7 movimiento parabólico - colegio parroquial de...

7

C.T.A.

"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"

7 Movimiento Parabólico

Movimiento Compuesto

Principio de la Independencia de los Movimientos

Movimiento Parabólico de Caída Libre

En todo movimiento compuesto, cada movimiento individual se comporta como si los demás no existieran, es decir, el desarrollo de un movimiento no afecta para nada el desarrollo del otro movimiento.

Son aquellos movimientos que están conformados por dos o más movimientos simples.

Es aquel movimiento compuesto que está conformado por un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento vertical de caída libre. Al igual que en todo movimiento compuesto, los movimientos individuales son totalmente independientes.

En la figura se muestra un cuerpo lanzado en A de manera horizontal con velocidad Vx, que se mantendrá constante a lo largo del movimiento; en el movimiento vertical se observa que la velocidad vertical en A es nula (Vy = 0), pero a medida que el cuerpo cae, esta velocidad va aumentando de valor. Las distancias recorridas tanto en el eje vertical como en el horizontal se han efectuado en intervalos de tiempos iguales.

dddd

Vx Vx

Vx

Vx

Vx

A

B

V1

V2

V3

V4

1k

3k

5k

7k

9k

TiroSemiparabólico

Donde:

k =g2

g

Recuerda

Todos los tiros semiparabólicos causados por la gravedad se resuelven con las siguiente relaciones:

a) Movimiento Vertical : y = gt2

b) Movimiento Horizontal : x = Vx . t

12

TIRO PARABÓLICO

Un cañón dispara un proyectil desde A con una velocidad V0 y una inclinación θ, tal como muestra la figura. Por efecto de la gravedad, a medida que el proyectil sube de manera inclinada, se ve forzado a bajar, retornando al piso en B.

d d d d

BA

V2x

V2

βH

V2y

VxM

V1V1y

Vx

α

V0

V0y

Vx

L

g

θ

8

4to Secundaria


3. Alcance horizontal

L =

2. Altura máxima

H =

En el punto A, los componentes de la velocidad son:

• Componente horizontal: Vx = Vi cos θ

• Componente vertical inicial: Vy = Vi sen θ

Además se verifica:

• α = β

• |V1y| = |V2y|

• |V1| = |V2|

Del gráfico podemos concluir además:

a) En el movimiento horizontal, la componente Vx permanece constante, pues de acuerdo con el principio de independencia de los movimientos, no se ve afectado por la gravedad que actúe en el eje vertical. La ecuación de movimiento horizontal estará dado por:

b) En el movimiento vertical se observa que la componente vertical de la velocidad (Vy) va disminuyendo a medida que el cuerpo sube, se anula en el punto «M» de máxima altura, y a continuación cambia de dirección y va aumentando gradualmente a medida que el cuerpo desciende.

Las ecuaciones vectoriales del movimiento vertical:

• Para la velocidad vertical : Vfy = Viy + gt

• Para el desplazamiento vertical :

Y = Viy . t + gt2

• La velocidad total del proyectil es siempre tangente a la parábola en cualquier punto y su valor a determinar es:

|VT| = Vx2 + Vfy

X = Vx . t

FÓRMULAS ESPECIALES

1. Tiempo de vuelo

T = 2V0 senθ

g

V02 sen2 θ

2g

V02 sen2 θ

g

2

• Relación entre la altura máxima y el alcance horizontal.

tgθ =

• Relación entre la altura máxima y el tiempo de vuelo.

H =

• Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de igual módulo (V0) y con distintas inclinaciones α y β, de manera que los alcances horizontales sean iguales, en los dos casos se verifica que:

α + β = 90º

(2)

(1)

αβ

V0 V0

L1 = L2

Observación

gt2

8

4 HL

12

a La velocidad es una magnitud vectorial (tiene módulo y dirección).

a La velocidad es relativa y depende del sistema de referencia.

Recuerda

9

C.T.A.


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Se lanza un cuerpo como indica la figura. Halla

la velocidad en el punto más alto.

Resolución:

45°

V=30 2 m/s

Calcula el alcance PQ. (g = 10 m/s2)

Resolución:

90 m/s

30°P

Q

30°

Halla la longitud del plano inclinado si la pelo-

tita se lanza en forma horizontal con V=20m/s.

(g = 10 m/s2)

45°

V

Resolución:

Para el gráfico mostrado, deter–mina el tiempo

empleado desde «M» hasta «N» si v=60m/s.

30°

60°

VM

N

Resolución:

10

4to Secundaria


Rpta:

5

Rpta:

6 En la figura, calcula «α». (g = 10 m/s2)

Resolución:

45°αV

7. Un proyectil se mueve siguiendo la trayectoria parabólica mostrada. Si tAB = 3s, determina el tiempo que demora en ir de «A» hasta «D».

θ2d 2d dd

BC

D

A

Hallar V0 para que el proyectil impacte en for-

ma perpendicular al plano inclinado.

(g=10 m/s2).

Resolución:

V0

170m53°

9. En la figura mostrada, en el mismo instante que se abandona la esferita «A» se lanza la esferita «B» con una velocidad «V0». Determina el ángulo de lanzamiento, tal que, las esferitas A y B colisionen en el punto P.

A

40m

BV0

θ

30m8. Ronaldo patea una pelota en la gran final, y ésta

choca en el travesaño justo cuando alcanza su altura máxima. Halla el ángulo de elevación con que se pateó.

2,5m

5m

V

θ

10. Dos proyectiles se lanzan simultá–neamente desde las

posiciones mostradas. Halla H, de modo que el proyectil

«B» llegue también al punto «E» (g = 10 m/s2).

37°

25m/s

20m/s

H

BE

11

C.T.A.


11. Desde las posiciones mostradas, dos cuerpos son lanzados simultáneamente con igual rapidez. Si éstos prácticamente chocan en «O», determina «θ».

100m

V

O

θ

θ

50m

12. Un proyectil se lanza tal como se indica. Halla «V», de tal manera que la distancia «d» tome su mínimo valor (g = 10 m/s2).

37°V

240m 135m

d

1. Si V = 10 m/s y g =10 m/s2, halla la velocidad del proyectil después de 1s.

V

a) 10 m/s b) 20 m/s

c) 10 3 m/s

d) 10 2 m/s e) 5 m/s

2. Se lanza el cuerpo como indica la figura, halla la velocidad después de 3 s.

V40m

a) 40 m/s b) 30 m/sc) 50 m/sd) 70 m/s e) 30 2 m/s

4. Se lanza un cuerpo como indica la figura. Halla la velocidad en el punto más alto.

a) 40 m/s b) 50 m/sc) 0 d) 30 m/s e) 20 m/s

37°

V=50m/s

3. En la gráfica, halla el valor de la velocidad con la que fue lanzado.

V0

50m/s37°

a) 30 m/s b) 40 m/s

c) 50 m/s

d) 50 2 m/s e) 30 2 m/s

12

4to Secundaria


7. En la gráfica mostrada, determina el tiempo que el cuerpo demora en caer.

V

45m

a) 1 s b) 2 sc) 3 s d) 4 s e) 5 s

9. Un proyectil se lanza con una velocidad de 30 2m/s. Si impacta en la ventana de un edi-ficio con 50 m/s, halla x (g = 10 m/s2).

a) 70 m b) 30 mc) 140 m d) 210 m e) 230 m

11. Calcula la distancia AB. (g = 10 m/s2)

a) 16 m b) 8 mc) 32 md) 45 m e) 56 m

37°A

B16 2m/s

8°

12. Se muestra el lanzamiento parabólico de una pelota elástica. Halla el tiempo para el trayecto BC si para el trayecto AB se emplea 16 s.

a) 1 s b) 2 sc) 3 s d) 4 s e) 5 s

10. Calcula el ángulo θ.

a) 30° b) 37°c) 45° d) 60° e) 53°

Vx

4xθ

8. En la gráfica mostrada, determina el tiempo que el cuerpo demora en caer.

V

80m

a) 1 s b) 2 sc) 3 sd) 4 s e) 5 s

5. Se lanza un cuerpo como indica la figura. Halla su velocidad después de 1 s.

a) 40 m/s b) 30 m/sc) 0 d) 30 2 m/s e) 40 2 m/s

53°

V = 50 m/s

6. Un proyectil se lanza con una velocidad de 50 m/s. Halla la velocidad con la que impacta en la pared (g = 10 m/s2).

a) 10 m b) 10 5 mc) 20 5 m d) 20 m e) 40 m

200m37°

x45°

V

x7xC

B

V

A

13

C.T.A.


