7-8 根树及其应用

一、根树1 、有向树定义定义 7-8.17-8.1 如果一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树，那么，该有向图称为 有向树有向树。

2 、根树 定义定义 7-8.27-8.2 一棵有向树 , 如果恰有一个结点的入度为 0 ，其余所有结点的入度都为 1, 则称为根树根树 (rooted tree) 。入度为 0 的结点称为 T 的树根树根。出度为 0 的结点称为树叶，出度不为 0 的结点称为分支点或内点。

根树的画法有：树根在下，向上生长； 树根在上，向下生长。

习惯把有向树的根画在最上方，边的箭头全指向下，则可以省略全部箭头，树根到一个结点的有向通路的长度称为该点的层数。所有结点的最大层数称为树高。

3 、子树 定义 7-8.3 ：任一结点 v 及其后代导出的子图称为根树的子树。

定义定义 7-8.37-8.3 根树包含一个或多个结点 , 这些结点中的某一个称为根 , 其他所有结点被分成有限个子根树。

在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。但实际应用中，有时要给出同一级中结点的相对次序，这便导出有序树的概念。4 、有序数：在根树中规定了每一层上结点的次序，称为有序树。

为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。 定义定义 在以 v0 为根的树中， （ 1 ） v1 ， v2,… ， vk 称为 v0 的 儿子儿子， v0 称为它们的

父亲父亲。 vi ， vj 同为一顶点 v 的儿子时，称它们为兄弟兄弟。 （ 2 ）顶点间的父子关系的传递闭包称为顶点间的祖祖孙孙关系。即当 vi 为 vi+1 (i = 1, 2,…, l-1) 的父亲时， v1 是vl 的祖先， vl 为 v1 的子孙。 （ 3 ）根树 T 自身及以它的树根的子孙为根的根树（ T 的子图），均称为 T 的子树子树（ subtree ），后者又 称为 T 的真子树真子树。

5 、 m 叉树 定义 7-8.4 ：在根树中若每个结点的出度均≤ m ，则称 T 为 m 元树 (m 叉树 ) ，若每个分支点的出度恰好等于 m ，则称 T 为 m 叉完全树，若 T 的所有树叶的层数均相同，则称 T 正则 m 元树。 若 m 元树是有序的，则称 T 为 m 元有序树，若m 元完全树是有序的则称 T 为完全 m 元有序树，若m 元正则树是有序的，则称 T 为 m 元正则有序树。 当 m=2 时，称为二元树，二元有序树的每个结点至多有两个儿子，其序按左右分，分别为左儿子，右儿子，任一分支点最多有两棵子树，称为左子树和右子树。

当 m=2 时，便可得到常用的二叉树、完全二叉树和正则二叉树。不难看出，二叉树中的每个结点 v ，至多有两个子树，分别称为 v 的左子树和右子树。若 v 只有一个子树，则称它为左子树或右子树均可。在二叉树的图形表示中， v 的左子树画在 v 的左下方， v 的右子树画在 v 的右下方。

有很多实际应用，可用二叉树或 m 叉树表示。可以指出，按下面算法，任何一棵有序树均能转成二叉树。其算法是：(1) 除最左边的分枝结点外，删去所有从每一个结点长出的分枝。在同一级中，兄弟结点之间用从左到右的弧连接。(2) 选取直接位于给定结点下面的结点作为左儿子，与给定结点位于同一水平线上且紧靠它的右边结点作为右儿子，如此类推。 上述算法能够推广到有序森林上去。

6.6. 定理定理 7-8.1 7-8.1 设有设有完全 m 叉树，其树叶的数目为 t, 分支数为 i, 则 (m-1)×i=t-1 。

证明思路： m 位选手 , 单淘汰赛 , 每局淘汰 (m-1)位 , 共比赛 i 局 , 最后剩 1 位选手。因此有： (m-1)×i+1=t 例题 1 、 2 给出此定理的应用示例。

7.7. 定义定义 7-8.5 7-8.5 在根树中，一个结点的在根树中，一个结点的通路长度通路长度，，就是从树根到该结点的通路中的边数。分支点的通路就是从树根到该结点的通路中的边数。分支点的通路长度称为长度称为内部通路长度内部通路长度，树叶的通路长度称为，树叶的通路长度称为外部通外部通路长度路长度。。

二、最优树 二叉树的一个重要应用就是最优树问题。给定一组数 w1 ， w2 ，…， wn 。令一棵二叉树有

n 个叶结点，并对它们分别指派 w1 ， w2 ，…，

wn 作为权，则该二叉树称为加权二叉树。

8.8. 定理定理 7-8.2 7-8.2 设有设有完全二叉树有 n 个分支点，且内部通路长度为总和为 I ，外部通路长度总和为 E ，则 E=I+2n 。 证明思路：对分支点 n 采用数学归纳法。

已知w1 ， w2 ，…， wn 为权， T0为加权二叉树，其权

为 w(T0) ，如果对任意加权二叉树 T ，它的权是 w(T) ，

均有 w(T0)≥w(T) ，则称 T0是最优树或Huffman 树。

9.9. 定义定义 7-8.6 7-8.6 在带权在带权二叉树 T 中，若带权为中，若带权为 wwii

树叶，其通路长度为树叶，其通路长度为 L(wL(wii)) , , 把把 t ww(T) = wwii L(wL(wii))

i=1

称为该带权称为该带权二叉树权权，所有带权，所有带权 ww11, , ww22,,……, , wwtt 的的二叉树树中， 树中， ww(T) 最小的那棵树，称为最小的那棵树，称为最优树最优树。。

