75514306 ondelettes hermes

7/29/2019 75514306 Ondelettes Hermes

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Ondelettes pour le signal numrique

Fred Truchetet

Janvier 1998


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2 Ondelettes pour le signal numrique

Avant-propos 9

Chapitre 1 Historique 11

Chapitre 2 Pourquoi les ondelettes ? 13

Chapitre 3 Quelles ondelettes ? 21

3.1 Inversion - Admissibilit 21

3.2 Quelles transformes en ondelettes ? 22

Chapitre 4 Bases orthonormes, analyse multirsolution 25

4.1 Axiomatique de base 25

Espaces dapproximation 25

Espaces des dtails 28

Analyse multirsolution et localisation spatio-

frquentielle 31

Gnralisation : paquets dondelettes 35

4.2 Algorithme rcursif 35

Algorithme danalyse 37

Algorithme de reconstruction 41

4.3 Construction numrique des fonctions de base 45

Chapitre 5 Proprits et construction 53

5.1 Proprits frquentielles de la fonction dchelle 54

Relations avec le filtre associ 54

Orthonormalit dans Fourier 55

5.2 Proprits frquentielles de londelette 58

5.3 Rsum des proprits 62

Chapitre 6 Exemples de bases dondelettes 65

6.1 Ondelettes de Haar 66


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3

6.2 Ondelette de Littlewood-Paley 68

6.3 Bases splines 70

6.4 Ondelettes support compact (Daubechies) 76

Chapitre 7 Passage deux dimensions 87

7.1 Cas gnral 87

Matrice de changement dchelle 87

Axiomatique de base de lanalyse multirsolution 88

Sur-chantillonnage et sous-chantillonnage 89

Algorithme rcursif et proprits 92

7.2 Ondelettes sparables 100

7.3 Ondelettes quinconces 103

Exemples danalyse quinconce orthonorme 111

Chapitre 8 Bases biorthogonales 117

8.1 Introduction 117

8.2 Analyse biorthogonale 117

8.3 Proprits des bases et des filtres associs 120

8.4 Bases B-splines biorthogonales 122

Recherche de solutions avec des filtres RIF

symtriques 122

Cas des B-splines. 124

Solution avec des filtres rcursifs RII 125

Chapitre 9 Trames dondelettes 131

9.1 Bornes de la trame dondelettes 132

9.2 Reconstruction dans le cas dune trame dondelettes 132

Chapitre 10 Exemple de trame dondelettes 135

10.1 Dtection de contour multichelle 136


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Annexe A Fonctions B-splines et bases dondelettes 141

Bibliographie 151

Index 155


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5

Remerciements


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Je voudrais remercier tous ceux, collgues, tudiants et proches qui mont aid

dans la mise au point de ce document, et particulirement lors de la ralisation des

illustrations et de la correction deserreurs. Que J.C. Devaux, A. Garcia, O. laligant et F.

Nicolier, trouvent ici lexpression de ma reconnaissance. Et merci surtout Franoise

et Marie-Elise pour leur patience et leur soutien pendant ces trop nombreuses journes

de vacances distraites de la vie familiale.


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Table des matires


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Avant-propos

De nombreux documents de synthse prsentant la transforme en ondelettes et ses

applications sont actuellement disponibles en librairie. Ils sont souvent de grande

qualit et devraient suffire un tudiant cherchant acqurir les notions ncessaires

lutilisation de cet outil de traitement du signal ou un chercheur qui souhaite

connatre ltat de lart dans le domaine avant de tenter dy apporter sa contribution

ventuelle. Alors pourquoi proposer un document de plus? La rponse tient en

deux points principaux. Tout dabord, bien que les Franais et les chercheurs

francophones se soient particulirement illustrs dans les dcouvertes qui ont conduit

ltablissement de cette thorie, il existe peu douvrages en langue franaise proposant

une prsentation des transformes en ondelettes discrtes. Ensuite, la plupart des

ouvrages disponibles sont soit des prsentations caractre grand public ne

permettant pas de rentrer dans les dtails techniques et donc peu utilisables pour

qui veut pratiquer la technique prsente, soit des thses caractre mathmatique

affirm mettant plus laccent sur la rigueur des raisonnements et la gnralit des

concepts utiliss que sur les rsultats pratiques rellement mis en uvre dans les

applications. Cest pourquoi nous avonsvoulu proposer un document crit dans lesprit

des Sciences de lIngnieur dans lequel la rigueur mathmatique nest pas totalement

absente mais nest pas, et de loin, la proccupation majeure. Au risque de faire bondir

les puristes, nous avons volontairement omis un certain nombre de cas particuliers

et quand la dmonstration rigoureuse dun rsultat nous a sembl soit trop lourde

soit trop complique conceptuellement, nous avons essay de donner une pseudo-

dmonstration suffisante pour convaincre et pour faire comprendre lorigine et la

porte du rsultat. Les lments fournis dans cette prsentation doivent permettreau lecteur daborder concrtement lanalyse par transforme en ondelettes des

signaux numriques monodimensionnels ou multidimensionnels. Nous avons voulu

souligner particulirement les aspects propres au traitement des images numriques

car cest incontestablement un domaine o la transforme en ondelettes est riche de

potentialits. Il est clair que lambition de ce cours se limite une introduction aux

transformes en ondelettes discrtes, il nutilise que les outils mathmatiques dont

dispose tout tudiant de second cycle universitaire ; il est donc destin aux tudiants

de licence, matrise, DEA ( titre dintroduction) et aux lves ingnieurs. Il ne faut

en aucun cas y chercher une prsentation exhaustive du sujet et la bibliographie reste

galement trs modeste. Le jeune chercheur souhaitant se spcialiser dans ce domaine

devra imprativement complter les lments fournis ici partir dune recherche

bibliographique plus approfondie.


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Enfin, il faut indiquer que nous nous sommes fortement appuys, voire adosss,

deux excellents ouvrages crits par deux des principaux crateurs de cette thorie,

Ingrid Daubechies [10]et Martin Vetterli [43]. Nous ne saurions trop recommander au

lecteur dsireux den savoir plus ou de chercher la rigueur mathmatique manquant ici

de se reporter ces bibles de la transforme en ondelettes.

Une des images favorites des traiteurs de signal 2D


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Chapitre 1

Historique

Le traitement du signal a pour principal objet la description des signaux lis au monde

rel dans un but de traitement, didentification, de compression, de comprhension

ou de transmission. Dans ce contexte, les transformations linaires ont toujours jou

un trs grand rle, et parmi ces dernires, la plus clbre et la plus anciennement

tudie est la transformation de Fourier (1822). Cette transformation permet, comme

chacun sait, dexplorer la composition frquentielle du signal et par ses proprits

de lui appliquer facilement des oprateurs de filtrage. Lors de cette transformationle signal est dcompos sur un ensemble de signaux de base qui sont les cosinus

et sinus ou lexponentielle imaginaire, mais, trs tt dans lhistoire du traitement

du signal, il est apparu que la dcomposition obtenue ntait pas toujours la plus

satisfaisante et la premire transformation en ondelettes (le nom nest pas encore

utilis) est propose par Haar en 1910 ; il serait plus judicieux de parler alors

de palo-ondelette. La transforme en ondelettes est un outil qui dcoupe les

donnes, les fonctions ou les oprateurs en composantes frquentielles suivant une

rsolution adapte lchelle. Lesprcurseurs conscients de cette technique ont t des

mathmaticiens (Calderon 1964), des physiciens (Aslaken et Klauder en 1968, Paul

en 1985), et surtout des ingnieurs (ou des chercheurs en sciences pour lingnieur)

comme Esteban et Galand (1977), Smith et Barnwell (1986), Vetterli (1986), nous

pourrions parler dans leur cas de pr-ondelette. Mais le premier avoir utilis lamthode et le premier avoir propos le nom dondelettes fut Jean Morlet (1983).

Le problme trait par Morlet tait celui de lanalyse de donnes issues de sondages

sismiques effectus pour des recherches gologiques ; ces donnes faites de nombreux

transitoires sont particulirement adaptes une technique danalyse conservant la

notion de localisation de lvnement tout en fournissant une information sur son

contenu frquentiel ce qui est tout lintrt de ce type de transformation. Les rsultats

obtenus par Morlet et formaliss par le physicien Alex Grossmann ont rapidement

veill lattention de nombreux chercheurs et bientt des bases mathmatiques solides

ont tmises en place faisant apparatre la notionde base orthogonale (Y. Meyer1985),

danalyse multirsolution (S. Mallat 1989 [25], [26], [27]) et dondelettes support

compact (I. Daubechies 1988)[11]. Les ondelettes modernes taient nes. Les lecteurs

intresss par lhistoire des ondelettes trouveront des renseignements plus complets et


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des anecdotes passionnantes dans lexcellent ouvrage de B.B. Hubbard [19].

Les recherches tant thoriques quappliques se sont trs largement dveloppes

ces dernires annes au point que les ondelettes sont maintenant trs la mode

et quon a parfois voulu en faire loutil idal adapt tous les problmes. Cet

optimisme excessif a naturellement conduit quelques dconvenues. On compte

actuellement (en 1997) un volume annuel de plusieurs centaines de publications sur

le sujet et une bonne dizaine de congrs internationaux lui sont consacrs ou ont

une session spcialise sur les ondelettes. Les applications les plus prometteuses

qui semblent se dgager se retrouvent dans les domaines de lanalyse vocale, de

lanalyse des signaux radar et dans le domaine de la compression des images. Les

thmatiques de recherche sorientent vers les transformes de signaux priodiques ou support compact, les transformes multidimensionnelles, les transformes adaptes

au problme, les analyses multi-ondelettes, la dconvolution des signaux bruits, les

approches multichelles dans les algorithmes stochastiques et bien entendu la mise en

uvre des algorithmes de transforme en ondelettes discrte.

Analyse multirsolution de l image favorite


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Chapitre 2

Pourquoi les ondelettes?