8 Movimiento Circunferencial Uniforme I

Introducción

1. VELOCIDAD ANGULAR (ω)

Cuando una partícula describe una circunferencia de manera que recorre arcos iguales en tiempos también iguales, decimos que la partícula posee un movimiento circular uniforme.

Es aquella magnitud vectorial que representa el ángulo que gira la partícula en el centro de su trayectoria en cada unidad de tiempo. La velocidad angular se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación, y su módulo permanece constante si el movimiento circular es uniforme.

‘‘Movimiento de rotación uniforme’’

En esta montaña rusa, nota la curva del movimiento.

ω = constante

O

θ θθ

T

T

T

θt

ω =rads

Unidad:

a. Período (T)

b. Frecuencia (f)

Se define como el tiempo que emplea una partícula en realizar una vuelta, y se mide en segundos

Nos indica la cantidad de vueltas que realiza una partícula en cada unidad de tiempo. La frecuencia es lo inverso del período y se mide en rps.

θ = 2π rad

ω = 2πf

t = Τ

[f = frecuencia]

Para una revolución

ω = 2πT

[T = Período]

Es aquella magnitud vectorial que representa el arco recorrido por el móvil, en cada unidad de tiempo.La velocidad tangencial está aplicada al mismo cuerpo que gira y como su nombre lo indica, siempre es tangencial a la circunferencia, además, su módulo permanece constante si el movimiento es uniforme.

2. VELOCIDAD TANGENCIAL (Vt)

ω

O

Vt

Vt

Vt

Vt

ac

acac

acac VT ; ac ω

VT = St

ms

Unidad:

14

4to Secundaria


Eje de giro

VT = ωrms

O

Vt

ω

s

r

t

Unidad:

ac = =

3. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac)

Es aquella cantidad vectorial que representa el cambio de dirección que experimenta la velocidad tangencial.En todo movimiento circular, la aceleración centrípeta siempre es radial y su sentido es hacia el centro de la trayectoria circunferencial. Su módulo permanece constante si el movimiento es uniforme.

ω2.rVT

2

r

Aceleración centrípeta en los juegos mecánicos.

Ejemplo :

La Luna gira alrededor de su eje en 27 días y 11 horas.

UNIDADES DE MEDIDA

SÍMBOLO MAGNITUD MAGNITUD DE MEDIDA

ω velocidad angular radianes por segundo rad/s

θ ángulo barrido radianes rad

t tiempo segundo s

v velocidad lineal metro por segundo m/s

S arco recorrido metro m

T período segundo s

f frecuencia revolución por segundo rps

R radio metro m

ac metros por segundo al cuadrado m/s2aceleración centrípeta

15

C.T.A.


EJERCICIOS RESUELTOS

Radio = 0,5 m

ω = 120 rpm

Recordamos : 1 rev = 2π rad 1 min = 60s

ω = 120 x

ω = 4π rad/s

Velocidad lineal:

V = ωR

V = 4π m

V= 2π m/s π = 3,14

V = 2(3,14) m/s ∴V = 6,28 m/s

2πrad60s

ω =

ω = = 0,4 rad/s

1. Una partícula describe un arco de 40 cm con MCU en 10 s. Halla su rapidez angular si el radio de su tra-yectoria es de 10 cm.

a) 0,20 rad/s b) 0,35 rad/s c) 0,80 rad/sd) 0,40 rad/s e) 0,25 rad/s

R=10cm40cm=S

tiempo=10s

θ

Resolución:

Sabemos : V = ωR

y también: V =

Igualando las fórmulas:

St

SRt

40cm10cm x 10s

Rpta.: Clave «d»

2. La esferita mostrada gira uniformemente a razón de 120 rpm. Si la cuerda que la sostiene tiene una longi-tud de 1m, halla la rapidez lineal de la esferita.

a) 2,28 m/s b) 3,14 m/s c) 4,71 m/sd) 5,34 m/s e) 6,28 m/s

30°1m

( )( )

Descomponemos las longitudes del triángulo notable.

30°1m

0,5m

rads

12

Rpta.: Clave «e»

Resolución:

St

= ωR

3. Los puntos periféricos de un disco que gira uniforme-mente se mueven a razón de 40 cm/s y los puntos que se encuentran a 2cm de la periferie giran a 30 cm/s. ¿Qué radio tiene el disco?

a) 4 cm b) 8 cm c) 12 cmd) 16 cm e) 20 cm

Recordamos: La periferie es el punto más alejado del disco (el borde).

Además: Radio =

R = ⇒ D = 2R

Diámetro2

D2

Resolución:

16

4to Secundaria


( )

Como los puntos pertenecen al mismo disco, entonces tienen la misma velocidad angular:

ω =

ωA = ωB

=

=

4R – 8 = 3R R = 8cm

VR

40R

30R–2

Rpta.: Clave «b»

R

R

30cm/s

40cm/s

A

B

R=2cm

VA VB

RA RB

4. Desde qué altura se debe dejar caer una piedra para que pase por el agujero cuando el disco haya girado 3 vueltas. La rapidez angular del disco es 6π rad/s (g = 10 m/s2).

a) 2,0 m b) 5,0 m c) 3,0 md) 1,5 m e) 2,5 m

h

ω

El disco va a girar y dar 3 vueltas en un tiempo; el mismo tiempo que la piedra tarda en caer. Hallemos el tiempo.

3 vueltas → 3(2π rad) = 6π rad

ω = ⇒ t =

t =

t = 1s

En ese tiempo la piedra debe de recorrer la altura «h».

h = x; Vi = 0, t = 1, g = 10 m/s2

h = Vit + gt2

x = 0 x 1 + x (10)(1)2

h = 5 m

θt

θω6πrad

6π rad/s

12

1 2

Rpta.: Clave «b»

5. La llanta mostrada rueda sin resbalar. Si la rapidez de su centro es 5 m/s, halla el valor de la velocidad en el punto «B».

a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s e) 8 m/s

37°B

Según el gráfico sabemos que el punto «A» es tomado como centro de giro.

5k5m/s

2,5k3k

B

A

2,5k37°4k

VB VC

rC=2,5k

rB=4k

Resolución:

Resolución:

( )

ωA = = =

ωA = VB = ωA x rB

VB = (4k)

VB = 8 m/s

VCrC

5m/s2,5 k

2k

ms

VBrB

2k

ms

Rpta.: Clave «e»

Interesante

Cuando nos fijamos en el movimiento de una piedra atada a una cuerda, o en el que tiene un punto del aspa de un molino girando, o en el que desarrolla un punto en la Tierra respecto al eje terrestre, o en el que tiene la Tierra respecto al centro del Sol, estamos hablando de movimientos curvilíneos.

17

C.T.A.


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

R = 4m

V

La partícula mostrada se encuentra girando a

10 rad/s. Calcula su velocidad tangencial.

Resolución:

R = 2m

V

La partícula mostrada se encuentra girando a

12rad/s. Calcula su velocidad tangencial.

Resolución:

Si la rueda A gira con un período de 20 s,

¿con qué velocidad desciende el bloque B?

