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APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DE FUNES ATRAVS
DO GEOGEBRA E DE TIPOS DIGITAIS?
Alexandre de Mattos Teixeira
Rio de Janeiro
Janeiro/2013
Dissertao de Mestrado apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias e Matemtica, Centro Federal de Educao Tecnolgica Celso Suckow da Fonseca, CEFET/RJ, como parte dos requisitos necessrios obteno
do ttulo de mestre.
Orientadores:
Prof. Samuel Jurkiewicz, D.Sc.
Prof. Humberto Jos Bortolossi, D.Sc.
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Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Central do CEFET/RJ
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iv
Dedico esta dissertao minha filha Beatrice
e a todas as pessoas que estiveram sempre ao
meu lado ou que incentivaram meus estudos,
especialmente:
meus avs Joo (in memoriam) e Waltenira,
minha me Marimilia, minha tia Maringela,
meu tio Joo e meu av Osmar.
Obrigado por tudo que vocs fizeram por mim.
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Agradecimentos
Ao meu orientador Samuel Jurkiewicz que acreditou na proposta de pesquisa
desde o incio, sempre me encorajando a desenvolver meu prprio pensamento e
promover o crescimento da minha cultura cientfica.
Ao meu co-orientador Humberto Bortolossi que sempre esteve disposto a me
ouvir, por sugerir outros percursos na pesquisa e me a ajudar a refletir nos momentos
difceis que apareceram no trabalho.
Aos docentes do PPECM: Alvaro Chrispino, Andreia Guerra, Dayse Pastore,
Mnica Waldhelm, Marco Braga, Rafael Barbastfano, Srgio Duarte e Tereza
Fachada; pelas aulas, conversas, indicaes de leitura e pelo excelente ambiente de
estudos que ajudaram a me proporcionar.
pr-reitora Neide da Fonseca Parracho de SantAnna pela autorizao, sem
restries, para a execuo do trabalho na instituio.
Ao Diretor Marcelos de Carvalho Caldeira pelo total apoio na infraestrutura
necessria para a realizao deste trabalho em seu campus.
Ao funcionrio Davi Azevedo Peres pelo auxlio no Laboratrio de Informtica
durante a realizao de todo o trabalho.
Aos estagirios Renan Oliveira Mattos de S e Mauricio Alfredo Ayala de
Carvalho pela ajuda na aplicao da pesquisa no Laboratrio de Informtica.
Aos colegas da turma de 2010 do PPECM pelo companheirismo e apoio nas
angstias e dificuldades no percurso que todo mestrando enfrenta.
Aos tcnicos e funcionrios do PPECM por sempre estarem dispostos a me
atender, tirar minhas dvidas e ajudar nos trmites administrativos.
Aos meus alunos das turmas da 1 srie do ensino mdio do ano letivo de 2011
que sempre se colocaram dispostos a colaborar com a pesquisa e que foram minha
grande inspirao na busca desta nova proposta de ensino-aprendizagem.
A todos que no foram mencionados, mas que de alguma forma, contriburam
para que eu pudesse concluir este trabalho.
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vi
A sabedoria no um ideal a mais, ainda menos uma religio.
A sabedoria esta vida, tal como , mas vivida em verdade.
Claro, no h verdade absoluta, ou no temos acesso a ela: nunca estamos
totalmente na verdade, assim como raro estarmos totalmente no erro.
A sabedoria (...), o mximo de felicidade no mximo de lucidez.
menos um absoluto do que um processo.
(...) No faamos da sabedoria uma esperana,
um ideal que nos separaria do real.
Andr Comte-Sponville em A Felicidade, Desesperadamente
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vii
RESUMO
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA DE FUNES ATRAVS
DO GEOGEBRA E DE TIPOS DIGITAIS?
Alexandre de Mattos Teixeira
Orientadores:
Samuel Jurkiewicz
Humberto Jos Bortolossi
Resumo da Dissertao de Mestrado submetida ao Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias e Matemtica do Centro Federal de Educao Tecnolgica Celso Suckow da Fonseca, CEFET/RJ, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo de mestre.
Nesta pesquisa buscou-se, inicialmente, avaliar a ocorrncia de Aprendizagem Significativa, segundo Ausubel, no estudo das funes afim e quadrtica com alunos da 1 srie do ensino mdio em uma instituio pblica. A abordagem dos assuntos do contedo programtico foi feita totalmente em um ambiente informatizado. Para tanto, alm da estrutura fsica do laboratrio de informtica do colgio, foi utilizado o programa gratuito e multiplataforma GeoGebra. Foi definido como trabalho final a ser apresentado pelos alunos, a construo de letras e numerais do tipo digital OCR A Extended. A verificao da ocorrncia de Aprendizagem Significativa deu-se atravs de observaes durantes as aulas, tabulaes de questionrios com respostas objetivas e discursivas e avaliaes institucionais.
Palavras- chave:
Aprendizagem Significativa; Funes; GeoGebra
Rio de Janeiro
Janeiro/2013
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viii
ABSTRACT
MEANINGFUL LEARNING OF FUNCTIONS THROUGH
GEOGEBRA AND DIGITAL TYPES?
Alexandre de Mattos Teixeira
Advisors:
Samuel Jurkiewicz
Humberto Jos Bortolossi
Abstract of dissertation submitted to Programa de Ps-Graduao em Ensino de Cincias e Matemtica do Centro Federal de Educao Tecnolgica Celso Suckow da Fonseca, CEFET/RJ, as partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Teaching Mathematics.
This research aimed to initially evaluate the occurrence of Meaningful Learning, according to Ausubel, in the study of affine and quadratic functions with 1st grade high school students in a public institution. Addressing the issues of program content was completely done in a computerized environment. Therefore, besides the physical structure of the computer lab of the college, it was used the freeware and multiplatform software GeoGebra. It was defined as the final work to be presented by the students, the construction of letters and numerals of the digital type OCR A Extended. The verification of the occurrence of Meaningful Learning occurred through observations during lessons, tabs questionnaires with objective/discursive responses and institutional evaluations.
Keywords:
Meaningful Learning; Functions; GeoGebra
Rio de Janeiro
January/2013
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ix
Sumrio
Introduo ............................................................................................................................... 1
Captulo I Referencial Terico e rea do Trabalho Desenvolvido
I.1 Aprendizagem Significativa ................................................................................... 4
I.2 Funes Afim e Quadrtica ................................................................................... 7
I.3 Geogebra .............................................................................................................. 9
I.4 Tipos digitais .......................................................................................................15
Captulo II Aplicao da Pesquisa no Laboratrio de Informtica
II.1 Descrio da Aplicao da Pesquisa .................................................................18
II.2 Entrega dos Arquivos e Dificuldades Encontradas .............................................20
II. 3 Questionrios ....................................................................................................22
Concluses e Sugestes .....................................................................................................32
Referncias Bibliogrficas...................................................................................................34
Apndices
A. 1 Fichas e Questionrios .....................................................................................36
A. 2 Construes feitas pelos alunos .......................................................................46
A. 3 Construes feitas pelo professor .....................................................................80
A. 4 Produto: livro paradidtico ................................................................................82
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1
Introduo
A motivao inicial para a realizao desta pesquisa surgiu aps a verificao de resultados
de baixo rendimento no ensino-aprendizagem de funes na 1 srie do ensino mdio no ano
letivo de 2010 em um colgio onde o pesquisador lecionou. Notou-se, na mdia das duas
turmas trabalhadas (juntamente com outro professor), uma queda de mais de 30% do 2
trimestre para o 3 trimestre.
Mdias no ano letivo de 2011 (escala de 0 a 10)1
1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre
Turma A 8,0 7,6 5,1
Turma B 7,9 7,1 4,8
Tabela 1
Tambm foram constatados redues no rendimento nas demais turmas da instituio
de ensino. Nesta ltima etapa, os contedos programticos lecionados foram funo afim e
funo quadrtica, alm de uma parte de trigonometria.
Alguns aspectos que podem ter ocasionado a diminuio das mdias e, apesar de
poderem possuir influncias justificveis, no foram investigados. Pode-se citar, entre outros:
mudana de prioridade de estudos por parte dos alunos, peso maior da composio da queda
por parte da trigonometria e a fragmentao do processo de ensino-aprendizagem provocada
pela diviso do componente curricular matemtica em duas partes com um professor para cada
uma (Matemtica 1 e Matemtica 2).
Apesar de, praticamente, a totalidade do curso ser composta de aulas expositivas,
buscou-se uma nova metodologia de ensino apenas na etapa onde houve a queda de
rendimento. Juntamente a esta mudana do paradigma tradicional, a proposta da pesquisa
baseou-se na utilizao de novas abordagens possveis e difundidas em trabalhos acadmicos
recentes (PEREIRA, 2009; MADEIRA, 2009; PICCOLI, 2006; ZULATTO, 2002) onde novas
tecnologias fazem parte do processo de ensino-aprendizagem.
A escolha do assunto tipos digitais como tema gerador da situao-problema baseou-se
em amadurecimento de ideias surgidas aps leitura de livros, conversas com professores e
participaes em cursos e palestras. De fato, verificou-se que vrios designers de tipos,
quando iniciaram seus trabalhos, o fizeram utilizando retas e arcos de crculos.
1 Os termos Turma A e Turma B so fictcios.
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2
Um dos primeiros experimentos de Capeto2 no design de tipos digitais foi a
construo digital de uma Helvetica, utilizando programao que permitia criar
formas vetoriais por meio de retas e arcos de crculos. Nessa poca3, no
existiam ferramentas digitais especficas como as que temos atualmente, que
utilizam curvas de Bzier cbicas e quadrticas (ESTEVES, p. 77-78).
Assim, julgou-se que, alm do assunto escolhido ser tecnicamente vivel (pois
considera o estgio de desenvolvimento dos estudantes), o percurso da abordagem refez o
caminho trilhado por parte dos profissionais que fundaram a rea de tipos digitais no Brasil.
