6587-probabilidad y aplicaciones estadisticas-paul meyer.pdf-

7/25/2019 6587-Probabilidad Y Aplicaciones Estadisticas-Paul Meyer.pdf-www.leeydescarga.com

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,// PROBABILIDAD

Y

APLICACIONES

ESTADSTICAS

dicin revisada

Paul

L.

=er

Wushington Stute University

Versin en espaol

Carlos Prado Campos

Universidud Cutlica de Chile

Con la colaboracin de

I

Germn Ardila Cullar

Universidud Nucional de Colombiu

Edicin revisada y corregida por

Sergio Octavio Esparza

Instit uto Politcnico Nacional Mxico

Y

Ral Montes de Oca M.

Universidad

Autnoma

Metropolitana

Unidud

Iztupcdapa

Mxico

vv

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA

Argentina Brasil Chile Colombia Ecuador Espana

Estados Unidos

Mexico

Per Puerto Rico 1 Venezuela

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Versin en espaol de la segunda edicin

de

la

obra

IntroductoT P1-obability

awl Statistical A~ l lications de Paul

L.

Rleyer, publicada originahnente en in-

ql6s po r Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, hlassachusetts,

E.U.A. 01970 .

Esta edici6n en espaol s la nica autorizada

6

i

1

, < I

Diseo de portada:Arrnando Jimnez

@ 1973 por

Fondo Educativo Interamericano

@

198G,

1992

por

ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA

S.

A.

Wilmington, Delaware,

E.U.A.

Impreso en os Estados Unidos. Printed n the U . S . A .

ISBN

0-201-5

1877 5

5 6 7 8 9

lO-CRs-9796S594


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Prlogo

a

la

edicin

en espaol

El creciente empleo de la estadstica en diversas reas del conocimiento

hace cada vez m& imperiosa

a

necesidad de contarcon textos adecua-

dos para iniciarel estudio de sta disciplina. En consecuencia, creoque

la traduccin d e esta

obra

del profesor Paul Meyer vendr

a

satisfacer

dicha demanda entre los estudiantes de habla hispana. Mi experiencia

pedaggica en escuelas de ingeniera y de matemticas con estudiantes

que por primera vez toman un curso deestadstica me indica que este

testo, que contiene una gran variedade prciblemas aplicados d e actua-

lidad, muchos ejemplos desarrollados comentarios tiles acerca de los

aspectos tericos de

la

materia, es fundamental para

a

comprensin de

un curso d e esta naturaleza.

Suntiugo

de Chile

CARLOSRADO AMPOS

1973


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Prlogo a la edicin revisada

La calurosa acogida que recibi la edicin en espaliol de estaobra

nos impulsamejorarlaendiversosaspectos.

Nos

dimospuesa la

tarea de revisar el texto nuevamente corregir las erratas de

a

edici6n

previa. Durante esta labor contamos conel apoyo incondicional del Dr.

Sergio Octavio Esparza, del Instituto Politcnico Nacional, Mxico, y

del

M e n C.

Ral Montes de Oca M., d e la Universidad Autnoma

Metropolitana, unidad Iztapalapa, Mxico, a quienes agradecemos s u

valiosa colaboraci6n.

Deseamos manifestar tambin quea presente edicin es un hom ena-

j e pstumo a nuestro autor, el

DI-.

Pau l L.

eyer.

Mxico

992

ADDISON W E S L E Y

I BEROAMER ICANA


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Prefacio a la primera edicin

Este texto

est

destinado para u n curso de un scmestreo para

dos

cur-

sos trimestrales de introduccin aa teora

dlc

la probabilidad y algunas

de

sus

aplicaciones. El prerrequisito

es

un

mo

dc clculo diferencial e

integral. N o se supone conocimiento prcvio de probabilidad estadsti-

ca.

E n

la Mhshington StateUniversity,

cl

cuIso paracl cual

se

desarroll6

este texto ha sido impartido durantevarios

aios,

principalmente a es-

tudiantcs que

se

especializarn cn ingcnierao

en

ciencias naturales. La

mayora d e ellos slo pucdcn dcdicarun semcstrc a l estudio de esta ma-

teria. Sin enlbargo, comoya

cst in

hniliarizados con cl clculo, pueden

empczar dicho cstudio

m i s

allh clcl nivel estrictamente elemental.

Muchos tcmas matcmriticos pucden prcsentarse en diversos grados

de

dificultad, y esto

es

cspecialmente en probabilidad. En este texto

sc pretende aprovechar la ventaja que suponcn los conocimientos ma-

temticos

del lector, sin sobrepasarlos. En

51 sc usa un

lenguaje mate-

mlico prcciso, pero se tiene cuidadode no prorundizar demasiado en

dctallcs matemticos innecesarios.

es t e

no

es

ciertamente

un

libro de

cocina. Aunque se prescntan

y

exponcn varios conccptos de manera

informal, las dcfinicioncs y los teoremas

sc

enuncian con cuidado. Si

no es posible

o

deseable la dcmostracin detallada de un teorema, al

menos se da bosquejo de

las

ideas

m h s

importantes. Una de las ca-

ractersticas distintivasde este texto

son las

Observaciones

que

siguen

a

la ma)-ora de los teoremas y definiciones;

en cllas el

resultado par-

ticular

o

el conccpto prcsentado

se

esamin;an desde un punto de vista

intuitivo.

