7/29/2012 nattawoot koowattanatianchai 1 - fin.bus.ku.ac.thfin.bus.ku.ac.th/01131591 financial...

7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 1


Financial Research

ณฐวฒ ควฒนเธยรชย


Lecture 4

การจ าลองราคาสนทรพย

(Modeling Asset Prices)

ทบทวนความรเบองตน

ราคาสนทรพยมววฒนาการแบบสม

หมายความวา ราคาหน อตราดอกเบย อตราแลกเปลยน

เงนตราตางประเทศ และราคาสนคาโภคภณฑตางๆ ไม

สามารถพยากรณได

สวนมากแลวเราจะท าการวเคราะหผลตอบแทน

(การเปลยนแปลงของราคาสนทรพย) แทนการ

วเคราะหราคาสนทรพย เนองจากมความนง

(stationary) มากกวาราคาสนทรพย


ทบทวนความรเบองตน

เนองจากราคาสนทรพยมความสม (randomness)

เปนสวนประกอบ แบบจ าลองทางคณตศาสตรทใช

จ าลองราคาสนทรพยจงตองแสดงใหเหนถงความ

สมน และเราจะพยากรณราคาสนทรพยในอนาคต

ดวยการใชความนาจะเปน

การประเมนคาผลตอบแทนคาดหมาย (expected

returns) และความผนผวน (volatility) และ

ผลกระทบของมนตอราคาสนทรพยเปนสงส าคญใน

การตดสนใจทางการเงน


กระบวนการเฟนสม (stochastic

process) กระบวนการเฟนสม

การจดล าดบความตอเนองของคาสงเกต (sequence of

observations) ดวยการแจกแจงความนาจะเปน

ตวอยาง: การโยนเหรยญไปเรอยๆ ในชวงเวลา

เทาๆ กน

การแจกแจงจะเสถยรเนองจากผลลพธทเปนไปไดจะไม

เปลยนในการโยนแตละครง (การทเหรยญออกกอย 5

ครงตดตอกน ถงแมจะเปนไปไดนอย แตกไมไดท าให

ความนาจะเปนทเหรยญจะออกกอยอก 5 ครงถดไป

ตดตอกน เปลยนไป)


กระบวนการเฟนสม (stochastic

process) การสมเลอกไพจากกองออกมาโดยไมใสกลบเขา

ไป คอ ตวอยางของกระบวนการทมการ

เปลยนแปลงของการแจกแจง

การเคลอนทของราคาสนทรพยในความเปนจรง

เปนกระบวนการทมการเปลยนแปลงของการแจก

แจงความนาจะเปน ถงแมวาจะเปนการยากทจะระบ

เวลาทมการเปลยนแปลงการแจกแจงกตาม

การศกษาขอมลในอดตจะมประโยชนในประเดนน ไมใช

เพอการพยากรณอนาคต แตเพอดวาราคาสนทรพยใน

อนาคตควรมาจากการแจกแจงความนาจะเปนแบบใด


การเคลอนทแบบบราวน (Brownian

Motion) นยาม

เปนการเคลอนทแบบสมของอนภาคในของไหล

(ของเหลวหรอกาซ) คนพบโดยนกพฤกษศาสตร Robert

Brown เมอประมาณป ค.ศ.1827

กลไกของ Brownian Motion

ก าหนดให Zt เปนขอมลอนกรมเวลาซงตวเลขทกตวใน

อนกรมเวลานนถกสมมาจากการแจกแจงปกตมาตรฐาน

- N(0,1)

สมมตวา Wt เปนตวเลขหนง ณ ชวงเวลา t



Motion) กลไกของ Brownian Motion

Model 1: Wt+ dt = Wt + Zt+dt × dt

dt = ชวงเวลา (หนวยเปนป) ระหวาง t ถง t+dt

dt = 1/(60×24×365) ถาชวงเวลาระหวาง t ถง t+dt = 1 นาท

dt ปรากฏในแบบจ าลองเพอวดผลกระทบของการตระหนกทาง

สถต (statistical shocks) ถาขนาดความกวางของเวลาท

พจารณาตางกน (การตระหนกทางสถต ซงเปนตนเหตของ

ความสม นาจะมขนาดใหญเพมขนถามนถกกระจายไปใน

ชวงเวลาทยาวนานขน)



