7mo grado matemática expresiones y...

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7mo Grado Matemática

Expresiones y Ecuaciones

www.njctl.org

2013-01-23

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Tabla de Contenidos

Operaciones inversasEcuaciones de un pasoEcuaciones de dos pasosEcuaciones de varios pasosDistribuyendo fracciones en ecuaciones

Graficando y escribiendo inecuaciones con una variable

Click sobre el tema para ir a la secciónPropiedad distributiva y factoreo

Combinando términos semejantes

Inecuaciones simples que involucran adición y sustracción

Inecuaciones simples que involucran multiplicación y división

Common Core Standards: 7.EE.1, 7.EE.3, 7.EE.4

Simplificación de Expresiones algebraicas

Traduciendo palabras y expresiones

Propiedades conmutativa y asociativa

Uso de expresiones algebraicas y numéricas y ecuaciones

Glosario

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Vínculos para preguntas de muestra PARCC

Sin calculadora Nº 2




Final del año

Performance en base a las evaluaciones



Calculadora Nº 6Calculadora Nº 3

Calculadora Nº 8

Sin calculadora Nº 13Sin calculadora Nº 15

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Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero.

¿Cuántos tercios es en un entero?

¿Cuántos quintos hay en un entero?

¿Cuántos novenos hay en un entero?

Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones.

El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para

armar una "pared de palabras".

(Haz click sobre el subrayado.)

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Volver al tema

FactorUn número entero que puede dividir a

otro número sin dejar resto

15 3 5

3 es un factor de 15 3 x 5 = 15

3 y 5 son factores de 15

1635 .1R

3 no es un factor de 16

4

Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer

número

El cuadro tiene 4 partes

Vocabulario1

Su significado 2

Ejemplos/ Contraejemplos Vínculo para volver a la

página del tema.

(Cómo se utiliza en

esta lección)

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Propiedades conmutativa y asociativa

Volver a la Tabla de Contenidos

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Propiedad conmutativa de la suma: el orden de los términos no cambia el resultado

a + b = b + a5 + 7 = 7 + 5 12= 12

Propiedad conmutativa de la Multiplicación: el orden en que los términos de un producto se multiplican no cambia el producto.

ab = ba4(5) = 5(4)

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Propiedad conmutativa de la suma: el orden de los términos no cambia el resultado

a + b = b + a5 + 7 = 7 + 5 12= 12

Propiedad conmutativa de la Multiplicación: el orden en que los términos de un producto se multiplican no cambia el producto.

ab = ba4(5) = 5(4)

[This object is a pull tab]

Pist

a

Cuando cambias el orden, puedes poner un témino adelante o atras, pero es lo mismo, el resultado final es igual.

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Propiedad asociativa de la suma: el orden en el que los términos de una suma se agrupan no cambia el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) 5 + 4 = 2 + 7 9 = 9

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Propiedad asociativa de la suma: el orden en el que los términos de una suma se agrupan no cambia el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) 5 + 4 = 2 + 7 9 = 9


Pist

a

Estás en una fiesta. Te asocias con Alan y Bárbara y luego con Cristian. Esto es lo mismo que te juntes con Bárbara y Cristian y luego con Alán, solo que el orden es diferente.


La Propiedad Asociativa es particularmente útil cuando se combinan números enteros.

Ejemplo:-15 + 9 + (-4)=-15 + (-4) + 9= -19 + 9 = -10

Cambiándolo de esta manera permite que los negativos sean sumados juntos en primer lugar

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Propiedad Asociativa de la Multiplicación: el orden en el cuál los términos de un producto se agrupan no cambia el resultado.

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1 Identifica la propiedad de: -5 + 3 = 3 + (-5)A Propiedad Conmutativa de la suma B Propiedad conmutativa de la multiplicación

C Propiedad asociativa de la suma

D Propiedad asociativa de la multiplicación

Res

pues

ta

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2 Identifica la propiedad de: a + (b + c) = (a + c) + b

A Propiedad conmutativa de la suma B Propiedad conmutativa de la multiplicaciónC Propiedad asociativa de la multiplicaciónD Propiedad asociativa de la multiplicación

Res

pues

ta

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3 Identifica la propiedad de: (3 x -4) x 8 = 3 x (-4 x 8)A Propiedad conmutativa de la sumaB Propiedad conmutativa de la multiplicación

C Propiedad asociativa de la suma

D Propiedad asociativa de la multiplicación

Res

pues

ta

Slide 14 / 314

Habla de por qué el uso de la propiedad asociativa sería útil para los siguientes problemas:

1. 4 + 3 + (-4)2. -9 x 3 x 03. -5 x 7 x -24. -8 + 1 + (-6)

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Combinando términos semejantes


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Una Expresión - contiene números, variables y al menos una operación.

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Términos semejantes: son los términos en una expresión que tienen la misma variable elevada a la misma potencia

Ejemplos:

TÉRMINOS TÉRMINOSSEMEJANTES NO SEMEJANTES

6x y 2x 6x 2 y 2x

5y y 8y 5x y 8y

4x2 y 7x2 4x2y y 7xy2

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4 Identifica todos los términos semejantes a 2x

A 5xB 3x2

C 5yD 12yE 2

Res

pues

ta

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5 Identifica todos los términos semejantes a 8 y

A 9yB 4y2

C 7yD 8E -18x R

espu

esta

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6 Identifica todos los términos semejantes a 8xy

A 8xB 3x2yC 39xyD 4yE -8xy R

espu

esta

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7 Identifica todos los términos semejantes a 2y

A 51wB 2xC 3yD 2wE -10y

Res

pues

ta

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8 Identifica todos los términos semejantes a 14x 2

A -5xB 8x2

C 13y2

D xE -x2

Res

pues

ta

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Se pueden combinar dos o más términos que se están sumando o restando.

Para combinar términos semejantes suma/resta el coeficiente pero deja la variable sola.

7x +8x =15x9v-2v = 7v

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Algunas veces hay términos constantes que pueden ser combinados

9 + 2f + 6=9 + 2f + 6=

2f + 15

A veces habrá tanto coeficientes como constantes ser combinados.3g + 7 + 8g - 2

11g + 5

Observa que el signo antes de un término dado va con el número.

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Intenta éstos:

1.) 2b +6g(3) + 4f + 9f

2.) 9j + 3 + 2 4h + 6 + 7h + 3

3.) 7a + 4 + 2a -1 9 + 8c -12 + 5c

4.) 8x + 56xy + 5y

Res

pues

ta

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9 8x + 3x = 11x

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 27 / 314

10 7x + 7y = 14xy

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 28 / 314

11 2x + 3x = 5x

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 29 / 314

12 9x + 5y = 14xy

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 30 / 314

13 6x + 2x = 8x2

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 31 / 314

14 -15y + 7y = -8y

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 32 / 314

15 -6 + y + 8 = 2y

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 33 / 314

16 -7y + 9y = 2y

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 34 / 314

17 9x + 4 + 2x =

A 15x B 11x + 4 C 13x + 2x D 9x + 6x

Res

pues

ta

Slide 35 / 314

18 12x + 3x + 7 - 5

A 15x + 7 - 5 B 13x C 17x D 15x + 2

Res

pues

ta

Slide 36 / 314

19 -4x - 6 + 2x - 14

A -22x B -2x - 20 C -6x +20 D 22x

Res

pues

ta

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Propiedad distributiva y factoreo


Slide 38 / 314

Modelo de superficieImagina que tienes dos habitaciones una al lado de la otra. Ambas tienen 4 pies de longitud, una tiene 7 pies de ancho y la otra 3 pies de ancho.