La plupart des signaux du monde rel ne sont pas stationnaires, et cest justement dans

lvolution de leurs caractristiques (statistiques, frquentielles, temporelles, spatiales)

que rside lessentiel de linformation quils contiennent. Les signaux vocaux et les

images sont ce titre exemplaires. Or lanalyse de Fourier (2.1) propose une approche

globale du signal, les intgrations sont faites de moins linfini plus linfini, et toute

notion de localisation temporelle (ou spatiale pour des images) disparat dans lespace

de Fourier ; il faut donc trouver un compromis, une transformation qui renseigne sur lecontenu frquentiel tout en prservant la localisation afin dobtenir une reprsentation

temps/frquence ou espace/chelle du signal.

Transforme de Fourier :

Tfourierf() =

+

f(t)ejtdt (1)

La premire solution qui vient naturellement lesprit est de limiter le domaine

dintgration temporel (ou spatial) laide dune fonction fentre que lon pourra

faire glisser pour explorer le signal ; on obtient ainsi la transforme de Fourier fentre

glissante ; voir lquation 2.2.

Transformation de Fourier fentre glissante :

Tfglissef(t, ) =

+

f(s)g(s t)ejsds (2)

Si on pose :

t,(s) = g(s t)ejs (3)


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on peut interprter cette transforme comme la projection de f sur la base desfonctions fentres glissantes :

Tfglissef(t, ) = f, t, (4)

La notation f, g reprsente le produit scalaire :

f, g =+

f(x)g(x)dx (pour des fonctions relles) (5)

Un certain nombre de fonctions fentres sont utilises, les plus connues sont les

fentres de Hanning, de Hamming, et de Gauss (quation 2.6) :

g(x) = 14 e

x2

2 (6)

dans ce dernier cas la transformation a t baptise transformation de Gabor (quation

2.8) et on appelle gaborette la fonction analysante. On notera que les fonctions

enveloppes sont normalises 1 ; la norme tant dfinie par :

f2 =+

f(x)f(x)dx (7)

Transformation de Gabor :

Tgaborf(t, ) = 14 +

f(s)e

(st)2

2 ejsds (8)

On trouvera sur la courbe 2. la reprsentation de la partie relle de gaborettes

pour deux frquences diffrentes. On peut vrifier que ltendue temporelle de la

fonction est indpendante de la frquence analyse par cette fonction.

La rsolution dans le plan temps-frquence de la transformation peut tre estime

par les variances de la fonction analysante dans lespace temporel et dans lespace

frquentiel :

2x = +

x2 |(x)|2 dx (9)

Si on considre une gaborette |(x)| = ex22 on a videmment t = 1 et dans cecas comme la transforme dune gaussienne est une gaussienne (ex

2

se transforme

par Fourier en ef2

) on trouve un cart type f dans le domaine frquentiel telque : f =

12 . On constate que les rsolutions temporelle t et frquentielle f


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Pourquoi les ondelettes ? 15

Figure 2. Gaborettes

sont indpendantes, de sorte que le pavage de lespace temps-frquence (figure 2.) est

rgulier.

f

t

te m p s

fr q u e n c e

Figure 2. Pavage temps-frquence pour la transforme fentre glissante

Dans ce cas, on comprend que lanalyse nest pas idale car si une rsolution

temporelle faible est automatiquement lie la dtection des basses frquences,

la dtection des composantes hautes frquences du signal peut tre faite avec une

rsolution temporelle suprieure. Les deux rsolutions doivent varier en sens inverse

en conservant un produit constant pour un pavage nergtiquement rgulier de

lespace temps-frquence. Ceci doit conduire une utilisation rationnelle de cet

espace par la ralisation dans tous les cas du meilleur compromis possible entre la

rsolution temporelle et la rsolution frquentielle. Ce programme est ralis par

la transformation en ondelettes dont le principe est prcis dans lquation suivante

(2.10) :


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Transforme en ondelettes :

Tondf(a, b) =1a

+

f(t)(t b

a)dt (10)

Dans cette expression, a est le facteur dchelle et b le paramtre de translation. Lavariable a joue le rle de linverse de la frquence : plus a est petit moins londelette(la fonction analysante) est tendue temporellement, donc plus la frquence centrale

de son spectre est leve. On peut galement interprter cette expression comme une

projection du signal sur une famille de fonctions analysantes a,b construite partirdune fonction mre conformment lquation suivante :

a,b(t) =1

a(

t ba

) (11)

On notera que la norme est conserve lors du changement de facteur dchelle :

a,b2 = +

1

a

( t ba )2 dt (2.12)

=1

a

+

|(x)|2 adx

= 2

On pourra noter :

Tondf(a, b) = f, a,b (13)

La rsolution spatio-temporelle est calcule de la mme manire que

prcdemment : Si la largeur temporelle de (lcart type) est prise comme unit : = 1 alors on peut calculer la largeur de a,0 avec lquation 2.9 :

2t =

t2

a,0(t)

2

dt

=

t21

a( ta )2 dt

=

a2x2

1

a|(x)|2 adx

ce qui donne : t = a .


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On peut de mme calculer loccupation frquentielle de londelette en calculant

lcart type pour la transforme de Fourier a,01 de a,0 ; en prenant comme unitlcart type de la transforme de Fourier de londelette mre :

2 =

2a,0()2 d (2.14)

=

2

1

a

a(a)2 d=

2

a21

a

a()2 da

on trouve

= 1a

. De sorte que le pav lmentaire dans lespace temps-frquence

est de surface constante tandis que la rsolution temporelle est proportionnelle a etque la rsolution frquentielle est inversement proportionnelle a comme on le voitsur la figure 2..

1 / a

a

t e m p s

f r q u e n c e :

1 / a

Figure 2. Pavage temps-frquence pour la transforme en ondelette discrte

Les premires ondelettes utilises (en dehors de londelette de Haar que nous

tudierons plus loin) ont t londelette de Morlet, une gaussienne module par une

exponentielle complexe, et le chapeau mexicain , en ralit la drive seconde dune

gaussienne.

Ondelette de Morlet :

(x) =12

ex2

2 eiox (15)

1 On notera souvent dans la suite la transforme de Fourier dune fonction de faon abrge comme

suit :g() = + g(x)ejxdx


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Chapeau mexicain :

(x) =2

3

14 (1 x2)ex

2

2 (16)

La figure 2. prsente le chapeau mexicain pour deux valeurs du facteur dchelle :

a = 1 pour la courbe la plus localise et a = 2 pour la courbe la plus tendue (la figure2. prsente la rponse frquentielle poura = 1). La figure 2. prsente la partie relle delondelette de Morlet pour deux valeurs du facteur dchelle, on pourra comparer avec

la figure 2. o on constate que la fentre danalyse reste constante lors du changement

dchelle (frquence).

Figure 2. Chapeau mexicain

Figure 2. Ondelette de Morlet (partie relle)

Les reprsentations frquentielles des ondelettes de Morlet (o = 5), figure2., illustrent encore une fois les diffrences entre la transforme en ondelette et la

transforme de Fourier fentre glissante. On vrifie que la largeur spectrale de


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londelette varie en fonction du facteur dchelle inversement la largeur spatiale.

1086420

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figure 2. Ondelette de Morlet :()

1050-5-10

2

1.5

1

0.5

0

Figure 2. Chapeau mexicain :()Le facteur dchelle a et le pas de translation b sont des rels et la transformation en

ondelettes est continue et donc redondante. Le plan temps frquence est sur-analys.

Il est donc vident quune discrtisation de la transforme doit tre envisage si

on souhaite obtenir une transformation non redondante. Le pavage temps-frquence

obtenu par la transformation en ondelettes (figure 2.) suggre une mthode de

discrtisation exponentielle pour les chelles et pour le temps. Dans lexpression( tba ) le pas de translation lchelle a estba . On posera donc :

a = amo et b = nboamo avec ao, bo Z


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do lexpression de la transforme en ondelettes dicrte (2.17)2 donne ci-aprs.

Transforme en ondelettes discrte :

Tondf(m, n) = am2o

+

f(t)(amo t nbo)dt (17)

Si on choisit ao = 2 et bo = 1, on parle alors de transforme dyadique.

Les bases de la transforme en ondelettes sont poses mais de grandes questions

restent poses :

La transforme est-elle inversible ? Le choix des ondelettes est-il contraint ? Peut-on former des bases orthonormes dondelettes? Existe-il des algorithmes efficaces pour traiter le cas du signal numrique ? Comment traiter les signaux plusieurs dimensions ?

Cest ces questions et quelques autres que nous tenterons de rpondre dans les

chapitres suivants.

2 Il est important de noter que cest la transforme qui est discrte, londelette reste elle une fonction

continue.


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Chapitre 3

Quelles ondelettes ?

3.1 Inversion - Admissibilit

On peut montrer [10] que si la fonction analysante (londelette) est convenablement

choisie, la transformation en ondelettes est inversible et la fonction peut tre

reconstruite aprs analyse suivant lquation (3.1) :

f = C1+

+

1a2

f, a,b

a,b da db (1)

Cette possibilit reste thorique car le calcul nest possible que numriquement et

sa convergence peut-tre trs lente.

Le coefficient C , si il existe, est donn par lquation (3.2) :

C = 2

+

()2 d

(2)

La condition dexistence de ce coefficient est galement la condition

dadmissibilit de la fonction ondelette analysante. Cette condition est explicite par

lquation 3.3 : +0

()2 d|| =0

()2 d|| < (3)Cette relation se ramne le plus souvent la condition exprime par lquation

3.4 qui nest pas trs contraignante et indique seulement que la fonction ondelette

doit tre moyenne nulle. Le choix de londelette est donc en principe trs ouvert, il

faut cependant noter que la robustesse et la vitesse de convergence de lalgorithme de

reconstuction donn par lquation 3.1 sont trs dpendantes du choix de londelette.

Il est clair, enfin, que la transforme en ondelettes ne sera intressante comme outil

danalyse du signal que si la fonction analysante (londelette) reste bien localise dans


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le temps et en frquence.

+

(t) dt = 0 (4)

3.2 Quelles transformes en ondelettes ?

On peut classer les transformes en ondelettes selon la famille laquelle appartiennent

les fonctions analysantes choisies. Les transformes obtenues sont suivant les cas

discrtes ou continues, redondantes ou non.