A

B

0,8m

Resolución:

El hemisferio mostrado gira a razón de 3 rad/s.

Halla la velocidad tangencial del punto “P”.

Resolución:

R = 5m

P

37º

ω

18

4to Secundaria


Rpta:

5

Rpta:

6 La figura muestra el MCU de un móvil con un

período de 24 s. ¿Qué tiempo tarda el móvil

para ir de «A» hacia «B»?

Resolución:

30°

(B)

(A)

La esferita mostrada gira uniformemente a razón

de 120 rpm. Si la cuerda que la sostiene tiene

una longitud de 1 m, ¿qué velocidad lineal tiene

la esferita?

Resolución:

30°L ω

7. Dos móviles parten simultáneamente con velo-cidades constantes deωA =4πrad/s y ωB = 2π rad/s. ¿Luego de qué tiempo se encontraron?

8. Determina con qué velocidad angular gira la rueda «B», sabiendo que la rueda «A» tiene una velocidad angular de 30 rad/s.

B A20cm 30cm

10. El engranaje «B» posee una velocidad de 10 rad/s. ¿Cuál es la velocidad del engranaje «C»?

(RA=0,2m, RB=0,5 m; RC=0,4 m).

11. ¿Con qué velocidad está descen–diendo el bloque?

ABC

100rad/s

R

12. Determina la velocidad del bloque si R= 5 cm y además ω= 4 rad/s.

9. Una partícula que está girando con MCU tiene una velocidad angular de 4 rad/s. ¿Qué ángulo habrá girado en un minuto?

C

BA

19

C.T.A.


5. ¿Cuál será la velocidad angular del segundero de un reloj de agua?(en rad/s)

a) π12 b)

π40

c) π30

d) π20

e) π50

1. Si un disco emplea 10 s en dar media vuelta, ¿cuál será su período?

a) 5 s b) 10 s c) 20 sd) 25 s e) 50 s

2. Un disco da 100 vueltas en 50 s. Calcula la frecuencia del disco.

a) 1 rps b) 2 rps c) 3 rps d) 4 rps e) 5 rps

3. El período de giro de un dispositivo mecánico es 1 s. Halla la frecuencia.

a) 0,1 rps b) 10 rps c) 0,5 rps d) 50 rps e) 100 rps

4. El período de giro de una partícula es de 5 s. Halla la frecuencia.

a) 2 rps b) 0,2 rps c) 0,5 rpsd) 5 rps e) 0,1 rps

6. ¿Cuál será la velocidad angular del minutero de un reloj de agua?(en rad/s)

a) π

450 b) π3000

c) π1800

d) π

800 e) π

3600

V

R = 4m

9. La partícula mostrada se encuentra girando a 8rad/s. Calcula su velocidad tangencial en m/s.

a) 24 b) 36 c) 32 d) 40 e) 42

8. Una partícula que está girando con MCU tiene una velocidad angular de 3 rad/s. ¿Qué ángulo habrá girado en dos minutos?

a) 300 rad b) 340 rad c) 360 radd) 400 rad e) 450 rad

7. Una partícula que describe una trayectoria circular gira 270º en 3 s. Halla su velocidad angular.

a) 3π2

rads b) 90

rads c)

rads

π2

d) π rads

e) 2πrads

10. Un cilindro de 20 cm de radio gira en torno a su eje con una frecuencia de 75 rpm. ¿Cuál es la velocidad tangencial de los puntos de superficie?

a) 0,3π m/s b) 0,4π m/s c) 0,5π m/s d) 0,6π m/s e) 0,8π m/s

11. Jaimito está volando una cometa que durante 3,14 s describe en el cielo un arco de 18°. ¿Cuál es la velocidad tangencial de la cometa si la longitud del hilo que la sostiene es de 60 m?


12. Si una partícula gira con un período de 5 s, des-cribiendo una circunferencia de 10 m de radio, ¿cuál es el módulo de su aceleración centrípeta?

(π2 = 10)

a) 4 m/s2 b) 8 m/s2 c) 12 m/s2

d) 16 m/s2 e) 20 m/s2

20

4to Secundaria


21

C.T.A.


TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO

R

A

r

B

VA = VB

ωA. RA = ωB . RB

r

BR

A

I.

Ar

R

B r

A

BR

ωB

ωA

ωA = ωB

VA RA

VB RB

=

II.

1. Un par de poleas de radios R y r (r = R/4) giran por acción de una faja. Si el movimiento de cada polea es uniforme y el período de rotación de la polea mayor es 4 segundos, ¿cuál es el período (en segundos) de la polea de radio menor?

r R

a) 1 s b) 2 s c) 4 sd) 8 s e) 16 s

Al tratarse de una faja, ésta no se estira, por eso cada punto de la faja tiene la misma velocidad lineal.

Resolución:

9 Movimiento Circunferencial Uniforme II

OBJETIVOS:

a Reconocer los tipos de acoplamientos mecánicos.

a Utilizar apropiadamente la transmisión del movimiento.


VA = VB

ωAr = ωBR

Además ω =

. = (R)

TB = 4TA 4s = 4(TA) ⇒ TA = 1s

( )

Rpta.: Clave «a»

VBVAA BR

A

r

ωA

ωB

B

2πTA

R4

2πTB

2πT

22

4to Secundaria


ω1 x R1 = ω4 x R4

ω4 = ... (α)

ω4 = ω5 ... (β)

Por ser poleas con eje de giro común. También:

V6 = V5 → Por la faja

ω6R6 = ω5R5

ω6 = de (β) ω4 = ω5

ω6 =

De (α): ω4 =

2. Las poleas ingrávidas giran a razón de 0,25 rad/s y los bloques inicialmente están en un mismo nivel hori-zontal. Después de 3s, halla la distancia de separación entre los bloques. (R = 16cm y r = 8cm)

a) 18 cm

b) 24 cm

c) 26 cm

d) 28 cm

e) 30 cm

AB r

R

NivelHorizontal

Hallamos la velocidad lineal de «A» y «B».

VA = ωAR VB = ωBr

Pero: ωA = ωB = 0,25 rad/s = 1/4 rad/s

VA = (16cm)

VA = 4 cm/s

VB = (8cm)

VB = 2 cm/s

Resolución:

14

rads

14

rads

P4cm/s

Q2cm/s

Nivel

Si cada segundo se alejan 6 cm; entonces en 3s se alejaron 18 cm.

Rpta.: Clave «a»

3. Si la rapidez angular de la polea «1» es 16 rad/s, halla la rapidez angular de la polea «6».

R4

R5R3 R2

R1

R6

Resolución: Utilizaremos: V = ωR

Por simple inspección V1 = V2 = V3 = V4 (por ser tangentes)

ω1 x R1R4

ω5 x R5R6

ω4 x R5R6

ω1 x R1R4

( ) ω6 =

=

ω6 =

ω6 =

ω1 x R1R4

R5

R6

ω1 x R1 x R5R4 x R6

(16 rad/s) (2 cm) (1 cm)(4 cm) (6 cm)

43

rads Rpta.: Clave «d»

4. Si la aguja del minutero del reloj de la catedral tiene una longitud de 60 cm, halla su velocidad lineal en cm/s.

a) π/10 b) π/20 c) π/30 d) π/40 e) π/50

El período de giro del minutero es 1 hora.

T = 1 hora = 3600 s

Sabemos: ω = =

V = ωR → V = x 60cm

V =

2πT

2πrad3600s

2π3600s

π30

cms

Rpta.: Clave «c»

Resolución:

R1 = 2 cm R2 = 8 cm R3 = 4 cm R4 = 4 cm R5 = 1 cm R6 = 6 cm

a) 2 rad/s b) 1/3 rad/s c) 2/3 rad/sd) 4/3 rad/s e) 1 rad/s

23

C.T.A.


