PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Prof. Yuitza T. Humarán Martínez Adaptado por Prof. Caroline Rodriguez

Naturales N={1, 2, 3, 4, …}

{0} {-1, -2, -3, …}

Enteros, Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Fracciones de naturales Opuestos de fracciones

de naturales

Racionales, Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0}

Irracionales

Reales, R

Otro diagrama, R

53

92

−

-2

2

-7

0 1

7

250.

30.

Irracionales

π

2

3 4

e

Racionales

REALES

Enteros

Naturales

Propiedades de los reales • Clausura • Conmutativa • Asociativa • Distributiva • Identidad • Inversos

Clausura

• Propiedad de clausura de la suma Sean a y b números reales, entonces a + b es un número real. Si sumas dos números reales, el total es también un

número real. Ejemplos: -10 + 49 = 39 ½ + ¾ = 5 4⁄ -5 + -100 = -105 2 − 5 2 = −4 2

Clausura

• Propiedad de clausura de la multiplicación Sean a y b números reales, entonces ab es un número real. Si multiplicas dos números reales, el producto es también

un número real. Ejemplos: (-10)( 49) = -490 (½) ( ¾) = 3 8⁄ (-5)(-100) = 500 2 5 2 = 5 2

2= 5 ∙ 4 = 20

Conjunto cerrado • Decimos que el conjunto de los reales está cerrado para

las operaciones de suma y multiplicación.

Propiedad conmutativa de la suma Ejemplo: (2 + 5) = 7. (5 + 2) = 7. Como ambos enunciados son equivalentes a 7

escribimos 2 + 5 = 5 +2. Propiedad conmutativa de la suma: • Sean a y b números reales entonces a + b = b + a. (si cambias el orden de dos sumandos, el total no cambia.)

Propiedad conmutativa de la multiplicación Ejemplo: (2)(5) =10. (5)(2) = 10. Como ambos enunciados son equivalentes a 10,

escribimos (2)(5) = (5)(2). Propiedad conmutativa de la multiplicación

Sean a y b números reales entonces ab = ba. (si cambias el orden de dos multiplicandos, el producto no

cambia.)

Nota: • ¿Son la resta y la división conmutativas? • Ejemplo Determine: a. 5 – 4 b. 4 – 5 Como los valores son diferentes, las expresiones

no son equivalentes, por lo tanto la resta NO es conmutativa.

= 1 = –1

Nota: • Ejemplo Determine: a. 12 ÷ 4 b. 4 ÷ 12 Como los valores son diferentes, las expresiones

NO son equivalentes, por lo tanto la división no es conmutativa.

= 3

=412

ó 13

Asociativa Ejemplo: Par a determinar el total de 2 + 3 + 4 sin utilizar la

propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas: • Sumando primero el 3 y el 4 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 • Sumando primero el 2 y el 3 (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9

Como ambos enunciados son equivalentes a 9

podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

Propiedad asociativa de la suma • Sean a, b y c números reales entonces a + (b + c) = (a + b) + c.

• Como a + (b + c) es equivalente a (a + b) + c puedes intercambiar las expresiones.

Asociativa Ejemplo: Par a determinar el producto de 2(3)(4) sin utilizar la

propiedad conmutativa, tenemos dos alternativas: • Multiplicando primero el 3 y el 4 2 [(3)(4)] = 2(12) = 24 • Multiplicando primero el 2 y el 3 [(2)(3)]4 = 6(4) = 24

Como ambos enunciados son equivalentes a 24

podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos 2 [(3)(4)] = [(2)(3)]4

Propiedad asociativa de la multiplicación

• Sean a, b y c números reales entonces a(bc) = (ab)c.

• Como a(bc) es equivalente a (ab)c, puedes intercambiar las expresiones.

Distributiva • Ejemplo: Determine el valor de las expresiones: a. 5 ( 2 + 3) Recuerde que los paréntesis agrupan e indican lo que se

quiere hacer primero. 5 ( 2 + 3) = 5 (5) = 25 b. 5 (2) + 5 (3) 5 (2) + 5 (3) = 10 + 15 = 25

Como ambos enunciados son equivalentes a 25 podemos decir que los enunciados son equivalentes y escribimos, 5(2+ 3)= 5(2)+5(3)

Propiedad distributiva

En general, para a, b y c números reales, a(b + c)= a(b)+ a(c)

( b + c) a = (b)a + (c)a = a(b) + a(c)

Identidad aditiva • Sea a un número real entonces a + 0 = 0 + a = a.

• Decimos que cero es la identidad aditiva o la identidad de suma porque cuando se suma no “ocurre nada”.

• Es decir, el número real al cual se le suma cero, no cambia, no se altera.

Identidad multiplicativa • Sea a un número real entonces a(1) = (1)a = a

• Decimos que uno es la identidad multiplicativa o la identidad de multiplicación porque cuando se multiplica no “ocurre nada”.

• Es decir, el número real que se multiplica por uno, no cambia, no se altera.

Inversos aditivos • Sea a un número real entonces a + (-a) = -a + a = 0 • Dos números son opuestos o inversos aditivos si al

sumarse el total es cero.

Inversos multiplicativos • Sea a un número real y a ≠ 0 entonces

• Dos números son inversos multiplicativos o recíprocos si al multiplicarlos el producto es uno.

• Ejemplo: El recíproco de 2 es ½ por que

2 12

= 21

12

= 11

= 1.

1 1 1a aa a⋅ = ⋅ =

Ejemplos • Indique la propiedad de los reales que justifica el

enunciado. (a) 0 + (-5) = -5 (b) -2 ( x + y) = -2x + -2y (c) (a + b) c = c (a + b) (d) 5x + 5y = (x + y)5

Recta numérica • Los números reales se representan geométricamente

mediante una recta llamada, recta numérica o recta de los números reales.

• Se asocia a cada punto en la recta, un número real. • Al número asociado a cada punto de la recta se le llama

coordenada del punto.

2−

π− 212

−12 π

94 −

143 −0.65 0.45

Orden

• Los números representados en la recta numérica aumentan de izquierda a derecha.

• Si el número real a está a la izquierda del número real b sobre la recta numérica,

a b entonces decimos que a es menor que b y escribimos a

< b. • Esta relación también puede describirse diciendo que b

es mayor que a o escribiendo b > a.

Ejemplos

• La raíz de dos es menor que π.

• El opuesto de la raíz de dos es mayor que -π.

2−π− 2 π

Orden • La relación a ≤ b significa que a es menor o igual a b.

• La relación b ≥ a significa que b es mayor o igual que a.

• Los símbolos <, >, ≤, ≥ se llaman símbolos de desigualdad.

Distancia • Si a y b son dos números reales tales que a ≤ b, entonces la distancia entre a y b es b – a.

• Ejemplo: Determine la distancia entre: (a) 20 y 5 (b) -4 y 6 (c) -10 y -6

Valor absoluto • El valor absoluto de un real es la distancia entre el número y cero en la recta numérica.

• El valor absoluto de un número a se escribe | a |.

Ejemplo

Determine el valor de los siguientes números reales.

a. | 3 | = b. | −8 | = c. | 0 | = d. | −103 | = e. | 5 | =

3 8

0 103

5

Valor absoluto • En general, sea a un número real.

• Si a es no negativo, entonces | a | = a. Es decir, el valor absoluto de un número no negativo es igual a él mismo.

• Si a es negativo, entonces | a | = − a. Esto es, el valor absoluto de un número negativo es igual a su opuesto.

Ejemplo

Determine el valor de las siguientes expresiones numéricas.

a. | π | =

b. | | =

c. =

π

2− 2

12

12