Motion) กลไกของ Brownian Motion

ถาตองการจ าลองการเคลอนทของราคาสนทรพยทมขน

ตลอดเวลา (continuously) dt จะตองมคาใกลเคยงศนย

Model 1 มปญหาเนองจากความแปรปรวนของ Wt+ dt (ค านวณ

ดวยการน า dt ไปยกก าลงสอง) จะมคาใกลเคยงศนยเชนกน

W จะไมใชตวแปรสมอกตอไป เนองจากมคาความแปรปรวน

นอยมาก

Model 2: Wt+ dt = Wt + Zt+dt × √dt

เวลาค านวณความแปรปรวนดวยการน า √dt ไปยกก าลงสอง

เราจะได dt



Motion) Wt จะเปน Brownian Motion ถา

W0 = 0

การเพมขนของ Wt เปนอสระจากกน

Wt - Ws เปนอสระจาก Wv - Wu ∀ s, t, u, v > 0 and u ≤ v ≤ s

≤ t

Wt - Ws ~ N(0,t - s) for s < t

⇒ Wt ~ N(0,t)

Brownian Motion ยงจ าลองการเคลอนทของราคา

หลกทรพยไดไมสมบรณแบบ เนองจากมนคาท

เปนไปไดอาจตดลบ



Motion)


Brownian Motion with W(0) = 0

Time-days

W

0 50 100 150 200 250

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

กระบวนการแบบวเนอร (Wiener

Process) กระบวนการแบบวนเนอร (Wiener Process) ตง

ใหเพอเปนเกยรตแก Norbert Wiener (1894-

1964)

dWt = Wt+ dt - Wt = Zt+dt × √dt as dt → 0

dWt ~ N(0,dt)

E(dWt ) = 0

E(dWt)2 = dt

ในการประเมนราคาตราสารอนพนธ เราจะสนใจ

กระบวนการของ dWt มากกวา Wt


การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ

การจ าลองราคาหน ความผนผวนของราคาหนมคณสมบตทส าคญดงน

ในระยะยาว ราคาหนจะเพม (รางวลจากการเสยง) ซง

เราเรยกวาราคาหน drift

ถงแมวา Wiener Process จะไม drift แตเราสามารถแปลง

กระบวนการนให drift ได

การเคลอนทของราคาหนเปนแบบสม

Wiener Process กเปนกระบวนการแบบสม แตเราตองแปลง

กระบวนการนใหแยกแยะถงความแตกตางของความผนผวน

ของหนแตละตว



การจ าลองราคาหน ความผนผวนของราคาหนมคณสมบตทส าคญดงน

การพยากรณราคาหนในอนาคตควรจะมความยาก

เพมขน

ความแปรปรวนของราคาหนในอนาคตอนแสนไกล ควรจะ

มากกวาความแปรปรวนของราคาหนในอนาคตอนใกล

ราคาหนไมมทางตดลบ

ผถอหนมความรบผดจ ากด (limited liability)



การจ าลองราคาหน ขนตอนการแปลงกระบวนการแบบวเนอร

คณสมบตของผลตอบแทนสามารถอธบายดวยคาเฉลย

(μ) และคาความแปรปรวน (σ2) ของมน ซงเราตองการ

ใหแบบจ าลองของเรามคาคาดหมายและความแปรปรวน

เทากบ μ และ σ2 ตามล าดบ

ก าหนด Rt = μ × dt + gt

Rt = ผลตอบแทนของหนตอชวงเวลา dt

μ × dt = ผลตอบแทนคาดหมายของหนในชวงเวลา dt =

คาคงท

gt = สวนประกอบทจ าลองการสมของผลตอบแทน (ขนอยกบ

ความแปรปรวนของผลตอบแทน)



การจ าลองราคาหน ขนตอนการแปลงกระบวนการแบบวเนอร

เราตองการใหแบบจ าลองของเรามคาคาดหมายเทากบ μ

ท าไดดวยการก าหนด E(gt) = 0

เราตองการใหแบบจ าลองของเรามความแปรปรวนตอป

เทากบ σ2 (ความแปรปรวนของผลตอบแทนตอชวงเวลา

dt = σ2 × dt)

ท าไดดวยการก าหนด var(gt) = σ2 × dt

เนองจากเราตองการให E(gt) = 0 และ var(gt) = σ2 dt

ดงนน gt = σ × dWt = σ × Zt × √dt

∴ Rt = μ × dt + σ × dWt



การจ าลองราคาหน ความแปรปรวนของราคาหนในอนาคต

St+dt = St(1 + Rt) = St(1 + μ × dt + σ × Zt × √dt )