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Si la velocidad angular del disco “A” es 9 m/s,

halla la velocidad angular del disco “B”.

Resolución:

4m

A

3m

B

Si la velocidad angular de “A” es 9 rad/s, halla

la velocidad angular de “B”.

Resolución:

4m 3m

BA

Si el bloque “A” tiene una velocidad de 60 cm/s,

¿cuál será la velocidad de “B” si las poleas son

ingrávidas.

Resolución:

3R

R

A

B

Si la ω1= 4 rad/s, ¿qué velocidad tangencial

tienen los puntos periféricos de “3”?

(R1=12cm; R2=6cm; R3=8cm)

Resolución:

3

2 1

ω

ω

24

4to Secundaria


Rpta:

5

Rpta:

6

B

A

1 m

3 m

Halla la diferencia entre las velocidades

tangenciales de los puntos “A” y “B” que se

encuentran girando sobre un disco cuya velo-

cidad angular es 12 rad/s.

Resolución:

A BC

5m3m

1m

Si la velocidad angular de “A” es 2 rad/s, halla

la velocidad tangencial de “C”.

Resolución:

7. Si la velocidad tangencial de “A” es 12 rad/s, halla la velocidad tangencial de “C”.

A 7mB

4m 6m

C

ω

1 2o

10. La figura muestra esquemá-ticamente a un disco rotando con velocidad angular constante. Si los puntos 1 y 2 distan del centro “O” 1,5 cm u 3 cm, respectivamente, la relación de sus rapideces V1/V2 será:

8. Halla la velocidad angular con que gira la rueda “C” si la rueda “A” gira a razón de 4π rad/s.

8cmVB

VA

9. Si la VA= 3VB, determina el radio de la polea menor. Además se sabe que el sistema gira con velocidad angular constante.

5m4m 2m

A B C

25

C.T.A.


11. La partícula mostrada se encuentra girando a 8 rad/s. Calcula su velocidad tangencial en m/s.

V

R=4m

12. Si la velocidad tangencial de “A” es 10 m/s, halla la velocidad tangencial de “C”.

60m

B

20m

A

6m

A

4m

B

1. Si la velocidad angular del disco “A” es 18 m/s, halla la velocidad angular del disco “B”.

a) 2 rad/s b) 4 rad/s c) 6 rad/sd) 8 rad/s e) 10 rad/s

2. Si la velocidad angular del disco “A” es 8 rad/s, halla la velocidad angular del disco “B”.

a) 6 rad/s b) 12 rad/s c) 18 rad/sd) 6 rad/s e) 4 rad/s

a) 2 m/s b) 4 m/s c) 6 m/s

d) 8 m/s e) 10 m/s

9m

2mB

A

3m

7m

A

B

3. Si la velocidad tangencial del disco “A” es 18 m/s, halla la velocidad tangencial del disco “B”.

a) 6 m/s b) 8 m/s c) 10 m/s

d) 12 m/s e) 14 m/s


A 5rB

3r 2r

C

26

4to Secundaria


a) 6 m/s b) 8 m/s c) 10 m/sd) 12 m/s e) 16 m/s


12. ¿Con qué velocidad desciende el bloque si el período de rotación de «C» es de π/50 s?

(RC = 2RB= 4RA=40 cm)


A

4m

C 5m

B2m

5m

C A6m

B2m

6. Si la velocidad tangencial de “B” es 10 m/s, halla la velocidad tangencial de “C”.


7. Si la velocidad angular de “C” es 12 rad/s, halla la velocidad tangencial de “B”.


5R 2R

BA

8. Si la velocidad angular de “B” es 25 rad/s, halla la velocidad angular de “A”.

a) 5 rad/s b) 10 rad/s c) 12 rad/s d) 14 rad/s e) 20 rad/s


a) 15 rad/s b) 20 rad/s c) 25 rad/s d) 30 rad/s e) 45 rad/s

B A20cm 30cm


a) 45 rad /s b) 80 rad /s c) 60 rad /sd) 40 rad /s e) 90 rad /s

24cm18cm(B) (A)

11. En la figura, el bloque «A» sube a 10 m/s. ¿Con qué velocidad sube el bloque «B».

RB=2RA = 20cm?


B A

(C)

A

r

B3r

27

C.T.A.


10 Estática I

OBJETIVOS:

a Conocer e interpretar las leyes de Newton.

a Saber las condiciones para el equilibrio.

a Dibujar correctamente las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.

ESTÁTICA

Es aquella parte de la mecánica que estudia la condición de las fuerzas aplicadas a un cuerpo y el equilibrio que éste posee.

FUERZAEs aquella cantidad vectorial que mide el grado de interac-ción entre los cu-erpos del universo, también, la fuerza es el agente que produce movimiento o deformación de los cuerpos.

Por su naturaleza las fuerzas pueden ser: gravitacionales, electromagnéticas, nucleares y pueden ser a distancia o por contacto.

Su nombre griego original es dina, y aunque su definición actualmente se encuentra en revisión, podemos decir que se trata de una magnitud física de tipo vectorial, porque además de una intensidad (valor) posee una dirección y un punto de aplicación, y surge cada vez que dos cuerpos interactuán, ya sea por contacto o a distancia. Por lo general asociamos la idea de fuerza con los efectos de jalar, empu-jar, comprimir, tensar, atraer, repeler, etc. Así cada vez que jalamos un cuerpo, decimos que estamos aplicando una fuerza; del mismo modo cuando colocamos un libro sobre una mesa, decimos que el libro comprime a la mesa con una fuerza determinada.

Interacción porcontacto

Interacción adistancia

Uno de los bloques de piedra que conforman la for-taleza de Sacsayhuaman tiene el tamaño de una casa de cinco plantas y un peso aproximado de 20000 toneladas.

F

28

4to Secundaria


1. MEDICIÓN DE LAS FUERZAS

La intensidad de las fuerzas se miden por el efecto de deformación que ellas producen sobre los cuerpos elásticos. Es por intermedio del inglés Robert Hooke (1635 - 1703) que se descubre una relación empírica entre la fuerza aplicada y la deformación producida, que hoy se anota así:

F = K . xDeformación (m)

Constante de elasticidad

Nm( )

Todo objeto persiste en su estado de reposo, o de movimiento en línea recta con rapidez constante, a menos que se aplique fuerzas que lo obligen a cambiar dicho estado.En palabras sencillas, las cosas tienden a seguir haciendo lo que ya estaban haciendo.Los platos sobre la mesa por ejemplo, se encuentran en reposo y tienden a permanecer en estas condiciones como podrás comprobarlo si tiras repentinamente del mantel sobre el cual descansan.

2. LEYES DE NEWTON

2.1. Primera ley (Ley de la inercia)

a) La masa: una medida de la inercia

Si pateas una lata vacía, se mueve. Si la lata está llena de arena no se moverá con tanta facilidad, y si está llena de clavos de acero te lastimarás el pie, en conclusión la lata llena de clavos tiene más inercia que la que está vacía. La cantidad de inercia de un objeto depende de su masa, que es aproximadamente la cantidad de material presente en el objeto. Cuando mayor es su masa mayor es su inercia y más fuerza se necesita para cambiar su estado de movimiento. La masa es una medida de la inercia de un objeto.

Puedes saber cuánta materia contiene una lata si la pateas.

b) La masa no es lo mismo que el volumen

No debes confundir la masa con el volumen, pues son dos conceptos totalmente distintos, volumen es una medida del espacio y se mide en unidades como centí-metros cúbicos, metros cúbicos y litros. La masa se mide en kilogramos. Un objeto que tiene mucha masa puede tener o no un gran volumen. Por ejemplo, un saco lleno de algodón y otro del mismo tamaño lleno de clavos tienen el mismo volumen, pero diferente masa.