4

7 3

¿Cómo podrías expresar el área de las dos habitaciones en total?

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4

7 + 3

De una manera u otra el área es 40 pies 2

Podrías sumar 7 + 3 y luego multiplicar por 4

4(7+3)=4(10)=40

O

Podrías multiplicar 4 por 7, luego 4 por 3 y sumarlos

4(7) + 4(3) =28 + 12 =40

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Un modelo de áreaImagina que tienes dos habitaciones una al lado de la otra. Ambas tienen 4 yardas de largo. Una tiene 3 yardas de ancho y no sabes cuanto tiene la otra de ancho.

4

x 3

¿Cómo podrías expresar el área de las dos habitaciones en conjunto?

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4

x + 3

No puedes sumar x y 3 porque no son términos semejantes, de manera que sólo puedes hacerlo multiplicando 4 por x, y 4 por 3 y luego sumando.

4(x) + 4(3)=4x + 12

El área de las dos habitaciones es 4x + 12(Nota: 4x no puede ser combinada con 12)

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La Propiedad Distributiva

Encontrando el área de los rectángulos se demuestra la propiedad distributiva. Utiliza la propiedad distributiva con expresiones que son semejantes a: a(b + c)

4(x + 2)4(x) + 4(2)4x + 8

El 4 es distribuido a cada término de la suma (x + 2)

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Escribe una expresión equivalente a:

5(y + 4)5(y) + 5(4)5y + 20

6(x + 2) 3(x + 4)

4(x - 5) 7(x - 1)

Recuerda distribuir el 5 a la y, y al 4

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Frecuentemente la Propiedad Distributiva es utilizada para eliminar los paréntesis en expresiones tales como 4(x + 2). Esto hace que sea posible combinar términos semejantes en expresiones más complicadas.

EJEMPLOS-2(x + 3) = -2(x) + -2(3) = -2x + -6 o -2x - 6

3(4x - 6) = 3(4x) - 3(6) = 12x - 18

-2 (x - 3) = -2(x) - (-2)(3) = -2x + 6

INTENTA ÉSTOS:3(4x + 2) =

-1(6m + 4) =

-3(2x - 5) =

Cuidado con los signos!

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Ten en cuenta que cuando hay un signo negativo fuera del paréntesis, ésto significa -1.

Por ejemplo:-(2x + 7) = -1(2x + 7) = -1(2x) + -1(7) = -2x - 7

¿Qué observas acerca del problema original y su respuesta?

El número cambió a sus opuestos.

Intenta éstos:-(9x + 3) =

-(-5x + 1) =

-(2x - 4) =

-(-x - 6) =

click para revelar

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20 4(2 + 5) = 4(2) + 5

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 47 / 314

21 8(x + 9) = 8(x) + 8(9)

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 48 / 314

22 -4(x + 6) = -4 + 4(6)

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 49 / 314

23 3(x - 4) = 3(x) - 3(4)

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 50 / 314

24 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis.

3(x + 4)

A 3x + 4B 3x + 12C x + 12D 7x

Res

pues

ta

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25 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis 5(x + 7)

A x + 35B 5x + 7C 5x + 35D 40x

Res

pues

ta

Slide 52 / 314

26 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis (x + 5)2

A 2x + 5B 2x + 10C x + 10D 12x

Res

pues

ta

Slide 53 / 314

27 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis

3(x - 4)

A 3x - 4B x - 12C 3x - 12D 9x

Res

pues

ta

Slide 54 / 314

28 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis 2(w - 6)

A 2w - 6B w - 12C 2w - 12D 10w R

espu

esta

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29 Usa la propiedad distributiva para re-escribir la expresión sin paréntesis -4(x - 9)

A -4x - 36B x - 36C 4x - 36D -4x + 36 R

espu

esta

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5.2(x - 9.3) A -5.2x - 48.36B 5.2x - 48.36C -5.2x + 48.36D -48.36x R

espu

esta

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A

B

C

D

Res

pues

ta

Slide 58 / 314

Podemos usar la propiedad distributiva al revés. Esto se llama "Factoreo". Cuando factoreamos una expresión, estamos encontrando todos los números o variables que dividen a todas las partes de una expresión.

Ejemplo:7x + 35 Tanto el 7x como el 35 son divisibles por 77(x + 5) Removiendo el 7 hemos factoreado el problema

Podemos controlar nuestro trabajo usando la propiedad distributiva para ver que las dos expresiones sean iguales.

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Podemos factorear con números, variables, o ambos.

2x + 4y = 2(x + 2y)9b + 3 = 3(3b + 1)-5j - 10k + 25m = -5(j + 2k - 5m) *Cuida los signos4a + 6a + 8ab = 2a(2 + 3 + 4b)

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Intenta éstos:Factorea las siguientes expresiones:1.) 6b + 9c = 2.) -2h - 10j = 3.) 4a + 20ab + 12abc =

Res

pues

ta

Slide 61 / 314

32 Factorea: 4p + 24qA 4 (p + 24q)B 2 (2p + 12q)C 4(p + 6q)D 2 (2p + 24q)

Res

pues

ta

Slide 62 / 314

33 Factorea: 5g + 15hA 3(g + 5h)B 5(g + 3h)C 5(g + 15h)D 5g (1 + 3h) R

espu

esta

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34 Factorea: 3r + 9rt + 15rx

A 3(r+ 3rt + 5rx)B 3r(1 + 3t + 5x)C 3r (3t + 5x)D 3 (r + 9rt + 15rx) R

espu

esta

Slide 64 / 314

35 Factorea: 2v+7v+14v

A 7(2v + v + 2v)B 7v(2 + 1 + 2)C 7v (1 + 2)D v(2 + 7 + 14)

Res

pues

ta

Slide 65 / 314

36 Factorea: -6a - 15ab - 18abc

A -3a(2 + 5b + 6bc)B 3a(2+ 5b + 6bc) C -3(2a - 5b - 6bc)D -3a (2 -5b - 6bc)

Res

pues

ta

Slide 66 / 314

37Divide a la expresión: -5n - 20mn - 10np

Tire

Res

pues

ta

Slide 67 / 314

38Si un pentágono regular tiene un perímetro de 10x + 25, cuánto mide cada uno de sus lados?

Res

pues

ta

Slide 68 / 314

39 ¿Qué expresiones son factor de

-48xyz - 24xy + 40xyz ?

Selecciona todas las que aplican

A 4B 24C 3xD 8y

E 2xyF 6xyG xyz

From PARCC sample test

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39 ¿Qué expresiones son factor de

-48xyz - 24xy + 40xyz ?