ความแปรปรวนของ St+dt มากกวาความแปรปรวนของ St

เนองจาก dt จะมคาสงขนถาเราขามเวลาไปยงอนาคตไกลขน

แบบจ าลองทเราไดมา เรยกวา Geometric Brownian

Motion:

dSt = St+dt - St as dt → 0


tttt

t

t

tt

dWSdtSdS

dWdtS

dSR

Geometric Brownian Motion

คณสมบตเบองตน:

dSt/St = ผลตอบแทนของหนตอชวงเวลาสนๆ dt

μ × dt = ผลตอบแทนคาดหมาย

σ × dWt = สวนประกอบของผลตอบแทนทแสดงถง

ความสม

St ไมมทางตดลบ เนองจาก dSt = 0 เมอ St = 0

dSt/St ~ N(μ × dt , σ2 × dt)

dSt~ N(μ × St × dt , σ2 × S2t × dt)



ตวอยาง: พจารณาหนตวหนงทมความผนผวน (σ)

เทากบ 30% และใหผลตอบแทนคาดหมาย (μ)

15% ตอป จงหาการเพมขนของราคาหนหลงจาก

ผานไปหนงสปดาห ถาราคาหนตอนเรม (St) = 100

แบบจ าลองแบบชวงเวลาตอเนอง:

แบบจ าลองแบบชวงเวลาไมตอเนอง:


t

t

t dWdtS

dS

tZtS

S

t

t


ตวอยาง:

ถา X = μ + σZ แลว X ~ N(μ, σ2)

ดงนน การเพมขนของราคาหนตวนในหนงสปดาหจง

เปนตวแปรทสมมาจากการแจกแจงปกตทมคาเฉลย =

.288 และคาเบยงเบนมาตรฐาน = 4.16


ZS

ZS

t

t

16.4288.

1003.15.521

521


ตวอยาง: แสดงใหเหนวา ∆St/St ~ N(μ∆t , σ2∆t)

ถา X = μ + σZ แลว X ~ N(μ, σ2)

ดงนน ∆ St/St ~ N(μ ∆t , σ2 ∆t)


tZtS

S

t

t


เราสามารถใชเทคนคทางแคลคลสพสจนไดวา


tZtS

WtSS

ttSNS

WtSS

dWdtSd

tt

t

tt

tt

2

21

0

2

21

0

22

21

0

2

21

0

2

21

exp

exp

,ln~ln

lnln

ln


ตวอยาง: พจารณาหนตวหนงทมราคาตอนเรม =

40 คาคาดหมาย = 16% และคาความผนผวน =

20% จงหาการแจกแจงความนาจะเปนของลอการ

ทมของราคาหนตวน หรอ lnSt ในอก 6 เดอน

ขางหนา


02,.759.3~

5.)2(.,5.)2(.16.40ln~ln 22

21

5.0

N

NS

Simulating GBM evolution

การจ าลองการเคลอนทของราคาหนตาม GBM

แบบชวงเวลาไมตอเนอง สามารถท าได 2 วธ

ตวอยาง: จงจ าลอง (simulate) ราคาวนท 3 ของ

หนตวหนงทเคลอนทตามแบบ GBM หนตวนม

ราคาเรมตนท 100 มคาเฉลยของผลตอบแทน =

10% ตอป และมความผนผวน = 20% ตอป


tZtSS

StZtSS

2

21

01

001

exp)2(

)1(


วธท 1:

∆t = 1/250

ราคาของหนตวนในวนแรก = 100

สมตวเลขจาก N(0,1) มา 3 ตว = .11656, -1.27768,

.244257 ตามล าดบ

ราคาของหนในวนถดไปเทากบ


99.98963.2442572.1.

99.986141.27768-2.1.

100.19100.116562.1.100

22501

2501

23

12501

2501

12

2501

2501

1

SSS

SSS

S


วธท 2:

∆t = 3/250


สมตวเลขจาก N(0,1) มา 1 ตว = .11656


100.352

.116562.2.1.exp100

exp

2503

25032

21

2

21

03

tZtSS



GBM daily price for 5 years

Time-days

Shar

e Pr

ice

0 200 400 600 800 1000 1200

7080

9010

011

012

013

0

S0 = 100, μ = .1, σ = .2

Estimating μ และ σ ของ GBM

ใชเทคนคทางคณตศาสตรทเรยกวา การประมาณ

คาความควรจะเปนสงสด (Maximum Likelihood

Estimation)

