VI Geometrijsko mjesto korijena

Uvod Jedna od najčešće korištenih metoda za sintezu regulacijskog kruga je metoda geometrijskog mjesta korijena. Ova metoda omogućava pronalazak takvog pojačanja otvorenog sistema koje nam generira takve korijene karakteristične jednačine u sistemu sa povratnom spregom da tjeraju sistem da se ponaša optimalno u željenom smislu. Odnosno, dobijamo geometrijsko mjesto tačaka mogućih korijena karakteristične jednačine sistema sa povratnom spregom u kompleksnoj ravni za različite vrijednosti pojačanja. Uzmimo prenosnu funkciju zatvorenog kruga:

Napišimo sada funkciju otvorenog kruga u faktoriziranom obliku:

Znamo da nazivnik prenosne funkcije sistema sa zatvorenom spregom generira dinamiku sistema i predstavlja karakterističnu jednačinu koja ima oblik:

0

0

1)(

GGsG+

=

∏

∏

=

=

−

−= n

ii

m

jj

ps

nsKsG

1

10

)'(

)'(')(

Geometrijsko mjesto korijena

54

Vidimo da karakteristična jednačina ovisi o pi’, ni’ i K’. Iz ovog slijedi i bit metode geometrijskog mjesta korijena: poznavajući u s – ravnini pi’ i ni’ nalazimo korijene karakteristične jednačine sistema sa povratnom spregom za razne vrijednosti pojačanja K’, odnosno za promjenu K’ od 0 do ∞. Iz dobijenog grafika možemo na lagan način da nađemo optimalno pojačanje za zahtijevane parametre vremenskog domena kao što su preskok i vrijeme smirivanja. Treba napomenuti da MATLAB posjeduje funkciju rlocus kojom odmah nalazimo traženi grafik, ali zbog demonstracije metoda geometrijskog mjesta korijena korisno je proći korake sinteze. Primjer Neka je data prenosna funkcija otvorenog sistema:

1. pravilo: Geometrijsko mjesto korijena ima n grana, gdje je n broj polova prenosne

funkcije otvorenog kruga. Svaka grana čini zaseban dio geometrijskog mjesta korijena za sve vrijednosti od 0 do ∞. Postoje dva pola i dvije grane geometrijskog mjesta korijena.

2. pravilo: Grane geometrijskog mjesta korijena započinju u polovima (K’ = 0), a završavaju u nulama (K’ = ∞) prenosne funkcije otvorenog sistema. Grane geometrijskog mjesta korijena započinju u polovima s = -1-j1 i s = -1+j1,

a završavaju u nuli s = -2 i u beskonačnosti.

3. pravilo: Grane geometrijskog mjesta korijena su simetrične u odnosu na realnu osu.

∏∏

∏

∏∏

∏

∏

==

=

==

=

=

=−+−

−

−+−=

−

−+=+

m

jj

n

ii

n

ii

m

jj

n

ii

n

ii

m

jj

nsKps

ps

nsKps

ps

nsKsG

11

1

11

1

10

0)'(')'(

)'(

)'(')'(

)'(

)'('1)(1

22)2(')( 20 ++

+=ss

sKsG

MATLAB u teoriji automatskog upravljanja

55

4. pravilo: Geometrijsko mjesto korijena nalazi se na realnoj osi ako se udesno od njega nalazi neparan broj nula i polova prenosne funkcije otvorenog kruga. Geometrijsko mjesto korijena se nalazi na realnoj osi između -∞ < s ≤ -2.

5. pravilo: Grane geometrijskog mjesta korijena kod velikih vrijednosti s približavaju se asimptotski pravcima koji su pod nagibom od:

Budući da je (n - m) = 1, asimptota je data sa:

pa jedna grana geometrijskog mjesta korijena ide prema beskonačnosti duž negativne realne ose.