A 4B 24C 3xD 8y

E 2xyF 6xyG xyz



Res

pues

ta

A, D, E


http://practice.parcc.testnav.com/#


40 Un jardín tiene 15 pies de largo por 5 pies de ancho. Tanto la longitud y el ancho del jardín aumentarán por el mismo número de pies. Esta expresión representa el perímetro del jardín más grande:

(x + 15) + (x + 5) + (x + 15) + (x +5)

¿Qué expresión es equivalente a la expresión para el perímetro del jardín más grande?


A 4x + 40

B 2(2x + 20) C 2(x + 15)(x + 5) D 4(x + 15)(x + 5)

E 2(x + 15) + 2(x + 5)


Res

pues

ta

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Simplificando expresiones algebraicas


Slide 71 / 314

Ahora vamos a usar lo que conocemos acerca de combinar términos semejantes y propiedad

distributiva para simplificar expresiones algebraicas.

Recuerda, los términos semejantes tiene igual variable e igual exponente.

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Para simplificar:

4 + 5(x + 3) En primer lugar distribuye

4 + 5(x) + 5(3)

4 + 5x + 15 Luego combina términos semejantes

5x + 19

Observa que cuando combinas términos semejantes sumas/restas los coeficientes pero la variable permanece igual. Recuerda que puedes combinar coeficientes o términos constantes.

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41 7x +3(x - 4) = 10x - 4

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 74 / 314

42 8 +(x + 3)5 = 5x + 11

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 75 / 314

43 4 +(x - 3)6 = 6x -14

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 76 / 314

44 2x + 3y + 5x + 12 = 10xy + 12

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 77 / 314

45 5x2 + 2x + 7(x + 1) + x2 = 6x2 + 9x + 7

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 78 / 314

46 2x3 + 4x2 + 6(x2 + 3x) + x = 2x3 + 10x2 + 4x

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

Slide 79 / 314

47 ¿Qué expresiones son equivalentes a

-2.5(1 - 2n) - 1.5n?


A -2.5 - 3.5n

B -2.5 + 3.5n

C -2.5 - 6.5n

D -2.5 - n(5 - 1.5)

E -2.5 + n(5 - 1.5)


Res

pues

ta

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48 La longitud de los lados de un campo de juego de béisbol (home plate) está representada por las expresiones que acompañan a la figura.

A 5xyzB x2 + y3zC 2x + 3yzD 2x + 2y + yz

yy

xx

yz

From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from www.nysedregents.org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June, 2011.

¿Cuál de las expresiones representa al perímetro de la figura? R

espu

esta

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49 Un rectángulo tiene un ancho de x, y una longitud que es el doble del ancho. ¿Cuál es el perímetro de ese rectángulo?

A 4x

B 6xC 8xD 10x R

espu

esta

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Operaciones inversas


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¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es un enunciado matemático que contiene un signo igual para mostrar que las dos expresiones son iguales.

2+3=5

9-2=7

5 + 3 = 1 + 7

Una ecuación algebraica es sólo una ecuación que tiene símbolos algebraicos en una o ambas expresiones.

4x = 24

9 + h = 15

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Las ecuaciones también se pueden usar para indicar la igualdad de dos expresiones que contienen una o más variables.

En los números reales podemos decir, por ejemplo, que para cualquier valor de x se cumple que

4x + 1 = 14 - 1

si x = 3, entonces

4(3) + 1 = 14 - 1 12 + 1 = 13 13 = 13

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Una ecuación puede ser comparada con una balanza equilibrada.

Ambos lados necesitan contener la misma cantidad con el fin de que este "equilibrada".

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Por ejemplo, 9+ 11 = 6 + 14 representa una ecuación debido a que ambos lados pueden reducirse a 20 9 + 11 = 6 + 14 20 = 20

Cualquiera de los valores numéricos de una ecuación pueden ser representados por una variable.

Ejemplos:

15 + c = 25 x + 10 = 25

15 + 10 = y

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Cuando resolvemos ecuaciones, el objetivo es aislar la variable en un lado de la ecuación para determinar su valor (el valor que

hace que la ecuación sea verdadera).

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Con el fin de resolver una ecuación que contienen una variable, es necesario utilizar las operaciones inversas (opuesto/deshacer) en ambos lados de la ecuación.

Recordemos las inversas de cada operación:

Suma Resta

Multiplicación División

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Existen dos preguntas para hacernos cuando resolvemos una ecuación:

*¿Qué operaciones están en la ecuación?*¿Cuál es la inversa de esa operación (Ésta será la operación que uses para resolver la ecuación)?

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Una buena frase para recordar cuando estás resolviendo ecuaciones es:Cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación debes hacerla también del otro lado.Por ejemplo si sumas 3 en un lado del signo igual, debes sumar 3 del otro lado del signo igual también.

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Para cada ecuación, escribir la operación inversa necesaria para resolver la variable.

a.) y +7 = 14 restar 7 b.) a - 21 = 10 sumar 21

c.) 5s = 25 dividir por 5 d.) x = 5 multiplicar por 12 12

click

click click

click

Slide 93 / 314

Piensa acerca de esto...

Para resolver c - 3 = 12

¿Cuál método es mejor? ¿Por qué?

Celeste

Suma 3 a cada lado de la ecuación

c - 3 = 12 +3 +3 c = 15

Ariel

Resta 12 de cada lado y luego suma 15 a cada lado de la

ecuación.

c - 3 = 12 -12 -12c - 15 = 0 +15 +15 c = 15

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50 ¿Cuál es la operación inversa necesaria para resolver esta ecuación?

2x = 14

A Adición

B Sustracción

C Multiplicación

D División

Res

pues

ta

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51 ¿Cuál es la operación inversa necesaria para resolver esta ecuación?

x - 3 = -12

A Adición

B Sustracción

C Multiplicación

D División

Res

pues

ta

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52 ¿Cuál es la operación inversa necesaria para resolver este problema? -2 + x = 9

A Adición B Sustracción C Multiplicación D División R

espu

esta

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Ecuaciones de un paso


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Para resolver ecuaciones, se debe trabajar en orden inverso al natural de las operaciones para encontrar el valor de la variable.

Recuerda que usamos las operaciones inversas con el fin de aislar la variable en un lado de la ecuación.

Lo que sea que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacerlo del otro lado también!!!

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page96svg

Ejemplos:

y + 3 = 13 - 3 -3 La inversa de sumar 3 es restar 3 y = 10

4m = 32 4 4 La inversa de multiplicar por 4 es dividir por 4 m = 8

Recuerda - Lo que sea que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacerlo del otro lado también!!!