Dcbido a a restriccin autoimpuestade escribir un testo relativamen-

te

b r e w

sobrc

una matcria

qu c

abarca una extensa rea,

l h o

necesidad

de hacer una sclcccin para incluir o excluir cicrtos temas. Parece scr

que

no hay manera obvia d e resolver estc problcma. Ciertamente, no

sostengo que para algunos de los temas excluidos no se podra haber

encontrado sitio, ni prctendo que no h a y a alguna parte que se pudiera

haber omitido. Sin embargo, en gran parte e ha hccho hincapik en las

nociones Tkdamenta les, pres entirdolas con

detalle

considerable. S610

el captulo 11 sobre confiabilidad, puede considerarse artculo de lu-

jo; pero, aun aqu creo que las nociones asociadas con problemas d e

confiabilidad

son

d e inters

para

muchas personas.

Ademhs los

con-


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6/488

vi Prefacio a la primera edicwn

ccptos de confiabiliclad

son u

medio excelente para ilustrar muchas e

las ideas prescntadas antes q1le ellos en el libro.

Arln

si se

picnsa qllc

l a

cxtcnsiGn ha sido limitada por el tiempo dis-

ponible, se ha logrado ulla sclccci6n amplia

y

razonable de temas. Una

ojeada

al nclicc general muestra de anera evidente que unas tres cuar-

tas

partes

del

texto

trata de temas probabilsticos, mientras la cuarta

parte restante est5 dedicada

a

una esposicin de inferencia estadsti-

ca.

Aunque

no

hay nada

de

extraordinario en esta divisin particular

dcl knfasis entre probabilidad

y

estadstica, creo que un conocimiento

profundo de los principios lh ico s de a probabilidad es imperativo pa-

ra una comprensi6n adccuada de

os

nlbtodos estadsticos. Idealmente,

a un curso en probalilidad debera seguir otro en teora estadstica

y

metodologa; sin embargo, como se indic antes, la mayora de los es-

tudiantes que toman este curso no tienen tiempo para dos semestrese

esposicin de estas materias y por tanto, me sent obligado a expo ner

a l menos algunos de

los

aspectos ms importantes en el rea general d e

la inferencia estadstica.

El xito potencial dc una presentacin particular dea materia no de-

bera juzgarse solamente enf u n c i h d e

as

ideas especficas aprendidas

y

de las

tkcnicas especificas atlquiritlas;

el

juicio final tambin debe tener

en cuenta

si

cl cstudiante est5 bien preparado para cont inuar estud ian-

do

el tema ya

sea

por

s

mismo

o

por medio de un curso formal adicional.

Si

se

considera que este criterio

s

importante , se hace evidente que de-

biera insistirse en los conceptos bhicos y en

las

tcnicas fundamentales,

rclcgando al mismo tiempo los mtodos

y

temas muy especializados a

un papel secundario. Esto tan1bii.n result ser un factor importante en

l

decisin sobre los temas

por

incluir.

Es

dificil exagerar la importancia de la teora d e

la

probabilidad.

El

modelo matemtico apropiadoa r a el estudio de un gran mero de fe-

nBmenos observables

es

probabilstico en

vez

de determinista.AdemLis,

el tema completo de la inferencia estadstica

est

basado en considera-

ciones probal)ilsticas.

Las

tcnicas estadsticas

se

cuentan entre algunas

de las herramientas

ms

importantes de cientficos e ingenieros. Para

poder utilizar esas tbcnicas inteligentemente se requiere una profunda

comprensicin de los conceptos probabilisticos.

Se espera que, adenls de Gmiliarizarse con muchos mtodos

y

con-

ceptos especficos el lector desarrolle cierto criterio: pensar probabilsti-

canlente sustituyendo preguntas tales como: (Durante cunto tiempo

funcionar5 este mecanismo? por (Cules la probabilidad de que este


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7/488

refacio a

primera

edicin

vii

mecanismo funcione durante ms de cien horas?. En muchas situa-

ciones, la segunda pregunta puede no slo ser la ms atinada sino, d e

hecho, la nica pertinente.

Como es ya tradicional, muchos de los conceptos mportantes de

la probabilidad se han lustradocon la ayudadevarios tjuegos d e

azar: lanzar monedas

o

dados, sacar cartas de una baraja, hacer girar

una ruleta, etc. Aunque no he evitado por completo referirme a tales

juegos, porque sirven para ilustrar bien nociones sicas, he intentado

poner en contacto l estudiante con ilustraciones ms pertinentes e las

aplicaciones de la probabilidad: la emisin de partculas (Y de una fuente

radiactiva, muestre0 de lote, la duracin de instrumentos electrnicos

y

los problemas asociados d e mecanismos y confiabilidad del sistema,

etctera.

Estoy reacio a mencionar una d e las caractersticas ms obvias en

cualquier exto d e matemticas: los problemas; y, sinembargo, es

posible que valga la pena sealar que rabajar con problemas debe

considerarse parte integrante del curso. lo mediante el acto personal

de plantear y resolver los ejercicios, es colno el estudiante tendr la

posibilidad d e desarrollar una comprensin y apreciacin de las ideas,

as como familiarizarse conas tcnicas pertinentes. Es por eso que en l

libro se incluyen ms de 330 problemas y, al final del texto, figuran las

respuestas a ms de la mitad d e ellos. Adems de los problemas para cl

lector, hay muchos ejemplos resueltos en diferentes partes a

o

largo del

libro.

