1

Hipotez TestleriENM317 Mühendislik İstatistiği

Doç. Dr. Nihal ERGİNEL

2014

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

HİPOTEZ TESTLERİ

Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir

ifadeyi kabul yada red etmek için karar vermek

durumunda kalırız. Bu ifade hipotez olarak

adlandırılır. Hipotez hakkında karar verme süreci

de hipotez testi olarak adlandırılır.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Tip ve Tip hataları:

doğru yanlış

hipotezinin kabul edilmesi Hata yok Tip hatası

hipotezinin red edilmesi Tip hatası Hata yok

hipotezinin red/ kabul edilmesi rassal olarak alınan örneklerin analiz edilmesi sonucu olmaktadır. Dolayısıyla bu karar belli bir hata içermektedir.

Hipotez testlerinde iki tür hata vardır.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

2

Tip I ve Tip II hatalarının meydana gelme olasılığı

α : P( red / doğru) Tip

: P( kabul / yanlış) Tip

Testin gücü = Power = 1- = P ( red / yanlış)

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Tek parametreli hipotez testleri

Ortalamalar için Oranlar için

: µ = : p=

: µ Çift yönlü : p Çift yönlü

Tek yönlü

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Çift parametreli hipotez testleri

Ortalamalar için Oranlar için

: = : =

: Çift yönlü : Çift yönlü

Tek yönlü

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

3

Anakütle Ortalamasının Hipotez Testi

• biliniyor veya

• bilinmiyor ancak n 30 ise,

B[ ] =

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

1. Durum Grafiği

2. Durum Grafiği

3. Durum Grafiği

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

4

Örnek büyüklüğünün tespiti

n =

_ _ _ _ Çift taraflı

n =

_ _ _ _ Tek taraflı

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

! bilinmiyor ve n<30 ise,

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÖRNEK:

Bir içeceğin raf ömrü incelenmek istenmiştir. Rassal

olarak 10 örnek seçilmiş ve raf ömürleri aşağıdaki

gibidir. Buna göre firma raf ömrünün 120 günden

büyük olduğu iddiasını test etmek istemiştir. İlgili

hipotezi kurunuz ve sonucu yorumlayınız. (α=0,01)

124-108-124-106-115-138-163-159-134-139

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

5

Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı

: µ = 120 gün =

> _ _ _ _ red

: µ >120 gün

=

= 131 gün

ÇÖZÜM:

S=

=19,54

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Yorum: %99 güven seviyesinde raf ömrünün

120 günden büyük olduğunu söyleyecek

elimizde yeterli kanıt yoktur.

Sonuç: = 1,78 < = 2,82 red edilemez.

=

=1,78

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Anakütle oranının hipotez testi

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

6

Örnek büyüklüğünün tespiti

n =

_ _ _ _ Çift taraflı

n =

_ _ _ _ Tek taraflı

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÖRNEK:

Bir elektronik kart üreten firma kusurlu oranının %5’ten

fazla olmayacağına garanti vermiştir. Bu garantisini

doğrulamak amacıyla müşteri 200 elektronik kartı rassal

olarak seçmiş ve incelenmiştir. Bunlardan 6 tanesinin

hatalı olduğu görülmüştür. %5 anlam seviyesinde

garantinin geçerli olup olmadığını araştırınız.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÇÖZÜM:Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı

: p = 0,05 > _ _ _ _ _ red

: p >0,05 =

=

= -1,3

Sonuç: = -1,3 < = 1,645 red edilemez.

Yorum: %95 güven seviyesinde hata oranının %5’ten

büyük olduğunu söyleyecek elimizde yeterli kanıt yoktur.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

7

İki anakütle ortalamalarının hipotez testi

,

biliniyor.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Örnek büyüklüğünün belirlenmesi

n =

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÖRNEK

Plastik kovalara boya dolduran 2 makinenin doldurma miktarı anakütle

standart sapmaları sırasıyla = 0,015, = 0,018 ile normal dağılıyor.

Kalite mühendisliği bölümü boya kovalarının 2 farklı makine tarafından

eşit dolup dolmadığı konusunda şüphe etmektedir. Bu amaçla rassal

olarak 10’ar örnek alınmış ve aşağıdaki miktarlar tespit edilmiştir. Buna

göre ilgili hipotez testini kurarak, %5 anlam seviyesinde sonucu

yorumlayınız.

1. Makine: 16,03-16,04-16,05-16,05-16,02-16,01-15,96-15,98-16,02-15,99

2. Makine: 15,97-15,96-16,01-15,99-16,03-16,04-16,02-16,01-16-16,02

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

8

ÇÖZÜM

Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı

: = < veya > red

: =

= 16,015 = 0,015 =10

= 16,005 = 0,018 =10

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

=

= 1,349

Sonuç: = 1,349 < =1,96 red edilemez.

Yorum: %95 güven seviyesinde 1. makinenin

doldurduğu miktar ile 2. makinenin

doldurduğu miktar arasında fark olduğunu

söyleyecek yeterli kanıt yoktur.

ÇÖZÜM

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

,

bilinmiyor, iki anakütle de Normal dağılıma

sahip. =

olduğu varsayılıyor.

=

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

9

Bir kimyasal konsantrasyonda reaksiyon hızını artırmak için bir

madde kullanılmaktadır. Bu madde miktarı 1,5 mol/L konulduğunda

15 kez deneme sonunda ortalama reaksiyon hızı 7,5 Mmol/30 dk,

standart sapması 1,5 olarak bulunmuştur. Madde miktarı 2 mol/L

konulduğunda 12 deneme sonunda ortalama reaksiyon hızı 8,8

Mmol/30dk, standart sapması ise 1,2 olarak bulunmuştur. Bu madde

miktarını artırmak reaksiyon hızını 0,5 Mmol/30dk artırmış mıdır?