เรารวาการแจกแจงของผลตอบแทน (ถามองในแง

ของชวงเวลาไมตอเนอง) เปนแบบปกต


t

tNSSR tttt

2

21

2,~lnln


ตวประมาณคา MLE ของ μ และ σ สามารถ

ค านวณไดดงน


2

1

22

1

ˆ2

1ˆˆ

ˆ1

ˆ

1ˆ

t

RtT

RT

T

t

t

T

t

t


ตวประมาณคา MLE ของ α และ σ2 ไดแก คาเฉลย

ของผลตอบแทน และ 1/∆t × (คาเฉลยสวน

เบยงเบนก าลงสองของผลตอบแทน) ตามล าดบ

ตวอยาง: ใชขอมลผลตอบแทนรายวนของ Apple

∆t = 1/250

α^ = คาเฉลยของผลตอบแทน = 0.001208315

คาเฉลยสวนเบยงเบนก าลงสองของผลตอบแทน =

0.0005868717

σ2^ = 250 × 0.0005868717 = 0.1467179

μ^ = (0.001208315 × 250) + .5 × 0.1467179 =

0.3754376


Constant Elasticity of Variance

CEV ตงสมมตฐานวาราคาหนมววฒนาการดงน

μ, σ, β เปนคาคงท

ถา β = 2 CEV จะกลายเปน GBM

ถามองในแงของชวงเวลาไมตอเนอง


tttt dWSdtSdS 2

tZStSSS ttttttt 2

Constant Elasticity of Variance

เราสามารถใชเทคนคทางแคลคลสพสจนไดวา

ถามองในแงของชวงเวลาไมตอเนอง


tStSNR

tZStSSSR

tttt

ttttttttt

2222

21

2

2

22

21

,~

lnln

ttttdttt dWSdtSSSSd 2

2

22

21lnlnln

Simulating CEV

การจ าลองการเคลอนทของราคาหนตาม CEV

แบบชวงเวลาไมตอเนอง สามารถท าไดแควธเดยว

ตวอยาง: จงจ าลอง (simulate) ราคาวนท 3 ของ

หนตวหนงทเคลอนทตามแบบ CEV หนตวนมราคา

เรมตนท 100 ม μ = .1 σ = 1.2 และ β = .7


tZStSSS 2

0001

Simulating CEV

การจ าลอง CEV ตามตวอยาง

∆t = 1/250


สมตวเลขจาก N(0,1) มา 3 ตว = .11656, -1.27768,

.244257 ตามล าดบ


Simulating CEV

การจ าลอง CEV ตามตวอยาง


2501

2

7.

22501

223

2501

2

7.

12501

112

25012

7.

2501

1

.2442572.11.

1.27768-2.11.

.116561002.11001.100

SSSS

SSSS

S

Simulating CEV


CEV daily price for 5 years

Time-days

Shar

e Pr

ice

0 200 400 600 800 1000 1200

100

110

120

130

140

150

S0 = 100, μ = .1, σ = 1.2, β = .7

Estimating μ σ และ β ของ CEV

ตวประมาณคา MLE ของ μ σ และ β สามารถ

ค านวณไดจากการใชโปรแกรมทางสถตหาคา μ σ

และ β ทท าใหฟงกชนตอไปนมคาสงสด

ฟงกชนดานบน เรยกวา ฟงกชนลอการทมความควรจะ

เปนสงสด (log-likelihood function)

ฟงกชนดงกลาวเปนฟงกชนของ μ σ และ β


T

t t

ttT

t

ttS

tSRSt

T

122

222

21

1

2

2ln

2

22ln

2

Estimating μ σ และ β ของ CEV

ตวอยาง: ใชขอมลผลตอบแทนรายวนของ Apple

∆t = 1/250

μ^ = 0.3717376

σ^ = 5.1580956

β^ = 1.0062139


CEV VS GBM

Krongkajonsook, N. (2005), Evaluating the CEV and GARCH Option Pricing Model, MCA Thesis, Victoria University of Wellington.

ประเมนคาสมประสทธของแบบจ าลอง GBM และ CEV

จากขอมลจรง

ใชคาสมประสทธทประเมนได จ าลองววฒนาการของ

ราคาหนตาม GBM และ CEV

ตรวจสอบวาคณสมบตของราคาหนวาสอดคลองกบ

stylized facts ทเรยนมาหรอไม


7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 417/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 41

4/6/2011 Natt Koowattanatianchai 41


Email:

[email protected]

Homepage:

http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm

Phone:

02-9428777 Ext. 1221

Mobile:

087- 5393525

Office:

ชน 9 ตกใหมคณะบรหารธรกจ

http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm

7/29/2012 nattawoot koowattanatianchai 1 - fin.bus.ku.ac.thfin.bus.ku.ac.th/01131591 financial...

Documents