O referencial terico em Educao considerado a Teoria da Aprendizagem
Significativa de Ausubel4. Verificou-se que existiam as condies necessrias para ocorrer esta
forma de aprendizagem:
Para haver aprendizagem significativa so necessrias duas condies. Em
primeiro lugar, o aluno precisa ter uma disposio para aprender: se o indivduo
quiser memorizar o contedo arbitrria e literalmente, ento a aprendizagem
ser mecnica. Em segundo, o contedo escolar a ser aprendido tem que ser
potencialmente significativo, ou seja, ele tem que ser lgica e psicologicamente
significativo: o significado lgico depende somente da natureza do contedo, e
o significado psicolgico uma experincia que cada indivduo tem. Cada
aprendiz faz uma filtragem dos contedos que tm significado ou no para si
prprio (PELIZZARI et al., p. 38).
De fato, o interesse pelos estudos da maioria dos alunos que ingressam, ano a ano, na
unidade do colgio onde foi feita a pesquisa, indicou que um dos pr-requisitos para a
aplicao da teoria seria atendido5. A importncia e a centralidade do assunto funes (entre
2 Rodolfo Capeto, designer brasileiro.
3 Dcada de 1980.
4 David Paul Ausubel (1918-2008), psiclogo norte-americano.
5 Os candidatos a alunos precisam prestar concurso pblico, fazer provas de matemtica e lngua portuguesa e serem
classificados dentro das duzentas vagas (na disputa com mais de mil e quinhentos inscritos em mdia), contadas as
reclassificaes, para poderem ingressar no referido colgio. Ou seja, h disposio e interesse na aprendizagem de assuntos
acadmicos.
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3
os contedos do programa usual de matemtica no ensino mdio) e a gama de aplicaes que
possibilita, mostrou que a outra condio citada acima tambm foi atendida.
Os objetivos secundrios deste trabalho (o principal dado pelo prprio ttulo desta
dissertao) so: introduzir um software de matemtica, no caso o GeoGebra, para que os
alunos possam usufruir de seus recursos e poderem us-lo como ferramenta auxiliar de estudo
ao longo de sua vida escolar/acadmica; lanar um novo olhar sobre tpicos do contedo
programtico aproveitando os recursos computacionais (restrio de domnio e escalas,
inicialmente); intensificar o contato dos alunos com os assuntos estudados (aproveitando
melhor a carga horria disponvel) e proporcionar introduo a uma rea de conhecimento
(tipos digitais, no caso) e, assim, alargar a cultura discente e despertar possveis vocaes.
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4
Captulo I Referencial terico e rea do Trabalho Desenvolvido
I.1 Aprendizagem Significativa
O referencial terico em Educao desta pesquisa a Teoria da Aprendizagem
Significativa6 de Ausubel7, apresentada inicialmente nos anos 1960 e centrada na
aprendizagem escolar. Continuou sendo desenvolvida nas dcadas seguintes por Novak,
Gowin, Moreira, entre outros8.
O que significa o conceito aprendizagem significativa? O que explica esse termo que
nos remete ideia, no senso comum, de aprender com significado e que seria antagnico ao
ato de decorar, como chamada popularmente a memorizao sem significados ou vnculos
(tcnica usada, por exemplo, por alunos no ensino formal na vspera de avaliaes)?
A aprendizagem significativa aquela em que o significado do novo
conhecimento adquirido, atribudo, construdo, por meio da interao com
algum conhecimento prvio, especificamente relevante, existente na estrutura
cognitiva do aprendiz (MOREIRA e MASINI, 2008, p. 15).
O destaque em itlico da palavra interao justificado na continuao do pargrafo,
pelos autores, por ser a palavra-chave do conceito. Alis, so enfticos ao escreverem que
se no h essa interao, no h aprendizagem significativa (Ibid, p. 16). Mais, ela no pode
ser arbitrria, nem literal. Isso quer dizer que: relaciona-se com determinados
conhecimentos anteriores e possui sentido para a pessoa de acordo com caractersticas
pessoais (histria de vida, viso de mundo etc), respectivamente.
Uma das condies para ocorrer aprendizagem significativa gera muitas discusses
entre professores do ensino bsico ou pedagogos: o interesse dos alunos na escolha pela
forma de aprender. Decorar e esquecer logo depois da avaliao ou aprender pois entendeu
o contedo e, assim, ir ret-lo por mais tempo (ou para sempre)? Os alunos decoram por
falta de esforo ou so os professores que no explicaram de modo adequado? Discusses
sobre culpa parte, quando feita uma anlise atravs da teoria de Ausubel, verifica-se que
existem alguns mitos. Sobre a ideia de reter o conhecimento (ou mesmo as informaes) por
mais tempo, MOREIRA e MASINI (2008, p.17) dizem que aprendizagem significativa no
6 AUSUBEL, D. P. The Psychology of Meaningful Learning. New York: Grune and Stratton, 1963.
7 David Paul Ausubel (1918-2008), psiclogo norte-americano.
8 Cf. MOREIRA e MASINI [2008], p.15.
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5
aquela em que o sujeito nunca esquece (veremos que o esquecimento uma continuidade
natural [...]). Tambm sobre essa questo, um conceito utilizado a da zona cinza. Assim,
aprendizagem significativa e aprendizagem mecnica no constituem uma dicotomia. [...] H
um contnuo entre elas [...]. Quer dizer, as aprendizagens podem ser parcialmente
significativas, parcialmente mecnicas, mais significativas, mais mecnicas. H matizes. (Ibid.,
p. 23).
A outra condio, conhecimentos anteriores, tambm chamados no ambiente da escola
bsica de pr-requisitos para o aprendizado (bastantes citados em matemtica), possui uma
denominao, com contornos similares: subsunor. Este um dos conceitos principais da teoria
da aprendizagem significativa.
Esse conhecimento prvio (conceito, ideia, proposio, representao) que
servir de ancoradouro para o novo conhecimento e, ao mesmo tempo, se
modificar em funo da ancoragem, chamado de subsunor. Diz-se,
ento, que o aprendiz deve ter os subsunores adequados para dar
significado ao novo conhecimento (Ibid., p. 19).
A importncia dos anos escolares iniciais, que ainda no recebem a devida ateno em
nosso pas, aparece na teoria ausubeliana quando se estuda a origem dos primeiros
subsunores. Como eles so incorporados estrutura cognitiva do indivduo?
A resposta a formao de conceitos, um processo tpico das primeiras
conceitualizaes, no qual os conceitos so construdos por descobrimento,
gerao e avaliao de hipteses, generalizao a partir de instncias
especficas, induo, abstrao, at que a palavra conceito passe a representar
regularidades em eventos ou objetos. [...] A formao de conceitos tpica das
crianas pequenas [...] (Ibid., p. 22).
Esses primeiros (e fundamentais) passos, quando no so dados de modo eficaz,
podem explicar diversos casos de problemas de aprendizagem na educao formal. Contudo,
essa discusso foge do escopo deste trabalho e, no momento, natural se perguntar sobre a
etapa seguinte.
Uma vez construdos os primeiros conceitos subsunores eles comeam a
servir de ancoradouro para novas conceitualizaes e o processo de formao
de conceitos, progressivamente, passa a ceder lugar a outro que o da
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6
assimilao de conceitos. [...] a assimilao de conceitos caracterstica de
adultos. [...] que o resultado da interao entre conhecimentos prvios e novos
[...] (Ibid., p. 22).
Na teoria iniciada por Ausubel ainda abordada a forma de aprendizagem significativa:
subordinada, superordenada ou combinatria (Ibid., p. 38). Conceitos que visam facilitar sua
ocorrncia, diferenciao progressiva e reconciliao integrativa, relacionados com a estratgia
de se partir do geral para o particular e vice-versa, respectivamente (Ibid., p. 37). Tambm,
recursos podem ajudar nesta facilitao, tais como: mapas conceituais (MOREIRA, 1997) e
diagramas V (MOREIRA et al., 1997).
Resumindo, a aprendizagem significativa pode ser interpretada como o resultado de
uma interao tridica entre alunos, professores e materiais educativos (MOREIRA e MASINI,
2008, p. 38).
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7
I.2 Funes Afim e Quadrtica
I.2.1 Funo Afim
O conceito de funo afim, assim como o de polgono9 e o do conjunto dos nmeros
naturais (possuindo ou no o zero), no apresentado com uma s definio. Nesta pesquisa
estamos considerando que:
Uma f : IR IR chamada de funo afim se f(x) = ax + b, onde a IR e b IR.
A diferena com a outra definio, recorrente, a restrio de que a deve ser diferente
de zero. Desta maneira, o conceito seria idntico de uma funo polinomial do 1 grau.
Portanto, neste trabalho, entende-se que a funo constante (quando a igual a zero,
ou seja f(x) = b na definio anterior) um caso particular de uma funo afim.
Os tpicos da teoria da funo afim desenvolvidos com as duas turmas envolvidas
nesta pesquisa esto contidos no livro didtico10 adotado pela instituio onde foi realizada a
pesquisa. Ou seja:
Definio e exemplos;
Valor numrico;
Grficos e imagem;
Coeficientes: inclinao e toque no eixo das ordenadas;
Zero da funo;
Determinao da lei atravs de 2 pontos dados;
Inequaes polinomiais do 1 grau;
Problemas.
Alm destes assuntos, restrio de domnio fez parte do processo de ensino-
aprendizagem. Este tpico foi necessrio para a execuo do trabalho, feito pelos alunos,
envolvendo tipos digitais.
9 Autores de livros de matemtica (didticos ou no e nos mais diversos nveis) ora definem polgonos no podendo ter
autointersees (polgonos simples), ora sim. Alm disso, considera-se uma terceira definio (incluindo a regio interna) quando o
objetivo o clculo de reas. Analisei essa situao na minha monografia de concluso do curso de licenciatura em matemtica:
Definies em Matemtica no Ensino Fundamental: O Conceito de Polgono, IME/UERJ, 2003.
10 Cf. DANTE, 2008.
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8
Os exerccios propostos foram, principalmente, os do livro didtico adotado. Listas do
site11 de um professor da instituio tambm foram utilizadas como exerccios complementares.
I.2.2 Funo Quadrtica
O conceito de funo quadrtica idntico ao de funo polinomial do 2 grau.