Les transformes continues sont obtenues en prenant le facteur dchelle a etle pas de translation b dans lensemble des nombres rels. Comme nous lavonsfait remarquer dans le chapitre prcdent, ces transformes sont videmment trs

redondantes car lespace temps-frquence est parcouru continment, ce type de

transformation ne peut, dans la pratique, tre effectu que de faon approximative

et il y a toujours en fait une discrtisation du calcul qui est opre.

Lapproche discrte du problme a le mrite de traiter le problme de

lchantillonnage de lespace temps-frquence avec rigueur et de fournir une mesure

de lventuelle redondance de la transformation obtenue. De plus, dans ce cas,

les algorithmes de calcul conduisent souvent des rsultats exacts (voir les bases

orthonormes et biorthogonales) sur des intervalles donns de lespace temps-

frquence. Nous tudierons donc plus en dtail le cas des transformes discrtes

qui sont dailleurs pratiquement les seules utilises en traitement des images. Les

donnes numriques sont de plus en plus des donnes primaires des systmes

(camras CCD) et leur traitement numrique conduit des donnes numriques

utilises le plus souvent telles quelles. Les mthodes de traitement discret sont donc

fondamentales. Il ne faut pas oublier cependant que si la transforme est discrte,

les fonctions de base utilises ne le sont pas, les ondelettes restent dans tous les cas

des fonctions continues. Les coefficients de la transforme sont dnombrables sur unintervalle de lespace temps-frquence. Mais la projection de la fonction sur des sous-

espaces crs par des sous-familles dondelettes est continue et ne poura en gnral

qutre estime numriquement. Parmi les transformes discrtes on distingue les

transformes redondantes, dont les trames (traduction libre de frames) dondelettes

que nous prsenterons sommairement et les transformes non redondantes parmi


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Quelles ondelettes ? 23

lesquelles nous tudierons les plus utilises, savoir les bases orthonormes et

biorthogonales.

Les paquets dondelettes que nous ne prsenterons pas en dtail ici peuvent

appartenir suivant le cas lune ou lautre famille.

Pour rsumer, on peut donner le classement sommaire suivant :

Transformes redondantes :

transforme continue,

trame dondelettes (frames),

paquet dondelettes.

Transformes non redondantes :

analyse multirsolution : base orthonorme,

analyse multirsolution : base biorthogonale,

paquet dondelettes.

Cela tant, il reste examiner les gnralisations de la transforme en ondelette

unimodale de signaux une dimension.

La premire extension envisageable est le passage du traitement des signaux mono-

dimensionnels au traitement des signaux bi-dimensionnels, tri-dimensionnels, voire

au-del. Lintrt de cette extension est vident pour qui se proccupe de traitement

des images 2D et 3D. Dans ce domaine, nous prsenterons les lments de base surlesquels sappuient les principales mthodes de gnralisation et nous illustrerons par

deux techniques choisies parmi les plus utilises dans les applications actuelles.

Le deuxime type de gnralisation quil conviendrait dexaminer est le problme

du traitement des signaux vectoriels ou multispectraux. Le cas le plus commun

est celui des images couleur. Les multi-ondelettes pourraient constituer une piste

intressante. Mais l, nous sommes vraiment dans le domaine de la recherche et il

ne semble pas que les rsultats soient suffisamment probants pour quils puissent tre

prsents ici. Alors, avis aux amateurs...


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Chapitre 4

Bases orthonormes, analyse multirsolution

4.1 Axiomatique de base

4.1.1 Espaces dapproximation

Nous nous plaons dans lespace L2(R) des fonctions continues dune variable relleet de carr intgrable. Une analyse la rsolution j de la fonction f sera obtenue paraction dun oprateur linaire Aj surf, tel que :

Ajf Vj (1)Vj tant un sous espace de L

2, Aj sera un projecteur (idempotent).

On construira une analyse multirsolution laide de sous-espaces Vj embots lesuns dans les autres, tels que le passage de lun lautre soit le rsultat dun changement

dchelle (zoom).

Par exemple, dans le cas dyadique on aura :

f(x)

Vj

f(

x

2

)

Vj+1 (2)

ce qui correspond une dilatation dun facteur2. Lespace Vj+1 contient des signauxplus grossiers que lespace Vj et il est clair que :

Vj+1 Vj (3)

Laxiomatique correspondante peut sexprimer comme suit :

Soit un ensemble de sous espaces de L2 tels que :

..... V2 V1 V0 V1 ..... Vj+1 Vj .....


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jZ

Vj = L2(R) (4.4)

jZ

Vj = {0} (4.5)

j Z si f(x) Vj f(21x) Vj+1(ou f(2jx) V0) (4.6)k Z si f(x) V0 f(x k) V0(invariance par translation) (4.7)

Cet ensemble dfinit une analyse multirsolution de L2(R).

Remarque 1 La proprit 4.4 assure la convergence de lanalyse et peut aussiscrire :

limj

Vj = L2(R) (8)

On dit parfois que+ Vj est dense dans L

2(R).

Dans ces conditions, on peut montrer quil existe une fonction dite fonction

dchelle qui par dilatation et translation engendre une base orthonorme de Vj . Cettefonction sera note :

(x) L2(R) (9)

et les fonctions de bases sont construites suivant la relation :

j,n(x) = 2 j2 (2jx n) avec n Z (10)

Il suffit dailleurs que (., n) soit une base de Vo.La base sera orthonorme si :+

(x)(x + n)dx = (n) n Z (11)

Rappelons (voir quation 2.5) que le produit scalaire3 est dfini par :

f, g = +

f(x)g(x)dx (pour des fonctions relles ou complexes) (12)

3 Lanalogie avec le produit scalaire dans lespace gomtrique habituel pourra aider comprendre les

diffrents concepts utiliss (vecteur de base, sous-espace, projection, composantes dun vecteur, etc...). Il

conviendra cependant de se souvenir que lanalogie reste limite car lespace gomtrique est de dimension

3 alors que lespace des fonctions est de dimension infinie !


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Bases orthonormes, analyse multirsolution 27

V0

V1 W1

V2 W2

V3 W3

Figure 4. Schma de lanalyse multirsolution

La relation dorthogonalit entre les fonctions de base pour une chelle donne

4.11 pourra donc scrire :j,n, j,k

= (n k) n,k,j Z (13)

Remarque 2 On peut utiliser plusieurs fonctions pour construire par translationune base du sous-espace Vo , cette libert est mise profit dans la construction desmulti-ondelettes. Les fonctions doivent, bien entendu, tre orthogonales entre elles.

Sur ce sujet, on pourra consulter les travaux de J. Geronimo [16], [13], ou, titre

introductif, louvrage de G. Strang [35].

Laction du projecteur surf fournira sa dcomposition sur la base des fonctionsdchelle et les coefficients de cette dcomposition constituent lapproximation

lchelle j de f.

Ajf =n

f, j,n

j,n (14)

On pose :

ajn =

f, j,n

(15)

lapproximation la rsolution j de la fonction f sera dfinie par la suite discrte desnombres (rels ou complexes) ajn.


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x21.510.50-0.5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figure 4. Fonction dchelle de lanalyse de Haar

Une suite numrique forme par chantillonnage dun signal continu rel pourra

tre considre comme une approximation une rsolution donne du signal continu.

La base tant orthonorme, la norme de la fonction (lnergie) peut tre calcule

partir de ses coordonnes :

Ajf2 =+

n= ajn

2

(16)

4.1.2 Espaces des dtails

Lespace des dtails vient complter lanalyse.

On peut dfinir pour chaque Vj son complment orthogonal Wj dans Vj1 tel que :

Vj1 = Vj WjL2(R) =

jZ Wj

Comme Wj1 est orthogonal Vj1, alors Wj1 sera orthogonal Wj ; cette

proprit scrit :

j, k = j alors Wj Wk (17)

Les sous-espaces Wj ne forment pas une famille despaces embots, mais lesproprits dchelle et dinvariance par translation sont conserves.


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x21.510.50-0.5

1

0.5

0

-0.5

-1

Figure 4. Ondelette mre de lanalyse de Haar

Dans ces conditions, on peut montrer quil existe une fonction appele ondelette

qui par dilatations et translations engendre une base orthonorme des Wj et donc deL2.

Cette fonction est note :

(x) L2(R) (18)

et les fonctions de base sont construites suivant la relation :

j,n(x) = 2 j2 (2jx n) avec n Z (19)

Lorthonormalit de la base dondelettes scrit :j,n, i,k

= (j i)(n k) j, i, n, k Z (20)

Lapproximation lchelle immdiatement plus fine pourra donc tre reconstruite

en utilisant les dtails du signal fournis par sa projection sur la base de Wj suivant larelation suivante :

Aj1f = Ajf +n f, j,nj,n (21)

On notera Dj le projecteur surWj et le signal de dtail sera dcrit par la suitenumrique :

djn =

f, j,n

(22)


30/158


Figure 4. Fonction exemple

donc :

Djf =n

f, j,n

j,n (23)

et la formule de reconstruction scrit :

Aj1f = Ajf + Djf (24)

Le signal de dtail est constitu dune suite numrique dont les lments sont aussi

les coefficients de la transforme en ondelettes.

Le schmade la dcomposition est reprsent symboliquement sur la figure 4. dans

laquelle la largeur des rectangles symbolisant les sous-espaces est proportionnelle la

densit de lchantillonnage ralis par la projection du signal dans le sous-espace

considr.

Exemple 1 En exemple, on peut prsenter lanalyse de Haar. Les sous espaces Vjsont dfinis par :

Vj =

f L2(R) telles que k Z on a f[2jk,2j(k+1)[ = constante

(25)

Le sous espace Vj est lensemble des fonctions constantes sur les intervalles delargeur 2j . Les fonctions de base sont construites partir de la fonction dchelle(x) gale 1 de 0 1 et nulle partout ailleurs :

(x) =

0 si x < 01 si 0 x < 10 si 1 x

(26)


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Figure 4. Aof (en trait fin) et A1f

La fonction ondelette est dfinie par :

(x) =

0 si x < 01 si 0 x < 1/21 si 1/2 x < 10 si 1 x

(27)

Les figures 4. et4. prsentent les reprsentations graphiques de ces fonctions.

