公開鍵暗号7: 楕円曲線の数理

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楕円曲線における座標環と有理関数体

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極と零点

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因子群 Div(E)

実験数学 3(大阪大学理学部数学科 3年・4年)

第 7回: 楕円曲線の数理

鈴木譲

大阪大学

2013年 6月 6日2013年 6月 13日2013年 6月 20日

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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 7 回: 楕円曲線の数理

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極と零点

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因子群 Div(E)

楕円曲線における座標環

K : 体K̄ : K の代数閉体a, b ∈ K (4a2 + 27b3 ̸= 0)

E := {(X ,Y ) ∈ K̄ 2|Y 2 = X 3 + aX + b} ∪ {O}

E (K ) := {(X ,Y ) ∈ K 2|Y 2 = X 3 + aX + b} ∪ {O}

∆ := 4a3 + 27b2 ̸= 0 ⇐⇒ X 3 + aX + b = 0が重根をもたない

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極と零点

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因子群 Div(E)

楕円曲線における座標環 K [E ]

{x : E\{O} → K̄ ,P(a, b) 7→ ay : E\{O} → K̄ ,P(a, b) 7→ b

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E の座標環 K [E ]

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K を係数とする x , y についての多項式 f (x , y)のなす環

K [E ]の各元は、E\{O} → K̄ とみなせる

(y2 − x3 − ax − b)(P) = 0 , P ̸= O

　

K [E ]は、K [X ,Y ]を Y 2 − X 3 − aX − bで割った剰余 (剰余環)

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極と零点

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因子群 Div(E)

K [E ] ∋ f (x , y) = v(x) + yw(x), v(x),w(x) ∈ K [x ]

(Zのどの元より小さい−∞を入れて、Z∪{−∞}の<を再設定)

deg : K [E ] → Z ∪ {−∞}, f 7→ max{2 degx(v), 3 + 2 degx(w)}

degx(0) = −∞, deg(0) = −∞

f̄ (x , y) =: v(x)− yw(x)

N(f ) := f (x , y)f̄ (x , y) = v2(x)− (x3 + ax + b)w2(x) ∈ K [x ]

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極と零点

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因子群 Div(E)

次数 degの性質

deg(f ) = degx(N(f ))

f (x , y) = v1(x) + yw1(x), g(x , y) = v2(x) + yw2(x), s(x) =x3 + ax + bとおくと、

N(fg) = N((v1 + yw1)(v2 + yw2))

= (v1v2 + sw1w2)2 − s(v1w2 + v2w1)

2

= v21 v22 + s2w2

1w22 − s(v21w

22 + w2

1 v22 )

= (v21 − sw21 )(v

22 − sw2

2 ) = N(f )N(g)

deg(fg) = degx(N(fg)) = degx(N(f )N(g))

= degx(N(f )) + degx(N(g)) = deg(f ) + deg(g)

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極と零点

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因子群 Div(E)

楕円曲線における有理関数体K (E )

K [E ]2 = {f /g |f , g ∈ K [E ]}の同値類を、

f1/g1 ∼ f2/g2 ⇐⇒ f1g2 = f2g1

と定めると、K (E ) := K [E ]2/ ∼は、演算+, ·

f /g · f /2 = f1f2/g1g2

f1/g1 + f2/g2 = (f1g2 + f2g1)/g1g2

について、体をなす。

K [E ]でなくても、一般の整域 R({0}ではなく、零因子をもたない可換環)について、R2/ ∼は体をなすことが知られている。

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極と零点

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因子群 Div(E)

∞ ̸∈ K̄

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r ∈ K (E )の P ̸= Oでの値

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r = f /g , g(P) ̸= 0なる f , g ∈ K [E ]が存在するとき、r(P) := f (P)/g(P)、存在しないとき r(P) := ∞

K (E )の各元は、E\{O} → K̄ ∪ {∞}とみなせる

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極と零点

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因子群 Div(E)