Uma f : IR IR chamada de funo quadrtica se f(x) = ax2 + bx + c,
onde a IR*, b IR e c IR.
Os tpicos da teoria da funo quadrtica desenvolvidos com os alunos foram:
Definio e exemplos;
Valor numrico;
Grficos;
Coeficientes: concavidade e toque no eixo das ordenadas;
Zeros da funo;
Vrtice e imagem;
Inequaes polinomiais do 2 grau;
Inequao-produto e inequao-quociente;
Problemas.
Houve discusso em relao viso global da parbola e de vizinhana de pontos
(viso local). A abordagem desse assunto foi facilitada pelos recursos que o software possui.
Tanto as ferramentas de zoom, quanto as possibilidades de alterao das escalas dos eixos do
plano cartesiano, motivaram questionamentos quanto forma de visualizao do grfico de
uma funo quadrtica.
A proposio de exerccios foi anloga que foi feita com a teoria da funo afim.
11
Disponvel em: . Acesso em: 05 nov. 2011.
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9
I.3 GeoGebra
O que ? Para que serve? Na pgina principal do Instituto GeoGebra do Rio de
Janeiro12, um dos diversos membros do IGI (International GeoGebra Institutes)13, existe a
seguinte explicao:
Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra um software gratuito de
matemtica dinmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da
matemtica nos vrios nveis de ensino (do bsico ao universitrio). O GeoGebra
rene recursos de geometria, lgebra, tabelas, grficos, probabilidade, estatstica
e clculos simblicos em um nico ambiente. Assim, o GeoGebra tem a
vantagem didtica de apresentar, ao mesmo tempo, representaes diferentes
de um mesmo objeto que interagem entre si. Alm dos aspectos didticos, o
GeoGebra uma excelente ferramenta para se criar ilustraes profissionais
para serem usadas no Microsoft Word, no Open Office ou no LaTeX. Escrito em
JAVA e disponvel em portugus, o GeoGebra multiplataforma e, portanto, ele
pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS.
A tela do software, na verso 4.1.15, apresenta quatro partes distintas: menu, barra de
ferramentas, janelas e linha de comando. O menu (figura I.1), apresenta os seguintes tens:
Figura I.1 Menu do GeoGebra
Arquivo: item presente na maioria dos softwares. Alm dos comandos usuais (novo, abrir,
gravar, visualizar impresso e fechar), possui o comando exportar (figura I.2) que muito til
para que se possa utilizar as construes feitas no GeoGebra em outros programas, como
editores de texto, por exemplo.
12
Disponvel em: . Acesso em 6 abr. 2013.
13 No Brasil existem mais cinco institutos alm do localizado no Rio de Janeiro: Fortaleza, Maring, Rio Grande do Norte, So
Paulo e Uberlndia.
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10
Figura I.2 Item de Menu Arquivo
Editar: item de menu presente tambm na maioria dos softwares. Possui, alm dos comandos
usuais (desfazer, refazer, copiar, colar e copiar para a rea de transferncia), propriedades e
outros que somente ficam habilitados (ou mesmo so listados) quando alguma construo est
selecionada (figura I.3).
Figura I.3 Item de Menu Editar
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11
Exibir: outro item de menu disponvel na maioria dos softwares, mas apresentando comandos
especficos em cada um deles. Possibilita dispor na tela (figura I.4), as diversas janelas que o
GeoGebra possui e, assim, poder: construir grficos de funes e fazer construes
geomtricas (janela de visualizao), utilizar computao simblica (janela CAS) etc. Outras
funes so mostradas na figura abaixo.
Figura I.4 Item de Menu Exibir
Disposies: atravs das opes, define quais janelas sero representadas na tela do
GeoGebra. Nesta pesquisa, foi utilizada somente a disposio lgebra e Grficos.
Figura I.5 Item de Menu Disposies
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12
Opes: este item apresenta funes relacionadas exibio das leis das funes (Descries
Algbricas), numerais (Arredondamento) e texto (Tamanho da Fonte e Idioma). Alm disso,
possui a importante funo Configuraes...14 (figura I.6) onde possvel fazer alteraes nas
diversas ferramentas do GeoGebra etc.
Figura I.6 Item de Menu Opes
Ferramentas: neste item tem-se acesso s ferramentas (para construo de pontos, retas,
crculos etc) que vm no GeoGebra (figura I.7) e possvel: criar uma nova, configur-las e
gerenci-las.
Figura I.7 Item de Menu Ferramentas
14
Esta funo passou a receber o nome de Avanadas nas verses seguintes do software.
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13
Janela: apresenta, como na maioria dos softwares, a opo de abrir uma nova janela (do
Windows).
Ajuda: alm das funo usual presente na maioria dos softwares, tem-se acesso (figura I.8) ao
frum oficial do GeoGebra (GeoGebra Forum) onde dvidas podem ser tiradas com outros
usurios, ao site oficial (GeoGebra.org) onde so encontradas novas verses e informaes
do programa e, ao GeoGebra Tube, site oficial onde so disponibilizados recursos e
construes feitas por usurios do mundo todo.
Figura I.8 Item de Menu Ajuda
A barra de ferramentas permite o acesso rpido (figura I.9) s construes pr-definidas
pelo GeoGebra. Nesta pesquisa, a possibilidade de escrever leis de funes na forma literal
(ex.: y = ax + b) e com a ferramenta Seletor (cone com a sentena a = 2) variar os valores
dos coeficientes a e b, foi fundamental.
Figura I.9 Barra de Ferramentas do GeoGebra
As janelas do GeoGebra (Janela de lgebra, Janela de Visualizao etc) (figura I.10)
podem ser includas/excludas utilizando-se o menu exibir, como visto anteriormente.
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14
Figura I.10 Janela de lgebra e Janela de Visualizao
A Entrada (figura I.11) o local onde deve-se digitar as leis das funes matemticas
(como y = ax+b) e onde acessa-se os comandos pr-gravados do software.
Figura I.11 Entrada
Atualmente existe um projeto15 para viabilizar o uso do software em Ipads e Tablets.
Est sendo preparada, tambm, a verso 5 do programa. Esta incluir a possibilidade de se
fazer grficos tridimensionais.
15
Disponvel em: . Acesso em 6 abr. 2013.
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15
I.4 Tipos digitais
Hoje em dia, com a popularizao de programas editores de texto (por exemplo, os
contidos nos pacotes MS Office e Br Office)16 qualquer pessoa que utilize um computador
acaba entrando em contato com produtos da rea da tipografia digital. No ambiente
informatizado, antes de iniciar a digitao do que se deseja, basta escolher qual fonte e de qual
tamanho ser usada (neste pargrafo desta dissertao estamos usando a fonte Arial de
tamanho 11) e deixar fluir sua imaginao literria.
E, afinal, o que um tipo digital? Vamos, primeiramente, diferenciar escrita manual e
tipografia.
Geralmente os tipos tm sua origem no letreiramento. Nesse caso, eles so
diferentes da escrita manual, feita com um nico trao. Essa diferena,
entretanto, no essencial. [...] A diferena essencial entre a escrita manual e a
tipografia que, no primeiro caso, as palavras e as letras so feitas
simultaneamente, enquanto as letras tipogrficas so construdas
antecipadamente. Tipografia a escrita com letras pr-fabricadas [...]
(NOORDZIJ, 2000 apud ESTEVES, 2010, p. 22, traduo do autor).
O texto anterior utilizou uma palavra pouco comum no universo das pessoas que no
so da rea do Design Grfico: letreiramento. Seu conceito muito importante, pois juntamente
com a escrita manual e a tipografia, perfazem os trs modos de classificao da visualizao
da forma escrita.
So letras cujas partes significativas so feitas com mais de um trao. O termo
letras desenhadas nos lembra novamente da pena e do papel. Mas o escopo
do letreiramento , evidentemente, muito maior do que as formas de letras que
podemos desenhar no papel. Tambm esto includas as grandes letras em
non nos prdios. Letras gravadas em pedra tambm so letreiramentos. [...]
Esse processo parece ter mais em comum com a tipografia do que a escrita,
pois, em grande parte dos trabalhos de letreiramento, as formas das letras
parecem muito com os tipos de impresso. Mas essa uma falsa conexo. [...]
Letras desenhadas para formar palavras podem, em mos habilidosas, parecer
tipogrficas; mas o espaamento e o alinhamento so determinados
manualmente, e isso define o processo como letreiramento (SMEIJERS, 1996
apud ESTEVES, 2010, p. 20, traduo do autor).
16
Marcas registradas da Microsoft Corporation e da Oracle Corporation, respectivamente.
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16
Tipo digital significa o mesmo que fonte tipogrfica digital. Usa-se a expresso famlia
tipogrfica digital a um conjunto de fontes derivadas de uma delas que seja considerada
padro (as outras podem estar em negrito, itlico, condensada etc). Portanto, quando
digitamos um texto atravs de um computador utilizamos, necessariamente, (conforme escolha
ou designao para o documento) um tipo digital.
O conjunto de caracteres (letras, numerais etc) que compe uma fonte pode possuir
qual quantidade? Olhando-se para o teclado de um computador pessoal, comea-se a
imaginar, em uma conta aproximada, que a ordem de grandeza desta quantidade ser obtida
atravs de uma potncia de valor equivalente a uma centena. Na verdade, o padro de
codificao mais usado atualmente e chamado de Unicode, define 110.117 caracteres!!!17 Claro
que existe a especificidade de cada lngua e nem mesmo tipgrafos usaro ao longo de suas
vidas metade deste valor18.
A tipografia digital comeou em 1975 com a traduo de desenhos tipogrficos
originais de Hermann Zapf e Gerard Unger para a nova tecnologia dos computadores da
poca (ESTEVES, 2010, p. 40). Curioso observar como foi feita esta construo por um
software: [...] esses primeiros tipos digitais eram descritos em linhas de contorno, a partir de
equaes matemticas simples, e renderizados em pixels, nos seus diferentes tamanhos de
corpo. (Ibid., p. 40).
Ou seja, no foram diretamente construdos no meio digital e os mtodos disponveis
ainda no utilizavam Curvas de Bzier cbicas ou quadrticas, apesar de que estas tcnicas
algbricas desenvolvidas por Paul de Casteljau e Pierre Bzier na Frana datam dos anos
1960 e 1970 (BRINGHURST, p. 199).