Nous prenons une fonction quelconque pour illustrer la dcomposition aux

chelles j = 0 etj = 1. Cette fonction est prsente sur le graphe de la figure 4..

Ses projections sur le sous espace Vo et sur le sous espace V1 sont prsentes dansla figure 4..

La projection surW1, donc le signal de dtail, est donne sur la figure 4..

On vrifie bien que :

Aof = A1f + D1f

conformment lquation 4.24.

4.1.3 Analyse multirsolution et localisation spatio-frquentielle

On aura une illustration plus visuelle de la signification spatio-frquentielle de

lanalyse multirsolution en considrant un signal 2 dimensions. Nous prendrons


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x420-2-4

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1

Figure 4. D1f

une image volontairement dgrade par un bruit haute frquence (voir les figures du

tableau 4.) pour que lespace frquentiel soit rempli.

Cette image est dcompose par une analyse de Haar et on obtient une image

grossire et une image de dtails (voir les figures du tableau 4.).

On constate que les dtails de limage (voir les figures du tableau 4.) sont bien

localiss, ils correspondent approximativement aux contours et videmment au bruit

ajout.

Lanalyse de Fourier de ces images montre que la localisation frquentielle est

relativement mdiocre, la sparation en deux bandes de frquences nest pas nette.

Limage qui prsente le spectre de lapproximation ne devrait contenir que des basses

frquences, tandis que limage qui donne le spectre de limage des dtails ne devrait

rvler que les composantes haute frquence du signal.

Si la mme opration est mene avec uneautre analyse multirsolutionutilisant des

bases (chelle et ondelette) dont la localisation espace-frquence est mieux quilibre,

on trouve des rsultats sensiblement diffrents. Les bases utilises dans lexemple

trait ici seront prsentes ultrieurement, il sagit de fonctions construites partir de

B-splines cubiques (voir les images du tableau 4.). Limage de dtail (voir les images

du tableau 4.) montre que la localisation spatiale est moins bonne que dans lanalyse

de Haar.

La localisation frquentielle des composantes est en revanche bien meilleure et

le dcoupage en deux sous-bandes frquentielles apparat nettement sur les images

spectrales.


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Tableau 4. Image originale et transforme de Fourier

Tableau 4. Analyse de Haar : approximation lchelle 1 et son spectre

Tableau 4. Analyse de Haar : image des dtails lchelle 1 et son spectre


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Tableau 4. Analyse B-spline cubique : approximation 1 et son spectre


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Tableau 4. Analyse B-spline cubique : image des dtails 1 et son spectre

4.1.4 Gnralisation : paquets dondelettes

Le principe de lanalyse multirsolution de lespace L2 des fonctions continues dunevariable relle et de carr intgrable peut-tre tendu des sous-espaces de celui-ci.

On peut, par exemple, appliquer le mme schma aux sous-espaces Wj engendrs parlanalyse prcdente. Cette analyse peut tre mene avec les mmes basesde fonctions

dchelle et dondelettes ou avec des bases diffrentes. On peut, de mme, changer de

fonctions de base chaque chelle. Dans ces algorithmes, la reconstruction parfaite

est assure par la rutilisation lors de la synthse, pour une rsolution donne, de la

mme base que lors de lanalyse pour cette rsolution.

La gnralisation prsente qui consiste analyser les sous-espaces de dtail du

signal est baptise analyse en paquets dondelettes. Lalgorithme correspondant peut-

tre schmatis par le diagramme 4..

Cet algorithme conduit une dcomposition en sous-bandes de frquence du

signal ; cette dcomposition est ajustable par le choix des composantes. Ce type

danalyse offre une grande souplesse pour lutilisateur et lui permet de sadapter au

signal analyser. Les principales applications de lanalyse en paquets dondelettes

sont dans le domaine de la compression des images. Tous les algorithmes et toutes les

proprits des fonctions dchelle, des ondelettes et des filtres associs que nous allons

tudier dans les pararaphes et chapitres suivants sont utilisables dans ce schma. Nous

ne reviendrons donc pas sur cette gnralisation de lanalyse multirsolution.

4.2 Algorithme rcursif

Le problme pour effectuer concrtement la dcomposition est que lon ne dispose

pas en gnral du signal f mais seulement dune approximation une chelle donne.Il faut donc trouver un algorithme qui, partir de cette approximation, permet de

trouver lapproximation et les dtails la rsolution immdiatement infrieure, ce

qui par itrations successives conduit lanalyse du signal pour toutes les rsolutions


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V0

V1 W1

V2 W2,1

V3 W3,1

W2,2 W2,3

W3,2 W3,7W3,6W3,5W3,4W3,3

Figure 4. Analyse en paquets dondelettes

infrieures celle de dpart. Deux algorithmes principaux ont t mis en vidence :

lalgorithme trous [33] et lalgorithme de Mallat [25][26][27]. Le premier concerne

des analyses multirsolution non-orthogonales, le second est pratiquement le seul

utilis dans le cas des analyses orthogonales et biorthogonales. Nous ne prsenterons

ici que lalgorithme de Mallat. Une prsentation complte est donne dans [32].


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4.2.1 Algorithme danalyse

4.2.1.1 Projection sur les fonctions dchelle

Le point clef est fourni par la dcomposition de ajn =

f, j,n

en fonction de

aj1n =

f, j1,n.

Par construction (x) est une fonction de V0 ; comme V0 V1 on peutdcomposer(x) sur la base de V1. Et donc h[n] suite numrique avec n Ztelle que :

(x) = n

h[n]1,n(x) (28)

avec, conformment 4.10, 1,n(x) = 212 (2x n), soit :

h[n] =

, 1,n

(29)

La suite numrique h[n] sera considre comme tant la rponse impulsionnelledun filtre numrique.

La construction de cette suite peut tre mene partir de la donne de (x) et nousverrons quun choix de h[n] tant fait (certaines conditions sont respecter) la fonctiondchelle peut tre dtermine. On pourra donc dfinir une analyse multirsolution

indiffremment en partant de la fonction dchelle ou du filtre numrique associ. Il

faut noter que cette dualit dapproche correspond lexistence de deux coles : les

traiteurs de signal continu qui ont abord le problme par les fonctions de projection et

les traiteurs de signal discret qui ont travaill sur le filtrage et sur les bancs de filtres.

Il a t largement reconnu et dmontr que ces deux approches reposaient en fait sur

les mmes concepts de base et ne diffraient pas vraiment ; il nen reste pas moins que

les deux coles subsistent au moins dans la faon de prsenter les choses. Nous nous

sommes plutt placs dans la perspective des traiteurs de signal continu mme si dans

notre esprit, le signal dentre de nos systmes est discret et correspond directement

aux coefficients dune premire projection sur le sous-espace de rsolution 0.

Remarque 3 Remarquons tout dabord que (x) tant par construction norme (en


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nergie) on a :

(x)2 = , = 1

=

+

(x)(x)dx

=

+

k

h[k]1,k(x)n

h[n]1,n(x)dx

=k

n

h[n]h[k]

+

1,k(x)1,n(x)dx

= k n h[n]h[k]1(x)2

(n k)

et donc, la norme se conservant travers les chelles :n

h2[n] = 1 (30)

Montrons que la dcomposition est la mme pour des chelles quelconques.

On a :

(x) =n

h[n]21/2(2x n) (31)

donc :

j,n(x) = 2j/2k

h[k]21/2(2(2jx n) k) (32)

ce qui en regroupant les indices et les exposants conduit lquation :

j,n =k

h[k]j1,k+2n (33)

Donc on peut calculer les coefficients ajn =

f, j,n

de lapproximation la

rsolution j :

ajn =k

h[k]

f, j1,k+2n

(34)

si on pose l = k + 2n, cette expression scrit :

ajn =l

h[l 2n] f, j1,l (35)et si on note : h[n] = h[n] (36)


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la squence retourne ou le filtre symtrique de h, on obtient :

ajn =l

h[2n l] f, j1,l (37)et on aura finalement lquation rcursive suivante :

ajn =l

h[2n l]aj1l (38)Si on considre ajn comme une squence numrique indexe par n, le calcul

prcdent peut tre interprt comme un produit de convolution entreh et aj1 valu

pour un indice sur deux ; ou encore comme le filtrage de la squence aj1par le filtrede rponse impulsionnelle h suivi par un sous-chantillonnage de rapport 2.Exemple 2 Encore une fois lexemple de Haar pourra tre trait avec profit.

Rappelons que dans ce cas la fonction dchelle est construite partir de la fonction

mre (x) dfinie par :

(x) =

0 si x < 01 si 0 x < 10 si 1 x

(39)

On aura donc :1,0(x) =

2(2x) = 1 si x 0, 12

1,0(x) =

2(2x) = 0 sinon(40)

Ce qui permet la dcomposition suivante pour (x) :

(x) =1

21,0(x) +

12

1,1(x)

La squence numrique correspondant la rponse impulsionnelle du filtre h[n]sera donc :

h[n] =

..., 0,1

2,

12

, 0,...

(41)

Llment soulign correspond n = 0.


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4.2.1.2 Projection sur les fonctions ondelettes

Un schma analogue est bti partir de la dcomposition de londelette de Wo sur labase de V1 :

=n

g[n]1,n (42)

ou de faon plus dtaille :

(x) =n

g[n]

2(2x n) (43)

ce qui conduit lquation de construction de g[n] suivante :

g[n] = , 1,n (44)g[n] sera galement considre comme la rponse impulsionnelle dun filtre

numrique ; nous verrons que ce filtre est li au filtre h[n] et quil peut tre construit partir de ce dernier.

Un calcul analogue en tous points au prcdent permet dcrire les coefficients de

dtail :

djn =

f, j,n

(45)

djn =

kg[k]

f, j1,k+2n

(46)

On introduit galement le filtre symtrique dont la rponse impulsionnelle

correspond la squence g[n] retourne :g[n] = g[n] (47)La dcomposition en ondelettes lchelle j pourra donc scrire :

djn =l

g[2n l] f, j1,l (48)ou encore :

djn = l g[2n l]aj1l (49)

Cette relation sera interprte de la mme manire que prcdemment.