無限遠点OにおけるK (E )の各元の値

r = f /g ∈ K (E )f , g の最高次の係数を α, βとして、

r(O) :=

0 (deg(f ) < deg(g))α/β (deg(f ) = deg(g))∞ (deg(f ) > deg(g))

K (E )の各元は、E → K̄ ∪ {∞}とみなせる

　

deg(y2 − x3 − ax − b) = deg(0) = −∞, deg(1) = 0,(y2 − x3 − ax − b)(O) = 0より

(y2 − x3 − ax − b)(P) = 0 ,P ∈ E

f ∈ K [E ] =⇒ f (O) = ∞

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極と零点

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因子群 Div(E)

極と零点

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r ∈ K (E )が、P ∈ E で極 (零点)

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r(P) = ∞ (r(P) = 0)

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P ∈ E における局所パタメータ

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1 以下の性質を満足する u(P) = 0なる u ∈ K (E )が存在:各 K (E ) ∋ r ̸= 0で、適当な s(P) ̸= 0,∞なる s ∈ K (E ), d ∈ Zを用いて r = ud s とできる

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2 同じ性質を満足する v(P) = 0なる v ∈ K (E )が存在すれば、各 rに対する d の値 (ordP(r) = d)は同じになる。

P ̸= O, [2]P ̸= O: P(α, β)で u(x , y) := x − α

[2]P = O: u(x , y) := y

P = O: u(x , y) := x/y

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極と零点

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因子群 Div(E)

r(x , y) = u(x , y)ds(x , y)の例 (1)

P(α, β), β ̸= 0(⇐⇒ [2]P ̸= O)

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. .1 u(x , y) = x − αは、局所パラメータ

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..

1 r(x , y) = x − γ, α ̸= γ:d = 0, s(x , y) = x − γ とおけば、s(P) ̸= 0,∞

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..

2 r(x , y) = (x − α)2y :d = 2, s(x , y) = y とおけば、s(P) ̸= 0,∞

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2 u(x , y) = (x − α)2 は、局所パラメータではない

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1 r(x , y) = x − α:s(P) ̸= 0,∞なる d ∈ Z, s ∈ K(E)が存在しない

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3 u(x , y) = (x − α)(x − γ), α ̸= γ は、局所パラメータ

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1 r(x , y) = x − α:d = 1, s(x , y) = x − γ とおけば、s(P) ̸= 0,∞

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2 r(x , y) = [x − α]−2:d = −1, s(x , y) = (x − γ)2 とおけば、s(P) ̸= 0,∞

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極と零点

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因子群 Div(E)

r(x , y) = u(x , y)ds(x , y)の例 (2)

P(α, 0), β ̸= 0(⇐⇒ [2]P = O)

y2 = (x − α)(x − α′)(x − α′′) , α, α′, α′′ ∈ K̄

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1 u(x , y) = y は、局所パラメータ

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1 r(x , y) = x − γ:d = 0, s(x , y) = x − γ とおけば、s(P) ̸= 0,∞

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2 r(x , y) = x − α, α ̸= γ:d = 2, s(x , y) = [(x − α′)(x − α′′)]−1 とおけば、s(P) ̸= 0,∞

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3 r(x , y) = (x − α)2y :d = 5, s(x , y) = [(x − α′)(x − α′′)]−2 とおけば、s(P) ̸= 0,∞

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2 u(x , y) = x − α

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1 r(x , y) = y :s(P) ̸= 0,∞なる d ∈ Z, s ∈ K(E)が存在しない

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極と零点

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因子群 Div(E)

証明 (1): P ̸= O, [2]P ̸= O: P(α, β)で u(x , y) := x − α

r = f /g , f (P) = 0, g(P) ̸= 0, f = uds の形でかければよい。　f (x , y) = v(x) + yw(x) ∈ K (E )では、f̄ (x , y) = v(x)− yw(x)とおいて、