2.2. Tercera ley (Ley de la acción y reacción)

Cuando dos cuerpos interactúan entre sí, aparece una fuerza de acción que va del primer cuerpo al segundo y por consecuencia aparece una fuerza de reacción que va del segundo cuerpo al primero.La fuerza de acción y de reacción tienen igual valor, sólo que direcciones contrarias y como actúan en cuerpos diferentes no se cancelan.

29

C.T.A.


3. FUERZAS INTERNAS

Designamos con este nombre a aquellas fuerzas que se manifiestan en el interior de cuerpos, cuando éstos se ven sometidos a efectos externos. Aunque su explicación radica en el mundo atómico y molecular, aquí presentaremos sólo sus características macroscópicas.

3.1. Peso (P)

Llamamos así a la fuerza con la que la Tierra atrae a todo cuerpo que se encuentra en su cercanía. Es directamente proporcional con la masa de los cuerpos y con la gravedad local. Se le representa por un vector vertical y dirigido al centro de la Tierra (P=mg).

3.2. Normal (N)

3.3. Tensión (T)

Se le llama también fuerza de contacto, y viene a ser la resultante de las infinitas fuerzas que se generan entre las superficies de dos cuerpos cuando éstos se acercan a distancias relativamente pequeñas, predominando las fuerzas repulsivas. La línea de acción de la normal es siempre perpendicular a las superficies en contacto.

Es la fuerza resultante que se genera en el interior de una cuerda o un alambre, y que surge para oponerse a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas extremas que actúan en los extremos de aquellos. En estas fuerzas predominan los efectos de atracción.

T

4. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

Es aquel procedimiento que consiste en aislar parte de una estructura para analizar las fuerzas que actúan sobre él. Se recomienda seguir los siguientes pasos:

1) Peso

2) Tensión

3) Tercera ley y fuerzas externas.

w

w

w

N

N

N1

N2

30

4to Secundaria


Los gráficos siguientes te muestran el D.C.L. de algunos cuerpos suspendidos y apoyados.

5. EQUILIBRIOUn cuerpo se encuentra en equilibrio si dicho cuerpo no experimenta ningún tipo de aceleración, y se encuentra en equilibrio estático cuando el cuerpo no se mueve y, en equilibrio cinético cuando el cuerpo se mueve a velocidad constante.

V=0 (Reposo)

E. Estático

V=Cte. (MRU)

E. Cinético

Primera condición de equilibrio

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación si sobre él la sumatoria de fuerzas, osea la fuerza resultante, es igual a cero.

* ΣFx = 0

* ΣFy = 0R=ΣF=0

CuerpoSuspendido

D.C.L. delcuerpo suspendido

A

T

P

T=TensiónP=Peso

Cuerpo apoyado en una

superficie

D.C.L. del cuerpo apoyado en una superficie

B

P

N

P=PesoN=Normal o reacción del

piso

P

N

TCuerpo apoyado y suspendido

D.C.L. del cuerpo apoyado y

suspendido

1. Realiza el D.C.L. para el siguiente sistema:

Para la esfera «A»:

A

B

Para la esfera «B»:

B

T

A

WARBA

R2B

A

RAB

R1

WB

Recuerda |RBA| = |RAB|

Son iguales en módulo pero tienen sentidos opuestos.

Resolución:


2. Determina la reacción normal si el cuerpo está en equilibrio. (g = 10 m/s2)

a) 50 Nb) 100 Nc) 150 Nd) 200 Ne) 250 N

18kg

30N

31

C.T.A.


Hacemos el D.C.L. para el bloque:

Σ Fy = 0 N + 30 – 180 = 0 N = 150 N

30NN

180N

Rpta.: Clave «c»

3. Halla T si el sistema está en equilibrio (g = 10 m/s2).

a) 20 N

b) 40 N

c) 60 N

d) 80 N

e) 120 N

Colocamos la tensión que corresponde a cada cuerda.

64kg

T

De aquí:

16T = 640 NT = 40 N

Rpta.: Clave «b»

640N

T T

2T 2T

4T 4T

8T 8T

16T

Resolución:

Resolución:

4. Realiza el D.C.L. de la esfera y dibuja su triángulo de fuerza.

θ

Hacemos el D.C.L. de la esfera:

T

N

w

θθ

θ

N

T

w⇒

5. Una esfera homogénea de peso «w» se encuentra en equilibrio apoyada sobre dos planos inclinados lisos. Halla la magnitud de la reacción en el apoyo «B».

a) w(4cos2α–1)

b) w senα c) w sen2α

d) w cosα e) wcos2α

BA

α2α

Hacemos el D.C.L.

RB

RA

2α2α

2α

α

90–α90–α

AB

w

Resolución:

Resolución:

W = 2RBcos2α + RB W = RB(2cos2α + 1)

Por trigonometría: cos2α = 2cos2α – 1

W = RB (2(2cos2α – 1) + 1)

W = RB (4cos2α – 2 + 1)

RB = w

(4cos2α–1)

Rpta.: Clave «a»

w

RBcos2α

RBcos2α

RB

RB

RA

90–α

α

α

2α 2αRB

2α

32

4to Secundaria


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Realiza el diagrama del cuerpo libre de cada

esfera.

Resolución:

FR

R

Realiza el D.C.L. de la esfera y el bloque «A».

Resolución:

Realiza el D.C.L. de la barra y del punto «B»

de la cuerda.

Resolución:

Realiza el D.C.L. y reconoce el tipo de fuerzas.

Resolución:

B

A37°

A B

Q

α

33

C.T.A.


Rpta:

5

Rpta:

6 Halla «T» si el sistema está en equilibrio.

Resolución:

T

10kg

9. Realiza el D.C.L. de la polea del bloque y del punto «O».

O

7. Realiza el D.C.L. de la barra.

O

M

P

N

8. Realiza el D.C.L. de la esferita.

R R

w

θ

Un sistema de masa - resorte está oscilando

sobre un piso horizontal sin fricción en una

trayectoria rectilínea en torno a la posición de

equilibrio «O» de la masa. Cuando la masa se

está desplazando a la derecha de su posición

de equilibrio el diagrama de cuerpo libre de las

fuerzas que actúan sobre ella será:

Resolución:

K

O

V

10. ¿Qué sistema se encuentra en equilibrio?

V

V(I)

V 2V

(III)

V

V(II)

34

4to Secundaria


11. Realiza el D.C.L. de la barra.

10m 5m 5m

12. Realiza el D.C.L. correcto para la esfera mostrada.

θ

I. Realiza el D.C.L para los siguientes casos.

A

35

C.T.A.


5. Realiza el D.C.L para ambas esferas.

6. Realiza el D.C.L para la esfera.

7. Realiza el D.C.L para la esfera.

8. Haz el D.C.L. para la barra.

9. Haz el D.C.L. de la esfera.

Superficie Lisa

37°

10. Realiza el D.C.L. de la esfera.

60°

36

4to Secundaria


37

C.T.A.


11Estática II

OBJETIVOS:

a Reconocer a las fuerzas de la naturaleza, su representación vectorial y el modo de medirlos.

a Aplicar los conceptos de cálculo matemático para el equilibrio de los cuerpos.

De lo visto anteriormente sabemos que un cuerpo está en equilibrio cuando no presenta ningún tipo de aceleración, además su fuerza resultante será igual a cero. Entonces se debe cumplir:

Gráficamente:

R = ∑F = 0∑Fx = 0

∑Fy = 0

F3

F1 F2

Un objeto a menudo se comporta como si todo su peso actuara en un punto. La posición de este punto afecta el lugar donde el objeto alcanzará su equilibrio y la probabilidad que tiene de caerse.

Determinación del centro de gravedad de un pedazo de cartulina plana.Cuando se suelta el pedazo de cartulina de la figura, ésta oscila libremente colgado del alfiler clavado en una esquina superior. Las fuerzas actúan sobre la cartulina, formando un par de fuerzas que hacen que oscile hacia abajo y alcance el reposo.