定理定理 7-8.3 7-8.3 设设 T 为带权为带权 ww11≤ww22≤……≤wwtt 的最优树，则的最优树，则 1) 1) 带权带权 ww11,,ww22 的树叶，的树叶， vvw1w1, , vvw2w2 是兄弟。是兄弟。 2) 2) 以树叶以树叶 vvw1w1, , vvw2w2 为儿子的分支点为儿子的分支点 ,, 其通路长度最长。其通路长度最长。 证明思路：设在带权 ww11, , ww22,,……, , wwtt 的最优树中 , vv 是通路最长的分支点 , vv 的儿子分别带权 wwxx 和 wwyy,故有 L(wL(wxx) ) ≥ L(w L(w11))

L(wL(wyy) ) ≥ L(w L(w22))

若 L(wL(wxx) > L(w) > L(w11)),将 wwxx 与 ww11 对调 , 得到新树 T’, 则 ww(T’)-ww(T)=[ww11L(wL(wxx))+wwxxL(wL(w11))]-[wwxxL(wL(wxx))+ ww11L(wL(w11))] = L(wL(wxx)(w)(w11 - w - wxx))+ L(wL(w11)(w)(wxx - w - w11))

= (w(wxx - w - w11)[L(w)[L(w11) - L(w) - L(wxx) ]<0) ]<0

即 ww(T’)<ww(T), 与是最优树假设矛盾。故 L(wL(wxx))=L(wL(w11)) 。 同理可证 L(wL(wxx))=L(wL(w22)) 。因此 L(wL(wxx))=L(wL(wyy)=L(w)=L(w11))=L(wL(w22)) 。分别将 ww11, , ww22 与 wwxx, , wwyy 对调得一最优树 ,vvw1w1, , vvw2w2 是兄弟。是兄弟。

证明思路：根据假设，有 ww(T)= ww(T’) +w +w11++ ww22

若 T’T’ 不是最优树 , 则必有另一棵带权 ww11+w+w22, , ww33,,……, , wwtt 的最优树 T’’T’’ 。对 T’’T’’ 中带权 ww11+w+w22 的树叶 vw1+w2w1+w2 生成两个儿子，得到新树 T*T* ，则 ww(T*T*)= ww(T’’T’’) +w +w11++ ww22

因为 T’’T’’ 是带权 ww11+w+w22, , ww33,,……, , wwtt 的最优树，故 ww(T’’T’’) ≤ ww(T’)

若 ww(T’’T’’)<ww(T’), 则 ww(T*T*)<ww(T), 与 TT 是带权 ww11, , ww22,,……, , wwtt

的最优树矛盾，因此 ww(T’’T’’) = = ww(T’)T’是带权 ww11+w+w22, , ww33,,……, , wwtt 的最优树。

定理定理 7-8.4 7-8.4 设设 T 为带权为带权 ww11≤ww22≤……≤wwtt 的最优树，若将的最优树，若将以带权以带权 ww11 和和 ww22 的树叶为儿子的分支点改为带权的树叶为儿子的分支点改为带权 ww11+w+w22 的树叶的树叶 ,,

得到一棵新树得到一棵新树 T’T’,, 则则 T’T’也是最优树。也是最优树。

根据上述两个定理，求一棵有 n 个权的最优树，可简化为求一棵有 n-1 个权的最优树，而这又可简化为求一棵有 n-2 个权的最优树，依此类推。具体作法是：首先找出两个最小的权值，设 w1 和 w2 。

然后对 n-1 个权 w1+w2 ， w3 ，…， wn求作一棵

最优树，并且将这棵树中的结 w1+w2 代之以 w1 w

2 ，依此类推。

最优树的定义

树的路径长度定义为： 树中每个结点的路径长度之和。

结点的路径长度定义为： 从根结点到该结点的路径上 分支的数目。

树的带权路径长度定义为： 树中所有叶子结点的带权路径长度之和 WPL(T) = wklk ( 对所有叶子结点 ) 。

在所有含 n 个叶子结点、并带相同权值的 m 叉树中，必存在一棵其带权路径长度取最小值的树，称为“最优树”。

例如：

27 9

7 5

4

9

2

WPL(T)=

72+52+23+43+92

=60

WPL(T)=

74+94+53

+42+21

=89

5

4

根据给定的 n 个权值 {w1, w2,

…, wn} ，

构造 n 棵二叉树的集合 F = {T1, T2, … , Tn} ，

其中每棵二叉树中均只含一个带权值 为 wi 的根结点，其左、右子树为

空树；

如何构造最优树

(1)

( 赫夫曼算法 ) 以二叉树为例：

在 F 中选取其根结点的权值为最 小的两棵二叉树，分别作为左、 右子树构造一棵新的二叉树，并 置这棵新的二叉树根结点的权值 为其左、右子树根结点的权值之 和；

(2)

从 F 中删去这两棵树，同时加入 刚生成的新树；

重复 (2) 和 (3) 两步，直至 F 中只 含一棵树为止。

(3)

(4)

9

例如 : 已知权值 W={ 5, 6, 2, 9, 7 }

5 6 2 7

5 2

76 9 7

6 7

139

5 2

7

6 7

139

5 2

7

9

5 2

7

16

6 7

13

290

0 0

0

1

1 1

100 01 10

110 111

定理定理 7-8.57-8.5 任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。

定义定义 7-8.77-8.7 给定一个序列的集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码。

证明思路：给定一棵二叉树，从每一个分支点引出两条边，对左侧边标以 0，对右侧边标以 1 ，则每片树叶将可标定一个 0和 1 的序列，它是由树根到这片树叶的通路上各边标号所组成的序列，显然，没有一片树叶的标定序列是另一片树叶标定序列的前缀，因此，任何一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。

定理定理 7-8.67-8.6 任意一个前缀码都对应一棵二叉树。