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x - 5 = 2 +5 +5 x = 7

x + 5 = -14 -5 -5 x = -19

2 = x - 4+4 +4 6 = x

6 = x + 1-1 -1 5 = x

12 = x + 17-17 -17 -5 = x

x + 9 = 5 -9 -9 x = -4


Resuelve cada ecuación y luego haz click sobre la caja para ver el trabajo y la solución

click to showinverse operation

click to showinverse operation

click click

click

click click

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4x = 16 4 4 x = 4

-2x = -12 -2 -2 x = 6

-20 = 5x 5 5 -4 = x

x 2x = 18

= 9 (2) (2)

x-6 x = -216

= 36 (-6)(-6)

click

click

click

click

click

Slide 102 / 314

53 Resuelve

x - 7 = 19

Res

pues

ta

Slide 103 / 314

54 Resuelve

j + 15 = 17R

espu

esta

Slide 104 / 314

55 Resuelve

42 = 6y

Res

pues

ta

Slide 105 / 314

56 Resuelve

-115 = -5x

Res

pues

ta

Slide 106 / 314

57 Resuelve

= 12 x 9

Res

pues

ta

Slide 107 / 314

58 Resuelve

w - 17 = 37

Res

pues

ta

Slide 108 / 314

59 Resuelve

-3 = x 7

Res

pues

ta

Slide 109 / 314

60 Resuelve

23 + t = 11R

espu

esta

Slide 110 / 314

61 Resuelve

108 = 12r

Res

pues

ta

Slide 111 / 314

62 Considera la ecuación 5 + x = n

¿Qué debería ser verdad sobre cualquier valor de x si n es un valor negativo? Explica tu respuesta. Incluye un ejemplo con números para justificar tu respuesta.

Los alumnos escriben sus respuestas aquí


Res

pues

ta

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Algunas veces la operación puede ser confusa.Por ejemplo: -2 + x = 7Esto luce como si tuvieras que usar una resta para deshacer el problema. Si embargo, -2 + x = 7 es igual que x - 2 = 7 de manera que, mientras parece ser una suma, realmente es una resta.

Entonces para deshacerla podemos sumar-2 + x = 7x - 2 = 7 +2 +2 x = 9

ó-2 + x = 7 - (-2) -(-2) x = 9

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-2 + x = 7-2 = -2-4 + x = 5

Aquí no cancelastenada.

-2 + x = 7+2 +2 x = 9

Aquí si cancelaste para encontrar la respuesta.

-2 + x = 7 x - 2 = 7 +2 +2 x = 9

Aquí es igual que con el problema del medio.

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Intenta éstos:

1.) -4 + b = 7

2.) -2 + r = 43.) -3 + w = 6 4.) -5 + c = 9

Res

pues

ta

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Piensa en ésto...

En la expresión

¿A quién le pertenece el "-" ?

¿Le pertenece a la x? Al 3? A los dos?

La respuesta es que hay un negativo así que es usado una sola vez, o con la variable, o con el 3. Generalmente, se lo asignamos al 3 para evitar tener una variable negativa.

De manera que:

Slide 116 / 314

63 Resuelve

Res

pues

ta

Slide 117 / 314

64 Resuelve.

-5 + q = 15

Res

pues

ta

Slide 118 / 314

65 ResuelveR

espu

esta

Slide 119 / 314

Slide 120 / 314

67 Resuelve

Res

pues

ta

Slide 121 / 314

68 Resuelve R

espu

esta

Slide 122 / 314

69 Resuelve

Res

pues

ta

Slide 123 / 314

/ 314

Para deshacer la fracción puedes

Multiplicar por el Recíproco del Coeficiente. Esto significa que darás vuelta la fracción y luego

multiplicarás

**Dividir una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproco

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1vez cada número es así mismo, de manera que se puede cancelar.

Slide 126 / 314

/ 314

Slide 128 / 314

72 Resuelve

Res

pues

ta

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Ecuaciones de dos pasos


Slide 130 / 314

A veces tenemos que hacer más de un paso para resolver una ecuación. Recuerda que para resolver una ecuación, se debe trabajar en orden inverso al natural de las operaciones para encontrar el valor de la variable.

Esto significa que hay que deshacer en orden inverso(PEMDSR): 1°: Suma y Resta 2°: Multiplicación y División 3°: Exponentes 4°: Paréntesis

Cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacer lo mismo del otro lado!

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Ejemplos:

4x + 2 = 10 - 2 - 2 Primero deshace la suma 4x = 8 4 4 Luego deshace la multiplicación x = 2

-2y - 9 = -13 + 9 + 9 Primero deshace la resta -2y = -4 -2 -2 Luego deshace la multiplicación y = 2

Cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacer lo mismo del otro lado!!!

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5b + 3 = 18 -3 -3 5b = 15 5 5 b = 3

3j - 4 = 14 +4 +4 3j = 18 3 3 j = 6

-2x + 3 = -1 - 3 -3 -2x = -4 -2 -2 x = 2

Ecuaciones de dos pasosResuelve cada ecuación y luego haz click sobre la caja para ver

el trabajo y la solución.

-2m - 4 = 22 +4 +4 -2m = 26 -2 -2 m = -13

+5 = +5

t = 15

w + 6 = 102 -6 -6

w 2 = 4 2 2 w = 8

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73 Resuelve la ecuación

5x - 6 = -56

Res

pues

ta

Slide 134 / 314

74 Resuelve la ecuación.

14 = 3c + 2

Res

pues

ta

Slide 135 / 314


x 5

- 4 = 24

Res

pues

ta

Slide 136 / 314


5r - 2 = -12

Res

pues

ta

Slide 137 / 314


14 = -2n - 6

Res

pues

ta

Slide 138 / 314


+ 7 = 13 x 5

Res

pues

ta

Slide 139 / 314


+ 2 = -10 x 3

-R

espu

esta

Slide 140 / 314


Res

pues

ta

Slide 141 / 314


Res

pues

ta

Slide 142 / 314

82 Resuelve la ecuación.R

espu

esta

Slide 143 / 314


Res

pues

ta

Slide 144 / 314

84 Resuelve

-3 5

1 2

x + = 1 10

Res

pues

ta

Slide 145 / 314

85 Resuelve la ecuación.R

espu

esta

Slide 146 / 314


Res

pues

ta

Slide 147 / 314

Ecuaciones de varios pasos


Slide 148 / 314

Pasos para resolver Ecuaciones con Múltiples Pasos

Como las ecuaciones se vuelven más complejas, deberías:

1. Simplificar cada lado de la ecuación. (Combinando términos semejantes y aplicando propiedad distributiva)

2. Usar las operaciones inversas para resolver la ecuación.

Recuerda que lo que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacerlo del otro lado de la misma!

Slide 149 / 314

Ejemplo:

5x + 7x + 4 = 28 12x + 4 = 28 Combina términos semejantes -4 - 4 Deshace la suma 12x = 24 12 12 Deshace la multiplicación x = 2

-1 = 2r - 7r +19 -1 = -5r + 19 Combina términos semejantes-19 = - 19 Deshace la resta-20 = -5r -5 -5 Deshace la multiplicación 4 = r

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Intenta éstos.12h - 10h + 7 = 25

-17q + 7q -13 = 27

17 - 9f + 6 = 140

h = 9

q = - 4

f = -13

click

click

click

Slide 151 / 314

Comprueba siempre que ambos lados de la ecuación estén simplificados antes de comenzar a resolver la ecuación.

A veces, es necesario aplicar la propiedad distributiva con el fin de simplificar parte de la ecuación.