Este libro se ha escriton forma bastante consecutiva:a comprensin

d e la mayora d e los captulos requiere familiaridad con los anteriores;

sin embargo, es posible tratar superficialmente

os

captulos 10 y 11 si s e

est interesado, en particular, en dedicar ms tiempo a las aplicaciones

estadsticas examinadas en los captulos 13 a

15

Como debe suceder a quienquiera que escribe un texto, debo estar

agradecido a muchas personas: amis colegas, por muchas conversacio-

nes estimulantes

y

tiles; a mis propios profesores, por el conocimiento

del tema

y

su inters en I; a los revisores d e las primeras versiones

del manuscrito, por

us

muchas sugerenciasy crticas iltiles; a Addison-

Wesley Publishing Company, por su gran ayuda

y

cooperacin desde

las primeras etapas de este proyecto hasta sufinalizacin; a la sefiorita

Carol Sloan, por ser una mecangrafa muy eficiente activa; a D. Van

Nostrand, Inc., The Free Press, Inc. y Macnnillan Publishing Company,

por su autorizacin para reproduciras tablas 3,

6 y 1

del apndice,res-

pectivamente; a McGraw-I Iill Book Company, Inc., Oxford University


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viii Prefacio a l primera edicin

Press, Inc., Pergamon Press, Ltd.

y

Prentice-Hall, Inc., por su autoriza-

cin para incluir ciertos ejemplos en el texto;finalmente, ani esposa,

no slo por la paciencia que mostr durante miabor, sino tambin por

dejarme

y

llevarse a nuestros

dos

hijos

a visitar a

s u s

abuelos duran-

te dos cruciales meses de verano, en los cuales pude convertir nuestro

hogar en un aller desordenado pero tranquilo, del cual emergi mila-

grosamente, al fin, la ltima versin de este libro.

Pullmnun

Washington

Abril 965

PAUL

M E Y E R


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9/488

Prefacio a l a segunda edicin

En vista del considerab le nmero

e

comentarios favorables que

e

re-

cibido durante los ltimos alios tanto de estudiantes como d e profeso-

res que han utilizado la primera edicin d e este libro, se han hecho en

I

relativamente pocos cambios. Con el uso repetido del testo he en-

contrado que su organizacin bsica y el nivel general de presentacin

(como la mezcla de argumentos matemticos rigurosos con presentacio-

nes

y

ejemplos ms informales) son los ms apropiados para el tipo de

estudiante que toma este curso.

Sin embargo, se han hecho varios cambios y adiciones. En primer

lugar se hizo un esfuerzo para eliminar varias erratas d e imp ren ta

y

otros errores que aparecieron n

l

primera edicin. El autor est muy

agradecido a

los

numerosos lectores que no

slo

descubrieron algunos

de ellos, sino que se interesaron

lo

suficiente como para indicrmelos.

En segundo lugar se intent hacer ms claras las relaciones en tre

variasdistribuciones de probabilidades,demodoque el estudiante

pueda comprender mejor cmo usararios modelos probabilsticos para

aproximarlos entre

.

Finalmente,sehanaiiadidonuevosproblemasa la ya larga lista

incluida en la primera edicin.

El autor desea agradecer nuevamente addison-Wesley su coopera-

cin en todos

los

aspectos que con dujero n a sta nueva edicin.

Pullman ashington

Diciembre

969

P. L . M.


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ndice General

Captulo 1 Introduccin a la probabilidad

1 1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

Modelos matemticos

Introduccin a

los

conjuntos

Ejemplos de experimentosno deterministas

El espacio muestral

Eventos

Frecuencia relativa

Nociones bsicas de probatbilidad

Varias observaciones

Problemas

Captulo Espacios muestrales finitos

2.1

El

espacio muestral finito .........................

2.2 Resultados gualmenteprobables

. . . . . . . . . . . . . . . .

2.3Mtodos deenumeracin

Problemas

Captulo 5 Probabilidad condicional e

independencia

3.1Probabilidadcondicional

3 . 2 Teorema de Bayes

3 . 3 Eventos independientes

3.4Consideracionessquemiiticas;

probabilidad condicional e independencia

Problemas

. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .

1

5

10

13

15

17

21

23

27

27

25

31

40

4

43

51

5

I

63


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Captulo 4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4 . S

Captulo 5

5.1

5.2

5.3

5.4

Captulo

6

6.1

6.2

6 . 3

6.4

6.5

6.6

Variables aleatorias

unidimensionales 69

Nocin general de una variable aleatoria . . . . . . . . 69

Variables aleatoriasdiscretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

I d a

distribucinbinomial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Variables alealoriascontinuas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Funcin de distribucinacumulativa . . . . . . . . . . . . 9 0

Dist ribucioncsmixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Variables aleatorias distribuidas

unllormemcntc

Una observac~on

97

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funciones de variables

aleatorias

105

U n

eJenlplo

105

Eventosequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Variables aleatol-ias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

\'n~-iablesalcatorins continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1

I'roblernas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variables aleatorias

bidimensionales

y

de mayor

dimensin

121

\'ariaI)lcs aleatorias bidimensionalcs

. . . . . . . . . . . . .

121

Distribuciones d e probabilidades

nlarginalcs

y

condicionales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Variables aleatorias independientes . . . . . . . . . . . . . . 134

Funcioncs d c 1 1 m varinblc aleatoria . . . . . . . . . . . . . 137

Distribuci6n tiel

producto

y

del

cocicntc

d e

Variablcs alcatorias n.-dinlensionales . . . . . . . . . . . . 14 5

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

variables aleatorias independientes

. . . . . . . . . . . . . .

142


12/488

h d i c e general

xiii

Captulo

7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

Captulo

8

S

.

1

8.2

s.3

s.4

8.5

S.6

s.7

8.8

Otras caractersticas de las

variablesleatorias

153

El valor esperado de una variable aleatoria

. . . . .

153

Esperanza de una funcin de

una variable aleatoria

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

Variables aleatorias bidimensionales

. . . . . . . . . . . . .

166

Propiedades del valor esperado

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

La varianza de unavariable aleatoria

. . . . . . . . . . .