Outra data importante para o design de tipos digitais foi o ano de 1984: com a entrada
do Macintosh, computador pessoal da empresa Apple Computer, no mercado. A aposta em um
sistema operacional prprio, recursos grficos poderosos, bons perifricos de custos
acessveis e interface amigvel; fez com que a mquina com nome de um tipo de ma
(retirando a letra a), se tornasse o elo essencial de uma cadeia de publicao auxiliada por
computador na palavras de LVY (1993, apud ESTEVES, 2010, p. 41). Ainda sobre esse
momento histrico, Steve Jobs no seu celebrado discurso de 12 de junho de 2005 em
Stanford19, fazendo referncia ao curso de caligrafia que havia concludo sem saber
17
Disponvel em: . Acesso em: 02 jan. 2013.
18 Somente a ttulo de curiosidade, l no incio da tipografia no sculo XV, Gutenberg usava 290 caracteres de um tipo em
tamanho nico, em uma escrita sem acentuao, para compor sua Bblia de 42 linhas. (BRINGHURST, p. 196)
19 Disponvel em: . Acesso em: 03 jan. 2013.
-
17
exatamente no que o aplicaria, mostra um pouco da relao entre a vida de inventores e suas
criaes.
No entanto, dez anos mais tarde, quando estvamos projetando o primeiro
Macintosh, me lembrei de tudo aquilo. E o projeto do Mac inclua esse
aprendizado. Foi o primeiro computador com uma bela tipografia. Sem aquele
curso, o Mac no teria mltiplas fontes. E, porque o Windows era s uma cpia
do Mac, talvez nenhum computador viesse a oferec-las, sem aquele curso. 20
A Helvetica considerada a fonte mais famosa no mundo. Criada em 1957 por Max
Miedinger e Eduard Hoffmann, inspirou um interessante documentrio homnimo21 e foi
includa na primeira verso do Mac. Contudo, devido ao custo de licenciamento, a Microsoft
preferiu desenvolver uma fonte parecida (Arial) do que exibi-la na lista de opes que
acompanha seus editores de texto. Assim, atravs da popularidade do sistema operacional
Windows22, no foi possvel aos usurios identificar pelo nome o tipo (digital nos dias de hoje)
mais comum em propagandas, letreiros etc.
A fonte escolhida para servir como referncia para a construo das letras e numerais
pelos alunos, foi: OCR A Extended. Pela simplicidade (no imita escrita cursiva), por no
apresentar serifas e possuir o contorno dos caracteres boleados (como o trao do GeoGebra);
foi considerada a mais indicada. O prprio significado da sigla que a denomina, Optical
Character Recognition, j mostra no objetivo que foi buscado, a desambiguao em seus
elementos que esta fonte deve possuir.
20
Disponvel em: . Acesso em: 03 jan. 2013.
21 Disponvel em: . Acesso em: 03 jan. 2013.
22 Marca registrada da Microsoft Corporation.
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18
Captulo II Aplicao da Pesquisa no Laboratrio de Informtica
II.1 Descrio da Aplicao da Pesquisa
O local utilizado, durante toda a pesquisa, foi o Laboratrio de Informtica do colgio.
Este foi reservado, at o final do perodo letivo, nos dois dias semanais de aula,23 apesar de
que, em sua maioria, foi ocupado somente uma vez a cada sete dias. Contudo, a marcao
dupla permitiu flexibilidade na mudana de horrios para compensar feriados e eventuais
fechamentos do laboratrio para manutenes. As desmarcaes foram feitas com
antecedncia de modo a no prejudicar outros professores que quisessem utilizar o recinto.
Esse era o nico lugar no colgio onde podia se dispor de computadores para trabalhar com
uma turma inteira de alunos. Mesmo assim, devido s dimenses, no era possvel, caso fosse
de interesse do docente, que cada discente trabalhasse sozinho em uma nica mquina. Alm
disso, apesar de possuir um tcnico responsvel, este no permanecia no local durante as
aulas e, caso ocorresse algum problema nas mquinas, ele teria que ser procurado onde
estivesse alocado naquele momento24. Tambm no era sua funo auxiliar na montagem do
equipamento (instalao do datashow e do notebook), nem na obteno de cadeiras (ou
carteiras), quando as que l estavam no eram em nmero suficiente, nas muitas vezes em
que isto foi necessrio25. Na poca, dois estagirios que cursavam licenciatura em matemtica
e que acompanharam toda a aplicao, ajudaram muitas vezes na soluo destes pequenos
problemas que tomavam tempo razovel para serem resolvidos.
A aplicao da metodologia iniciou-se, de fato, quando o contedo a ser ministrado foi
Funo Afim e prosseguiu em Funo Quadrtica. Ou seja, de Conjuntos at Introduo
s Funes em Matemtica 1 (Mat 1) e em toda a Trigonometria em Matemtica 2 (Mat
2) as aulas foram todas desenvolvidas nas duas turmas nas quais o pesquisador era o
professor regente do ano letivo de dois mil e onze26. Na sala de aula foi ministrado um curso
baseado, quase em sua totalidade, em aulas expositivas (anotao e explicao da teoria no
quadro com estmulo e abertura para intervenes por parte dos alunos, resoluo de
23
Conforme deciso em Colegiado do Departamento de Matemtica da instituio, na 1 srie do Ensino Mdio, Conjuntos e parte
do contedo de Funes foi alocada na disciplina Mat 1 e parte de Trigonometria em Mat 2. Ambas com 2 tempos cada,
perfazendo 4 tempos semanais.
24 O tcnico em questo era responsvel pela manuteno de todos os equipamentos de informtica do colgio (direo,
secretaria etc).
25 Ao lado do laboratrio existia um auditrio onde, devido existncia de aulas extras mais procuradas, alguns alunos
deslocavam cadeiras ou carteiras de outros ambientes para l.
26 As salas de aulas eram dotadas apenas de quadro-negro e giz como recursos fixos. O colgio possua alguns datashows na
poca e um deles foi reservado para ser usado tanto no laboratrio quanto em sala de aula. Este era conectado ao notebook do
pesquisador.
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19
exerccios como exemplos tanto da aplicao da teoria como situaes-problemas, tempo para
os alunos executarem exerccios em sala para verificao de dvidas e seleo de exerccios
do livro didtico27 e/ou listas para resoluo no lar). Ou seja, de acordo com a literatura da rea
de metodologia do ensino, predominantemente com caractersticas do mtodo tradicional 28.
As avaliaes aplicadas em cada trimestre foram: um teste em dupla no valor de 30% da nota
final e uma prova individual valendo 70%. No terceiro trimestre (ltimo do ano), houve a
substituio de 10% do valor do teste em dupla pela nota da apresentao do trabalho de
construo dos caracteres. Nas aulas no Laboratrio de Informtica, o quadro branco no foi
usado para resumir toda a teoria. Nele, basicamente, foram escritos pelo professor: definies
das funes, dvidas e esclarecimentos quanto ao uso do software (na maioria das vezes
atravs das imagens projetadas pelo datashow) e dos enunciados das folhas entregues. Estas
foram cinco, distribudas ao longo das aulas, em um total de oito pginas, sendo: duas para
introduo ao GeoGebra (quatro pginas), duas para funo afim (duas pginas) e uma para
funo quadrtica (duas pginas). A primeira folha sobre o software, foi elaborada de modo a
tentar responder O que o GeoGebra? e, atravs de tutoriais, como utilizar seus recursos.
Os materiais e as informaes so do site oficial do Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro29. J
a segunda folha teve o intuito de destacar as ferramentas e funes do ambiente do software,
julgadas mais importantes pelo pesquisador, para o auxlio no aprendizado das funes
matemticas que foram estudadas. As folhas sobre as funes serviram como guias de
estudos, orientando o aprendizado dos assuntos e propondo a experimentao de hipteses e
resoluo de problemas. Apresentavam, ao final de cada uma, lista com numerais referentes a
exerccios selecionados do livro didtico adotado. O uso de duas metodologias diferentes
possibilitou comparao atravs de uma das perguntas do questionrio aplicado aps o
trmino da execuo do trabalho.
O cronograma da aplicao e das avaliaes detalhado no quadro a seguir.
Cronograma da Aplicao
Data: Ao:
08/11/2011 Envio de e-mail para o Tcnico do Laboratrio de Informtica com o link para fazer o
download do instalador offline do Geogebra (verso 4.1.15.0).
11/11/2011 Aula no Laboratrio de Informtica: Introduo ao GeoGebra (folha 01) e Funo Afim
27 DANTE, 2008.
28 MIZUKAMI, M. G. N. Ensino: as abordagens do processo (Temas bsicos de educao e ensino). So Paulo: EPU, 1986. p. 7-
18.
29 Disponvel em: < http://www.geogebra.im-uff.mat.br/index.html>. Acesso em: 03 set. 2011.
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20
(folha 01).
12/11/2011 Envio de e-mails (um para cada turma) com 20 tutoriais do Geogebra (do site do
Instituto Geogebra do Rio de Janeiro) no formato gif e indicao do link para fazer o
download do instalador offline do Geogebra (verso 4.1.15.0).
18/11/2011 Aula no Laboratrio de Informtica: Introduo ao GeoGebra (folha 02). Funo Afim
(folha 02).
Devoluo da Funo Afim (folha 01). Distribuio dos caracteres s duplas. Indicao
de fonte, exibio dos arquivos (marca dgua) e exemplo de construo (letra A).
20/11/2011 Envio de e-mails (um para cada turma) com as regras e observaes para a execuo
do trabalho de construo dos caracteres e com os modelos das letras e numerais
sorteados.
20/11/2011 Incio da troca de e-mails com as duplas para sanar dvidas.
25/11/2011 Aula no Laboratrio de Informtica: Funo Quadrtica (folha nica).
30/11/2011 Aplicao do Teste de Matemtica do 3 Trimestre (20%)
02/12/2011 Aula no Laboratrio de Informtica: Funo Quadrtica (folha nica) (continuao).