Recuerda: la propiedad distributiva es a(b + c) = ab + ac

Ejemplos

5(20 + 6) = 5(20) + 5(6) 9(30 - 2) = 9(30) - 9(2)

3(5 + 2x) = 3(5) + 3(2x)

-2(4x - 7) = -2(4x) - (-2)(7)

Slide 152 / 314

Ejemplos:

2(b - 8) = 28 2b - 16 = 28 Distribuye el 2 con (b - 8) +16 +16 Deshace la resta 2b = 44 2 2 Deshace la multiplicación b = 22

3r + 4(r - 2) = 13 3r + 4r - 8 = 13 Distribuye el 4 con (r - 2) 7r - 8 = 13 Combina los términos semejantes +8 +8 Deshace la resta 7r = 21 7 7 Deshace la multiplicación r = 3

Slide 153 / 314

Intenta éstos.

3(w - 2) = 9

4(2d + 5) = 92

6m + 2(2m + 7) = 54

w = 5

d = 9

m = 4

click

click

click

Slide 154 / 314

87 Resuelve.

9 + 3x + x = 25R

espu

esta

Slide 155 / 314

88 Resuelve

-8e + 7 +3e = -13

Res

pues

ta

Slide 156 / 314

89 Resuelve.

-27 = 8x - 4 - 2x - 11

Res

pues

ta

Slide 157 / 314

90 Resuelve

n - 2 + 4n - 5 = 13R

espu

esta

Slide 158 / 314

91 Resuelve

32 = f - 3f + 6f

Res

pues

ta

Slide 159 / 314

92 Resuelve6g - 15g + 8 - 19 = -38

Res

pues

ta

Slide 160 / 314

93 Resuelve

3(a - 5) = -21 R

espu

esta

Slide 161 / 314

94 Resuelve

4(x + 3) = 20

Res

pues

ta

Slide 162 / 314

95 Resuelve

3 = 7(k - 2) + 17

Res

pues

ta

Slide 163 / 314

96 Resuelve

2(p + 7) -7 = 5R

espu

esta

Slide 164 / 314

97 Resuelve

3m -1m + 3(m-2) = 19.75

Res

pues

ta

Slide 165 / 314

98 Resuelve

Res

pues

ta

Slide 166 / 314

99 Resuelve R

espu

esta

Slide 167 / 314

100 Resuelve

Res

pues

ta

Slide 168 / 314

Distribuyendo Fracciones en Ecuaciones


Slide 169 / 314

Recuerda...

1. Simplifica cada lado de la ecuación.

2. Resuelve la ecuación.(En primer lugar deshace la suma y la resta y luego la multiplicación y la división)

Recuerda, cualquier cosa que hagas de un lado de la ecuación, DEBES hacerlo también del otro lado!!!

Slide 170 / 314

Existe más de una manera de resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario. Mientras puedas, no necesitas distribuir.

Multiplicación por el recíproco Multiplicación por el MCD

(-3 + 3x) = 3 5

72 5

(-3 + 3x) = 3 5

72 5

(-3 + 3x) = 3 5

72 5

5 3

5 3

-3 + 3x = 24+3 +3 3x = 27 3 3 x = 9

(-3 + 3x) = 3 5

72 5

(-3 + 3x) = 3 5

72 5

5 5

3(-3 + 3x) = 72 -9 + 9x = 72 +9 +9 9x = 81 9 9 x = 9

click click

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Algunos problemas funcionan mejor cuando multiplicas por el recíproco y otros cuando multiplicas por el MCM.

¿Cuál estrategia usarías para el siguiente? Por qué?

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101 ResuelveR

espu

esta

Slide 173 / 314

102 Resuelve

Res

pues

ta

Slide 174 / 314

(8 - 3c) = 2 3

16 3

103 Resuelve

Res

pues

ta

Slide 175 / 314

104 ResuelveR

espu

esta

Slide 176 / 314

105 Resuelve

Res

pues

ta

Slide 177 / 314

106 ¿Qué expresión es equivalente a

A

B

C

D


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106 ¿Qué expresión es equivalente a

A

B

C

D



Res

pues

ta

D


107 Se muestran dos ecuaciones

Ecuación 1:

Ecuación 2:

Resuelve cada ecuación, luego coloca un número en cada recuadro para hacer la afirmación cierta.

El valor de x es y el valor de y es



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107 Se muestran dos ecuaciones

Ecuación 1:

Ecuación 2:

Resuelve cada ecuación, luego coloca un número en cada recuadro para hacer la afirmación cierta.

El valor de x es y el valor de y es




Res

pues

ta

x = 15

y = 18


Traduciendo palabras y

expresiones


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TIRE

Escribe palabras que indican adición

Slide 181 / 314


page96svg

TIRE

Escribe palabras que indican resta

Slide 182 / 314

TIRE

Escribe palabras que indiquen multiplicación

Slide 183 / 314

TIRE

Escribe palabras que indiquen división

Slide 184 / 314

TIRE

Escribe palabras que indiquen iguales

Slide 185 / 314

Presta atención a la diferencia entre "menos" y "menos que".

Por ejemplo:"Ocho menos tres" y "Tres menos que ocho" son expresiones equivalentes. Entonces, ¿cuál es la diferencia en redacción?

Ocho menos tres: 8 - 3 Tres menos que ocho: 8 - 3

Cuando ves "menos que" necesitas necesitas cambiar el ordende los números.

Slide 186 / 314

Como regla general, si ves las palabras "que" o"de", significa que tienes que invertir el orden

de los dos elementos a ambos lados de la palabra

Ejemplos: · 8 menos que b significa b - 8· 3 más que x significa x + 3· x menos que 2 significa 2 - xclick para revelar

Slide 187 / 314

Muchas maneras de representar multiplicación...

¿Cómo representas 3 veces "a"?

(3)(a) 3(a) 3 a 3a

La representación preferida es 3a

Cuando una variable está siendo multiplicada por un número, el número (coeficiente) está siempre escrito delante de la variable.

Lo siguiente no está permitido:3xa ... El signo de multiplicación parece otra variablea3 ... El número debe estar escrito siempre delante de la variable

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Representación de división...

¿Cómo representas "b dividido por 12"?

b ÷ 12

b ∕ 12

b12

Slide 189 / 314

Cuando se elige una variable, hay algunas que se evitan:

l, i, t, o, O, s, S

Discute con tus compañeros ¿Por qué se deberían evitar?

Res

pues

ta

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Tres veces j

Ocho dividido j

j menos que 7

5 más que j

4 menos que j

12 3

4 5

6 7

8 9

0+

-

.÷

TRADUCIENDO LAS PALABRAS EN EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

j

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La suma de veintitrés y m

Escribe las expresiones para cada oración.Luego controla tu respuesta.

Res

pues

ta

Slide 192 / 314

Veinticuatro menos que d


Res

pues

ta

Slide 193 / 314

Cuatro veces la diferencia entre ocho y j

Escribe las expresiones para cada oración.Recuerda, algunas veces necesitarás usar paréntesis

para una cantidad.

