neuporedivo manji nego danas. U sadasnje vrcme pre se radi 0 kriziinformacija, nego 0 krizi matematike. Ovome dodajemo i sledecu Dalamberovumisao: "Veliki matematicari poznaju izvesnu vrstu lenjosti, koja ih radije oprede-ljuje za napor oko samostalnog otkrivanja izvesne istine, nego za malo prijatnousiljavanje da prate njeno otkrivanje u delima drugih. Uopste, oni malo Citaju jednidruge, a mozda bi i gubili kad bi mnogo Citali: u glavi, punoj uzajmljenih idejanema vise mesta za sopstvene i suvise citanja moze da ugusi genije".

Mi dodajemo: ako suvise Citanja moze da ugusi genije, to ne znaci da premalocitanja moze da ih stvori. U ovome svako treba da nade svoju meru i mogucnosti.Jedno je neosporno, strucnjak bar u uzoj oblasti, treba da zna poslednje rezultate,ali i za potpuno informisanje ove vrste danas su teskoce velike, sem ako se ne izaberei veoma uska i veoma bezznacajna problematika. Ostaje da se smelo zagazi u teSkoee,ali i da se, na internacionalnom planu, radi na pronalazenju efikasnog nacina in-formisanja. Na tome se i radi, pri cemu brze rezultate ne treba ocekivati - i to jematematicki problem svoje vrste.

Sem toga, matematicari su duzni da mnogo vise rade na popularisanju mate-matike u "nematematickim krugovima". Tu skow prceitao Eam jedan inaee vrlodobar elanak 0 Raselu, kao dobitniku Nobelove nagrade za knjizevnost. ClanaknaroCito ukazuje na Raselovu svestranost. Cak u takvom elanku se ne spcminjeda je Rasel bio i matematiear, iako ee on po svojim matematiekim rezultatimanajduze i ostati u istoriji nauke. Sarno je "procedeno" kako je imao sklonost kaprirodnim naukama, a iza toga stoji da je bio lieni Ajnstajnov prijatelj, pa se takoeitava naklonost baca u privatnu sferu. A ne pominje se, recimo, ako je vee 0 Ajn-stajnu ree, da je Rasel pisac jedne vrlo uspele popularizacije Ajnstajnove teorije,u kojoj je velika informativnost sreeno spojena sa popularnim naeinom izlaganja.

627

Documents