05/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com orientaes sobre construes de parbolas e de
planilha do Excel para resoluo de sistemas lineares com trs incgnitas e trs
equaes30 (anexada).
09/12/2011 Aula Extra (contraturno): Exerccios do livro e extra
Aula Regular: Dvidas do trabalho. Devoluo da Funo Quadrtica (folha nica).
15/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com as sugestes de respostas das questes
propostas nas folhas de funo afim e funo quadrtica.
17/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com esclarecimentos sobre os questionrios.
19/12/2011 Aplicao da Prova de Matemtica do 3 Trimestre (70%)
22/12/2011 Envio de e-mails (um para cada turma) com os questionrios em arquivos do tipo pdf.
27/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com as notas dos trabalhos e requisio dos
questionrios ainda no devolvidos por algumas duplas.
29/12/2011 Envio de e-mail para as turmas com os questionrios em arquivos do tipo pdf e nova
requisio dos questionrios ainda no devolvidos por algumas duplas.
11/01/2012 Aplicao da Prova Final de Matemtica
Tabela II.1
II. 2 Entrega dos Arquivos e Dificuldades Encontradas
30
Disponvel em: . Acesso em: 20 nov. 2011.
-
21
A entrega dos arquivos digitais com os trabalhos, apesar do planejamento inicial, no foi
integralmente feita pelos representantes de turma atravs de um CD. Apenas uma das turmas
seguiu a ideia original. Este fato se deveu ao acesso Internet em casa de pelo menos um dos
integrantes de cada uma das duplas. Consequentemente, houve o pedido de parte dos alunos
durante uma das aulas, de que fosse possvel haver a entrega atravs do envio para o
endereo de e-mail do professor. Devido a essas duas possibilidades, foi necessria maior
ateno na identificao do arquivo final. Observou-se a ltima modificao registrada na
gravao do arquivo (informao dada pelo sistema operacional). Desse modo, muitos
trabalhos foram enviados atravs de e-mails pessoais ou das turmas.
Os arquivos puderam ser enviados mais de uma vez at a data de entrega. Assim era
possvel analisar as dificuldades dos alunos em relao ao trabalho e intervir, como de fato
ocorreu, em situaes gerais nas construes e outras que estavam sendo consideradas
insolveis por uma grande parte deles. Isto serviu, tambm, para tirar o foco principal da
preocupao com a nota a ser obtida e centr-lo na execuo proposta e, principalmente, na
aprendizagem.
Em relao dificuldade de concluso, pode-se considerar que houve diviso em dois
grupos de caracteres: aqueles que s precisaram de funes afins para ser construdos e os
que tambm necessitaram de funes quadrticas.
As primeiras foram mais rapidamente executadas e somente houve a necessidade de
apontar para as duplas a falta de observao das regras de construo (uso de ferramentas
geomtricas do GeoGebra somente como auxlio, verificar as simetrias axiais e pontuais, ajuste
do caractere com a marca dgua31 etc).
J as letras e os numerais que no precisaram somente de segmentos de reta
horizontais ou inclinados (obtidos com restrio ao domnio de cada uma das funes afins)
geraram mais discusses. Uma das questes foi sobre a possibilidade de encontrar parbolas
que passassem por trs pontos, sendo um deles escolhido livremente. Fazendo na base da
tentativa e erro, com consideraes de expectativa da curvatura, os alunos se depararam
com grficos que apresentavam trechos que no eram de um s ramo da parbola (como
gostariam). Assim, e de modo indesejado, o vrtice esteve includo em algumas destas
tentativas que foram mostradas ao professor durante o processo de construo dos caracteres
de algumas duplas. O grfico a seguir (figura II.1) ilustra uma situao que ocorreu em um dos
trabalhos.
31 Para a execuo do trabalho de construo de letra ou numeral, foram criados arquivos do GeoGebra pelo
pesquisador, contendo em cada um, uma das letras (ou um dos numerais) escolhidos na cor cinza e colocados no
plano de fundo da janela de visualizao do software. Assim, o aluno deveria fazer a construo utilizando essa
marca dgua como referncia.
-
22
A soluo disponibilizada pelo professor foi a planilha do Excel Regra de Cramer e
Escalonamentos em Sistemas 5x5, disponvel no site do professor Walter Tadeu32 e
orientaes para seu uso, o aluno fornecia as coordenadas dos trs pontos por onde ele queria
que a parbola passasse.
Figura II.1 Dificuldade na Construo de Letra
Assim, os clculos para obteno dos coeficientes da funo polinomial do 2 grau eram
feitos pela mquina e poder-se-ia representar, com restrio de domnio, o trecho da parbola
em questo33. Vale ressaltar que o GeoGebra possui comandos que traam curvas atravs de
pontos fornecidos34, mas devido ao objetivo pedaggico da pesquisa, os mesmos no foram
indicados.
II. 3 Questionrios
Foram aplicados dois questionrios com questes objetivas e discursivas em ambos.
Estes foram entregues, em sala de aula, a cada aluno ou aos representantes discentes. Alm
disso, devido a solicitaes, uma cpia em pdf foi remetida para o endereo de e-mail de cada
uma das turmas. Ainda houve envio para o e-mail pessoal de cada aluno que pediu para que
32
Disponvel em . Acesso em 01 dez. 2011.
33 No exemplo ilustrativo da figura II.1 tem-se os pontos Q(2,41;0,39), S(2;0,5) e P(1,9;0,69) que geraram um sistema com as
equaes 5,81a + 2,41b + c = 0,39; 4a + 2b + c = 0,5 e 3,61a + 1,9b + c = 0,69. Sua soluo gerou os coeficientes da funo y =
3,17x2 14,27x + 16,35.
34 O comando RegressoPolinomial[ , ] com grau igual a 2, poderia ser usado neste caso.
-
23
isso ocorresse devido a extravio da folha impressa ou no recebimento devido ausncia
aula. Na prtica, isto ocorreu somente com uma aluna e apenas uma folha foi entregue digitada
em outro formato por falta da original.
Algumas duplas no deram importncia ao preenchimento. O professor teve que insistir
e buscar conscientiz-los do papel que estavam sendo incumbidos e a relevncia que o
trabalho poderia alcanar. Foi enfatizado pelo pesquisador que as marcaes e os textos
deveriam retratar a realidade vivida e observada por cada um. Acordou-se que as respostas
no seriam divulgadas publicamente com identificao pessoal e deveriam ser sinceras no
havendo qualquer possibilidade de retaliao se ocorressem crticas negativas abordagem.
Inclusive, aproveitou-se a oportunidade para se discutir como no levar a crtica para se atingir
o lado pessoal do outro.
Enquanto o primeiro questionrio foi voltado para caractersticas socioculturais e
avaliaes da abordagem utilizada, com o segundo buscou-se identificar a ocorrncia de
aprendizagem significativa atravs do modo de estudo dos alunos.
Na tabulao das respostas ao primeiro questionrio, das duas turmas reunidas,
observaram-se nos oito primeiros itens, que eram objetivos, os seguintes percentuais:
-
24
Questionrio 1 Perguntas de 1 a 8 e Percentuais das Respostas
1) Data de Nascimento (Idade em 31/12/2011)
14 anos 1,9% 15 anos 51,9% 16 anos 38,4% 17 anos 7,8%
2) Qual faixa social voc considera-se includo?
Baixa 14,9% Mdia 85,1% Alta 0%
3) Voc utilizou outro(s) computador(es) alm dos disponveis no colgio para realizar o trabalho?
Onde?
No 14,5% Sim. Casa 83,6% Sim. Lan-House 0% Sim. Outros 1,9%
4) O tempo para a concluso do trabalho, considerando os recursos que voc teve, foi suficiente?
No 14,6% Sim 85,4%
5) J havia estudado funo afim e funo quadrtica no 9 ano?
No. Nenhuma das duas 23,7% No. Apenas Funo Afim
14,5% Sim 61,8%
6) Voc est cursando pela primeira vez o 1 ano do Ensino Mdio?
No 9,1% Sim 90,9%
7) De um modo geral, ao estudar matemtica, voc acha que a informtica ajuda na
aprendizagem?
No 47,3% Sim 52,7%
8) Voc executou as tarefas propostas?
No 0% Sim, parcialmente 70,9% Sim, totalmente 29,1%
Tabela II.2
Analisando-se os percentuais das ocorrncias de respostas, v-se que:
I. O grupo era formado, em sua maioria, por jovens de 15 e 16 anos de classe
mdia, esta ltima informao segundo o julgamento deles.
II. Puderam, em sua maioria, executar em casa a construo do seu caractere
e consideraram suficiente o tempo que tiveram para a concluso do trabalho.
III. O grupo estava, em sua maioria, cursando a 1 srie do ensino mdio pela
primeira vez e mais de 60% j havia estudado as funes afim e quadrtica
no 9 ano do ensino fundamental.
-
25
IV. Verifica-se que houve uma diviso quase igualitria dos que consideram que
a informtica pode ajudar na aprendizagem de matemtica e dos que no
concordam com esta afirmao.
V. Por fim, observa-se que menos de 30% das duplas executaram totalmente
as tarefas propostas durante a aplicao da pesquisa.
Nas trs ltimas perguntas do questionrio, as respostas foram livres.
Questionrio 1 Perguntas de 9 a 11
9) O que voc achou desta abordagem de funo afim e funo quadrtica?
Cite um fator positivo e um negativo.
10) Esta forma de aprender exigiu que voc participasse ativamente das aulas (tomando a
iniciativa, levantando hipteses etc) do que o mtodo (mais prximo do tradicional)
usado em trigonometria (Mat 2)? Explique.
11) Voc tem alguma sugesto para melhorar o mtodo? Explique.
Tabela II.3
Com a pergunta 9, buscou-se verificar se o que foi pensado inicialmente, a possibilidade
de visualizao de vrias funes em curto espao de tempo e a observao da influncia dos
coeficientes no grfico, tambm foi identificado pelos alunos. Alm disso, encontrar falhas na
abordagem que possam ser aperfeioadas em uma nova aplicao.
