6.teoría de portfolio

FINANZAS II 26 de octubre de 2011

Prof. Gloria Hormazábal Pérez

Al elegir entre distintas opciones de inversión, por ejemplo en acciones o instrumentos de renta variable, debe considerarse el retorno esperado ofrecido por el instrumento o portfolio y el nivel de riesgo al cual se expone. En la década del 50 Harry Markowitz planteó su Teoría de Media-Varianza para la Selección de portfolio. Dicha teoría relacionó el retorno esperado con el riesgo, tanto para activos individuales como para portfolios.

INTRODUCCIÓN

Teoría de Portfolio

2

A partir de la teoría de Markowitz se plantearon nuevas ideas en el área, relacionando el retorno esperado del o los activos con su riesgo asociado, tales como el Modelo de Valoración de Activos de Capital y la Teoría de Precios de Arbitraje. Posteriormente surgen las revisiones a las teorías existentes y sus respectivas aplicaciones en la práctica. A continuación revisaremos la Teoría de portfolio de Markowitz.

INTRODUCCIÓN


3

Si tenemos una acción y queremos saber el valor final de nuestra riqueza en un periodo determinado estamos buscando la tasa de retorno de dicha acción. La tasa de retorno corresponde al: cambio producido en la riqueza del individuo como consecuencia de llevar a cabo una inversión determinada. Si estimamos el retorno durante un periodo, para una inversión de $1 y la riqueza final del periodo es $W, la tasa de retorno R, se define como:

W IR

I

(1)

A. RIESGO Y RETORNO DE UN ACTIVO


4


A partir de la expresión (1) podemos obtener el valor presente o futuro de la inversión. Si al final del periodo conocemos la riqueza con certeza, entonces es posible obtener el valor presente de la inversión y su tasa de retorno. Aunque raramente ocurre en el mundo real, para activos riesgosos, lo mejor es asignar probabilidades a varios resultados posibles.

(1 )Valor Futuro W R I (2)

r(1 )

WValor P esente I

R

(3)


5


Ejemplo 1: El precio de la acción (P0) para IANSA es de $15.050 para el día 17 de agosto de 2008 y queremos estimar el precio esperado de la acción al final del mes: Si el precio de la acción IANSA el día 22 de septiembre es $17.458 este precio corresponde a uno de los posibles estados de la naturaleza en la tabla Nº 1.

Tabla 1: Precios hipotéticos para IANSA a fines de mes

Probabilidad Precio de la acción al fin del periodo Retorno

0,1 $ 12.793 -15%

0,3 $ 13.545 -10%

0,2 $ 15.050 0%

0,3 $ 17.458 16%

0,1 $ 23.045 32%


6

Comúnmente la medida estadística usada para encontrar el resultado más probable de un set de eventos, es la esperanza o media. La esperanza o media del retorno es el precio esperado menos el precio inicial, dividido en el precio inicial. Del ejemplo 1, el retorno esperado de las acciones de IANSA se obtiene:

1 0

0

( )( )

E P PE R

P

(4)

1( ) 0,1(12.793) 0,3(13.545) 0,2(15.050) 0,3(17.048) 0,1(23.045) 15.895E P

1 0

0

( ) 15.895 15.050( ) 5,61%

15.050

E P PE R

P

A.1. Retorno Esperado de un activo


7

A.1. Esperanza del Retorno de un activo

Recordemos tres propiedades de la esperanza: (1) La esperanza de una constante es igual a la constante:

(2) La esperanza de la suma de dos variables es igual a la suma de las esperanzas por separado:

(3) La esperanza de una variable aleatoria X multiplicado por una constante “a” es la constante multiplicada por la esperanza de X:

( ) ( ) ( )E X Y E X E Y

( )E a a a cte

( ) ( )E aX aE X


8

A.2. Varianza del Retorno de un activo

Utilizada para medir la dispersión de una distribución de retornos. En este caso, para la distribución de los resultados de un set de eventos, la varianza del precio del activo es: Para IANSA la varianza y la desviación estándar de su precio se calcula como:

2

1( ) [( ( )) ]VAR P E P E P (5)

2 2 2

2 2

( ) 0,1(12.793 15.895) 0,3(13.545 15.895) 0, 2(15.050 15.895)

0,3(17.048 15.895) 0,1(23.045 15.895) 8.606.617

VAR P

( ) 8.606.617 2.933,7p VAR P


9

La varianza y desviación estándar del retorno de IANSA es: Posteriormente utilizaremos la varianza para medir el riesgo de una inversión.