Exemple 3 Reprenons lexemple de lanalyse multirsolution de Haar. Rappelons

que dans ce cas la fonction dondelette est construite partir de la fonction mre


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(x) dfinie par :

(x) =

0 si x < 01 si 0 x < 1/21 si 1/2 x < 10 si 1 x

(50)

On aura donc la dcomposition suivante pour (x) :

(x) = (2x) (2x 1) (51)

soit :

(x) =1

21,0(x)

12

1,1(x) (52)

La squence numrique correspondant la rponse impulsionnelle du filtre g[n]sera donc :

g[n] =

..., 0,

12

, 12

, 0,...

(53)

On constate que dans le cas de lanalyse de Haar, lalgorithme de dcomposition

est trs simple car les filtres h[n] et g[n] impliqus sont trs courts. En fait le signalnumrique la rsolution infrieure est obtenu par un simple moyennage entre le

point tudi et son plus proche voisin, tandis que le signal de dtail (perdu lors du

changement de rsolution) est obtenu en faisant la diffrence entre le point tudi et

son plus proche voisin, le tout un facteur de normalisation prs. Malheureusement

nous verrons que cette simplicit algorithmique ne conduit pas une analyse trs

performante du point de vue de la rsolution spatio-frquentielle.

La figure 4. rsume lalgorithme rcursif danalyse multirsolution de Mallat.

4.2.2 Algorithme de reconstruction

La dcomposition est gouverne par lquation :

Aj1f =n

ajnj,n +n

djnj,n (54)

avec ajn =

f, j,n

et djn =

f, j,n.


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anj-1 an

j

dnj

h

g

2

2

Figure 4. Algorithme danalyse de Mallat

Aj est un projecteur donc Aj(Ajf) = Ajf ce qui scrit :

Aj1f =n

aj1n

Aj1f, j1,n j1,n (55)

En remplaant dans aj1n le terme Aj1f par son expression donne dans 4.54, onobtient lquation suivante :

aj1n =k

ajk

j,k, j1,n

+k

djk

j,k, j1,n

(56)

Or nous avons vu (quation 4.33) au paragraphe prcdent que :

j,k =l

h[l]j1,l+2k (57)

on peut donc valuer le produit scalaire des fonctions dchelle pour deux rsolutions

successives quelconques :j,k, j1,n

=l

h[l][n l 2k]j1,l+2k, j1,n (58)car les fonctions dchelle forment une base orthonorme pour une chelle donne ; ce

qui donne :

j,k, j1,n

= h[n 2k] (59)

et de mme pour les ondelettes :j,k, j1,n

= g[n 2k] (60)

do lquation de reconstruction :

aj1n =k

ajkh[n 2k] +k

djkg[n 2k] (61)


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Cette quation est une somme dquations de filtrage (produits de convolution) si

on remplace la suite ajk par une suite ajl qui concide avec a

jk pourl = 2k ; a

j2k = a

jk

et qui est nulle pour les valeurs de l intermdiaires (et de mme pour la suite djk).

ajk = {, , , , , }ajl = {, 0, , 0, , 0, , 0, , 0, , 0}

(62)

Cette opration qui consiste intercaler un zro entre les chantillons dune srie

sappelle sur-chantillonnage. Lquation 4.61 scrit alors :

aj1n =l

ajl h[n l] +l

djl g[n l] (63)

Remarque 4 Une autre solution aurait t de sous-chantillonner les filtres h etg.

La figure 4. prsente lalgorithme de synthse ou de reconstruction tudi. Les

algorithmes danalyse et de reconstruction que nous venons de prsenter sont appels

algorithmes de Mallat ou parfois algorithmes pyramidaux.

anj-1

anj

dn

h

g

2

2

+

Figure 4. Algorithme de synthse de Mallat

On peut dire en conclusion que le calcul de la transforme en ondelettes

discrte (rappelons que la transforme est discrte, pas les ondelettes) sur des basesorthonormes se ramne des oprations de filtrage numrique suivies de sous-

chantillonnage. La reconstruction est parfaite et seffectue galement par des filtrages

numriques prcds de sur-chantillonnage. Les mmes filtres ( un renversement

du temps prs) sont utiliss dans les deux cas. La mise en uvre de cet algorithme

doit tre mene en profitant au maximum de ces particularits. Toutes les techniques


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classiques de mise en uvre de filtres linaires numriques peuvent tre utilises, mais

devront tre adaptes. Ltude des consquences des troncatures et quantifications

diverses inhrentes toute mise en uvre devra tre mene en tenant compte des

spcificits de lalgorithme pyramidal.

Comme toujours quand il est question de filtrage linaire, la nature des filtres

utiliss (RIF ou FIR, symtriques ou non, rcursifs ou non) conditionne le cot

de calcul et le choix de lventuelle architecture matrielle dimplantation. Le

choix des filtres est li dune part aux contraintes lies aux principes de lanalyse

multirsolution et dautre part aux contraintes mises a priori sur les bases dondelettes

et/ou de fonctions dchelle choisies. Le chapitre suivant est ddi lexploration des

contraintes du premier type et fournit les lments qui doivent servir de guide lors de la

construction dune analyse multirsolution et des filtres et fonctions de base associs.

Nous verrons, dans le prochain paragraphe, comment lalgorithme de

reconstructionpeut tre utilis pour construire uneapproximation numrique aussi fine

que souhaite des fonctions dchelle et des ondelettes partir des filtres numriques

associs.

Exemple 4 Un bon exercice pour bien comprendre le fonctionnement de cet

algorithme trs simple consiste le tester la main sur un cas lmentaire. Nous

proposons de traiter le problme de lanalyse et de la reconstruction sur un niveau en

chelle dun signal numrique en forme de rampe par une analyse de Haar.

Nous avons vu que les filtres associs sont les suivants (le coefficient de rang0 est

soulign) :

h[n] =

1

2,

12

et donc h[n] = 1

2,

12

et :

g[n] =

1

2, 1

2

et donc g[n] = 1

2,

12

Le signal numrique analyser sera :

ao[n] = {..., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}

et nous supposerons quil constitue la liste des coefficients du signal dapproximation lchelle j = 0.

On applique le filtre h[n] suivi dun sous-chantillonnage, ce qui donne :a1[n] =

...,

12

,5

2,

92

,13

2..


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On fait de mme avec g[n], do :d1[n] =

..., 1

2, 1

2, 1

2, 1

2..

Pour la reconstruction, on sur-chantillonne en intercalant un 0 entre chaquecoefficient avant de filtrer parh[n] etg[n] :

a1[n]

...,1

2, 0,

52

, 0,9

2, 0,

132

..

d

1

[n] ..., 12 , 0, 12 , 0, 12 , 0, 12 ..puis aprs filtrage :

...,1

2,

1

2,

5

2,

5

2,

9

2,

9

2,

13

2, ..

+

..., 1

2,

1

2, 1

2,

1

2, 1

2,

1

2, 1

2, ..

on retrouve bien la squence initiale :

ao[n] = {..., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}

4.3 Construction numrique des fonctions de base

Nous prsentons dans ce paragraphe un algorithme qui dcoule de lalgorithme

dyadique de Mallat et qui permet de construire numriquement des approximations

des fonctions dchelle et donc des ondelettes. On peut choisir volont la rsolution

avec laquelle ces approximations sont obtenues. Cet algorithme est souvent appel

Algorithme cascade, et il a t propos initialement, semble-t-il par I. Daubechie en

1988.

Dans lanalyse multirsolution dune fonction f de L2 les coefficients de laprojection sur le sous espace Vj sont :

ajn =

f, j,n

(64)

La fonction dchelle mre est :

(x) = o,o(x) (65)

La famille engendre est orthonorme par translation, on a :, o,n

= (n) (66)


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Les ondelettes forment des bases des sous-espaces orthogonaux Vj , donc :, j,n

= 0 j 0 et k Z (67)

Lanalyse multirsolution de la fonction dchelle (x) donne donc lchellej = 0

a0n = (n)et

d0n = 0(68)

Ces valeurs peuvent tre utilises comme valeurs initiales pour lalgorithme

de reconstruction permettant de calculer les approximations plus fines de . Lescoefficients de dtail restent nuls car nous explorons les chelles ngatives :

djn = 0 j 0 et n Z (69)

Nous aurons donc simplement :

a1n =k

h[n 2k]a0n (70)

cette expression sera simplement itre, de sorte que lapproximation lchelle jde la fonction dchelle sera obtenue aprs j itrations par :

ajn = k

h[n 2k]aj+1n (71)

Nous avons vu que ce calcul se ramne un sur-chantillonnage de la squence

dentre suivi du filtrage de la squence obtenue par le filtre h[n]. La convergencede lalgorithme est assure par la convergence de lanalyse multirsolution et

rciproquement, les axiomes de base indiquent que si j alors Vj tend versL2. Un analyse mathmatique rigoureuse indique quune interpolation simple de lasquence ajn (considre comme lchantillonne dune fonction continue) conduit une fonction continue qui tend vers quand j . Dans la pratique on pourrautiliser une interpolation par des fonctions polynomiales dordre 0 (fonction constante

par morceaux) ou 1 (fonction linaire par morceaux).Pour cette interpolation on admet

donc que :

j,o(n) = 2 j2 (n2j) ajn (72)

A partir de lapproximation de la fonction dchelle on peut construire uneapproximation la mme rsolution de la fonction dondelette qui est une combinaison


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an-j

h2 h2(n)

cellules identiques

Figure 4. Algorithme cascade pour la fonction dchelle

linaire de translates entires de cette fonction : =

n

g[n]1,n (73)

ce qui scrit :

(x) =

2n

g[n](2x n) (74)

On peut donc envisager de calculer une approximation de londelette pour des

valeurs discrtes de la variable en posant :

x = 2jk, k tant un entier

il vient :

(2j1k) =

2n

g[n](2jk n) (75)

ou encore :

j,o = 2J2 (2j1k)

2n

g[n]ajn2jk (76)

Linterprtation de cette relation en terme de filtrage numrique conduit

introduire une version sur-chantillonne dun facteur 2j du filtre g note g(j) dfiniepar :

g(j)