J na pergunta 10, o objetivo foi identificar se ocorreu uma mudana na postura dos
alunos durante as aulas. Essa, tanto no sentido de mostrar menos passividade diante do
processo de ensino-aprendizagem, quanto da identificao da ocorrncia de aprendizagem
significativa.
Finalmente, na pergunta 11, a ideia foi permitir crticas de forma aberta e livre.
Para fazer a tabulao das respostas dessas trs perguntas, procedeu-se da seguinte
forma:
Foi identificada uma expresso (com as palavras de um determinado aluno) que,
supostamente, melhor caracteriza um grupo de outras similares e outras
respostas foram colocadas como ilustrativas (sempre representando entre aspas
as palavras de membros do corpo discente) ou apenas identificou-se o grupo de
respostas similares, com uma determinada expresso escolhida pelo
pesquisador.
-
26
Usou-se porcentagem ao invs de nmeros absolutos, pois se acredita que
assim pode ser feita uma melhor avaliao das respostas do conjunto de alunos
que participou da pesquisa.
Questionrio 1 Tabulao das Respostas da Pergunta 9
Pergunta 9: O que voc achou desta abordagem de funo afim
e funo quadrtica? Cite um fator positivo e um negativo. Porcentagem
de Alunos Fatores Positivos
Visualizao do grfico ( tornando a aula mais dinmica, o bom
foi visualizar o que estvamos fazendo, facilita na visualizao de
grficos etc)
24%
Abordagem foi boa (Boa, ajudou um pouco nos estudos, pois
com esse projeto podemos ver como e o porqu do grfico. Deu para
ter uma noo melhor das coisas, boa abordagem, pois podemos
visualizar melhor os grficos e suas transformaes, abordagem
bem legal, porque de certo modo mostrou as relaes das funes e
uma visualizao maior e melhor das funes etc)
11%
Houve uma abordagem mais dinmica e mais prtica, e permitiu
que os temas fossem entendidos mais facilmente (abordagem
muito interessante que nos ajudou a entender a matria com maior
facilidade, aulas mais dinmicas, melhorando a forma de
aprendizado e abordagem bem dinmica e diferente etc)
7%
Aprendemos a usar um programa (conhecer o programa etc) 5%
Fatores Negativos
Dificuldade em mexer no programa 15%
Por serem na sala de informtica, as aulas se tornaram muito
dispersivas (aulas dispersas, dificultando o aprendizado,
programa dispersou o contedo e a turma se dispersa muito)
13%
No ajuda a resolver problemas (que no possuem grficos etc) 5%
O local de informtica no ajudou (dificuldade de ateno pois a
sala mal cabe a turma etc) 5%
Tabela II.4
-
27
Questionrio 1 Tabulao das Respostas da Pergunta 10
Pergunta 10: Esta forma de aprender exigiu que voc
participasse ativamente das aulas (tomando a iniciativa,
levantando hipteses etc) do que o mtodo usado em
trigonometria (Mat2)? Explique. S
im
Ma
is o
u
me
no
s
N
o
Porcentagem de alunos 47% 10% 43%
Experimentar hipteses me ajudou a entender melhor as
funes; Com essa abordagem a minha participao foi mais
ativa, pois havia a curiosidade de saber o que aconteceria nos
prximos passos da atividade; Pois nas aulas nos vimos
totalmente includos, objetivados e incentivados a tirar nossas
prprias concluses.; Porque o mtodo do GeoGebra, por eu
nunca ter usado antes, foi mais complicado de entender, fazendo
com que eu perguntasse e me interessasse mais.; Requer um
cuidado maior do aluno, pois a partir da no se tem contato
apenas com o livro e sim com um projeto auxiliar.; A cada
segundo que voc se descuida ir perder um detalhe, que com
certeza far a diferena, na hora de executar as funes (Pois a
todo momento era necessrio saber o que se estava sendo feito,
do contrrio, ns nos perdamos); Na sala de aula muito
montono, resolvemos a funo e fazemos a parbola, mas
ficamos um pouco sem a noo de como se chegou at ali,
diferente do GeoGebra, em que vamos as possibilidades da
parbola, podamos construir coisas, o que no papel no
possvel; Por ser um programa no qual podamos visualizar os
grficos das funes, ficou mais fcil pensar e opinar no que
podia ser feito com elas; S pelo fato de ser uma inovao no
mtodo de ensino, j algo positivo. Ajuda na percepo e S
achei que foi muito focado na prtica e pouco na teoria.
X
Horas que exigia que as pessoas participassem da aula,
fazendo os exerccios necessrios, mas horas que as pessoas
se dispersaram com o uso do computador. e O modo
tradicional de se aprender trigonometria na minha opinio seria
melhor, pois a trigonometria precisa de exerccios para ser
aprendida, mas o uso do GeoGebra para aprofundamento do
assunto muito bom.
X
-
28
Estvamos focados em aprender a mexer no GeoGebra;
Estvamos mais preocupados em mexer no GeoGebra do que
fazer os exerccios propostos.; Minha participao foi a mesma,
pois no via muita diferena quanto s aulas; O programa
interessante, mas no me ajudou como uma aula de exerccios
ajuda; Pois me dispersei bastante e no achei interessante
esse mtodo; A matria ficou mais solta, faltou uma
condensao dos assuntos. Nas aulas na informtica houve uma
carncia na presena ativa do professor, exigindo uma
autonomia enorme do aluno e As aulas tradicionais em sala de
aula me permite aprender e absorver melhor a matria.
X
Tabela II.5
-
29
Questionrio 1 Tabulao das Respostas da Pergunta 11
Pergunta 11: Voc tem alguma sugesto para melhorar o mtodo?
Explique.
Porcentagem
de Alunos
Mudana na Metodologia: Antes de ir para a aula na informtica, o
professor deveria ensinar na sala de aula.; Dividir as aulas de funo no
GeoGebra e na sala de aula tambm, para praticarmos mais.; O professor
deveria utilizar o programa para fixar a matria e no para explicar a matria
com o programa, o que dificultou o entendimento.; Acho que ficaria melhor
se deixasse para usar o GeoGebra em s uma/duas aulas apenas, para
uma melhor visualizao das funes, porque dispersou muito os alunos e
dificultou um pouco a aprendizagem na parte terica.; A realizao do
trabalho com o GeoGebra deveria ser reduzida, ou pass-la para
aprofundamento do assunto para apenas estimular a capacidade de novas
aprendizagens em matemtica, no como tema obrigatrio; Criar mais
exerccios para auxiliar no programa. Alguns exerccios no ficaram muito
claros e foi um pouco difcil entender.; Acho que deveramos fazer
exerccios do livro pelo GeoGebra. Facilitaria no aprendizado. e As aula
poderiam ser realizadas na prpria sala de aula com o auxlio de um
datashow e o notebook, para no haver tanta disperso.
58%
Perodo maior de tempo: Acho que as aulas de aplicao do mtodo
poderiam ser realizadas em um perodo maior de tempo, pois assim
conciliaramos os exerccios propostos ao programa, adquirindo um
conhecimento mais completo.; Quando as aulas forem na informtica,
melhor que tenhamos mais tempo, pois algumas pessoas tm dificuldades
para usar o programa, e isso atrasa a aula e atrapalha a aprendizagem
delas mesmas.
8%
Preferncia pelo Mtodo Tradicional: Acho que o mtodo tradicional
melhor e que este mtodo inovador mais para quem quer seguir essa rea
da Matemtica.
4%
No utilizar mais o mtodo 4%
Nada sugeriram 26%
Tabela II.6
-
30
Questionrio 2 Perguntas de 1 a 5 e Percentuais das Respostas
1) De maneira geral, ao estudar matemtica para fazer uma avaliao, voc precisa decorar
(parar para memorizar sem vnculos ou significados por no ter entendido) trechos do contedo?
Sempre 6% s vezes 84% Nunca 10%
2) Quanto voc precisa decorar, geralmente, at a vspera de uma avaliao em matemtica?
Tudo ou quase isso 8% Prximo da metade 39% Nada ou quase isso 53%
3) A metodologia (abordagem usada pelo professor com: uso do software, do laboratrio e do
material impresso) possibilitou suficiente entendimento do assunto abordado e fez com que voc
precisasse decorar menos trechos do contedo?
Sim 52% Nunca decoro 10% No 38%
4) Voc tem hbito de recorrer a professor particular para esclarecer dvidas em matemtica?
Sempre 2% s vezes 31% Nunca 67%
5) Voc recorreu a professor particular para esclarecer alguma parte da matria de funo tratada
atravs da metodologia que usamos?
Sim 14% No 86%
Tabela II.7
Analisando-se os percentuais das ocorrncias de respostas, v-se que:
I. 90% dos alunos usam aprendizagem mecnica sempre ou s vezes.
II. Mais da metade dos alunos decoram nada (ou quase isso) at a vspera de
uma avaliao em matemtica.
III. Quase 60% do universo dos que decoram consideraram que a metodologia
possibilitou menor necessidade desse tipo de aprendizagem.
IV. Quase 70% dos alunos nunca recorrem a professor particular para esclarecer
dvidas.
V. Menos de 45% do universo dos que recorrem a professor particular, tiraram
dvidas externas da parte de funes ensinada atravs da metodologia.
Questionrio 2 Perguntas 6 e 7
6) O que voc acha que precisa ser memorizado com relao ao estudo de funes afins e
quadrticas?
7) Sobre as perguntas anteriores, gostaria de complementar ou esclarecer alguma(s) de suas
respostas?
Tabela II.8
-
31
Questionrio 2 Tabulao das Respostas da Pergunta 6
Pergunta 6: O que voc acha que precisa ser memorizado com relao
ao estudo de funes afins e quadrticas?
Porcentagem de
Alunos
Algumas frmulas ou Frmulas principais 49%
Frmulas do Vrtice da Funo 26%
Significado de Cada Coeficiente (a, b e c) e suas influncias no grfico 12%
Leis das Funes Afim ou Quadrtica 10%
Frmulas de Zeros da Funo 6%
Parte de grficos 6%
Quadro de Sinais 4%
Exerccios mais frequentes 2%
Tabela II.9
Questionrio 2 Tabulao das Respostas da Pergunta 7
Pergunta 7: Sobre as perguntas anteriores, gostaria de complementar
ou esclarecer alguma(s) de suas respostas?