175

Propiedades de la varianxa de

una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Expresiones aproximadas para a

esperanza y la varianza

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

El coeficiente de correlacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Esperanza condicional

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194

Desigualdad d e Chebyshev

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

Regresin del promedio

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

La variable aleatoria de Poisson

y otras variables alleatorias

discretas

La

distribucin de Poisson

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

La distribuc ih

de

Poisson corno una

aproximacin a la distribucin binomial

. . .

El proceso d e Poisson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La distribucin geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . .

La distribucin de Pascal ....................

Relacin ent re las distribuciones

binomial

y

de Pascal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La

distribucin hipergeomtrica . . . . . . . . . . .

La distribucin multinomial

. . . . . . . . . . . . . . . .

Problemas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

...

209

. . .

211

. . . 215

. . .

224

. . .

225

. . .

230

. . .

231

. .

233

. . . 234


13/488

xiv ttdice getreral

Captulo 9 Algunas variables aleatorias

continuas importantes 239

9

I

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.S

9.9

9.10

9.11

9.12

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

La

distribuci6n normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Propiedades de la distribucicjn normal . . . . . . . . . . 240

Tabulaci6n de la distribucibn normal

. . . . . . . . . . .

244

La distribucih exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Propiedades d e la distribucidn esponencial

. . . . .

250

La distribucin gama

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

254

Propiedades de la distribucidn gama

. . . . . . . . . . . .

255

La distribucin x-cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Comparacin entre varias distribucioncs . . . . . . . 260

La distribucin normal bivariada

. . . . . . . . . . . . . . . .

261

Distribuciones truncadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Captulo10 La funcin generadora de

momentos 275

10.1

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

275

10.2 La funcingeneradorademomentos . . . . . . . . . . . 276

10.3Ejemplos de funcionesgeneradoras

d e momentos

215

10.4 Propiedades d e la funcin generadora

d e momentos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251

10.5 Propiedades eproductivas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

256

10.6

Sucesiones d e variablesaleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . 291

10.7 Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

292

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Captulo11 Aplicaciones a la teora de la

confiabilidad 297

11.1Conceptos bsicos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

297

11.3 La ley exponencia1 de falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

11.2 La ley normal de falla

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 0 1


14/488

11.4 La ley exponencial de falla y la

distribucin de Poisson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

307

11.5

La

ley de fallas de \Veibull

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309

11.6Confiabilidad de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Problemas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316

Captulo

12

Sumas de variables leatorias 23

12.1ntroduccin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

12.2 La ley de los grandes nilmcros

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

324

12.3Al~roximacinnormal de la

distribucin binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

12.4 El teorema de lmite centr.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

12.5Otrasdistribucionesaproximadas por la

distribuci6n normal: de Poisson, de Pascal

y p n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

12.6 La

distribuci6n

de

la suma de

L I ~

nilmero finito dc variables alcxorias

. . . . . . . . . . . .

339

Proble~nas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

346

Cap tulo13 M uestras

y

distribuciones

muestrales 3 49

13.1ntroduccin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

13.2Muestras leatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

13.3Estadsticos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

354

13.4 Algunosestadsticos importantes

. . . . . . . . . . . . . . . . .

355

13.5

La

transformaci6n ntegral

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3g5

Captulo14st imacin de parimetros 373

14.2Criteriosparaestimados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

375

14.3 Algunosejemplos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

14.1ntroduccin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

373

14.4 Estimados de mximaverosimilitud

. . . . . . . . . . . . . 354

14.5

El

mtodo de los mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . 395


15/488

14.6

14.7

14.8

14.9

El

coeficiente de correlacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Intervalos de confianza

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

401

la

distribucin

t

de Student

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

403

MAS sobre los intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . 406

Problemas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

411

Captulo15

15.1

15.2

15.3

15.4

Referencias

. . .

Apndice . . . . . .

xvi h d i c e general

. .

. .

Pruebas de hiptesis

417

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Formulacin gencral: distribucin normal

con varianza conocida

............................

424

Ejemplosadicionales

.............................

429

Prueba

para

la bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . 434

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ..

451

Respuestas a problemas seleccionados

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

ndice de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475


16/488

1.1 Modelos matemticos

En este captulo se tratar el tipo de fenmeno del queos ocuparemos

en este libro. Adems, formularemos un modelo matem5tico que nos

servir para investigar este fenmeno en forma bastante precisa.

Al principio es muy importante distinguir entre el fenmeno ob-

servable en

s

mismo y el modelo matemtico para dicho fenmeno.

Evidentemente, no influimos de manera alguna sobre lo que observa-

rnos; sin embargo, al elegir un modelo,

si

podemos aplicar nuestro jui-

cio crtico. Esto ha sido muy bien expresado por el profesor. Neyman,

quien escribi:*

Cada

vez que utilizamos las matematicas con el objeto de estudiar fe-

nmenos observables es indispensable empezar por consLruir un modelo

maten1,itico (determinism o probabilstico)

para

estos fenmenos. Necesa-

riamente, este modelo debe simplificar Ins cosas y permitir la omisi6n de

* University of Califomia Publ icat ions in Statistics, 7?01. I , University of California

Press, 1954.


17/488

2 Introdzcccwn larobabi l idad 1.1

ciertos deulles.El xito delmodelo dep end e de i los detalles que se omitie-

ron tienen

o

no importancia en el desarro llo de

os

fenmenos estudiados.

La

solucirin del problema matemtico puede ser correcta an as estar en

desacuerdo con os datos observados, debido sencillamente aque no estaba

probada la validez de las suposiciones bsicas que se hicieron. Normalmente

es bastante dificil afirmar con certezai un modelo matemritico es adecuado

o

no, antes de obtener algunos datos, mediantea obsenracibn. Para verificar

la validez del modelo, debemosdeducir un cierto nmero deconsecuencias

del mismo y luego comparar on las observaciones esos resultados~redichos.