Anakütle varyanslarının eşit olduğu varsayımı ile %99 güven

seviyesinde test ediniz.

ÖRNEK

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÇÖZÜM

Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı

: +0,5 = =

< veya

: +0,5 > _ _ _ _ red

= 7,5 = 1,5 =15

= 8,8 = 1,2 =12

= 1,376

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÇÖZÜM

=

=

= -1,5

Sonuç: = -1,5 < =2,787 red edilemez.

Yorum: %99 güven seviyesinde

madde miktarını artırmanın

reaksiyon hızı 0,5 birim artırdığına

dair elimizde yeterli kanıt yoktur.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

10

,

bilinmiyor, ancak eşit olmadıkları varsayılıyor:

=

– 2

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Bir video üreticisi kullandığı 2 tür mikroelektrik devrelerinin aynı

akış hızlarına sahip olup olmadıklarını belirlemek istemektedir.

Araştırma mühendisi aşağıdaki verileri elde etmiştir. Sonucu %10

anlam seviyesinde yorumlayınız. (Varyansların eşit olmadığı

varsayılıyor.)

ÖRNEK

Tasarım 1: = 24,2 2 = 10 =15

Tasarım 2: = 23,9 2 = 20 =12

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÇÖZÜMHipotezler Test istatistiği Karar kuralı

: = < veya

: =

> _ _ _ _ _ _ red

=

= 0,184

Sonuç: = 0,184 < =1,746 red edilemez.

Yorum: %90 güven seviyesinde

akış hızları arasında fark olduğuna

dair elimizde yeterli bir kanıt

yoktur.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

11

İki anakütle oranlarının hipotez testi

p=

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Örnek büyüklüğünün belirlenmesi:

n =

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÖRNEK

İki farklı plastik kalıp makinesinde aynı ürün üretrilmektir. 2.

makine 1. makineye göre daha yenidir. Bu nedenle kalite

mühendisleri 2. makinenin daha az hurda oranına sahip

olduğunu düşünmektedir. Bu iddialarını kanıtlamak için her

2 makineden 750 birimlik örnekler almış ve kusurlu adetleri

sırasıyla 35 ve 18 olarak tespit etmiştir. Kalite

mühendislerinin iddiasını inceleyiniz. α= 0,01

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

12

ÇÖZÜM = 35/750 = 0,0467

= 18/750= 0,024

p=

=

= 0,0353

Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı

: = > _ _ _ _ red

: > =

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

=

= 2,382

Sonuç: = 2,382 > = 2,33 red

Yorum: %99 güven seviyesinde 2. Makinenin

hurda oranının 1. Makinenin hurda oranından

daha az olduğunu söylenebilir.

ÇÖZÜM

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Eşleştirilmiş Gözlemlerin Hipotez Testi

=

=

veya

=

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

13

ÖRNEK

Çelik levhanın kopma kuvveti 2 farklı yöntem ile tahmin edilmeye

çalışılmış ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Yöntemler

arasında fark olup olmadığını % 90 güven seviyesinde tespit

ediniz.

Çelik levha 1.metot 2.metot Farklar

1 1,186 1,061 0,125

2 1,151 0,992 0,159

3 1,322 1,063 0,259

4 1,339 1,062 0,277

5 1,2 1,065 0,135

6 1,402 1,178 0,224

7 1,365 1,037 0,328

8 1,537 1,086 0,451

9 1,559 1,052 0,507

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÇÖZÜM

= 0,2736

=0,1356

=

= 6,05

Sonuç: =6,05 > = 1,86 red Yorum: %90 güven

seviyesinde iki yöntem

arasında fark vardır.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

Anakütle varyansının hipotez testi

X N (µ, ) , µ ve bilinmiyor. , , . . . ,

olmak üzere anakütleden n birimlik örnek alınıyor.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

14

Meyve suyu dolduran bir makinenin varyansının 0,02

’yi geçmesi istenmektedir. Bu amaçla süreçten rassal

olarak 20 örnek alınmış ve örnek varyansı 0,0225

olarak bulunmuştur. Buna göre %5 anlam seviyesinde

sürecin varyansının istenilen değerden büyük olmasını

test ediniz.

ÖRNEK

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÇÖZÜM

Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı

: = 0,02 =

> >

_ _ _ red

: >0,02

=

= 21,38

Sonuç:

= 21,38 <

= 30,14 red edilemez. Yorum: % 95 güven seviyesinde

varyansın 0,02’den büyük

olduğuna dair yeterli kanıt yoktur.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

İki anakütle varyansının eşitliğinin hipotez testi:

N( ) - N(

) , ,

• birbirinden bağımsız ve

•

bilinmiyor.

Varyansların eşitliğini test etmek istiyoruz.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

15

=

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÖRNEK

Bir kimyasal ayırma sürecinde iki tip kimyasal

konsantrasyon hazırlanmıştır. Her iki tip konsantrasyon

için 8’er örnek alınmış ve varyansları = 3,89 ,

= 4,02

olarak bulunmuştur. Varyansların eşitliğini test

ediniz.α=0,05

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

ÇÖZÜMHipotezler Test istatistiği Karar kuralı

:

>

veya

:

=

red

=

=0,97 = 4,99 =

= 0,20

Sonuç:

= 0,97 > = 0,20

red edilemez.

Yorum :

%95 güven

seviyesinde

varyanslar eşittir.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________