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1 f (P) = f̄ (P) = 0のとき、y(P) = β ̸= 0 (0だと [2]P = O)v(α) + βw(α) = 0, v(α)− βw(α) = 0を解いて、v(α) = w(α) = 0となり、f (x , y) = (x − a)s1(x , y)なる s1 が存在。

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2 f (P) = 0, f̄ (P) ̸= 0のとき、f (x , y) = s(x)/f̄ (x , y)で、f̄ (α, β) ̸= 0, s(α) = 0。f (x , y) = (x − a)s1(x , y)なる s1 が存在。

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3 いずれの場合でも、s1 に対して、さらに繰り返す。f (x , y) = (x − α)d s1(x , y)なら、N(f ) = (x − α)2dN(s1)となり、1変数の次数が毎回減少して、有限回の繰り返しで終わる

r が極をもつとき、g ∈ K [E ]について同様に行い、g = ud1s なら、d = −d1。

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極と零点

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因子群 Div(E)

証明 (2): [2]P ̸= O: u(x , y) := y

[2]P = Oなる Pは、異なる 3点 (γ1, 0), (γ2, 0), (γ3, 0)

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..

1 f (γ1, 0) = v(γ1) + 0 · w(γ1) = 0より、v(x) = (x − γ1)v1(x)なるv1 が存在。

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2 γ1, γ2, γ3, 0は異なるので、w1(x) = (x − γ2)(x − γ3)w(x)として

f (x , y) = (x − γ1)v1(x) + yw(x) =y2v1(x) + yw1(x)

(x − γ2)(x − γ3)

= y [yv1(x) + w1(x)

(x − γ2)(x − γ3)]

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3 yv1(x) +w1(x)に対して、さらに繰り返す。v(x)から因子を取り出しているだけなので、有限回の繰り返しで終わる

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極と零点

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因子群 Div(E)

証明 (3): P = O

r = f /g , r(O) = 0より、deg(f )− deg(g) = d < 0。deg(y)− deg(x) = 1より、deg(yd f ) = deg(xdg)、したがって(y/x)d r(O) ̸= 0,∞

r = (x/y)d [(y/x)d r ]

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極と零点

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因子群 Div(E)

証明 (4): ordP(r), r ∈ K (E ),P ∈ E の一意性

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1 u = v es, v = uf t, s(P), t(P) ̸= 0,∞, u(P) = v(P) = 0とおくと、u = uef tes

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2 ef ̸= 1であれば、両辺を uで割って P を代入すると、0 = 1(矛盾)。e = f = 1。

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極と零点

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因子群 Div(E)∑P∈E\{O} ordP(f ) = deg f , f ∈ K [E ]

n := deg f = degx(N(f ))f f̄ = (x − α1) · · · (x − αn) , α1, · · · , αn ∈ K̄ とおくと、

.

..

1 s(αi ) ̸= 0 =⇒ ordP(x − αi ) = 1, (αi , βi ), (αi ,−βi )の 2点存在

.

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2 s(αi ) = 0 =⇒ ordP(x − αi ) = 2, (αi , 0)の 1点存在

∑P∈E\{O}

ordP(f f̄ ) =∑

i :s(αi )=0

ordP(x−αi )+2∑

i :s(αi )̸=0

ordP(x−αi ) = 2n

f (αi , βi ) = 0 ⇐⇒ f̄ (αi ,−βi ) = 0∑P∈E\{O}

ordP(f ) =∑

P∈E\{O}

ordP(f̄ ) = n

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極と零点

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因子群 Div(E)∑P∈E ordP(r) = 0, r ∈ K (E )

f ∈ K [E ]について、

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1 f = ( xy )d [( yx )

d f ]とおくと、x/y が局所パラメータ

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2 ( yx )d f (O) ̸= 0,∞より、deg(yd f ) = deg(xd)

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3 deg y − deg x = 1より、d = − deg f = ordO(f )

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4∑

P∈E ordP(f ) =∑

P∈E\{O} ordP(f ) + ordO(f ) = 0

r = f /g ∈ K (E )についても同様

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極と零点

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因子群 Div(E)

因子群 Div(E )

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集合 S で生成される自由アーベル群

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有限個の s ∈ S を除いて 0を対応付ける S → Zの集合演算:

∑s∈S m1(s)s +

∑s∈S m2(s)s =

∑s∈S(m1(s) +m2(s))s

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E の因子群 Div(E )

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. ..