2. CENTRO DE GRAVEDAD

Peso

Centro de gravedad

Alfiler

Fuerza ascendente del alfiler

Línea de plomada

Alfiler

A Pedazo de cartulina

Centro de gravedad

DC

B

Alfiler Centro de gravedad

1. EQUILIBRIO DE FUERZAS CONCURRENTES

El nombre de Arquímedes se recuerda con frecuencia cuando estudiamos el uso de las palancas, pues a él debemos el descubrimiento de la «Ley del equilibrio de las palancas».

d1 d2

F2F1

3. LA PALANCA

38

4to Secundaria


Colocamos sobre una botella un tapón de corcho y sobre el tapón una bala, hacemos saltar el tapón lateralmente mediante un choque brusco, la bala, por la inercia, persiste en su posición y por falta de apoyo cae dentro de la botella.

¿Qué principio se demuestra?

1. La bala que cae en la botella

Como usted ya debe haber visto muchas veces, el principio de la palanca es empleado en numerosos dispositivos que encontramos en nuestra vida diaria. Por ejemplo, cuando una persona intenta aflojar las tuercas de la rueda de un automóvil, cuando mayor sea la distancia «d» que se indica en la figura, tanto menor será el esfuerzo que deberá hacer para conseguir su objetivo.

Arquímedes comprendió que, por mayor que fuese el peso F2, siempre sería posible equilibrarlo (o desplazarlo) aumentando adecuadamente la distancia d1. El entusiasmo de esta conclusión provocó en Arquímedes a pronunciar la célebre frase: «Denme una palanca y un punto de apoyo, y moveré el mundo».

Para aflojar (o apretar) la tuerca de la rueda, una persona desarrollará un esfuerzo menor si emplea una llave que sea lo más larga posible.

Uno de los descubrimientos más importantes de Arquímedes fue la «ley de las palancas», con gran empleo desde entonces.

‘‘Denme una palanca y un punto de apoyo, y moveré el mundo’’. (Arquímedes).

Con una pequeña inclinación la caja

regresa a su posición original.

Con una inclinación grande la caja

ladea más hacia la derecha.

Una caja que tenga una base más ancha y un centro de gravedad en un punto más bajo,

puede inclinarse un ángulo mayor antes

de volcarse.

Si no hay inclinación la caja se mantiene

estable.Peso

Centro de GravedadFuerza ascen-

dente ejercida por el piso. Base

Algunas cosas se derriban con mayor facilidad que otras. Las figuras, muestran lo que ocurre cuando una caja alta y estrecha es empujada hasta que comienza a volcarse.

4. ESTABILIDAD

Observación

39

C.T.A.



1. Halla la tensión en la cuerda si la esfera tiene una masa de 6 kg. (g = 10 m/s2)

a) 100 Nb) 60 Nc) 600 Nd) 300 Ne) 150 N

Hacemos el D.C.L.

53°

53°

T

N

W=60N N=4k37°

T=5k

53°60N3k⇒

60N = 3k ⇒ k = 20N

T = 5k = 5 x 20N= 100 N

Rpta.: Clave «a»

2. Si las esferitas mostradas pesan 70 N cada una, halla la reacción en A. (g = 10 m/s2)

a) 70 N b) 90 N c) 160 Nd) 240 N e) 250 N

QA

P16°

D.C.L. para la esfera «Q».

16°P

A

RPARED

W=70N

Resolución:

Resolución:

Ahora dibujamos el triángulo de fuerzas.

16°

70N

24k

25k7k

16°

RA

RPARED

<>

= ⇒ RA =

RA = 250 N

RA

7025 k

7 k70 x 25

7

Rpta.: Clave «e»

3. Halla la tensión en la cuerda 1 si el bloque está en equilibrio. (g = 10 m/s2)

a) 60 N b) 80 N c) 100 N d) 120 N e) 160 N

74°

53°2

A

8kg

1

Hacemos el D.C.L. del sistema en el nudo «A».

37°53°

74°

74°

T2

Peso=80N

<> 37°

37°T2

T1

74°

80N

El triángulo mostrado es isósceles, entonces T1 = 80N.Rpta.: Clave «b»

Resolución:

4. Un bloque «A» de 70 3 N de peso es elevado a velo-cidad constante por m edio de una fuerza «F» horizon-tal de 300 N. Determina la medida del ángulo «ψ», aproximadamente, si todas las superficies son lisas.

a) 37º b) 53º c) 82º d) 8º e) 60º

A

BF

ψ

40

4to Secundaria


Hacemos un D.C.L. de los bloques como si fueran un solo cuerpo.

Como lo trabajamos como si fuera un solo cuerpo, no uti-lizamos la fuerza de contacto entre «A» y «B» pues pasaría a ser una fuerza interna del sistema.

A

BF

R

NWA+WB

Notamos: F = R N = WA + WB

F = 300 = 3 x 100 = 10 3 N

Ahora el D.C.L., sólo para el bloque «A».

RA/B

N

WAψψ

N=10 3=1(10 3)

RA/Bψ

WA=70 3

WA=7(10 3)

Resolución:

1k

7k8°5 2k

<>Entonces :

ψ = 8°

Rpta.: Clave «d»

5. El sistema mostrado en la figura está en equilibrio. Los pesos de las poleas y de la palanca, así como las fuerzas de fricción son despreciables.

Determina la reacción del apoyo «O» sobre la palanca.

a) 10 N b) 20 N c) 30 Nd) 40 N e) 50 N

2m 4m

O

80N

Para la polea.

80N

T T

2T2T

4T80N

2m 4m

TA

R0

Para la palanca.

ΣMA = Suma de momentos en el punto «A». ΣMA = 0, pues la palanca no gira.

R0 x 4m + T x 6m = 0 T x 6 = 4 R0

R0= = 30 N20 x 64

Rpta.: Clave «c»

Resolución:

Si un cuerpo está en equilibrio y le hacemos su D.C.L., y resulta que sólo lo afectan tres fuerzas, entonces dichas fuerzas dibujadas en secuencia formarán un triángulo.

T

N

ω

W T

N

Importante

Ejemplo :

41

C.T.A.


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3 Halla la lectura del dinamómetro si el sistema está

en equilibrio, y además m= 4,6 kg (g= 10 m/s2).

Resolución:

Las esferas mostradas pesan 50 N cada una.

Halla la reacción en A.

Resolución:

Calcula la deformación del resorte si el sistema

se encuentra en equilibrio, WA = 50N y la cons-

tante elástica del resorte es 100 N/m.

Resolución:

37°

A

Calcula la lectura del dinamómetro si el

bloque de 30N de peso se encuentra en

reposo. (Poleas de peso despreciable)

Resolución:

dinamómetro

30º

A

53º

42

4to Secundaria


Rpta:

5

Rpta:

6 En el sistema en equilibrio,

halla

Resolución:

WA

WB

BA

Una esfera de radio r y peso W está en con-

tacto con a una esfera inmóvil de radio R,

mediante una cuerda de longitud L. Halla la

fuerza de contacto si no existe rozamiento.

Resolución:

L

W

R

r

7. Los pesos de los bloques A y B son 5 y 12N respectivamente. Halla la tensión en la cuerda oblicua.

α

A B

8. Si la esfera mostrada tiene una masa de 32kg, calcula la tensión que soporta la cuerda que sostiene a la esfera.

(g = 10m/s2)

53°

53°

9. El sistema mostrado está en equilibrio. Si la barra pesa 80 3 N y la tensión en la cuerda es de 80N, halla θ.

θ

32°

10. Halla la relación entre las tensiones de las cuerdas A y B.

α

α

A

B

g

43

C.T.A.


11. En el sistema mostrado, calcula la tensión en el punto A si el bloque tiene un peso de 100N y el sistema está en equilibrio.