Res

pues

ta

Slide 194 / 314

El producto de siete y w, dividido 12


Res

pues

ta

Slide 195 / 314

El cuadrado de la suma de seis y p


Res

pues

ta

Slide 196 / 314

108 El cociente de 200 y la cantidad de p, 7 veces

A 200 7p

B 200 - (7p)C 200 ÷ 7p

D 7p 200

Res

pues

ta

Slide 197 / 314

109 35 multiplicado por la cantidad de r menos 45

A 35r - 45

B 35(45) - r

C 35(45 - r)

D 35(r - 45) Res

pues

ta

Slide 198 / 314

110 María tiene 5 gomitas para cada uno de 4 amigos.

A 5+4 B 5 - 4 C 5 x 4 D 5 ÷ 4 R

espu

esta

Slide 199 / 314

111 Si n + 4 representa a un entero impar, el siguiente entero impar más grande está representados por

A n + 2B n + 3C n + 5D n + 6


Res

pues

ta

Slide 200 / 314

112 a menos que 27

A 27 - a

B a 27

C a - 27

D 27 + a

Res

pues

ta

Slide 201 / 314

113 Si h representa a un número, ¿cuál ecuación es una traducción correcta de: "Sesenta más que 9 veces un número es 375”?

A 9h = 375B 9h + 60 = 375C 9h - 60 = 375D 60h + 9 = 375


Res

pues

ta

Slide 202 / 314

Uso de expresiones numéricas y algebraicas y ecuaciones


Slide 203 / 314

Podemos usar nuestras habilidades de traducción algebraica para resolver otros problemas.

Podemos usar una variable para mostrar una cantidad desconocida.

Una constante será un cantidad fija.

Si hay dos cantidades desconocidas separadas, relaciona una a la otra.

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En la cafetería de la escuela, hoy se vendieron 225 porciones de comidas con pollo. La cantidad de sándwiches de pollo grillado fue dos veces más que la de croquetas de pollo. ¿Cuántas porciones de cada una se vendieron?

2c + c = 225

sándwiches de pollo

croquetas de pollo

comida total

c + 2c = 225 3c = 225 3 3 c = 75La cafetería vendió 150 sándwiches de pollo grillado y 75 croquetas

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page96svg

Julia está poniendo una pintura en un marco. Su marco es de 9 1/2 pulgadas de ancho y su pintura de 7 pulgadas de ancho. ¿Cuánto debería poner en cada lado?

2m + 7 = 92m + 7 = -7 -7 2m = 2 2 2 m = 1Julia necesita 1 pulgada en cada lado

14

12

12

14

9

ambos lados del mat

Tamaño de la

pintura

Tamaño del marco

12

12

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Muchas veces en las ecuaciones hay un número que es el mismo, no importa cuál (constante) y uno que puede cambiar (variable y coeficiente)

Ejemplo: Jorge está comprando video juegos online.El costo del video es $30 por juego y chipeado tiene una costo adicional de $7. Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró en total?

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Jorge está comprando video-juegos online. El costo de cada video es $30 por juego y chipeado tiene un costo adicional de $7. Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró?

Observa que los vídeo juegos son "por juego", así que eso significa que podría haber diferentes cantidades de juegos y entonces muchos diferentes precios. Esto se muestra a partir de la escritura la cantidad para un juego seguido a la variable que indica cualquier número de juegos.

30g

costo de un vídeo game

número de

juegos

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30 g + 7

costo de un video

juego

número de

juegos

El costo del

chipeado

Jorge está comprando video-juegos online. El costo de cada video es $30 por juego y chipeado tiene un costo adicional de $7. Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró?

Observa también que hay una cantidad específica que está cargada, el costo adicional. Este no cambia, de manera que es la constante y será sumada (o restada) de la otra parte del problema.

Slide 209 / 314

"Total" significa igual de manera que aquí es como escribir el resto de la ecuación.

30g + 7 = 127

La cantidad

total

costo de un video

juego

número de

juegos

El costo del

chipeado

Jorge está comprando video-juegos online. El costo de cada video es $30 por juego y chipeado tiene un costo adicional de $7.Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró?

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30g + 7 = 127 -7 -7 30g = 120 30 30 g = 4 Jorge compró 4 video games.

Jorge está comprando video-juegos online. El costo de cada video es $30 por juego y chipeado tiene un costo adicional de $7.Gastó un total de $127. ¿Cuántos video juegos compró?

Ahora podemos resolverlo

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114 Lorena tiene un jardín y quiere poner una puerta a la cerca directamente en el centro de uno de los lados. La longitud total de la cerca es de 24 metros. Si la puerta es de 4 pies, ¿A cuántos pies debería estar a cada lado de la cerca?

12

Tire

Res

pues

ta

Slide 212 / 314

115 Leandro quiere ir al parque de diversiones con su familia. El costo es de $ 12 para el estacionamiento, más $ 27 por persona para entrar en el parque. Ellos gastaron $ 147. ¿Qué ecuación muestra este problema?

A 12p + 27 = 147 B 12p + 27p = 147 C 27p + 12 = 147 D 39p = 147 R

espu

esta

Slide 213 / 314

116 Leandro quiere ir al parque de diversiones con su familia. El costo es de $ 12 para el estacionamiento, más $ 27 por persona para entrar en el parque. Ellos gastaron $ 147. ¿Cuántas personas fueron al parque CON Leandro?

Res

pues

ta

Slide 214 / 314

117 María está ahorrando para una nueva bicicleta que es de $ 239. Ella tiene guardado $ 68. Si quiere guardar $ 9 por semana, ¿cuántas semanas tomará para ahorrar lo suficiente para su bicicleta?

A 9 + 68 = 239B 9d + 68 = 239C 68d + 9 = 239D 77d = 239

Res

pues

ta

Slide 215 / 314

118 María está ahorrando para una nueva bicicleta que es de $ 239. Ella tiene guardado $ 68. Si quiere guardar $ 9 por semana, ¿cuántas semanas tomará para ahorrar lo suficiente para su bicicleta?

Tire

Res

pues

ta

Slide 216 / 314

119 Estás vendiendo camisetas por $ 15 cada una para recaudar fondos. Vendiste 17 menos hoy de lo que hiciste ayer. En total, ha recaudado $ 675.

Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número de camisetas que se vendieron hoy.

Prepárate para mostrar tu ecuación!!!

Res

pues

ta

Slide 217 / 314

120 Raquel compró 12,53 dólares en materiales escolares. Ella todavía tiene que comprar lapiceras que cuestan $ 2.49 por paquete. Tiene un total de 20 dólares para gastar en material escolar. ¿Cuántos paquetes de lapiceras puede comprar?

Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número de paquetes de lapiceras que Raquel puede comprar.

Prepárate para mostrar tu ecuación!

Res

pues

ta

Slide 218 / 314

121 La longitud de un rectángulo es 9 cm mayor que su ancho y su perímetro es de 82 cm.

Escribe y resuelve una ecuación para determinar el ancho del rectángulo.


Res

pues

ta

Slide 219 / 314

122El producto de -4 y la suma de 7 más que un número es -96.

Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número.


Tire

Res

pues

ta

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123 Una compañía de revistas tiene más de 2.100 suscriptores este año que el año pasado. Su revista se vende por $ 182 por año. Su ingreso combinado del año pasado y este año es $ 2.566.200.

Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número de subscriptores que tuvieron cada año.


¿Cuántos abonados hubo el año pasado?