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E によって生成される自由アーベル群(各要素をm : E → Zでなく、

∑P∈E m(P) と書く。)

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極と零点

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因子群 Div(E)

deg(∆) :=∑

P∈E m(P) ∈ Z, ∆ =∑

P∈E m(P) ∈ Div(E )(次数)

Div0(E ) := {∆ ∈ Div(E )| deg(∆) = 0}

div(r) :=∑

P∈E ordP(r) ∈ Div0(E ), r ∈ K (E ) (主因子)

Prin(E ) := {div(r)|r ∈ E (K )}

∆1 ∼ ∆2 ⇐⇒ ∆1 −∆2 = div(r),∆1,∆2 ∈ Div(E ),∃r ∈ K (E ) (線形同値)

Pic(E ) : Div(E )/Prin(E ) (因子類群)

Pic0(E ) := Div0(E )/Prin(E ) (因子類群)

|∆| :=∑

P∈E |m(P)| ∈ Z, ∆ =∑

P∈E m(P) ∈ Div(E ) (ノルム)

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極と零点

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因子群 Div(E)

因子類群 Pic0(E ) = Div 0(E )/Prin(E )の代表元

任意の∆ ∈ Div0(E )について、Pic0(E )の代表元をさだめる

∆0 ∼ ∆, |∆0| ≤ 1なる∆0 ∈ Div0(E )が存在して一意

∆ ∼ − < O >なる P ∈ E が存在して一意

各 r ∈ K (E )について∑P∈E\{O}

ordP(r) = deg(r) ,∑P∈E

ordP(r) = 0

より、上記の 2命題は同値

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極と零点

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因子群 Div(E)

直線 (関数) l(x , y) = Ax + By + C ∈ K (E ) (A,B ∈ K)

∑P∈E\{O} ordP(l) =

{max{2 · 1, 3 + 2 · 0} = 3 (B ̸= 0)max{2 · 1, 3 + 2 · (−∞}) = 2 (B = 0)

deg(l) =∑P∈E}

ordP(l) = 0

B ̸= 0のとき、l(P) = l(Q) = l(R) = 0のとき、

div(l) = + < Q > + < R > −3 < O > , R = −(P + Q)

P = Q =⇒ div(l) = 2 + < R > −3 < O > , R = −[2]P

B = 0,A ̸= 0のとき、

div(l) = + < R > −2 < O > , R = −P

[2]P = O =⇒ P = R =⇒ div(l) = 2 −2 < O >

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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 7 回: 楕円曲線の数理 .

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極と零点

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因子群 Div(E)

証明 (1): 存在性

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1 ∆ =∑

P∈E n(P) で、n(P), n(Q) > 0,P ̸= Q を含むとき、P ,Q,R を通る直線を l として、div(l) = + < Q >+ < R > −3 < O >, ∆′ := ∆− div(l)。n(P), n(Q) < 0のとき,∆′ := ∆ + div(l)。いずれも、|∆′| ≤ |∆| − 1, ∆′ ∼ ∆。

.