A

θ2θ

12. Determina la longitud de la cuerda AB, de modo que el resorte AC se mantenga horizontal, además la longitud libre de AC es 0,6m,

KAC = 300n/m y el peso del bloque es de 90N.

37°A

B2m

C

w

T2kg

a) 2 Nb) 20 Nc) 30 Nd) 10 Ne) 40 N

1. Halla la tensión de la cuerda si el sistema está en equilibrio.

(g= 10 m/s2)

ω1

ω2

A

w

A

a) 50 Nb) 80 Nc) 130 Nd) 150 Ne) 130 N

2. Halla la tensión de la cuerda “A” si ω1 = 50N y ω2 = 80N.

a) 15 Nb) 45 Nc) 70 Nd) 30 Ne) 60 N

3. Halla la tensión de la cuerda “A” si: w = 30 N.

mB

mA

a) 100 Nb) 110 Nc) 120 Nd) 130 Ne) 140 N

4. Halla el módulo de la reacción del piso si el sistema está en equilibrio. (mA=20kg ; mB=2 kg, g=10m/s2).

a) 75 Nb) 600 Nc) 300 Nd) 150 Ne) 140 N

5. Calcula la fuerza “F” que equilibra el sistema si Q=600 N.

F

Q

6. Si el sistema está en equilibrio, halla la fuerza de rozamiento. (m = 2kg; g = 10m/s2)

a) 12 Nb) 20 Nc) 16 Nd) 4 Ne) 10 N

12N

53º

44

4to Secundaria


7. Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio, halla θ.

(WA = 30 N y WB = 40N).

A B

θ

a) 37º b) 45º c) 60º d) 53º e) 30º

8. El bloque de 80N se encuentra en equilibrio. Determina la deformación del resorte si K = 100 N/m (no considere rozamiento).

a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cmd) 40 cm e) 50 cm

60°

9. El bloque de la figura se encuentra en equilibrio, calcula la tensión en la cuerda horizontal sabiendo que el bloque pesa 60N.

37°

a) 60 N b) 70 N c) 80 N d) 90 N e) 100 N

10. Halla la reacción del piso si cada polea pesa 10N. (WA = 150N ; WB = 30N)

a) 10 N b) 20 N c) 30 Nd) 50 N e) 40 N

11. Determina la fuerza horizontal que ejerció el obrero al bloque para mantenerlo en reposo si el resorte está deformado 5 cm.

(K = 100N/cm)

a) 200 N b) 100 N c) 500 Nd) 20 N e) 50 N

B

12. Los b loques A y B pesan 8N y 6N, respectivamente. Si el sistema está en equilibrio, halla la medida del ángulo α.

a) 37° b) 53° c) 45°d) 16° e) 18,5°

α

AB

A

45

C.T.A.


12Dinámica Lineal

OBJETIVOS:

a Conocer las leyes de la mecánica que permitan explicar las causas del movimiento, las cuales se denominan leyes de Newton.

a Aprender las principales aplicaciones de la dinámica, como son: la máquina de Atwood, gravedad efectiva y poleas móviles.

1. ¿QUÉ SIGNIFICADO TIENE LA PALABRA DINÁMICA?

Proviene del griego dynamis que significa fuerza. Uno de los estudiosos de la dinámica fue Isaac Newton, físico y matemático de nacionalidad inglesa (1642 – 1727). Se le considera el inventor del cálculo, descubridor de la composición de la luz blanca y concibió la idea de la Gravitación Universal. Este científico tuvo el mérito de ser el primero en sistematizar los conceptos de fuerza y masa.

Newton descubre que un cuerpo sometido a una fuerza resultante (R) no nula presenta siempre una velocidad variable, es decir, el cuerpo experimenta una aceleración. Sus observaciones y experimentos le permitieron establecer la siguiente ley: ‘‘Toda fuerza resultante desequilibrada que actúe sobre un cuerpo le produce una aceleración que será de la misma dirección y sentido que aquella, y su valor será directamente proporcional con la fuerza, pero inversamente proporcional con su masa’’.Toda fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo, originará en él una aceleración en su misma dirección.

2. SEGUNDA LEY DE NEWTON

mFR

a FR : fuerza resultante m : masa a : aceleración

FR = m . a

m a FR

kg m/s2 Newton (N)

Halla la aceleración si m = 5kg.

∴ W = N

Ejemplo:

Las fuerzas que son perpendiculares al movimiento se anulan.

a

W

N

F2=60NF1=100N

2.1. Unidades en el S.I.

Segunda ley de Newton

FR2 = m.a

F1 - F2 = m.a

100 - 60 = 5.a

a = 8 m/s2

m

La relación vista antes es preferible aplicarla así:

ma = R.

Memotecnia : La ecuación se lee como ‘‘mar’’.

Dado que: R = ∑ F, entonces cuando se tiene sistemas físicos que presentan un buen número de fuerzas componentes será preferible aplicar la segunda. Ley de Newton de la siguiente forma:

2.2. ¿Cómo aplicar la Segunda ley de Newton?

46

4to Secundaria


Si no existiera rozamiento sería imposible caminar; no obstante sería posible desplazarse por una superficie perfectamente lisa.

Superficie Lisa

F

WR=N

Recuerda

Fuerzas a favor de

a

Fuerzas en contra de

a– = m . a

F1 + F2 – F3 = m . a

F1

m

a

F2

F3

Completa correctamente las oraciones con la lista de palabras siguientes:

fuerzas; velocidades; masa

inercia; 20 kg; peso

• Las ________________ producen aceleraciones pero no producen ____________________.

• La ___________________ es la medida dinámica de la ________________ de un cuerpo.

• Si un cuerpo tiene de masa __________________, entonces su _____________ es 200 newton.

Recondando EstáticaLos gráficos siguientes te muestran el D.C.L. de algunos cuerpos suspendidos y apoyados.

Cuerpo suspendido

A

D.C.L. del Cuerpo

suspendido

T : TensiónP : Peso

T

P

Cuerpo apoyado en

una superficie

B

D.C.L. del cuerpo

apoyado en una superficie

P : PesoN : Normal o reacción

del piso

P

N

Equilibrio

D.C.L. del cuerpo apoyado

y suspendidoP

N

T

Cuerpo apoyado y suspendido

T : TensiónP : PesoN : Normal o reacción del piso

Un cuerpo se encuentra en equilibrio si dicho cuerpo no experimenta ningún tipo de aceleración, se encuentra en equilibrio estático cuando el cuerpo no se mueve, y en equilibrio cinético cuando el cuerpo se mueve a velocidad constante.

V = 0 (Reposo) V = Cte. (MRU)

E. Estático E. Cinético

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación si sobre él la sumatoria de fuerzas, osea la fuerza resultante, es igual a cero.

Primera condición de equilibrio

R = ∑F = 0

∑Fx = 0

∑Fy = 0

47

C.T.A.


( )

1. ¿Cuál será la aceleración del bloque de 10 kg de masa si F = 70 N? (g = 10 m/s2)

a) 1 m/s2

b) 2 m/s2

c) 3 m/s2

d) 7 m/s2

e) 10 m/s2

D.C.L. para el bloque:

F

a

ΣF = ma100 N–70 N=(10kg)a 30N = 10kgxa a = 3m/s2↓

70N

a

100N

10kg

Rpta.: Clave «c»

2. Del siguiente gráfico, determina la aceleración del sistema si m1 > m2 y g es la aceleración de la gravedad.

a) a = g

b) a = g

c) a =

d) a =

e) a =

(m1 + m2)

(m1 x m2)

(m12 – m2

2)gm1 + m2

( )m12 + m2

2

m1 – m2 g

m1 – m2m1 + m2

g

Resolución:

D.C.L. para la polea y luego para m1.

m1g

m2g

m1a

m1 x g

m2 x g

Al estar los bloques unidos por una cuerda la masa del sistema es m1+m2.