Tire

Res

pues

ta

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124 Una compañía de revistas tiene más de 2.100 suscriptores este año que el año pasado. Su revista se vende por $ 182 por año. Su ingreso combinado del año pasado y este año es $ 2.566.200.

Escribe y resuelve una ecuación para determinar el número de subscriptores que tuvieron cada año.


¿Cuántos abonados hay este año?

Res

pues

ta

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125El perímetro de un hexágono es 13.2 cm.

Escribe y resuelve una ecuación para determinar la longitud de un lado del hexágono.


Tire

Res

pues

ta

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126 Rebeca y Megan fueron a un negocio que vende accesorios, bufandas y bolsos. El costo de todos los artículos del negocio incluye impuestos.

Parte A. Rebeca compra algunas bufandas que cuestan $5 cada una y dos bolsos que cuestan $12 cada uno. El costo total de las compras de Rebeca es $39. Escribe una ecuación para calcular n, el número de bufandas que compró.

Arrastra y suelta la variable o el número apropiados dentro de cada recuadro



n 2 5 12 17 24 39

+ =

Res

pues

ta

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127 (Continúa de la diapositiva previa)

Megan compró 3 pulseras y 3 collares. Cada pulsera costó $5. Pagó con $40 y le dieron de vuelto $4. ¿Cuánto costó cada collar?



Res

pues

ta

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128 Jésica alquiló un video juego y dos películas por $11.5.

El alquiler del video juego costó $4.75.

El alquiler de cada película costó lo mismo.

¿Cuánto pagó Jésica el alquiler de cada película?



Res

pues

ta

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129 La semana pasada, David entrenó la misma cantidad de tiempo cada día, durante 5 días-

Su entrenamiento incluyó caminata y pileta.

Cada día caminó 10 minutos.

En total caminó 225 minutos.

¿Cuántos minutos nadó David en cada uno de los 5 días?



Res

pues

ta

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130 Al comenzar el mes, el valor de una inversión fue de $48.45, al finalizar el mes, el valor de la inversión cambió perdiendo $13.80.

¿Cuál fue el valor de la inversión al terminar el mes?



Res

pues

ta

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Graficando y escribiendo inecuaciones

con una variable


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page96svg

Cuando necesitas usar una inecuación para resolver un problema de palabras, es posible que encuentres una de las frases de abajo.

Palabras importantes

Sentencia de muestra Equivalente Traducción

es más que Trenton está a más de 10 millas de distancia.

t > 10

es mayor que A es mayor que B. A > B

debe exceder La velocidad debe exceder los 25 mph.

La velocidad es mayor que

25 mph. s > 25

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Palabras importantes

Sentencia de muestra Equivalente Traducción

no puedeexceder

El tiempo no puede exceder los 60 minutos

El tiempo debe ser menor o igual que 60

minutos

t < 60

es como máximo

Como máximo, 7 estudiantes

llegaron tarde a la clase

Siete o menos estudiantes

llegaron tarde a la clase

n < 7

es comomínimo

Bob tiene como mínimo 14 años

La edad de Bob es mayor o igual

que 14B > 14

Cuando necesitas usar una inecuación para resolver un problema de palabras, es posible que encuentres una de las frases de abajo.

Slide 231 / 314

¿Cómo se leen estas inecuaciones?

2 + 2 > 3 Dos más dos es mayor que 3

2 + 2 ≥ 4 Dos más dos es mayor que o igual a 4

2 + 2 < 5 Dos más dos es menor que 5

2 + 2 ≤ 5 Dos más dos es menor que o igual a 5

2 + 2 ≤ 4 Dos más dos es menor que o igual a 4

2 + 2 > 3 Dos más dos es mayor que o igual a 3

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Leyendo inecuacionesVamos a traducir cada sentencia en una inecuación.

x es menor que 10

20 es mayor que o igual a y

x < 10

palabra

sentencia de inecuación

traducida a

20 > y

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Intenta unos pocos:

1. 14 es mayor que a

2. b es menor que o igual a 8

3. 6 es menor que el producto de f y 20

4. La suma de t y 9 es mayor que o igual a 36

5. 7 más que w es menor que o igual a 10

6. 19 disminuido en p es mayor que o igual a 2

7. menos que 12 ítems

8. No más que 50 estudiantes

9. Al menos 275 personas atienden el juego

Res

pues

tas

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¿Hablas Matemática?Traduce las siguientes expresiones del Español a matemática.

El doble de un número es al menos cuatro.

Tres más un número es al menos seis

2x ≤ 4

3 + x ≥ 6

click

click

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Cinco menos que un número es menos que dos veces ese número.

La suma de dos números consecutivos es al menos trece.

Tres veces un número más siete es al menos nueve.

x - 5 < 2x

x + (x + 1) ≥ 13

3x + 7 > 9

click

click

click

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7.5

$7.50

7.5

al menos

>

Un empleado gana

e

Los empleados de una tienda ganan por lo menos $ 7.50 por hora. Define una variable y escribe una inecuación para la cantidad que los empleados pueden ganar por hora.

e representa el sueldo de un empleado

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Intenta éste:

La velocidad límite en la ruta es 55 millas por hora. Define una variable y escribe una inecuación.

Res

pues

ta

Slide 238 / 314

131 Tienes $200 para gastar en ropa. Ya has gastado $140 y las remeras cuestan $12. ¿Qué ecuación muestra ésta situación?

A 200 < 12x + 140B 200 12x + 140C 200 > 12x + 140D 200 12x + 140

≤

≥

Res

pues

ta

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132 Una tortuga puede vivir hasta 125 años. Si una ya tiene 37 años, cuál es la sentencia que muestra cuántos años más podría vivir?

125 < 37 + x125 37 + x≤

A

BC 125 > 37 + x D 125 37 + x≥

Res

pues

ta

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133 El ancho de un rectángulo es 3 pulgadas más grande que el largo. El perímetro no es menor que 25 pulgadas.

A 4a + 6 < 25B 4a + 6 25C 4a + 6 > 25D 4a + 6 ≥ 25

≤

Res

pues

ta

Slide 241 / 314

134 El valor absoluto de la suma de dos números es menor que o igual que la suma de los valores absolutos de los mismos dos números.

A

B

CD

Res

pues

ta

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Una solución a una inecuación NO es un número individual. En su lugar, las

inecuaciones tienen más que un valor para una solución.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Esto sería leído como, " El conjunto solución son todos los números mayores que o igual a menos 5 "

Conjunto de soluciones

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Vamos a nombrar los números que son soluciones de la desigualdad dada.

r > 10 ¿Cuáles de los siguientes son soluciones? {5, 10, 15, 20}

5 > 10 No es ciertoentonces, 5 no es una solución

10 > 10 No es ciertoEntonces, 10 no es una solución

15 > 10 Es ciertoEntonces, 15 es una solución

20 > 10 Es ciertoEntonces, 20 es una solución

Respuesta:{15, 20} son soluciones para la inecuación r > 10

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Vamos a intentar con otras

30 ≥ 4d; {3, 4, 5, 6, 7, 8}

30 ≥ 4d30 ≥ (4)330 ≥ 12

30 ≥ 4d30 ≥ (4)430 ≥ 16

30 ≥ 4d30 ≥ (4)530 ≥ 20

30 ≥ 4d30 ≥ (4) 630 ≥ 24

30 ≥ 4d30 ≥ (4)730 ≥ 28

30 ≥ 4d30 ≥ (4)830 ≥ 32

click para revelar

click para revelar

click para revelar

click para revelar

click para revelarclick para

revelar

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Graficando inecuaciones. El círculo

Un círculo abierto sobre un número muestra que ese número NO ES parte de la solución. Se usa con "mayor que" y "menor que".La palabra igual no está incluida. < >

Un círculo cerrado sobre un número muestra que ese número ES parte de la solución.Se usa con "Mayor que o igual a" y "menor que o igual a".< >

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Graficando inecuaciones. La flechaLa punta de flecha debería siempre apuntar en la dirección de aquellos números que satisfacen la inecuación.