(k) = g(2jk) si 2jk est entier0 sinon (77)Dans ces conditions, londelette sera approxime par le filtrage de lapproxim de

la fonction dchelle par le filtre sur-chantillonn :

j,o = 2J2 (2j1k)

2g(j) ajk (78)


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Il est, dautre part, possible de construire un algorithme cascade de la mme

faon pour obtenir lapproximation de la fonction dondelette. En effet, les ondelettes

forment des bases des sous-espaces orthogonaux entre eux, donc :, j,n

= (j, n) j 0 et k Z (79)

Lanalyse multirsolution de la fonction dondelette (x) donne donc lchellej = 0

a0n = 0et

d0n = (n)(80)

Ces valeurs peuvent tre utilises comme valeurs initiales pour lalgorithme

de reconstruction permettant de calculer les approximations plus fines de . Lescoefficients dapproximation ne sont nuls qu lchelle 0 etceux de dtails restent nulspour les chelles plus fines car, comme pour les fonction dchelle, nous explorons les

chelles ngatives :

djn = 0 j < 0 et n Z (81)

Nous aurons donc simplement :

a1n =k

g[n 2k]d0n (82)

et :

a2n =k

h[n 2k]a1n

cette expression sera simplement itre, de sorte que lapproximation lchelle jde la fonction dondelette sera obtenue aprs j itrations par :

ajn =k

h[n 2k]aj+1n (83)

Nous avons vu que ce calcul se ramne un sur-chantillonnage de la squence

dentre suivi du filtrage de la squence obtenue par le filtre h[n]. La convergence delalgorithme est toujours assure par la convergence de lanalyse multirsolution. On

aura donc :

j,o(n) ajn (84)

Lalgorithme cascade est donc identique celui permettant de construire la

fonction dchelle, seule la premire tape diffre car cest le filtre g qui y est appliqu


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( la premire itration seulement). On peut vrifier que les deux mthodes proposes

pour construire des approximations des ondelettes sont en fait quivalentes.

On trouvera sur les schmas 4. et 4. une description illustre de lalgorithme

cascade pour la construction de la fonction dchelle et la mthode qui permet den

dduire londelette.

g(j)

g

2jg(j)

a-jn 2-1/2j(n)

(a)

(b)

Figure 4. Construction numrique de londelette : (a) sur-chantillonnage du filtre

g, (b) construction de

Les figures du tableau 4. montrent la reconstruction progressive de la fonctiondchelle correspondant au filtre de Daubechies pourN = 2 (voir paragraphe 6.4). Cesfonctions ne peuvent pas tre construites directement car il nexiste aucune formule

analytique le permettant. En comparant avec la fonction dchelle reconstruite par un

grand nombre ditrations, on constate que la convergence de lalgorithme cascade est

rgulire et rapide.

Cet algorithme cascade peut, en fait, tre considr comme un cas particulier dun

algorithme plus gnral qui permet de construire des approximations des projections

sur les sous-espaces Vj et Wj dune fonction f de L2(R). Le calcul direct de cesprojections, qui sont des fonctions continues, serait trs lourd et lerreur invitable

affectant le rsultat difficile matriser. Ce calcul, dans le cas dune projection surVjconsisterait valuer lexpression suivante :

Ajf =+n=

ajnj,n (85)

Si on se place dans le cas o j > 0, on peut se contenter de lapproximation de


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x543210

0.8

0.6

0.4

0.2

0 x 1086420

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0-0.1

x20151050

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

x403020100

0.3

0.2

0.1

0

Tableau 4. Premires itrations et fonction dchelle (Daubechies-2)


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Ajf lchelle 0 :

Ao(Ajf) = A1(Ajf) + D1(Ajf) (86)

Or, comme W1 V1 et Vj V1, alors W1 Vj et donc :

D1(Ajf) = 0 (87)

donc :

Ao(Ajf) = A1(Ajf) (88)

et en continuant le raisonnement, on montre que :

Ao(Ajf) = Aj(Ajf) (4.89)

Ao(Ajf) = Ajf

Comme la dcomposition est une transformation bijective, la reconstruction,

mene partir des ajn, obtenus par lanalyse de f, et des coefficients de dtail mis zro, conduit aux coefficients de Ao(Ajf). La squence de ces coefficients reprsenteune approximation lchelle 0 de la projection de f sur le sous-espace Vj .

Pour le signal de dtail, Djf, on aura :

Ao(Djf) = A1(Djf) + D1(Djf) (4.90)= A1(Djf) (4.91)

CarWi Wj , j = 1. En poursuivant le raisonnement et en remarquant queVj Wj et que loprateurDj est idempotent, on arrive :

Ao(Djf) = Aj(Djf) + Dj(Djf) (4.92)

Ao(Djf) = Djf (4.93)

On devra donc mener la reconstruction du signal de dtail en partant des djn(donns par lanalyse du signal f) et en mettant zro tous les autres coefficients.

La squence des coefficients obtenus constituera une approximation lchelle 0 dusignal de dtail lchelle j.

On peut, bien entendu, choisir daffiner davantage ces approximations en

continuant la reconstruction pour des valeurs de j ngatives. La reconstruction estmene en utilisant lalgorithme de reconstruction de Mallat. Le rsultat nous donne

une vue non sous-chantillonne du signal dapproximation ou du signal de dtail


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de f lchellej. Cest lamthode qui a t utilise pour construire la srie des images4..

On retrouve lalgorithme cascade en prenant f = j,o. On aura ajn = (n) et

djn = 0 :

Ajj,o =+n=

j,o,j,n

j,n (4.94)

=+n=

(n)j,n

Ajj,o = j,o

et donc :

Ao(Ajj,o) = Aoj,o (95)

Ce qui justifie quen reconstruisant partir dun Dirac et avec des dtails nuls on

obtienne une approximation lchelle 0 de la fonction dchelle j,o.

De mme, en prenant f = j,o, on aura djn = (n) et a

jn = 0 :

Djj,o =+

n=(n)j,n (4.96)

=

+n= (n)

j,n

Djj,o = j,o

Ao(Djj,o) = Aoj,o (97)

On retrouve lalgorithme cascade pour londelette.


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Chapitre 5

Proprits et construction

Nous allons, dans ce paragraphe, tudier les proprits de h[n], g[n], et pour en dduire les rgles de construction des bases dondelettes et de fonctions

dchelle et des filtres associs une analyse multirsolution. Jusqu prsent, seuls

des cas pathologiques et sans intrt pratique de base orthonorme dondelettes

non associe une analyse multirsolution (au sens prsent ici) ont pu tre mis

en vidence. Nous admettrons donc que base orthonorme dondelettes et analyse

multirsolution vont ensemble. Nous verrons que la construction commence, engnral, par le choix de la fonction dchelle (ou du filtre numrique associ) et que le

reste peut tre dduit. Cela peut tre droutant pour ceux qui voudraient commencer

par ce qui semblerait le plus naturel savoir la famille dondelettes ; en fait dans ce

cas le cheminement est plus complexe et le rsultat moins assur. Et dailleurs les

contraintes pesant sur les fonctions dchelles sont moins fortes car elles nont tre

orthogonales entre elles qu lintrieur dune mme chelle (rsolution j) alors queles ondelettes doivent former une base orthonorme globale et tre orthogonales

travers les chelles aussi bien que pour une chelle donne.

Les proprits des fonctions de base et des filtres associs qui sont donnes dans ce

paragraphe sont lies lorthogonalit des bases. Les respecter lors de la construction

dune analyse multirsolution ne garantit pas la convergence de lalgorithme quil

convient de vrifier par ailleurs. Un bon test est fourni par la formule de rcurrence

de lquation 5.6 ou encore par lalgorithme cascade de construction de la fonction

dchelle du paragraphe 4.3.


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5.1 Proprits frquentielles de la fonction dchelle

5.1.1 Relations avec le filtre associ

Nous avons vu que la suite numrique h[n] pouvait tre considre comme la rponseimpulsionnelle dun filtre numrique. La rponse frquentielle de ce filtre est obtenue

en exprimant la transforme de Fourier de cette suite. Cette transforme, comme toutes

les rponses frquentielles des filtres numriques est priodique de priode 2 ; ellescrit comme suit :

h() =

nh[n]ein (1)

Or la fonction dchelle (x) peut sexprimer en fonction de hpar lquation 4.28,qui peut scrire :

(x) =n

h[n]

2(2x n) (2)

Si on prend la transforme de Fourier de cette relation et si on utilise les proprits

de cette transforme concernant la translation et le changement dchelle4, on obtient :

() = n h[n]

21

2(

2

)ein2 (3)

ce qui, en regroupant les termes :

() = 12(

2)n

h[n]ein2 (4)

fait apparatre la rponse frquentielle du filtre numrique exprime en /2, soit larelation suivante :

() =

12

h(

2)

(

2) (5)

cette relation, trs importante en pratique, exprime simplement la projection de lafonction dchelle sur la rsolution infrieure dans lespace de Fourier. En notant

4 La transforme dune fonction dilate est donne par : f(ax) 1|a|f(

a).

La transforme dune fonction translate est donne par : f(xn) f()ein.


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Proprits et construction 55

par anticipation que (0) = 0 (voir quation 5.28), on peut dailleurs ltendrepar rcurrence pour obtenir une relation entre la fonction dchelle et la rponse

frquentielle du filtre numrique associ :

() = j=1

12h(

2j) (6)

La construction de la fonction dchelle (dans lespace de Fourier) convergera si le

filtre h[n] choisi conduit une analyse multirsolution de L2.

