6.ogk elementi simetrijskidijagrami

7/23/2019 6.OGK Elementi Simetrijskidijagrami

1/16

Osnovi geometri jske kristalografije 131A1

Elementi simetrije.

Simetrijski dijagrami.


2/16

Ose rotacije

2/16

Operacija simetrije: rotacija

element simetrije: prava prave ose rotacijesimbol n (nje ceo broj)

originalni i rotirani motiv su kongruentni


3/16

3/16

Prave ose rotacije se oznaavaju brojemn koji moe imati celobrojne vrednostiod 0 do .

n red prave ose rotacije predstavlja broj koji pokazuje koliko puta je

potrebno rotirati motiv oko ose za ugao da bi se poetni i krajnji poloajmotiva poklopili.

n = 360 odakle sledi =

Ose rotacije

Ugao naziva se uglom jedne rotacije.

U kristalima ne moe imati proizvoljne ve samo sasvim odreene vrednosti.


4/16

4/16

U klasinoj kristalografiji nisu mogue ose 5. reda, niti ose redova veih od 6(izuzetak su kvazikristali) zato to takve ose nisu u skladu sa translacionom

periodinou.

Ose rotacije


5/16

5/16

Kako je translacija osnovna operacija simetrije u kristalu, sve ostale operacije simetrije

moraju bit i u saglasnosti sa translacijom.

n = 360 =n

3600

.......(1)

Prostom teoremom se moe dokazati da izraz (1) ne vai za bilo koje vrednosti n kada

elimo da ouvamo translacionu periodinost.

Reetka nakon

operacije rotacije

Ose rotacije

1D reetka pre

operacije rotacije

Posmatramo jednodimenzionalnu reetku sa translacijom reetke u ijoj svakoj takioperie osa rotacije An.

t


6/16

6/16

mt = PS + t + RQ = 2PS + t

PS = tcos

(m je ceo broj)

Ako se uvede smena

N = m - 1 (N je ceo broj)

Ose rotacije

t

PQ paralelno sa poetnim nizom taaka.

P i Q podjednako udaljene od

poetnog niza taaka. Da bi se ouvala translaciona periodinost

PQ = celobrojni umnoak translacije t

(PQ = mt gde je m ceo broj)

PS = RQ i < Q = < P =

mt = t + 2tcos

mt = t (1+2cos)

m = 1 + 2cos


7/16

7/16

Poto je cos 1, vrednost celog broja N ne moe biti bilo kakva, ve vai:

-2 N 2

N moe imati samo vrednost i 2, 1, 0, 1, 2

Moe se sastaviti tabela za mogue vrednosti N i i tako definisati mogue kristalografske ose koje su usaglasnosti sa translacijonom periodinou.

N cos () n (red ose)

-2 -1 180 2

-1 -1/2 120 3

0 0 90 4

1 1/2 60 6

2 1 360 1

Ose rotacije

(m je ceo broj)

Ako se uvede smena

N = m - 1 (N je ceo broj)


8/16

8/16

2 osa rotacije 2. reda rotacija za 180




Ose rotacije

Grafiki simboli osa rotacije


9/16

9/16

Simetrijski dijagrami

Kako objekti povezani simetrijsk im operacijama mogu biti projektovani na ravan?

U kristalografiji se koriste dve vrste projekcija: normalne i stereografske projekcije.

3D 2D normalna projekcija

Normalna projekcija se koristi za prikazivanje simetrije prostornih grupa kristala.

O prostornim grupama vie emo govoriti na narednim predavanjima.


10/16

10/16


Drugi tip simetrijskog dijagrama koji se u kristalografiji koristi je stereografska projekcija.

Ova vrsta projekcije se koristi da bi se pokazala simetrija oko fiksne take.

Ekvatorija

lnaravan

Juni pol (engl. South)

Imaginarne linije koje

spajaju objekate na

severnoj hemisferi sa

junim polom

Ekvatorija

lna

ravan

Severni pol (engl. North)

Projekcije objekata na ekvatorijalnoj ravni se

nalaze u takama gde imaginarne linije koje spajaju

polove sa objektima seku ekvatorijalnu ravan.

Imaginarna linija koja

spaja objekat na junoj

hemisferi sa severnim

polom


11/16

11/16


Stereografske projekcije Grafiki simboloperacije rotacije oko

ose 2

Znak + ukazuje na to da

je pro jektovani objekat

iznad ekvator ijalne

ravni. U suprotnomstavlja se znak .

Na prikazanom primeru operacijom rotacije oko

ose 2 se ne dobijaju enantiomorfni motivi. U

sluaju da operacijom simetrije nastajuenantiomorfni motivi to se oznaava stavljanjem

zareza u krug.

Nekada se objekti sa june i severne hemisfere

mogu projektovati u istu taku na ekvatorijalnojravni. To se deava kada je ekvatorijalna ravan

ujedno i ravan simetrije. Superpozicija dva objekta

se prikazuje sledeim znakom:


12/16

12/16


Stereografske projekcije

7

Osa 2

7


13/16

13/16


Stereografske projekcije pravih osa rotacije


14/16

14/16


Stereografske projekcije pravih osa rotacije


15/16

15/16


Stereografska projekcija ravan refleksije

Shematski prikaz

refleksije preko ravni m

motiv iznad

ravni simbol

enantiomorfni

motiv ispod

ravni simbol

motivi su jedan

ispod drugog

Stereografska

projekcijarefleksije preko

ravni m


16/16

16/16


Stereografska projekcija centar inverzije

Stereografska projekcija

inverzije preko centra

inverzije

Shematski prikaz

inverzije preko centra

inverzije

motiv iznad

ravni simbol

enantiomorfni

motiv ispod

ravni simbol

6.ogk elementi simetrijskidijagrami

Documents