수의 세계

7주차. Visual Mathematics

1. Proofs without words

•수식없이 증명 이해하기

학습내용

학습목표

수의 세계

7주차. Visual Mathematics

1 말이 필요없는 증명 -- 세기 1

1) Counting

Fubini principle : If you count the objects

In a set two different ways, you will get

the same result.

Cantor principle : If two sets are in one-

to-one correspondence, then they have the sa

me number of elements.

1 말이 필요없는 증명 – 세기 1

2) Sum of odd integers

1 1 말이 필요없는 증명 – 세기

2) Sum of odd integers

1 말이 필요없는 증명 -- 세기 1

2) Sum of integers

: triangular number

1 말이 필요없는 증명 -- 세기 1

2) Sum of integers

+

1 말이 필요없는 증명 -- 세기 1

3) Alternating sum of squares

1 말이 필요없는 증명 -- 세기 1

4) Sum of consecutive powers of 9

1 말이 필요없는 증명 -- 세기 1

4) Sum of consecutive powers of 9

1 + 9 + 92 + 93 + … + 9n = tN,

N = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 3n

1 말이 필요없는 증명 -- 길이 1

5) 두 양수 a < b 의 평균들

1. 산술평균 :

2. 기하평균 :

3. 조화평균 :

4. 이차평균 :

a + b

2

ab

2ab

a + b

2

22 ba

1 말이 필요없는 증명 -- 길이 1

기하평균 사용예

어떤 값이 처음에 1000이고, 첫 해에 10% 증가하고, 그

다음 해에 15% 감소했다고 할 때 결과 값은 처음의 값

1000에 1.1과 0.85의 기하평균을 두 번 곱한 값이 된다.

1.1과 0.85의 기하평균 (1.1 × 0.85)1/2 = 0.96695...

이므로, 2년동안 평균 3.3.%씩 감소한 셈이다.

즉, 1000 × 1.1 × 0.85 = 1000 × (0.9669)2 이다.

1 말이 필요없는 증명 -- 길이 1

산술평균과 기하평균

a < ab <a + b

2< b

a + b

2

æ

èçö

ø÷

2

- ab( )2

=a - b

2

æ

èçö

ø÷

2

> 0

1 말이 필요없는 증명 -- 길이 1

조화평균의 사용예

전체 거리의 절반을 40km/h의 속도로 달리고,남은 절반

을 60km/h로 달렸다면, 평균 속력은40과 60의 조화 평

균인 48km/h가 된다.

이동하는데 전체 거리를 48 km/h의 속력으로 달린경우

와 같은 시간이 걸렸기 때문.

1 말이 필요없는 증명 -- 길이 1

조화평균

AM : GM = GM : HM

1 말이 필요없는 증명 -- 길이 1

중분수 – 직선의 기울기 이용

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7주차. Visual Mathematics

1 말이 필요없는 증명 -- 면적 2

1) Sum of integers revisited

n

n

tn=(1/2)n ×n + n ×(1/2)

= n(n+1)/2

1 말이 필요없는 증명 -- 면적 2

2) 등차수열의 합

1)d]-(n+[2a2

n=S

1)d]-(n+a+n[a=2S

S = a+ (a+ d)+ (a+ 2d)+ ... +[a+ (n-1)d]

1 말이 필요없는 증명 -- 넓이 2

산술평균과 기하평균

a < ab <a + b

2< b

(a + b)2 ³ 4ab

\a + b

2³ ab

1 말이 필요없는 증명 -- 넓이 2

Napier의 부등식

0 < a < b,1

b<

lnb - lna

b - a<

1

a

1

b(b - a) <

1

xdx

a

b

ò <1

a(b- a)

1 말이 필요없는 증명 -- 부피 2

곱셈공식

b2 - a2 = (b+ a)(b- a)

1 말이 필요없는 증명 -- 부피 2

곱셈공식

a3 - b3 = (a- b)(a2 + ab+ b2 )

1 말이 필요없는 증명 -- 부피 2

제곱수의 합

12 + 22 + 32 + ... + n2 =n(n +1)(2n +1)

6

12 + 22 + 32 + ×××+ n2 =1

3n2 ×n + 2 ×

n(n +1)

2

1

2- n

1

3

=n(n +1)(2n +1)

6

1 말이 필요없는 증명 -- 부피 2

제곱수의 합

12 + 22 + 32 + ... + n2

=1×n + 3(n -1) + 5(n - 2) + ×××+ (2n - 3) ×2 + (2n -1) ×1

1 말이 필요없는 증명 – 평면에서 탈출 2

원 세개 접선 여섯개

1 말이 필요없는 증명 – 평면에서 탈출 2

점 아홉개, 직선 네개

1 말이 필요없는 증명 – 평면에서 탈출 2

점 아홉개, 직선 세개???

X 유클리드

1 말이 필요없는 증명 – 평면에서 탈출 2

점 아홉개, 직선 한개???

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7주차. Visual Mathematics

문제1. 다음을 증명하라.

평가하기

1 + 9 + 92 + 93 + … + 9n = tN,

N = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 3n

문제2. 12 – 22 + 32 - + (-1)n+1n2 = (-

1)n+1Tn 을 증명하시오.

평가하기

문제3. 두 실수 0<a<b의 이차평균이 산술평균보다

큼을 보이시오.

평가하기

문제4. 그림을 이용하여 세 양수 a, b, c에 대하여

평가하기

222 cbacabcab

임을 보이시오.

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7주차. Visual Mathematics

정리하기

1강 . 말이 필요없는 증명 1

정리하기

2강 말이 필요없는 증명 2

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