Debemos tener presentes las ideas anteriores al considerar algunos

fenmenos obtenidos en la observacin

y

los modelos apropiados para

su descripcin. Examinemos primero lo que podra llamarse adecua-

damente un modeelo

detenninista. A s

designamos al modelo que estipula

que las Condiciones en las que se verifica un exper imento dcterminan

el resultado del mismo. Por ejemplo, si colocamos una batera en un

circuito simple, el modelo matcrntico que posiblemente describira el

flujo observable de corriente sera I = E / R , que es la ley de Ohm. El

modelo predice el valor de

I

tan pronto se dan E y R. En otras pa-

labras,

s i

sc repitiese el experimento anterior cierto nmero de veces,

empleando cada vez el mismo circuito (esto es, manteniendo fijas E

y

R) , posiblemente hubiEramos esperado observar el mismo valor de I.

Cualquier desviacin que pudiese ocurrir sera tan pequea quea ma-

yor parte de los objetivos de la descripcin anterior (que es el modelo)

se cumpliran.

La

realidad es que la batera, el alambre y el amperme-

tro utilizados para generar y medir la corriente y nuestra destreza para

usar los instrumentos de medicin dctcrminan el resultado de cada re-

peticin. (Hay cicrtos factores que muy bien pueden scr distintos de

repeticin

CII

repeticin

y

que,

sin cmbargo, no afectarn cl resultado

de mancra notable. Por ejemplo, se puede considerar con razn que

la temperatura y la humcdad en el laboratorio, o bien la altura de la

persona quc lee el ampermetro, no tienen influencia en el resultado.)

IIay muchos cjcmplos de experimentos en la naturaleza para los

cuales los modelosdeterministas onapropiados.Porejemplo, las

leyes gravitacionales describen con precisin lo que sucede

a

un cuerpo

que cac cn ciertascondiciones. Las leyes deKepler nos ndicanel

comporramicnto de

los

planetas. En cada caso, cl modelo sefiala que las

condiciones en las cuales se verifican ciertos fenmenos determinan cl

valor de ciertas variables observables: la nzcgnitud de

la

velocidad, elrea

recorrida durante cierto periodo de tiempo, etc. Estas cifras aparecen

,


18/488

1.1 Modelosatemticos 3

en muchas de las frmulas con las cuales estamos familiarizados. Por

ejemplo,sabemosqueenciertascondiciones, la distancia ecorrida

(verticalmente sobre el suelo) por n objeto est dada por:

= - 1 G t 2

+

vat,

donde

vo

es la velocidad inicial y

t

es

el

tiempo empleado. Lo que

queremos destacar nos la forma particulard e la ecuacin anterior (que

es cuadrtica), sino el hecho de que hay una relacin definida entre y

S que determina unvocamente la cantidad del primer miembro d e l a

ecuacin, si sedan las del segundo miembro.

En muchoscasos el modelo matematico determinista antes descrito es

suficiente.

Sin

embargo, hay tambin muchos fenmenosque necesitan

un modelo matem5tico distinto para su investigacin.

Esos

son los que

llamaremos modelos noeterministas o probabikticos. (Otro trmino muy

usado

es

modelo

estochistico.)

Ms adelante, en

este

capitulo considera-

remos en forma muy precisa cmo se pueden describir tales modelos

probabi.lsticos. De momento consideraremos unos cuantos ejemplos.

Supongamos que tenemos un pedazo de material radiactivo que emi-

te partculas

a .

Con la ayuda de un dispositivo para medir podramos

registrar el n me ro de artculas emitidas d,uranteun determinado n-

tervalo de tiempo.

Es

evidente que no podemos predecir exactamente

cl nmero de partculas emitidas, aunque sepamos la forma exacta, la

dimensin, la composicin qumica y la masa del objeto

que

se consi-

dera. As no parece haber un modelo determinista razonable que nos

ind ique el nmero de partculas emitidas, digamos n , como una fun-

cin d e varias caractersticas propias de la fuente de radiactividad. En

s u

lugar, debemos considerar un modelo probabilstico.

A manera de otro ejemplo, consideraremosa siguiente situacin me-

teorolgica. Deseamos determinar cuantaluvia caer debido a una tor-

menta que pasa por una zona especfica.

Los

instrumentos para regis-

tra r la cantidad de lluvia estn listos. Las observaciones meteorolgi-

cas pueden darnos informacin considerable sobre la tormenta que se

aproxima: la presin baromtrica en diversos puntos,

los

cambios de

presin, la velocidad del viento, el origeny la direccin de la tormenta,

as como otros datos tomados a gran altura. Pero como esta informa-

cin tan valiosa es para predecir de modo muy general a forma de la

precipitacin (dbil, regular, intensa), sencillamente no permite saber

con mucha exactitud

cunta

lluvia caer&. De nuevo, estamos conside-

rando un fenmeno que por s mismo no se presta a un tratamiento

determinista. Un modeloprobabilstico describe la situacin con mayor

exactitud.


19/488

4

Introduccwn 1.2

En principio podramos indicar cunta lluvia cay, si a teora se

hubieradesarrollado (lo queno sehizo). Por

lo

tanto,usamos un

modelo probabilstico. En el ejemplo relacionado con

a

desintegracin

radiactiva, debemos usarun modelo probabilstico aun enprincipio.

A

riesgo de adelantarnos

a

discutir un concepto que se definir

ms

tarde, indiquemos simplemente que en un modelo determinista se supo-

ne que el resultado real

sea

numrico o de ot ra especie) est definido

po r las condiciones en las cuales se efecta el experimento o procedi-

miento. En un modelo no determinista, sin embargo, las condiciones

experimentales

slo

determinan el comportamiento probabilstico (ms

especficamente, la distribucin probabilstica) d e

los

resultados obser-

vables.