2

0

( ) 8.606.617( ) 3,80%

226.502.500

VAR PVAR R

P

( ) 3,80 19,49%p VAR P



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Propiedades de la varianza: (1) La varianza de una variable aleatoria es: (2) La varianza de una constante es igual a la constante: (3) La varianza de una variable aleatoria X multiplicada por una constante “a” es la constante al cuadrado multiplicada por la varianza de X:

2( ) [( ( )) ]iVAR X E X E X

( )VAR a a a cte

2( ) ( )VAR aX a VAR X



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B. RIESGO Y RETORNO DE UN portfolio

Los inversionistas miden la utilidad esperada de los activos riesgosos identificando la media y varianza proveniente de la combinación de éstos. Para un administrador financiero, el riesgo operacional de la firma puede ser medido estimando la media y varianza de los retornos del portfolio de activos que la firma posee: inventario, caja, cuentas por cobrar, valores negociables y capital físico. Para un administrador de portfolios, el riesgo y el retorno son la media y varianza del promedio ponderado de los activos de su portfolio.


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Para comprender la administración del riesgo es necesario estudiar el riesgo y el retorno del portfolio proporcionado por una combinación de activos riesgosos. 1. Distribución Normal: Es simétrica y queda completamente determinada por sus

primeros dos momentos centrales: la media y la varianza. La ecuación para la frecuencia de retornos, R, distribuidos

normalmente es:

21 ( ( )

21( )

2

R E R

f R e

(6)



13

La frecuencia de los retornos normalizados z, donde: corresponde a: Con µ=E(R) σ=desv.est.

( )R E Rz

(7)

21

21( )

2

z

f z e



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2. Media y varianza de un portfolio de dos activos: Considerando un portfolio con dos activos riesgosos, A y

B, ambos distribuidos normalmente. Si el portfolio se compone de un x% de A y un y%=(1-x%)de B, el retorno del portfolio se obtiene como promedio ponderado de los retornos de los activos.

p A BR xR yR (8)



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2. Media y varianza de un portfolio de dos activos: Utilizando las propiedades de la media y varianza, podemos

derivar la media y varianza del portfolio. La media del retorno es el resultado esperado:

Separando los términos: El retorno esperado del portfolio es un promedio ponderado

de los retornos esperados de los activos.

( ) [ ]p A BE R E xR yR

( ) ( ) ( )p A BE R E xR E yR

( ) ( ) ( )p A BE R xE R yE R (9)

B. RIESGO Y RETORNO DE UN PORTFOLIO


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Ejemplo 2: Considere un portfolio de dos activos, las acciones Falabella y Ripley. El portfolio se compone en un 30% de Ripley y un 70% de Falabella. Los retornos mensuales al 22 de septiembre de 2008 . El retorno esperado del portfolio es: Tabla 2: Retornos hipotéticos para Falabella y Ripley.

Probabilidad Falabella Ripley

Pi Rf Rr

0,2 -7% 5%

0,2 10% 8%

0,2 11% 2%

0,2 19% -4%

0,2 22% -1%



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Ejemplo 2: El retorno esperado del portfolio es:

( ) 0,7 ( ) 0,3 ( )p f rE R E R E R

( ) 11% ( ) 2%f rE R y E R

( ) 0,7 11% 0,3 2% 0,083 8,3%pE R

La varianza del portfolio es:

2( ) [( ) ( )]p p pVAR R E R E R

2( ) [( ) ( )]p A B A BVAR R E xR yR E xR yR (9)



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Desarrollando,

2( ) [( ( )) ( ( ))]p A A B BVAR R E xR E xR yR E yR

2 2 2 2( ) ( ( ( )) ( ( )) 2 ( ( ))( ( )p A A B B A A B BVAR R E x R E R y R E R xy R E R R E R

Por definición de varianza tenemos:

2

2 2( ) ( )A A A AVAR xR x E R E R x VAR R

2

2 2( ) ( )B B B BVAR xR x E R E R y VAR R



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Por lo tanto la varianza del portfolio es la suma de las varianzas individuales de los retornos de los activos multiplicados por los cuadrados de la participación en el portfolio y un tercer término que incluye la covarianza. La Covarianza es una medida de la variación común a dos variables, y, por tanto, una medida del grado y tipo de relación. Si es positiva: los valores altos de los retornos de A están asociados a los valores altos de los retornos de B y viceversa. Si es negativa: los valores altos de los retornos de A están asociados a los valores bajos de los retornos de B y viceversa.