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2 ∆ = n(P) −n(Q) < Q > +n < O >, n ∈ Z,n(P), n(Q) > 0,P ̸= Q を含むとき n(P) ≥ 2であれば、[2]P ̸= Oのとき P を通る接線を l、[2]P = Oのとき Q を通る B = 0の直線を l として、それぞれ div(l) = 2 + < R > −3 < O >、div(l) = 2 −2 < O >を用いて、∆′ := ∆− div(l)とする。n(Q) ≥ 2のときも同様。いずれも、|∆′| ≤ |∆| − 1, ∆′ ∼ ∆。

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3 ∆ = − < Q >のとき、P を通る B = 0の直線を l として、div(l) = + < R > −2 < O > ([2]P = Oのとき、P = R)。∆′ := ∆− div(l) = − < Q > − < R > +2 < O >。|∆′| = |∆| = 2だが、1をあと 1回だけ適用して終了する。

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極と零点

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因子群 Div(E)

r(P) ̸= ∞,P ∈ E\{O} =⇒ r ∈ K [E ]

r(x , y) = u(x) + yv(x), r̄(x , y) = u(x)− yv(x)

r(P) ̸= ∞ ⇐⇒ r̄(P) ̸= ∞,P ∈ E\{O}

r(x , y) + r̄(x , y) = 2u(x)も極を持たないので、u(x) ∈ K [x ]yv(x) = r(x , y)− u(x)も極をもたないので、{yv(x)}2 = s(x){v(x)}2も極を持たない。v(x)が x = a ∈ K̄ で極をもてば、x = aで s(x) = 0が重根を保つ必要があり、v(x) ∈ K [x ]。したがって、u, v ∈ K [x ], r = u + yv ∈ K [E ]。

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極と零点

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因子群 Div(E)

証明 (2): 一意性

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. . 1 任意の∆ ∈ Div0(E )について、∆ ∼ − < O >,∆ ∼< Q > − < O >とすると、div(q) = − < Q >なるq ∈ K (E )が存在。

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2 div(r) =< R > − < O >なる r ∈ K (E ),R ∈ E が存在。(証明の存在性で示した方法)

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3 r(P) ̸= ∞, P ∈ E\{O}より、r ∈ K [E ]。

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4 deg0 = −∞, deg1 = 0, degx = 2, deg y = 3より、

r ∈ K [E ] =⇒ |div(r)| ̸= 1

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5 =< Q >。

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極と零点

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因子群 Div(E)

σ : Pic0(E ) → E

σ̄ : Div0(E ) → E , σ̄(∆) = P , ∆ ∼ − < O >div(r) ∼ 0, σ̄(div(r)) = O, r ∈ K (E )

.

σ : Pic0 → E

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. ..

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σ̄から誘発される、全単射

任意の P ∈ E に対して、 − < O >∈ Div0より、σ( − < O >) = P

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極と零点

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因子群 Div(E)

楕円曲線における加算は、結合法則が成立する

異なる 3点 P,Q ∈ E ,R = −P − Q を結ぶ直線 l について、

div(l) = + < Q > + < R > −3 < O >

R,−R を結ぶ直線 l ′について

div(l ′) =< R > + < −R > −2 < O >

( − < O >)− ( − < O >)− (< Q > − < O >)

= − − < Q > + < O >= div(l ′/l) ∼ 0

したがって、κ := σ−1について、

κ(P + Q)− κ(P)− κ(Q) = 0

κ((P + Q) + R) = κ(P + (Q + R)) = κ(P) + κ(Q) + κ(R)

κは全単射ゆえ、これは (P +Q) +R = P + (Q +R)を意味する。

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極と零点

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因子群 Div(E)

∆ ∼ 0 ⇐⇒ deg(∆) = 0, sum(∆) = 0

sum : Div(E ) → E ,∑

n(P) 7→∑

n(P)P

σ̄( + < Q > −2 < O >)

= σ̄( − < O >] >) = P + Q

deg(∆) = 0を仮定すると、∆ =∑

n(P) について、

σ̄(∆) = σ̄(∆− deg∆ < O >)

= σ̄(∑

n(P) −{∑

n(P)}O) = sum(∆)

∆ ∼ 0 ⇐⇒ σ̄(∆) = O ⇐⇒ sum(∆) = O

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公開鍵暗号7: 楕円曲線の数理

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