En

otras palabras, en un modelo determinista,tilizamos considera-

ciones especficas para predecir el resultado, mientras que en un mo-

delo probabilstico usamos la misma clase de consideraciones que para

especificar una distribucin de probabilidades.

1.2 Introduccin a los conjuntos

Con el in de discutir los conceptos bsicos del modclo probabilstico que

deseamos desarrollar, ser muy conveniente tener presentes algunas

ideas y conceptos de

la

teora matemtica d e conjuntos. Este tema es

muy extensoy se h a escrito mucho acerca e l. Sin embargo, aqu lo

necesitaremos algunas nocionesbsicas.

Un conjunto es una coleccin d e objetos. Comnmente los conjuntos

se designan con letras maysculas A , B , etc. Para describir qu objetos

estn contenidos en l conjunto A, se dispone dc res mtodos.

a )

Podemos anotar los elementos de

A.

Por ejemplo,

A

=

{

1 , 2 , 3 , 4 }

indica el conjunto que contiene

os

enteros positivos 1, 2,

3 y

4.

6) Podemosdescribiralconjunto

A

con palabras.Porejemplo,

podramos decir que est formado por todosos nmeros reales entre

O y

1, inclusive.

c) Para escribir el conjunto nterior,implemente scribimos

A = {x 1 O 5 x

6

1); es decir, -4 es el conjunto d e todas las x, don-

d e x es un nmero real comprendido entre y

1,

inclusive.

Los objetos que forman a coleccin del conjunto

A

se llaman miembros

o

elementos

d e

A .

Cuando

a

es

u n

elemento de

A

escribimos

a

E

A

y

cuando

a

110 es un elemento de il scribimos

a A .

IIay dos co~~ju ntosspeciales que a menudo son de inters. En la

mayor parte de los problemas estamos interesados en el estudio de un


20/488

1.2 Introduccin

a

los conjuntos

5

conjunto defin ido de objetos, y no de otros; por ejemplo, en todos los

nmeros reales, en todos los artculos que salen de una nea de produc-

cin durante un periodo de

4

horas, etc. Definimos el

conjunto universal

como el conjunto de todosos objetos que se consideran. Normalmente

este conjunto se designa con

U .

Otro conjunto que se debe destacar de maaneraespecial puede apa-

recer como sigue. Supongamos que se describe el conjunto A como

el conjunto de todos

los

nmeros reales x que satisfacen la ecuacin

x 2

+

1

= O .

Evidentemente sabemos que no pueden existir tales nme-

ros. El conjunto A no contiene ningn elemento Esta situacin ocurre

tan a menudo queustifica la introduccin de un nombre special para

tal conjunto. Por lo tanto, definimos el con-junto nulo

o

vacio como el

conjunto que no contiene elementos. En general, este conjunto se de-

signa con 0 .

Puede suceder que cuando se consideran dos conjuntos

A

y B, ser

miembro de

A

implica ser un elemento de

j9.

En tal caso se dice que

A es un subconjunto de B y se escribe A c B. Se da una interpretacin

semejante a B c A . Decimos que dos conjuntos son el mismoA

=

B, si

y slo

si

A c

B y

B c

A . Esto es, dos conjuntos son

iguales

si y

s610

si

contienen los mismos elementos.

Las dos propiedades siguientes del conjunto nulo

y

del conjunto

a ) Para cualquier conjunto A , se tiene

0

c A .

b ) Una vez que se ha acordado el conjuntlo universal, entonces para

universal son inmediatas.

cualquier conjunto A considerado que est5 en

U ,

tenemos A c

U .

EJEMPLO

1.1.

Supongaque

U

=

todos los nilmeros eales,

A

=

{ x

I

x2

+

2 x - 3

= O},

B = {x

I

(x - 2 ) ( x 2 + 2 2 -

3)

=

O}

y

C =

{ x I

x = -3,1,2}. Entonces

A

c B y B

:=

C .

Ahora consideremos la importante idea de ombinar conjuntos dados

con el fin de formar un nuevo conjunto. Se consideranos operaciones

bsicas. stas son paralelas, en ciertos aspectos, a las operaciones de

suma

y

multiplicacin de nmeros. Supongamos que A y B son dos

conjuntos. Definamos

C

como la

unidn

de

A

y

B

(algunas veces llamada

la suma deA y de B ) de la manera siguiente:

C

= { x

I

x E A

o

x E B

( o ambos)}.


21/488

6

Introduccwn a la probabilidad

1.2

Esto lo escribimos as: C

=

A

U

B. A s , C est formada por todos os

Definimos

D

como la

interseccidn

de

A

y

B

(algunas veces designado

elementos que estn enA, o en B, o en ambos.

como el producto de y B ) como sigue:

Escribamos esto como D = A

n

B.

Es

as como

D

posee todos los

elementos que estn enA y en B.

Finalmente presentamos la idea del complemento de un conjunto A

como sigue: el conjunto designado por A, formado por todos los ele-

mentos que

no

e s t h en

A

(sino en el conjunto universal

U )

se llama el

complemento de

A .

Esto es, AC

= {x

1 x $ A } .

Se puede usar con mucha ventaja un recurso grfico conocido como

diugramu de

Vnn cuando se combinan conjuntos de

l a

manera antes

indicada. En cada uno de los diagramas de la figura

1.1,

la regin

sombreadu

representa el conjunto considerado.

A u B A n B

F I G U R A

.1

EJEMPLO

.2. Supngaseque

U =

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};

=

{1,2,3,il},B={3,4,5,6}.I-IallamosqueAC={5,G,7,8,9,10),AUB=

{

1,2,3,4,5,6}

An B

=

{ 3 , 4 } . Ntese que al describir un conjunto (tal

como

A U I ? )

anotamos cada elemento exactamente unavez.