Porcentagem
de Alunos
1Q: S memorizo frmulas; Decorar algumas frmulas inevitvel;
Como tenho certa facilidade, no preciso decorar ou Embora muitas
frmulas tenham que ser decoradas, com o decorrer das aulas, algumas
podem ser facilmente entendidas, atravs da metodologia.
10%
3Q: Penso que grficos ajudam bastante na compreenso de partes que
requerem certa abstrao geomtrica ou Continuei com algumas dvidas
que s foram sanadas no estudo para a prova ou No que no
possibilitou o entendimento, apenas dificultou um pouco.
6%
4Q: Tenho muita dificuldade desde o ensino fundamental, por isso, de vez
em quando, recorro a professores particulares. 2%
5Q: Tirou dvida com algum da famlia, monitor ou outro. 12%
Tabela II.10
-
32
Concluses e Sugestes
Comparativamente, as mdias das duas turmas no 3 trimestre, no foram discrepantes em
relao aos outros trimestres (em uma das turmas mantiveram-se constantes e, na outra, o
primeiro trimestre apresentou resultado geral 5% acima dos outros dois), como o desempenho
apresentado pelas turmas no ano passado que motivou esta pesquisa.
Nas observaes no laboratrio e nas discusses informais, chamou ateno a fala de uma
aluna que achou interessante ver um problema prtico sendo modelado e tentando ser
resolvido em tempo real. Ela identificou que dificuldades iam surgindo ao longo da execuo
do trabalho final (como o problema de qual parbola, se possvel, passar por trs pontos
escolhidos) em contraposio aos exerccios de um livro didtico que, para aplicao de
determinada teoria, possuem incio e fim bem definidos.
A abordagem possibilita em contedo, em relao ao modo tradicional: restrio de
domnio (geralmente trabalhado na 2 srie com funes injetora, sobrejetora e bijetora) e
discusso de escalas (uma curva muito aproximada se parece com uma reta). Alm do
aprendizado de um software para auxiliar nos estudos. Existe inteno de continuao do
trabalho onde ocorreria um aprofundamento da proposta (construo de uma fonte atravs de
programas prprios e estudo da teoria matemtica subjacente curvas de Bzier) e o
acrscimo de translaes e homotetia. Infelizmente, devido s restries de tempo, somente foi
possvel citar o vdeo do discurso de Steve Jobs em Stanford, que poucos conheciam. O filme
Helvetica no pode ser exibido. Ambos foram planejados para que gerassem discusses e,
possivelmente, despertassem vocaes um dos objetivos secundrios.
Os trabalhos finais executados pelos alunos apresentaram razovel fidelidade aos modelos
exibidos em marca dgua na janela de visualizao do GeoGebra e atingiram as expectativas.
Obviamente, as letras e os numerais que possuem curvas (B, C, O etc), foram os mais
difceis de serem construdos. Facilidades disponibilizadas pelo programa para a obteno de
grficos foram descobertas por vrios alunos, mas no atrapalharam a proposta de estudos
para que os objetivos fossem atingidos.
No primeiro questionrio, as crticas registradas foram voltadas, em sua maior parte, ao uso
do programa e ao ambiente fora da sala de aula. Os alunos apontaram como principal fator
positivo da abordagem a visualizao do grfico e o seu dinamismo, o que era esperado. Por
outro lado, em sua maioria, consideraram negativo a dificuldade em mexer no software e a
disperso gerada no ambiente informatizado. Acredita-se que isso se deve a questes
relacionadas com a prpria falta de amadurecimento do grupo. Alm disso, o tempo
despendido para a familiarizao com o GeoGebra, de fato foi abaixo do planejado e
provocado por motivos de fora maior (a greve provocou uma reduo de aproximadamente
10% dos dias letivos programados no incio do ano letivo).
-
33
A ocorrncia de aprendizagem significativa foi aumentada atravs da metodologia,
como indicou o segundo questionrio. Pelas respostas, 9 entre cada 10 alunos usam
aprendizagem mecnica em pequena parte do contedo matemtico, em geral, no estudo at a
vspera de uma avaliao. Desse universo dos que decoram, aproximadamente, 60%
indicaram que a metodologia possibilitou menor necessidade desse tipo de memorizao. Ou
seja, no espectro de aprendizagem com o contnuo mecnica-zona cinza-significativa houve
uma mudana neste grupo de alunos com uma concentrao mais prxima da aprendizagem
significativa. Alm disso, o questionrio 2 mostrou tambm que, devido ao formato das
avaliaes, h a preocupao, principalmente, de guardar frmulas. As mais citadas, sem
haver estmulo, foram as que fornecem as coordenadas do vrtice de uma parbola (grfico da
funo quadrtica).
Talvez seja necessrio discutir melhor o questionrio antes dos alunos responderem
(distino entre as classes sociais, dvidas entre terem estudado equao do 2 grau e funo
quadrtica uma aluna apontou funo afim e Bhskara etc).
Observou-se que a verso utilizada do GeoGebra no apresentou a possibilidade de se
usar a espessura nos grficos que o trabalho exigiu, mas tambm no inviabilizou-o (contudo
seria interessante se as retas pudessem ter no traado algo similar liberdade de tamanho que
as fontes digitais possuem nos editores de texto). Alm disso, o programa no permite usar
funes x = f(y) com domnio restrito a um intervalo real. Estas facilitariam muito na construo
dos caracteres e provavelmente em outros problemas.
No houve a oportunidade de ser verificado pelo pesquisador, no ano letivo seguinte, se o
programa foi usado pelos alunos na continuao dos estudos de funes e, assim, possibilitar
a testagem de hipteses e facilitar na visualizao de um grande nmero de grficos.
-
34
Referncias Bibliogrficas
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Campinas, SP: Autores Associados, 2007. (Coleo Formao de Professores).
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-
35
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MOREIRA, Marco A. Mapas Conceituais e Aprendizagem Significativa. O ENSINO, Revista
Galico Portuguesa de Scio-Pedagogia e Scio-Lingustica, n 23 a 28, p. 87-95, 1988,
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PELIZZARI, Adriana et al. Teoria da Aprendizagem Significativa Segundo Ausubel. Revista
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PEREIRA, Francisco Jos H. Aprendizagem Significativa e Geometria Dinmica. Dissertao
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PICCOLI, Lus Alberto P. A construo de Conceitos em Matemtica: Uma Proposta Usando
Tecnologia de Informao. Dissertao de M. Sc. Faculdade de Fsica, Programa de
Ps-Graduao em Educao em Cincias e Matemtica, PUC/RS, Porto Alegre, RS,
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ZULATTO, Rbia B. A. Professores de Matemtica que utilizam softwares de geometria
dinmica: suas caractersticas e perspectivas. Dissertao (Mestrado em Educao
Matemtica) IGCE, UNESP, Rio Claro, SP, Brasil, 2002.
-
36
Apndices
A. 1 Fichas e Questionrios
INTRODUO AO GEOGEBRA PARTE 01
Estudaremos a funo afim e a funo quadrtica utilizando recursos do software GeoGebra. Leia abaixo o
texto que responde pergunta O que o GeoGebra? no site do Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro35
.
Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra um software gratuito de matemtica
dinmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemtica nos vrios nveis de
ensino (do bsico ao universitrio). O GeoGebra rene recursos de geometria, lgebra,
tabelas, grficos, probabilidade, estatstica e clculos simblicos em um nico ambiente.
Assim, o GeoGebra tem a vantagem didtica de apresentar, ao mesmo tempo,
representaes diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si. Alm dos
aspectos didticos, o GeoGebra uma excelente ferramenta para criar se ilustraes
profissionais para serem usadas no Microsoft Word, no Open Office ou no LaTeX. Escrito
em JAVA e disponvel em portugus, o GeoGebra multiplataforma e, portanto, ele pode
ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS.
Vamos usar os tutoriais disponveis na pgina:
http://www.geogebra.im-uff.mat.br/vtt.html
1 uma introduo tela do GeoGebra 4.x e suas janelas etc (tambm sobre outras janelas ocultas
acessveis atravs do boto Exibir).
25 Sobre a Barra de Estilo.
2 Sobre o boto Disposies no menu principal. Iremos usar, basicamente, a opo lgebra e
Grficos.
3 Construo de pontos e retas. Apesar de estarmos estudando funes, pontos e retas nos auxiliaro
na compreenso de elementos dos grficos e possibilitaro a construo de outros.
35
Disponvel em: . Acesso em: 02 nov. 2011.
No precisamos de tudo que est contido
na pgina eletrnica acima. Assim,
seguem alguns comentrios sobre os
trechos que so importantes para o nosso
estudo. Siga a ordem sugerida.
Assista aos tutoriais (indicados pelo
numeral que aparece no incio de
cada frase abaixo) quantas vezes
forem necessrias!!!
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37
5 Como ampliar, reduzir e mover a Janela de Visualizao. Sobre pontos livres e pontos fixos.
27 Como traar grficos das funes afins e das funes quadrticas.
28 Eixos Coordenados: como configurar a escala.
29 Eixos Coordenados: como configurar a aparncia (rtulos etc).
23 Como modificar o nmero de dgitos, definir novos elementos algbricos (ex. no tutorial:
permetro a partir das medidas dos lados de um tringulo descritas na Janela de lgebra).
4 Como apagar objetos e boto Desfazer (ou Ctrl+Z).
6 Como gravar, abrir e iniciar arquivos do GeoGebra (.ggb).
22 Como exportar figuras para editores de texto (BrOffice etc).
7 Como exibir, esconder e mover rtulos.
8 Como esconder e exibir objetos.
12 Como mudar a aparncia de um objeto.
13 Como mudar a aparncia de um objeto (boto direito do mouse).
14 Como traar uma mediatriz.
17 Como criar pontos semilivres, deixar rastro e traar lugares geomtricos (ex. no tutorial:
parbola).
18 Mais sobre rastro (ex. no tutorial: parbola).
24 Como marcar ngulos e modificar sua aparncia.
Os tutoriais 9, 10, 11, 15, 16, 19, 20, 21 e 26 no so importantes neste momento.