6. pravilo: Asimptote za s→∞ sijeku realnu osu u tački:

σc = 0. 7. pravilo: Tačku odvajanja σo, gdje se geometrijsko mjesto korijena odvaja od realne

ose, dobijamo rješenjem slijedeće jednačine:

222,10 j±−=σ

1)m-(n0,1,2,..., )12(za +=

−+= k

mnk

aπϕ

,1801180)12( 0==

−+=

mnk

aπϕ

mn

npm

ij

n

ii

c −

−=

⌠⌠== 1

'

1

'

σ

.02

111

111

1

.0)(

1)(

11 1

''

=+

−++

+−+

=−

−−⌠ ⌠

= =

ooo

n

i

m

j joio

jj

np

σσσ

σσ

Geometrijsko mjesto korijena

56

8. pravilo: Geometrijsko mjesto korijena napušta kompleksan pol pod uglom od :

gdje je arg(G’

o(s)) fazni pomak od Go(s), ali bez faznog doprinosa tog pola. Na sličan način definiramo i ugao dolaska pod kojim se geometrijsko mjesto korijena približava kompleksnoj nuli:

Ugao napuštanja od kompleksnog pola p’

1: σo = 1800 – 900 + 45 = 1350. Ugao napuštanja od konjugirano kompleksnog pola ne moramo ni računati, jer je zbog simetrije σo = -1350.

9. pravilo: Sjecište geometrijskog mjesta korijena s imaginarnom osom možemo

odrediti pomoću Routhov-og1 kriterija stabilnosti. Vrijednosti K’ u toj tački je granica između stabilnog i nestabilnog rada.

Geometrijsko mjesto korijena u ovom primjeru ne prelazi desno od imaginarne ose, pa sistem ne može biti nestabilan. To provjeravamo pomoću pomenutog Routh-ovog kriterija.

Sada, radi uporedbe, možemo koristiti MATLAB funkciju rlocus. » num=[1 2];» den=[1 2 2];» rlocus(num,den) 1 Kriterij stabilnosti

)),(arg(180 '0 sGoo +=ϕ

)).(arg(180 '0 sGod −=ϕ

MATLAB u teoriji automatskog upravljanja

57

Dobijamo:

Ro o t L o cu s

Re a l A xi s

Imag

Axi

s

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-1

-0 .5

0

0 .5

1

Slika 6.1

Zadatak 1 Prenosna funkcija otvorenog kruga glasi:

Provesti proceduru pronalaska geometrijskog mjesta korijena i uporediti dobijeni grafik sa grafikom dobijenim u MATLAB-u.

...

.)2)(1(

)('

++=

sssKsGo

Geometrijsko mjesto korijena

58

Zadatak 2 Ukucati u komandnom prozoru MATLAB-a rltool i izanalizirati dobijeni MATLAB GUI program koristeći sistem opisan prenosnom funkcijom iz prethodnog zadatka.

...

Zadatak 3 Prenosna funkcija otvorenog kruga glasi:

Koristeći MATLAB-ov program rltool naći kritičnu vrijednost pojačanja K' za koju se sistem nalazi na granici stabilnosti i pročitati vrijednost polova sistema u zatvorenom, te dobijeno rješenje provjeriti modeliranjem datog sistema sa jediničnom negativnom povratnom spregom u Simulinku. .

... Zadatak 4 Prenosna funkcija otvorenog kruga glasi:

Nacrtati geometrijsko mjesto korijena.

... Zadatak 5 Koristeći MATLAB-ov program rltool, napraviti sistem koji će imati dva konjugovano kompleksna pola na imaginarnoj osi, jedan pol na realnoj osi u lijevoj poluravni, te dvije nule u desnoj poluravni kompleksne ravni {s}. a) Zaključiti da li sistem sa jediničnom negativnom povratnom spregom može biti

stabilan. b) Šta treba uraditi da bi sistem sa jediničnom negativnom povratnom spregom preveli

u stabilan sistem? c) Pročitati prenosnu funkciju dobijenog stabilnog sistema kao i prenosnu funkciju

dodanog regulatora. ...

.)2)(1(

)('

++=

sssKsGo

.)2507.7)(164.6(

)164.2()( 22

2'

++++++=

sssssssKsGo