En «m1»: ΣF = ma m1 x g – m2 x g = (m1 + m2)a g(m1 – m2) = (m1 + m2)a

a =(m1 – m2)g

(m1 + m2)

Rpta.: Clave «e»

3. Halla la aceleración del bloque. (g = 10 m/s2)

a) 1 m/s2

b) 2 m/s2

c) 3 m/s2

d) 4 m/s2

e) 5 m/s2

37°

37°

5kg

50N

D.C.L. para el bloque

37°

37°

y

x

50N

40N30N

30N

37° 50N40N

Normal

ΣFx = ma 40 N – 30N = (5kg)a 10 N = 5kg (a) a = 2 m/s2 Rpta.: Clave «b»

Resolución:

Resolución:

4. En el techo de un auto se cuelga una esfera, cuando el carro acelera la cuerda forma un ángulo «θ» con la vertical. Halla la aceleración del auto.

a) a = g senθ b) a = g sen2θ c) a = gtg2θ d) a = gtg2θ e) a = gtgθ

a

θ

m1

m2

aa


48

4to Secundaria


Hacemos el D.C.L. de la esfera considerando que, por estar dentro del automóvil, tiene su misma aceleración.

Resolución:

ΣFx = ma Tsenθ = ma

senθ = ma

g = a ⇒ a = gtgθ

( )mgcosθ

( )senθcosθ

Rpta.: Clave «e»

5. Los bloques «A» y «B» tienen 8 y 10 kg, respectivamente. Si no existe rozamiento, halla el módulo de la aceleración de B (desprecia el peso de las poleas) g = 10 m/s2.

A

B

a) 98/21 m/s2 b) 49/21 m/s2

c) 92/21 m/s2

d) 50/21 m/s2 e) 30/21 m/s2

ΣFy = 0Tcosθ = mg

T = mgcosθ

T a

Tsenθ

Tcosθ θ

mg

Evaluamos todo el sistema.

8kg

10kg

T

T T

2T

100N

A

B

a

Razonemos: Si el bloque «B» baja 1 metro, las dos cuerdas tendrían que bajar 1m cada una, es decir, utilizar en total 2m (el doble). Es lógico pensar que la aceleración de «A» es el doble de la aceleración de «B».

Para «A»:ΣF = maT = 8 x (2a)T = 16a

Para «B»:ΣF = ma100 – 2T=10 x a100 – 2T = 10a

100 – 2(16a)=10 a 100 – 32a = 10a 100 = 42a

a = ⇒ a = m/s210042

5021

Rpta.: Clave «d»

Resolución:

COPÉRNICO

La concepción aristotélica del movimiento perduró casi 2000 años, y empezó a derrumbarse a partir de la nueva concepción de un sistema heliocéntrico, defendido por Copérnico (1473 – 1543), quién llegó a la conclusión de que los planetas giraban alrededor del Sol.

Galileo, partidario activo del sistema heliocéntrico de Copérnico, propuso posteriormente, en contra de las ideas de Aristóteles, que el estado natural de los cuerpos era el movimiento rectilíneo uniforme.Para Galileo, un cuerpo en movimiento sobre el que no actúan fuerzas, continuará moviéndose indefinidamente en línea recta, sin necesidad de fuerza alguna.Esta facultad de un cuerpo para moverse uniformemente en línea recta, sin que intervenga fuerza alguna, es lo que se conoce como INERCIA.

GALILEO GALILEI

49

C.T.A.


Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

5 kg

F

37º

a=10 m/s2

Halla la fuerza F que lleva el bloque con una

aceleración constante.

Resolución:

µK =0,25

En el sistema, calcula la tensión en la cuerda.

(mA = 2 kg; mB = 3 kg; g = m/s2)

Resolución:

A

B

Determina la fuerza de contacto entre los

bloques.

Resolución:

12N7NA B

Calcula la aceleración de los bloques.

(mA = 4 kg, mB = 6kg)

Resolución:

A BF=80N

50

4to Secundaria


Rpta:

5

Rpta:

6 Encuentra la tensión en la cuerda que une a los

bloques si no existe rozamiento.

Resolución:

20N9kg 11kg

60N

Halla “a” si no hay rozamiento.

(g = 10 m/s2)

Resolución:

a

1kg

aa

6kg 3kg

7. Calcula la aceleración del péndulo mostrado. (g = 10 m/s2; α = 37°)

α

8. Un coche lleva un péndulo, de modo que éste se encuentra desviado de la vertical un ángulo θ = 37°. Si el coche acelera, ¿hacia dónde lo hace y cuál es su valor?

(g = 10 m/s2)

θ

9. Calcula la aceleración con la cual desciende el bloque.

am

θliso

10. Calcula la tensión en la cuerda si el ascensor sube a razón de 5 m/s2 (m = 4kg).

am

51

C.T.A.


11. Si el ascensor baja desacele–rando a razón de 4 m/s2 y la lectura del dinamómetro indica 100 N, halla la lectura de la balanza siendo la masa del muchacho 50 kg.

(g = 10 m/s2)

m

a

12. Un carrito de 12 kg es impulsado por una fuerza F = 200 N. Determina el ángulo θ si la masa de la esfera es de 3 kg.

(g = 10 m/s2)

Fm

M

liso

θ

1. En cada caso, halla la aceleración con que es llevado el bloque sobre la superficie lisa.

a) 2 m/s2 b) 4 m/s2 c) 6 m/s2

d) 8 m/s2 e) 10 m/s2

4. ¿Con qué aceleración baja la esfera de 6 kg cuan-do es jalado con una fuerza F=30 N?

(g = 10m/s2)

a) 3 m/s2 b) 8 m/s2 c) 7 m/s2

d) 6 m/s2 e) 5 m/s2a) 10 N b) 30 N c) 50 Nd) 20 N e) 40 N

2 kg

a=5 m/s2

F 50N

2. En cada caso, halla la fuerza “F”.

5 kg

a

10N 40N

3. Halla la aceleración del bloque.

a) 5 m/s2 b) 3 m/s2 c) 6 m/s2

d) 2 m/s2 e) 9 m/s2

5 kg

a

37º10N

50 N

F

a

52

4to Secundaria


7. Calcula F si el bloque sube a razón de «g» m/s2.

a) 10 N b) 8 N c) 2 N d) 16 N e) 4 N

37°

m=1kgF

8. Halla la aceleración con que se desplazan los bloques de igual masa.

a) g b) g/2 c) 2g d) 3g/2 e) g/4

30°

9. Halla la tensión de la cuerda que une los bloques. (m1 = 9 kg, m2 = 11 kg)

a) 32 N b) 34 N c) 36 N d) 38 N e) 40 N

60N20N (2)(1)

10. Halla la fuerza de interacción entre los bloques si no existe rozamiento. (m1 = 6 kg; m2 = 4 kg)

a) 40 N b) 42 N c) 44 N d) 46 N e) 48 N

10N30N(1) (2)

11. Calcula la aceleración de m=2kg si la fuerza F es 100 N. (g = 10 m/s2)

a) 8 m/s2 b) 19 m/s2 c) 12 m/s2

d) 16 m/s2 e) 20 m/s2

F4m

m

12. Halla la tensión (T) en la cuerda indicada. (g = 10 m/s2)

a) 36 N b) 18 N c) 40 Nd) 20 N e) 32 N

T

4kg6kg

30°

∼

a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2

d) 4 m/s2 e) 5 m/s2

7 kg

3 kg

5. Halla la aceleración del sistema si g = 10m/s2.

5 kg

40N

37º

6. Halla la aceleración del sistema. (g = 10m/s2)

a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2

d) 4 m/s2 e) 5 m/s2

7 movimiento parabólico - colegio parroquial de...

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