Las

operaciones anteriores de unin e interseccin definidas justa-

mente para dos conjuntos pueden extenderse de una manerabvia pa-

ra cualquier nmero finito de conjuntos.

s

definimos

A

U B

U

C

como

A U

( B

U C ) o ( A U B ) U C, que es el mismo, como fcilmente se puede

verificar. De igual manera, definimos A n B n C como A n ( B n

C)

o

(AnB)nC que tambin puedeerificarse que son guales. Y es evidente


22/488

1.2 Zntroduccidn a

los

conjuntos

7

que podemos continuar esas construcciones de conjuntos nuevos para

cualquier nmero finito de conjuntos dados.

Afirmbamos que ciertos conjuntos eran

l o

mismo, por ejemplo

A

n

( B

n C ) y ( An B ) n C . Resulta que hay varios conjuntos equivalentes,

algunos de los cuales se indican ms ade1ant:e. Si recordamos que dos

conjuntos son iguales siempre que contengan os mismos elementos, es

fcil verificar que los enunciados establecidos son verdaderos. El lector

debe convencerse por mismo con ayudade los diagramas de Venn.

U )

A U B = B U A , b) A n B = B n A ,

C) A u ( B u C ) = (Au B)u C, d ) A n ( B n C )

=

(AnB)nC.

(1.1)

No s referimos a

a)

y b ) como las propiedades conmutativas,

y a

c)

y

d )

como las propiedades

asociutivas.

Hay otrosconjuntos idnticos que contienen unin, interseccin com-

plementacin. Los ms importantes se indican a continuacin. En cada

caso, su validez puede verificarse con ayuda de un diagrama deenn.

e )

A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C ) ,

J

A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C ) ,

g)

A n 8 = 0 ,

h ) A U 8 = A ,

j )

( A n

B)' =

AC

U

BC,

(1.2)

i) (A u B)'

=

ACn BC,

K )

= A.

Observamos que )y

h )

indican que se comporta entre os conjuntos

(respecto a las operaciones U e n) como lo lhace el nmero cero entre

nmeros (respecto a as operaciones de sumfay multiplicacin).

Para lo que sigue se necesita una construccin adicional de un con-

junto, dados dos

(o

ms) conjuntos.

Definicin.

Sean

A y

B dos conjuntos. Indicaremos comoelproducto

cartesiano de A y B, escrito como

A

x B, al conjunto

{(a,

) ,

a

E

A , b E B } ,esto es, el conjunto de todos

os

pares ordenados, donde

el primer elemento se toma de y el segundo deB.

EJEMPLO .3. Sea A = {1,2,3}; B = {1,:2,3,4}.

Entonces,

A

x

B

=

{(1,1),(1.2),

. . .

( 1 , 4 ) , ( ' 2 ,

1),

. .

(2,4),(3,1),

. . . ,(37.2)).

Obseruacin:

En general, A x B f B x A .


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8 Introduccwn la probabi l idad 1.3

La nocin anterior puede extenderse como sigue: i

A l ,

. . . ,

A ,

son

conjuntos, entonces A ,

x A: x

. . .

x

A,

= { ( a l ,u: ,

. .

,u n ) ,a; E

A;}esto

es, el conjunto d e todas las n-tuplas ordenadas.

IJn caso especialmente importante aparece cuando tomamos el pro-

ductocartesiano deunconjunto consigomismo,esto es,

A

x A

o

A x A x

n. Ejemplos as aparecen cuando nos relacionamos conl plano

euclidiano, R x R, donde R es el conjunto de todos los nmeros reales

y

el espacio euclidiano tridimensional

se

representa como

R x R x R.

El n me ro de elementos en un conjunto nos serde mucha utilidad.Si

hay un nmero inito de elementos enA , digamos

a l , a: ,

.

.

,

n

decimos

que

A

esfinito. Si hay un nmero nfinito de elementos en que pueden

ponerse en una

corresfiondencia uno-a-uno

con

los

enteros positivos,

de-

cimos que A es infin ito contable o infinito numerable. (Se puede demostrar,

por ejemplo, quel conjunto de todos

os

nmeros racionales es infinito

contable.) Finalmente debemos considerar el caso de un conjunto nfi-

nito no numerable. Tales conjuntos contienen un nmero infinito d e

elementos que no pueden ser enumerados. Se puede demostrar, por

ejemplo, que para dos nmeros reales cualesquiera

b > a , el

conjunto

A

= { z I

a

5 2 5 b } tiene un nilmero no numerable de elementos.

Puesto que debemos asociar con cada nmero real un punto sobre la

recta de los nmeros reales, lo anterior expresa que cualquier intervalo

(no

degenerado) contiene ms de un ntmero contable de puntos.

Los conceptos antes mencionados, aunque representan

lo

un breve

bosquejo d e la teora de conjuntos, sonuficientes para nuestro propsi-

to: describir con rigor y precisi6n considerables las ideas bsicas d e la

teora de

l a

probabilidad.

1.3 Ejemplos de experimentos

no

deterministas

Estamos ahora listos para discutir

lo

que entendemos por experimento

aleatorio

o

no determinista. (Ms precisamente, daremos ejemplos

de fenmenos para los cuales los modelos no deterministas son apro-

piados. Esta es una distincin que el lector deber mantener presente.

As

nos referiremos fi-ecuentemente

a

experimentos no deterministas

o

aleatorios, cuando de hechoestamos hablando de un modelo no deter-

minista para un experimento.) N o pretenderemos dar una definicin

precisa d e diccionario para este concepto. En su lugar, daremos nume-

rosos ejemplos que a ilustran.