5.1.2 Orthonormalit dans Fourier

Voyons tout dabord une consquence de la formule de Poisson :n

(t nT)fourier

2

T

n

( n 2T

) (7)

Si on considre une fonction (t) de L2(R) engendrant par translation une familleorthonorme, et donc telle que :

(t), (t + n) = (n) n Z (8)ce produit scalaire est lchantillonn de la fonction dautocorrlation de (t) en effet,cette fonction dautocorrlation scrit :

r() =

(t)(t + )dt = (t), (t + ) (9)

La transforme de Fourier de cette fonction dautocorrlation scrit :

r() =()() = |()|2 (10)La version chantillonne de cette fonction sera note re(). On aura :

re() = r() k

( k) (11)

on peut calculer la transforme de Fourier de cette expression en utilisant le thorme

de Plancherel pour faire apparatre un produit de convolution et en estimant la

transforme du peigne de Dirac par la formule de Poisson (quation 5.7) :

re() = 12r() 2

n

( n2) (12)


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Ce qui scrit galement :

re() = n

r( 2n) (13)En remplaant la transforme de la fonction dautocorrlation par son expression

en fonction de () (quation 5.10) et en crivant que la transforme dun Diracest lunit, on obtient lexpression 5.14 qui exprime lorthonormalit de la fonction

dchelle dans Fourier. n

|

( + 2n)|2 = 1 (14)

Cette relation est fondamentale si le choix de la fonction dchelle est men dansFourier ; elle permet dassurer lorthonormalit de la base choisie. Elle est galement

trs utilise pour la construction du filtre numrique associ. Elle se traduit dailleurs,

comme nous allons le voir maintenant, par une propritgalement fondamentalepour

ce filtre.

On peut reporter ce rsultat dans lquation 5.5 exprime la pulsationdouble pour

obtenir la contrainte qui dcoule de cette orthonormalit sur la rponse frquentielle

du filtre numrique associ :n

|

(2 + 2n)|2 =

n

1

2|

( + n)|2

h( + n)

2

= 1 (15)

Si on spare dans la sommation les termes correspondant aux indices pairs des

impairs :

12

n

h( + 2n)2 |( + 2n)|2 +12

n

h( + (2n + 1))2 |( + (2n + 1))|2 = 1 (16)et si on utilise la priodicit deh() :h()

2

n1

2|

( + 2n)|2 +

h( + )

2

n1

2|

( + + 2n)|2 = 1 (17)

En utilisant la proprit 5.14 pour les deux termes, on obtient la contrainte

correspondant lorthonormalit de la fonction dchelle sur la rponse frquentielle

du filtre numrique : h()2 + h( + )2 = 2 (18)


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Ce rsultat va nous permettre de prciser la signification physique du filtre h[n].Mais nous devons tout dabord admettre par avance que la fonction dchelle nest pas

moyenne nulle. On peut, pour sen convaincre, rflchir lanalyse multirsolution

de la fonction unit, ou se reporter simplement la relation 5.28.+

(x)dx = 0 (0) = 0 (19)Ce rsultat est bien entendu li au fait que la fonction dchelle permet de lisser le

signal lors du passage dune rsolution fine une rsolution plus grossire.

Dans ces conditions lexpression 5.5 conduit :

h( 2

) =

2()(2 ) (20)

Si on applique ce rsultat en 0 puis si on le combine avec 5.18 en , on obtient : h(0) = n h[n] = 2h() = 0 (21)On pourra donc admettre que le filtre h est de la famille des filtres passe-bas ce

qui correspond bien lide intuitive que lon a du passage une approximation

grossire du signal par limination des dtails donc des hautes frquences.

Remarque 5 La relation qui est caractristique de lorthonormalit des fonctions

dchelle pour une rsolution donne a son quivalent en ce qui concerne le filtre

passe-bas associ. En effet, si on reprend lquation qui exprime cette proprit :

(t), (t + n) = (n) n Z (22)en remplaant(t) par son expression :

(t) =n

h[n]

2(2t n) (23)

on montre aisment que la rponse impulsionnelle du filtre doit obir la relation

suivante 5.24 : k

h [k] h [2n + k] = [n] (24)

qui est lquivalente pour le filtre de 5.22. Malheureusement la contrainte exprime

par cette relation est difficilement utilisable dans la pratique pour construire un filtre

et donc une analyse multirsolution associe.


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Lexpression 5.5 va nous permettre dtre plus prcis en ce qui concerne les

proprits de la fonction dchelle, en particulier en ce qui concerne sa valeur

moyenne. En effet si on applique cette relation pour = 2n on obtient :

(2n) = 12(n)h(n) (25)

Cette expression est nulle pourn impair ( cause de la proprit 5.21 du filtre) cequi permet, par rcursivit, de sapercevoir que tous les termes correspondant n = 0sont nuls galement :

(2n) = 0 n = 0 (26)

En appliquant la relation 5.14 en = 0 on vrifie que :

|(0)| = 1 (27)Si on choisit la fonction dchelle telle que sa valeur moyenne soit relle et positive,

ce qui ne doit pas restreindre beaucoup la gnralit du problme, on obtient la

contrainte suivante :

(0) = +

(x)dx = 1 (28)

5.2 Proprits frquentielles de londelette

Nous allons examiner, pour la fonction dondelette (x) et son filtre numriqueassoci g[n], les proprits quivalentes celles trouves prcdemment. Cesproprits devraient tre plus contraignantes car les fonctions dondelette forment une

base orthonorme travers les rsolutions, alors que les fonctions dchelle ne sont

orthogonales qu lintrieur dune chelle donne.

La fonction dondelette se dcompose lchelle infrieure sur la base des

fonctions dchelle, les coefficients de la dcomposition sont les coefficients du filtre

numrique associ :

(x) = n g[n]

2(2x n) (29)

Si on transforme cette expression dans Fourier on obtient la relation suivante :

() = 12g(

2)(

2) (30)


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Lorthonormalit des ondelettes vis vis de la translation conduit une relation

analogue 5.14 : n

( + 2n)2 = 1 (31)Ce qui, avec le mme traitement que prcdemment, implique pour le filtre g[n] la

proprit suivante :

|g()|2 + |g( + )|2 = 2 (32)Pour construire le filtre et londelette, nous avons besoin dune relation

supplmentaire qui va nous tre fournie par la traduction dans Fourier delorthogonalit de avec :

, 0,k

= 0 , k Z (33)

Ou, en exprimant le produit scalaire :+

(x)(x + k)dx = 0 (34)

Remarque 6 Cette relation associe avec la dcomposition de londelette sur la

base chelle la rsolution infrieure contient la proprit dorthogonalit de la

famille des fonctions dondelette travers les chelles.

On trouve facilement la relation correspondante dans Fourier si on considre

(comme prcdemment) que ce calcul correspond lchantillonnage de la fonction

dintercorrlation entre et .n

( + 2n) ( + 2n) = 0 (35)Cette relation applique en = 0 et en utilisant la proprit 5.28 implique que :

(0) = +

(x)dx = 0 (36)

Contrairement la fonction dchelle, la fonction dondelette est moyenne nullece qui en fait dailleurs une ondelette admissible.

Si on combine ce rsultat avec 5.30 et avec 5.32 on en dduit que : g(0) = n g[n] = 0|g()| = 2 (37)


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Ce qui semblerait indiquer quon est en prsence dun filtre passe-haut.

Si dans la relation 5.35 on remplace et par les expressions dduites de 5.5 et5.30 on obtient :

n

g( 2

+ n)( 2

+ n) h( 2

+ n)( 2

+ n) = 0 (38)

Do en sparant les indices pairs et impairs :

ng(2 + 2n)

h(2 + 2n) (2 + n)

2+

ng(2 + (2n + 1))h(2 + (2n + 1)) (2 + (2n + 1))2 = 0Si on utilise la priodicit des transformes de Fourier des filtres numriques et la

proprit 5.14 on obtient la relation suivante :

g()h() +g( + )h( + ) = 0 (39)Linterprtation de ce rsultat est un peu dlicate mais cest la clef qui permet de

construire le filtre g si on a dj choisi la fonction dchelle et donc le filtre h.

On peut, tout dabord, dduire une relation entre les modules des rponses

frquentielles des filtres ; en effet, lquation 5.39 implique que :

|g()|2 h()2 = |g( + )|2 h( + )2 (40)Si on combine cette relation avec 5.32 et 5.18, on obtient :

|g()|2 h()2 = 2 |g()|22 h()2 (41)Do en simplifiant :

|g()|2

+ h()2

= 2 (42)

Dautre part, sih() = 0 on peut dduire de lquation 5.39 :g() = g( + )h()h( + ) (43)


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Dans le cas contraire, h( + ) = 2 et doncg( + ) = 0 donc |g()| = 2ou encore : |g()| = h( + ). Dans tous les cas, on peut donc crire :

g() = () h( + ) (44)avec les conditions suivantes sur la fonction() :

() est 2 priodique() +( + ) = 0()

= 1

(45)

Les deux dernires conditions se dduisent des relations 5.39 et 5.42.

La fonction() doit donc tre choisie sur le cercle unit et doit respecter certainesconditions de symtrie ; le choix est loin dtre unique, mais on sen tient souvent au

cas o la linarit en phase est prserve. Dans cette hypothse et en labsence de

contrainte supplmentaire, le choix le plus simple est :() = ei, ce qui donne :g() = ei h( + ) (46)

Si on revient dans lespace habituel pour obtenir une relation entre les rponses

impulsionnelles :

g() = n

g[n]ein

= n

ei

h[n]ein(+)

(47)

donc : n

g[n]ein = n

h[n]ei einein (5.48)

= n

(1)nh[n]ei(n+1)

= n

(1)n1h[1 n]ein

Ce qui implique :

g[n] = (1)nh[1 n] (49)

On obtient bien une relation qui permet de construire le filtre g en connaissant h, ilne faut cependant pas oublier que cette solution est loin dtre unique et que dautres

choix pour la fonction() sont possibles si besoin.


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Il est parfois plus intressant dexprimer ce rsultat dans lespace des transformes

en z, en particulier si les filtres sont susceptibles de mises en uvre rcursives. Le

rsultat peut tre obtenu en remplaant simplement eiparz dans lquation 5.46 :

G(z) = z1H(1z

) (50)

Remarque 7 La relation 5.46 entre les filtres associs lanalyse multirsolution

permet de trouver une relation entre londelette et la fonction dchelle. En effet, si on

remplace dans 5.30g(2 ) par son expression dduite de 5.46, on obtient :

() = ei2 1

2h(

2+ )

(

2)

et en utilisant 5.5 pour exprimerh(2 + ) en fonction de on obtient :() = ei2( + 2)(2 + ) ( 2 )

Cette relation ne semble malheureusement pas utilisable pour dterminer une fonction

dchelle partir dune ondelette.