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La covarianza: Es una medida de la variación común a dos variables y por ende una medida del grado y tipo de su relación. Es un concepto my importante, ya que es la medida apropiada de la contribución en riesgo de un activo al riesgo del portfolio.

( , ) ( ) ( )A B A A B BCOV R R E R E R R E R

2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )P A B A A B BVAR R x VAR R y VAR R xyE R E R R E R



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Propiedades de la covarianza: (1) La covarianza entre una misma variable es igual a la varianza de

la variable aleatoria.

La varianza del retorno de un portfolio con dos activos es:

2( , ) ( ) ( ) ( ( )) ( )COV X X E X E X X E X E X E X VAR X

2 2( ) ( ) ( ) 2 ( , )P A B A BVAR R x VAR R y VAR R xyCOV R R



22

En el ejemplo anterior, la varianza del retorno del portfolio es:

2 2( ) 0,7 ( ) 0,3 ( ) 2(0,7)(0,3) ( , )P f r f rVAR R VAR R VAR R COV R R

2 2 2

2 2

( ) 0,2( 7% 11%) 0,2(10% 11%) 0,2(11% 11%)

0,2(19% 11%) 0,2(22% 11%) 1,02% ( ) 10,10%

f

f

VAR R

R

2 2 2

2 2

( ) 0,2(5% 2%) 0,2(8% 2%) 0,2(2% 2%)

0,2( 4% 2%) 0,2( 1% 11%) 0,19% ( ) 4,38%

r

r

VAR R

R

( , ) 0,2( 7% 11%)(5% 2%) 0,2(10% 11%)(8% 2%)

0,2(11% 11%)(2% 2%) 0,2(19% 11%) (4% 2%)

0,2(22% 11%)( 1% 2%) 0,282%

f rCOV R R



23

La varianza y desviación estándar del portfolio es:

2 2( ) (0,7) (1,02%) (0,3) (0,19%) 2(0,7)(0,3)( 0,282%) 0,399%pVAR R

( ) 0,00399 0,0631 6,31%pR



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Podemos graficar la relación entre riesgo y retorno del portfolio. Su forma refleja la combinación de los activos A y B. Dado que no existe correlación perfecta entre ambos activos, puede reducir la exposición a los riesgos de estos.

( )pR

( )pE R

( )AR ( )BR

( )BE R

( )AE R

Grafico 1: Formación de portfolio



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La diversificación permite alcanzar un nivel de utilidad esperada mayor, dado que está dispuesto a pagar una prima por la reducción de riesgo. Para el ejemplo 2 el gráfico es el siguiente:

( )pR

( )pE R

4,38% 6,31%

11%

2%

8,3%

10,10%

Grafico 2: portfolio con acciones Falabella y Ripley



26

3. El Coeficiente de Correlación La correlación, entre dos variables aleatorias se define

como la covarianza dividida por el producto de las desviaciones estándar.

Para el caso de Falabella y Ripley, la correlación es:

,

( , )A B

A BR R

A B

COV R R

R R

,A BR R

,

( , ) 0,282%0,658

(10,10%)(4,38%)f r

f r

R R

f r

COV R R

R R



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También podemos integrar el coeficiente de correlación en la fórmula de varianza.

2 2( ) ( ) ( ) 2 ( , )P A B A BVAR R x VAR R y VAR R xyCOV R R

2 2

,( ) ( ) ( ) 2A B A BP A B R R R RVAR R x VAR R y VAR R xy



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4. Portfolio de mínima varianza

La reformulación de la varianza de un portfolio permite buscar una combinación de activos que provea una mínima varianza. Éste portfolio es el único en el que los cambios en la varianza (desviación estándar) con respecto a los cambios en el porcentaje invertido en el activo A es cero.