E1

: Se lanza un dadoy

se

observa el nmero que aparece ena cara

supcrior.


24/488

1.3

Ejemplos de experimentos

no

deterministas 9

Sc l a n z a una moncda cuatro vcccs

y

se cuenta el nimero total

de caras obtenidas.

Se lanza

u n a

monctln cuatro veces

y

se

observa

la

sucesin de

Sc h1)rican artculos cn una lnea de produccin y se cuenta el

nQ mcro de artculos dcfcctuosos producidos en un periodo

de

24

horns.

E l

ala dc 1111 acroplano se armacon un gran nnm-o

de

rerna-

chcs. Sc cuenta el nillncrodc rcmachcs

defectuosos.

S e fabrica una bonlbilla. Luego se prueba s u duracin conec-

t h d o l a e nun portakn1paras y se anota

cl

tiempo transcurrido

(en horas) hasta quc

se

qucnm.

En un lote de 1

O

artculos hay3 dcfectuosos. Se elige un artculo

despus de otro (sin sustituir el artjiculo clegido) hasta que se

obtiene cl illtinlo artculo dcfcctuoso. Sc cuenta el nmero total

de

artculos sacados

dcl

lotc.

Se

fabricanartculoshastaproducir 10 no dcfectuosos.

S e

cuenta el nmero total

de

artculos manufk turados .

Se lanza un proyectil. Dcsp1Ii.s

de un

tiempo dcterminado t , se

anotan

los

tres componentes dc a velocidad

' uz ,

vUy v2.

caras y scllos obtenidos.

E l o : S e observa un proyectil recin lanzadoen ticmpos, t l , z , . . .

,

n .

En

cada opor t~~nidad

e

anota la a'ltura del proyectil sobre

el

suclo.

El

1:

hfcdir

la

resistencia a

la

tensin de m a barra de acero.

El2: De u n a urna que conticne slo esferas negras, se escoge una

esfcl-a

y

se anota

su

color.

E13: Un tc1-lngraro marca la temperaturacontinuamenteenun

periodo de 24 horas. En un sitio

y

en una fecha

senlados,

"leer"

dicho tcrmcigrafo.

E l 4 : En la situacin descrita cn E13 se anmotanas temperaturas mini-

ma

y

mxima, 2 y y del periodo de24 lloras considcrado.

?Qui.

ticncn cn comn los expcrilncntos anteriores? Los siguientes

aspectos son importantes para nucstra descripcin

dc

un

exl):l,pri?nento

aleatorio.

a ) Es posiiblc rcpctir cada cspcl-imcnto en forma indefinida in cam-

biar

esencialmente

Ins

condicioncs.

b ) Aunque cn gcncral

n o

podcmos illdi,car cuA

ser&

un resultado

f m d c u k a r , podemos dcscribir

el

conjunto de todos los resultados

posibles

del expcrinlcnto.


25/488

10

Introduccin

a

la

probabil idad 1.4

c)

A medida queel experimento se repite,os resultados individuales

parecen ocurrir en forma caprichosa. Sin embargo, como el experi-

mento

se

repite un

gran

nmero deveces, aparece un patrn definido

o regularidad. Esta regularidad hace posible la construccin de un mo-

delo matemtico preciso con el cual analizamos el experimento.

Ms

adelante abundaremos sobre a naturaleza e importancia de esta regu-

laridad. Por el momento,el lector

slo

necesita pensar en lanzamientos

rcpetidos de una moneda regular. Aunque las caras

y

sellos aparece-

rn sucesivamente de manera asi arbitraria, es bien conocido el hecho

emprico d e que, despus de un gran nmero de lanzamientos,a pro-

porcin d e caras

y

sellos ser aproximadamente igual.

Debe notarse que todos

los

experimentos antes descritos satisfacen

estascaractersticasgenerales.(Porsupuesto, altimacaracterstica

mencionada solamente se puede verificar por experimentacin; deja-

remos a la intuicin del lector creer que

si

el experimento se repitiese

un g ran nmero de veces, la regularidad mencionada sera evidente.

Por ejemplo, si se probase un nmero deombillas del mismo fabrican-

te, posiblemente el nmero debombillas quemadas, digamos en ms e

100 horas, podra ser predicha con bastante exactitud.) Ntese que el

experimento

E12

tiene la peculiaridad de

que

slo es posibleun resul-

tado. En general, tales experimentos no sern de inters, por l hecho

de que no sabemos qu resultado particular ocurrir cuando e realice

un experimento

y

que lo hace interesante para nosotros.

Obseruacin: Al describir los diversos experimentos, hemos especificado no

slo el procedimiento que se realiza, sino tambin lo que estamos interesados

en observar (ver, por ejemplo, la diferencia ent re E2 y E3. ste es un punto

muy importante al cual nos referiremos ms adelante cuando estudiemos las

variables aleatorias. Por

el

momento, observemos simplemente

que,

como una

consecuencia d e u n solo procedimiento experimental o la ocurrencia de un

solo fcnmeno,

se

pudieron calcular

varios

valores numricos diferentes. Por

ejemplo, si se elige una persona entre un gran grupoy la eleccin propiamente

dicha se hace seglin el procedimiento experimental antes indicado), podramos

estar interesados en la altura, peso, ingreso anual, nilmero de

hijos,

etc., de

la

persona. Naturalmente, en n mayora d e los casos sabemos, antes de comenzar

nuestro

experimento, l a s caractersticas numkricas q u e nos interesan.

1.4

El espacio muestra1

Definicin.

Con cadaexperimento E del ipoqueconsidcramos,

definimos el espucio m u e s t d como el conjuntod e todos los resulta-

6587-probabilidad y aplicaciones estadisticas-paul meyer.pdf-

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