-
38
INTRODUO AO GEOGEBRA PARTE 02
Controle Deslizante ou Seletor (Barra de Ferramentas)
- Possibilita o uso de leis de funes em sua forma geral.
- Permite animaes.
Ex.: I) Clicar no boto destacado na figura ao lado.
II) Escolher local na janela de visualizao e criar os seletores a e b.
III) Digitar f(x) = a*x+b na linha de comando.
IV) Clicar no boto Mover (seta) e, clicando com o boto esquerdo do mouse, mexer o ponto do seletor
para alterar os valores de a ou b.
Obs: Clicando-se com o boto direito acessa-se a figura 1:
Animar inicia-se a animao
com os parmetros que esto em Propriedades...
na aba Controle Deslizante (figura 2).
Intervalo: valores mnimo e mximo que o
seletor ter com o incremento definido.
Controle Deslizante: seletor fixo, valores
aleatrios (teclando-se F9), disposio (horizontal
ou vertical) e largura (tamanho).
Animao: velocidade e modo de
repetio (oscilante, crescente etc).
FIGURA 1
FIGURA 2
-
39
V) Relembrar o tutorial 24. Construir um ngulo atravs de trs pontos, de tal modo que seja calculado no sentido
anti-horrio a partir do eixo x (figura 3).
1) Grfico de funo definida por mais de uma sentena
f(x) = se [ , , ]
Ex.:
2x, x 1f(x)
2, x 1 na linha de comando do GeoGebra deve ser representado por:
f(x) = se [ x > 1, 2x, 2 ]
2) Grfico de uma funo no intervalo [a, b]
funo [ , a, b ]
Ex.: f(x) x 2 no intervalo [0;2]
funo [-x+2, 0, 2]
3) Reflexo de um ponto em relao outro (ou de um ponto em relao a uma reta)
Reflexo[ , ]
Reflexo[ , ]
Ex.: Reflexo do ponto (3;2) em relao reta y = 1
Reflexo[ (3;2), y = 1 ] far aparecer na janela de visualizao o ponto (3;0)
O GeoGebra possui vrios comandos pr-gravados.
Como estamos interessados no estudo da funo afim e da funo
quadrtica, estes so os mais importantes no momento:
FIGURA 3
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40
FUNO AFIM PARTE 01
A definio da funo afim a seguinte
1) Qual o grfico desta funo?
Usando o GeoGebra, fixe um valor para b (pode ser 0 ou 1 ou ...). Varie os valores de a. Teste
valores: positivos (pequenos e grandes), negativos (pequenos e grandes) e zero.
Investigue. Faa anotaes, se necessrio, no retngulo a seguir.
Agora faa o contrrio: fixe um valor para a. Varie os valores de b.
possvel chegar a uma concluso geral (pergunta 1) procedendo do modo como foi descrito
acima?
Ser que existe uma demonstrao acessvel que responda pergunta 1? Como voc
buscaria esta informao na internet?
2) Qual o papel de a e qual o de b no grfico da funo afim?
3) Dados os pontos (-1;4) e (2;1), possvel encontrar a funo afim cujo grfico passa por eles? O
GeoGebra poderia facilitar a soluo deste problema?
f : R R tal que f(x) = ax + b onde a, b R
Obs: Existem autores
de livros didticos que
consideram a R* na
funo afim,
igualando-a funo
polinomial do 1 grau.
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41
FUNO AFIM PARTE 02
A partir da construo indicada na Introduo ao Geogebra - parte 02
4) Qual a relao entre o ngulo construdo e o coeficiente a (taxa de variao da funo afim)? Variando-se a e b
no seletor, a construo do ngulo manteve-se correta em relao sua definio?
5) A funo afim sempre possui zero (valor de x que torna y = 0)? Como encontr-lo com o GeoGebra? Quando h
zero da funo, sempre possvel encontrar seu valor exato com o software?
6) Exerccios Selecionados - livro Matemtica, Dante, Ed. tica, 2009 (1 ed.):
Pginas 55 a 63: 1, 3, 8, 9, 10, 12, 15, 27, 31 a 34, 41, 44 e 48.
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42
FUNO QUADRTICA
A definio da funo quadrtica a seguinte
4) Qual o grfico desta funo?
Usando o GeoGebra, clique no boto do controle deslizante (seletor). Como fizemos para a
funo afim, instale seletores para a, b e c. Coloque limites de -50 a 50, quando a caixa de
dilogo de cada seletor abrir.
Crie a funo f(x)=a*x^2+b*x+c na linha de comando.
Estude a pgina 79 do Dante. Como se chama esta curva obtida?
5) Como as variaes de a alteram o grfico da funo quadrtica? E de b? E de c?
6) Digite na linha de comando =b^2-4*a*c. Qual a relao entre o grfico da funo e ?
f : R R tal que f(x) = ax2 + bx + c onde a R*; b, c R
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43
7) O ponto que divide a parbola em dois ramos simtricos chamado de vrtice. O xv a mdia
aritmtica das abscissas de dois pontos do grfico que possuem mesmo y. Use y = c e encontre
atravs da lei da funo quadrtica o x do vrtice. Para encontrar o yv (y do vrtice) basta substituir
xv na lei. Quais so as coordenadas do vrtice? Digite xv e yv (e suas respectivas expresses) na linha
de comando do GeoGebra e crie este valores na Janela de lgebra. Finalmente digite V=(xv,yv) e
destaque o vrtice no grfico.
8) Vamos construir o eixo de simetria da parbola no GeoGebra. Se apenas criarmos uma reta que
passe por V, ela estar livre no GeoGebra e no acompanhar as variaes do grfico. Digite A=(xv-
0.5, a*(xv-0.5)^2+b*(xv-0.5)+c) e (usando copie e cole) B=(xv+0.5, a*(xv+0.5)^2+b*(xv+0.5)+c).
Use a ferramenta adequada e trace uma reta passando por estes pontos. Depois, usando outra
ferramenta, trace uma reta perpendicular ela e que passe por V. O que voc entendeu sobre a
construo destes pontos? A reta perpendicular o eixo de simetria? Oculte os passos das
construes e coloque a perpendicular no estilo pontilhado. Mude cor e espessura se quiser.
9) Mude a cor do vrtice (diferente do eixo e do grfico). Deixe a e c fixos (sugesto: a = 1 e c = 1) e varie
b. Ative o rastro de V. Que lugar geomtrico obtido com o rastro? Troque o valor de a para seu
oposto (ou simtrico). Que novo lugar geomtrico obtido? Como voc explicaria isto?
Exerccios Selecionados - livro Matemtica, Dante, Ed. tica, 2009 (1 ed.):
Pginas 73 a 63: 1, 2, 9, 10, 14, 15, 17, 18, 22, 28, 35, 46, 57, 60, 61, 62, 64, 106, 110 e 111.
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44
QUESTIONRIO TURMA:_______ TRABALHO DE FUNES COM O GEOGEBRA NOV/DEZ 2011
Marque apenas uma alternativa para cada pergunta.
Aluno(a):______________________________________________________________________ No:___________
1) Data de Nascimento: ______/______/______
2) Qual faixa social voc considera-se includo?
( ) Classe Baixa. ( ) Classe Mdia. ( ) Classe Alta.
3) Voc utilizou outro(s) computador(es) alm dos disponveis no colgio para realizar o trabalho? Onde?
( ) No. ( ) Sim. Casa. ( ) Sim. Lan-House. ( ) Sim. __________________.
4) O tempo para a concluso do trabalho, considerando os recursos que voc teve, foi suficiente?
( ) No. ( ) Sim.
5) J havia estudado funo afim e funo quadrtica no 9 ano?
( ) No. Nenhuma das duas. ( ) No. Apenas funo afim. ( ) Sim.
6) Voc est cursando pela primeira vez o 1 ano do Ensino Mdio?
( ) No. ( ) Sim.
7) De um modo geral, ao estudar matemtica, voc acha que a informtica ajuda na aprendizagem?
( ) No. ( ) Sim.
8) Voc executou as tarefas propostas?
( ) No. ( ) Sim, parcialmente. ( ) Sim, totalmente.
9) O que voc achou desta abordagem de funo afim e funo quadrtica? Cite um fator positivo e um
negativo.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
10) Esta forma de aprender exigiu que voc participasse ativamente das aulas (tomando a iniciativa,
levantando hipteses etc) do que o mtodo (mais prximo do tradicional) usado em trigonometria (Mat 2)?
Explique.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
11) Voc tem alguma sugesto para melhorar o mtodo? Explique.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
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QUESTIONRIO COMPLEMENTAR TRAB. DE FUNES COM O GEOGEBRA NOV/DEZ 2011
Marque apenas uma alternativa para cada pergunta.
Aluno(a):______________________________________________________________________ Turma:________
1) De maneira geral, ao estudar matemtica para fazer uma avaliao, voc precisa decorar (parar para
memorizar sem vnculos ou significados por no ter entendido) trechos do contedo?
( ) Sempre. ( ) s vezes. ( ) Nunca.
2) Quanto voc precisa decorar, geralmente, at a vspera de uma avaliao em matemtica?
( ) Tudo ou quase isso. ( ) Prximo da metade. ( ) Nada ou quase isso.
3) A metodologia (abordagem usada pelo professor com: uso do software, do laboratrio e do material impresso)
possibilitou suficiente entendimento do assunto abordado e fez com que voc precisasse decorar menos
trechos do contedo?
( ) Sim. ( ) Nunca decoro. ( ) No.
4) Voc tem hbito de recorrer a professor particular para esclarecer dvidas em Matemtica?
( ) Sempre. ( ) s vezes. ( ) Nunca.
5) Voc recorreu a professor particular para esclarecer alguma parte da matria de funo tratada atravs da
metodologia que usamos?
( ) Sim. ( ) No.
6) O que voc acha que precisa ser memorizado com relao ao estudo de funes afins e quadrticas?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
7) Sobre as perguntas anteriores, gostaria de complementar ou esclarecer alguma(s) de suas respostas?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
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A. 2 Construes feitas pelos alunos
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A.3 Cons