Recordemos que y=(1-x), reemplazamos:

2 2

,( ) ( ) ( ) 2A B A BP A B R R R RVAR R x VAR R y VAR R xy

2 2 2 2

,( ) ( ) (1 ) ( ) 2A B A BP A B R R R RVAR R x R x R xy



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4. Portfolio de mínima varianza Podemos minimizar la varianza del portfolio, derivando

respecto de x. Resolviendo por el porcentaje de inversión óptimo de A para

obtener un portfolio de mínima varianza:

2 2 2

, ,

( )2 2 2 2 4 0

A B B A B A B A B A B

PR R R R R R R R R R R

VAR Rx x x

x

2

2 2

,

,

*2

B A B A B

A B A B A B

R R R R R

R R R R R R

x

2 2 2

, ,

( )( 2 ) 0

A B A B A B A B A B RB

PR R R R R R R R R R

VAR Rx

x



30

Volviendo al ejemplo 2, si queremos saber cuánto deberíamos invertir en acciones de falabella “x”, el portfolio de mínima varianza es:

El portfolio de mínima varianza se obtiene con un 26,68% de

acciones de Falabella y 73,32% de acciones de Ripley.

2

2 2

,

,

*2

0,19% ( 0,6375)(10,10%)(4,38%)* 0,2668 26,68%

(1,02% 0,19%) 2( 0,6375)(10,10%)(4,38)

B A B A B

A B A B A B

R R R R R

R R R R R R

x

x



31

Podemos calcular el retorno y varianza del portfolio compuesto por las acciones de Falabella y Ripley.

2 2

( ) 0,2668(11%) 0,7332(2%) 4,40%

( ) (0,2668) (1,02%) (0,7332) (0,19%)

2(0,2668)(0,7332)( 0,282) 0,065%

( ) 2,56%

p

p

p

E R

VAR R

R



32

Gráfica del portfolio de Mínima Varianza con acciones de Falabella y Ripley.

( )pR

( )pE R

4,38%2,56%

11%

2%

4,40%

10,10%

Grafico 3: portfolio de Mínima Varianza con acciones Falabella y Ripley



33

Gráfica del portfolio de Mínima Varianza con acciones de Falabella y Ripley.

( )pR

( )pE R

4,38%2,56%

11%

2%

4,40%

10,10%

Grafico 3: portfolio de Mínima Varianza con acciones Falabella y Ripley


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5. Correlación Perfecta Hemos considerado en el ejemplo anterior activos con

correlación negativa. Pero también puede darse una correlación perfecta o 1.

Ejemplo 3: Supongamos que las empresas La Polar y Ripley, tienen

correlación perfecta positiva. Los retornos mensuales al 29 de junio son los siguientes:



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5. Correlación Perfecta Ejemplo 3:

Probabilidad La Polar Ripley

Pi Rp Rr

0,2 -3,00% -3,60%

0,2 -1,00% -1,20%

0,2 0,50% 0,60%

0,2 1,95% 2,34%

0,2 4,50% 5,40%

,

( ) 2,55%

( ) 3,06%

( , ) 0,0781%

1

LP

R

LP R

LP R

R

R

COV R R

Un portfolio de dos activos correlacionados perfectamente se extiende sobre una línea recta:



36

5. Correlación Perfecta

Un portfolio de dos activos correlacionados perfectamente se extiende sobre una línea recta:

( )pR

( )pE R

( )BE R

C

Grafico : Trade-off entre riesgo y retorno para dos activos

( )AE R

( )AR ( )BR

B

A

, 1LP R

, 1LP R

, 1LP R

El punto A representa el riesgo y retorno de un portfolio en el que se invierte un 100% en el activo A, y B representa el 100% invertido en B. La línea punteada representa el riesgo y retorno proveniente de la combinación de dos activos con correlación perfecta positiva.



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5. Correlación Perfecta

La media y varianza de un portfolio con dos activos con correlación perfecta positiva se definen como:

2 2 2 2

( ) ( ) (1 ) ( )

( ) (1 ) 2 (1 )A B A B

p A B

p R R R R

E R xE R x E R

VAR R x x x x



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6.teoría de portfolio

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