5.3 Rsum des proprits

Le tableau ci-aprs rsume les principales proprits prsentes dans ce chapitre. Ces

proprits sont utilises dans la construction des bases orthonormes dondelettesassocies des analyses multirsolutions.

On construira, en gnral, une telle analyse multirsolution en suivant lune des

deux dmarches suivantes :

a - On commence par choisir une famille de bases orthonormes de fonctions

dchelle, lorthogonalisation peut tre faite en utilisant le truc utilis pour les bases

spline (voir chapitre 6). On dtermine ensuite le filtre h associ par projection de lafonction dchelle sur la base de rsolution immdiatement plus fine. On vrifie, en

utilisant lalgorithme cascade, que la convergence de lanalyse est correcte. Puis il

reste dfinir le filtre g partir du filtre h et construire laide de lalgorithmecascade la fonction dondelette associe.

b - On choisit un filtre numrique h, passe-bas, ayant la proprit dorthogonalit,vrifie dans Fourier ou dans lespace direct ; puis on sassure, laide de lalgorithme

cascade, que lanalyse converge bien et que la fonction dchelle a des proprits de

compacit et de rgularit correctes. On peut, ensuite, construire le filtre g partir dufiltre h et en dduire par lalgorithme cascade la fonction dondelette associe. Dansune variante de cette mthode, on peut commencer par choisir un filtre numrique


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passe-haut qui sera le filtre g puis, aprs vrification de la convergence et des bonnesproprits de la fonction dondelette associe, on pourra en dduire le filtre h et lafonction dchelle correspondante.

Dans les deux cas, on constate que la fonction dondelette est dtermine en

dernier, ce qui ne correspond pas lapproche la plus naturelle. Il est, en gnral, trs

difficile de faire autrement et le choix a priori dune base dondelettes nest pas la

mthode la plus directe pour construire une transformation en ondelettes discrte!

Rsum des principales proprits des fonctions et des filtres associs

une analyse multirsolution orthogonale

(t), (t + n) = (n) n Z (t), (t + n) = 0 n Z

(t), (t + n) = (n) n Z

() = 12h(2 )(2 ) () = 12g(2 )(2 )

n |( + 2n)|2 = 1 n ( + 2n)2 = 1

|

(0)| = 1(0) = 0

n( + 2n) ( + 2n) = 0 g()h() +g( + )h( + ) = 0

k h [k] h [2n + k] = [n]k |h [k]|2 =

k |g [k]|2 = 1h()2 + h( + )2 = 2 |g()|2 + |g( + )|2 = 2

h()2 + |g()|2 = 2

h(0) =

n h[n] =

2

h() = 0 g(0) =

n g[n] = 0

|g()| =

2

g() = () h( + )() est 2 priodique() +( + ) = 0() = 1


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Et on peut choisir le filtre g suivant :g() = ei h( + ) soit : g[n] = (1)nh[1 n]Remarque 8 Les paires de filtres numriques relis par cette relation sont parfois

appels filtres miroirs en quadrature : QMF. Ils jouent un rle majeur dans la thorie

de la dcomposition des signaux en sous-bandes. Cela tant, pour quune telle paire

de filtres soit lorigine dune analyse multirsolution au sens dfini prcdemment,

dautres proprits doivent tre vrifies(en particulier la convergence de lalgorithme

rcursif). Nous ntudierons pas ici ce problme et laisserons le lecteur consulter

labondante littrature existant ce sujet [43].

Exemple 5 Nous verrons comment on peut utiliser les proprits prcdentes pourretrouver les lments de lanalyse multirsolution de Haar. Mais nous rservons

cette prsentation dexemples un chapitre entier, ce qui nous permettra une plus large

perspective.

.


65/158

Chapitre 6

Exemples de bases dondelettes

Nous allons, dans ce chapitre, prsenter quelques exemples de bases dondelettes

orthonormes choisis parmi les plus populaires. Nous commencerons par la base la

plus simple que nous avons dj utilise plusieurs fois comme illustration, lanalyse

de Haar ; nous continuerons par une base que lon pourrait qualifier de duale de la

prcdente, savoir la base des ondelettes de Littlewood-Paley. Nous prsenterons

ensuite une famille choisie parmi celles qui sont les plus utilises dans la pratique,

la famille des bases construites partir de fonctions splines. Toutes ces analysescorrespondent des filtres linaires en phase qui ont donc des proprits de symtrie

apprcies en traitement des images (isotropie gauche-droite) ; malheureusement ces

filtres ( part ceux lis lanalyse de Haar) sont de rponse impulsionnelle infinie

(RII) donc de mise en uvre souvent coteuse. Nous prsenterons donc, pour clore

ce chapitre, les bases construites par I. Daubechies qui conduisent des filtres

rponse impulsionnelle finie (RIF) mais qui ne sont pas linaires en phase. Nous

verrons, dans un chapitre ultrieur (chapitre 8) comment, en relchant un peu la

contrainte dorthogonalit, on peut construire des bases dondelettes non-redondantes

conduisant des filtres linaires en phase et rponse impulsionnelle finie ; il sagit des

bases biorthogonales. Pour complter ce panorama,on pourra trouver une prsentation

relativement complte des bases dondelettes utilises ou utilisables pour des analyses

multirsolution dans [1].


66/158


6.1 Ondelettes de Haar

Nous prendrons comme point de dpart de la construction la fonction de Haar utilise

comme mre des fonctions dchelle :

(t) =

1 0 t < 10 sinon

(1)

Nous avons vu que cette fonction pouvait se dcomposer sur les fonctions de

rsolution infrieure suivant :

(t) = (2t) + (2t 1) (2)

Si on calcule la transforme de Fourier de cette expression, on obtient :

() =( 2

)1 + ei

2

2(3)

Si on compare ce rsultat lexpression 5.5 dmontre au chapitre prcdent, on

peut en dduire par simple identification lexpression de la rponse frquentielle du

filtre h associ :

h() = 12

(1 + ei) (4)

La fonction de transfert du filtre scrit donc :

H(z) =1

2(1 + z1) (5)

Si on dtermine le filtre g en utilisant la proprit des filtres miroirs en quadrature

(quation 5.46) on obtient :

G(z) =1

2(1 z1) (6)

Ces deux filtres correspondent exactement ceux trouvs lors des prsentations

prcdentes de cette analyse multirsolution. Si on applique la proprit 5.30, on


67/158

Exemples de bases dondelettes 67

obtient la fonction dondelette par sa transforme de Fourier :

() = 12

(1 ei2 )( 2

) (7)

Soit :

(t) = (2t) (2t 1) (8)

Ce qui correspond la fonction :

(t) = 1 0 t 3 et le calcul des zros de P(y) doit tre fait laide dune mthode

numrique (voir par exemple la mthode de Bairstow). Pour des valeurs leves de N,la prcision des calculs peut poser problme et lorthonormalit des bases obtenues

peut alors ntre quapproximative.

Les fonctions dchelle correspondantes sont construites par lalgorithme cascade,

nous donnons quelques exemples de ces fonctions et de leur tendue spectrale (voir

figures du tableau 6.). On constate que lorsque lordre des polynmes augmente, la

fonction dchelle gagne en rgularit et voit son tendue spectrale diminuer ; cette

volution apparat de la mme faon pour les ondelettes. Elle se paie, videmment,

par lallongement des filtres associs.


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N 1 2 3

2 1, 93185165258 2, 6613644236

0, 517638090205 1, 528961196310, 281810335086

N 4 5 6

3, 68604501294 5, 12327673517 7, 138607574413, 30663492292 6, 29384704236 11, 17571646091, 20436190091 3, 41434077007 8, 047755262890, 169558428561 0, 936300109646 3, 24691364198

0, 106743209135 0, 7194280974590, 0689472694597

N 7 8 9

9, 96506292288 13, 9304556142 19, 495909050318, 9984075665 31, 3485176398 50, 619828051117, 0514392132 33, 6968524121 63, 39516597839, 03858510919 22, 07104076339 49, 36754822812, 93696631047 0, 38930245651 25, 86003633190, 547537574895 2, 56627196249 9, 2449158877550, 0452753663967 0, 413507501939 2, 18556614566

0, 0300740567359 0, 3103176047560, 0201458280019

Tableau 6. Coefficients HN(z) pour les filtres de Daubechies


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Exemples de bases dondelettes 85

Tableau 6. Fonctions dchelle Daubechies et leurs spectres (N=2 5)


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Chapitre 7

Passage deux dimensions

7.1 Cas gnral

Nous allons examiner dans ce chapitre comment les principes de lanalyse

multirsolution monodimensionnelle prsents prcdemment peuvent tre tendus

aux signaux multidimensionnels. Nous nous intresserons plus spcialement au cas

des signaux deux dimensions que nous assimilerons dans la pratique des imagesunimodales. Lanalyse des signaux multispectraux est un autre problme que nous

nenvisagerons pas ici. Cela tant, les proprits et dfinitions donnes dans le premier

paragraphe de ce chapitre sont valablesquelle que soit la dimension de lespace auquel

appartiennent les fonctions (2D, 3D et au-del).

Les fonctions que nous voulons traiter seront de carr intgrable surRN, donc les

signaux appartiendront L2(RN) (N = 2 dans le cas des signaux 2D).

7.1.1 Matrice de changement dchelle

Les sous-espaces Vj doivent tre tendus NDimensions et le facteur de dilatationou dchelle discret j deviendra une matrice de dilatation ou dchelle permettant depasser dune rsolution la suivante (exemple en 2D) :

x

y

= J

xy

(1)

J sera donc une matrice carre de dimension N N (soit 2 2 2D) soumise un certain nombre de contraintes ; il faudra en particulier que le dilat dun vecteur


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dentiers soit un vecteur dentiers6. On aura donc dans le cas 2D :xy

Z2 =

x

y

Z2

Une consquence est que la matrice J doit avoir des coefficients entiers et il en

sera de mme pour|det J| J1.La matrice doit assurer une dilatation suivant chaque

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