*Si la variable está en el lado izquierdo de la inecuación, entonces < y ≤ mostrarán una flecha apuntando a la izquierda.

*Si la variable está sobre el lado izquierdo de la inecuación, entonces > y ≥ mostrarán una flecha apuntando hacia la derecha

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Observa que < y ≤ parecen una flecha apuntando a la izquierda y que > y ≥ parecen una flecha apuntando a la derecha

Pero, ¿qué pasa si la variable no está sobre el lado izquierdo? Busca el opuesto de donde apunta el símbolo de la inecuación.

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

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¿Cuál es el número en la inecuación?

¿Qué tipo de círculo se debería usar?

¿En qué dirección va la recta?

Graficando inecuaciones

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Paso 1: Reescribe ésto como x < 5.

Paso 2: ¿Qué tipo de círculo? Porque ésto es menos que, no incluye el número 5 así que se debe usar un círculo abierto.

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

Graficando inecuacionesx es menor que 5

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Paso 4: Dibuja una recta, más gruesa que la recta horizaontal desde el punto hasta la punta de flecha. Esto representa todos los números que cumplen la inecuación.

Paso 3: Dibuja una punta de flecha sobre la recta numérica mostrando todas las posibles soluciones. Los números mayores que la variable, van hacia la derecha. Los números menores que la variable, van hacia la izquierda.

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

x < 5

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

Slide 251 / 314

Paso 1: Reescribe ésto como x ≤ 5.

Paso 2: ¿Cuál es el tipo de círculo? Porque es menor que o igual que, esto si incluye el número 5 así que el círculo debe ser cerrado.

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

Graficando inecuacionesx es menor que o igual a 5

Slide 252 / 314

Paso 4: Dibuja una recta, más gruesa que la recta horizontal, desde el punto hasta la punta de flecha. Ésta representa todos los números que completan la inecuación.

Paso 3: Dibuja una punta de flecha sobre la recta numérica mostrando todas las posibles soluciones. Los números mayores que la variable, van hacia la derecha. Los números menores que la variable, van hacia la izquierda.

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

x ≤ 5

Slide 253 / 314

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

IntentaGraficar la inecuaciónx > 2

Graficar la inecuación -3 > x

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Hacé click en 2 sobre la recta numérica para ver la respuesta

Hacé click en -3 sobre la recta numérica para ver la respuesta

Res

pues

ta

Slide 254 / 314

Intenta éstoGrafica las inecuaciones.

1. x > -3

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

2. x < 4

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

Res

pues

ta

Slide 255 / 314

Intenta éstos.Indica la inecuación mostrada

1.

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

2.

Res

pues

ta

Slide 256 / 314

135 Este conjunto de soluciones sería x > -4.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Verdadero

Falso

Res

pues

ta

1. x< 52. x> -1

Slide 257 / 314

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

136

A x > 3

B x < 3

C x < 3

D x > 3

Indica la inecuación mostrada.R

espu

esta

Slide 258 / 314

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

137

A 11 < x

B 11 > x

C 11 > x

D 11 < x

Indica la inecuación mostrada.

Res

pues

ta

Slide 259 / 314

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

138

A x > -1

B x < -1

C x < -1

D x > -1

Indica la inecuación mostrada.

Res

pues

ta

Slide 260 / 314

-1-5 1 50-2-3-4 2 3 4

139

A -4 < x

B -4 > x

C -4 < x

D -4 > x

Indica la inecuación mostrada.R

espu

esta

Slide 261 / 314

-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

140

A x > 0

B x < 0

C x < 0

D x > 0

Indica la inecuación mostrada

Res

pues

ta

Slide 262 / 314

Inecuaciones simples que involucran adición y sustracción


Slide 263 / 314

x + 3 = 13 - 3 - 3 x = 10

¿Recuerdas como se resuelve una ecuación algebraica??

10 + 3 = 13 13 = 13

Asegúrate de controlar tu respuesta!

Usa la inversa de la adición

Slide 264 / 314

· Resolver inecuaciones de un paso es muy parecido a resolver ecuaciones de un paso. · Para resolver una inecuación necesitar aislar la variable usando las propiedades de las inecuaciones y la inversa de las operaciones.

· Recuerda, cualquier cosa que hagas de un lado, DEBES hacerlo también del otro lado.

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page96svg

12 > x + 5-5 -5 Resta para deshacer la suma 7 > x

Para encontrar la solución, aisla (despeja) la variable x.

Recuerda, está aislada o despejada cuando aparece sola en uno de los lados de la ecuación.

Slide 266 / 314

7 > xEl símbolo es > así que se indica con un círculo abierto y estos números son menores que 7 de

manera que van a la izquierda.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Slide 267 / 314

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A. j + 7 > -2

Resuelve y grafica.

-9 no está incluido en el conjunto solución; por lo tanto lo graficamos con un círculo abierto.

A. j + 7 > -2 -7 -7 j > -9

Slide 268 / 314

B. r - 2 > 4

Resuelve y grafica.

1110 12 13 149876543210

r - 2 > 4 +2 +2 r > 6

Slide 269 / 314

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

5 > w

- 4 - 49 > w + 4

w < 5

C. 9 > w + 4

Resuelve y grafica.

Slide 270 / 314

141 Resuelve la inecuación.

3 < s + 4

____ < s

Res

pues

ta

Slide 271 / 314

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10B

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10C

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

D

142 Resuelve la inecuación y grafica la solución.-4 + b < -2

Res

pues

ta

Slide 272 / 314

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

B

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

C

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

D

143 Resuelve la inecuación y grafica la solución.

-8 > b - 5R

espu

esta

Slide 273 / 314

144 Resuelve la inecuación.

m + 6.4 < 9.6m < ______

Tire

Res

pues

ta

Slide 274 / 314

Inecuaciones simples que involucran Multiplicación y División


Slide 275 / 314

Ya que x está multiplicado por 3, aplica en ambos lados la operación inversa, es decir, divide por 3 en ambos lados.

Multiplicando o dividiendo por un Número Positivo

3x > -36

3x > -36 3 3

x > -12

Slide 276 / 314

Resuelve la inecuación

2 3

r < 4

3 2( )

r < 6

Ya que r está multiplicado por 2/3, multiplica ambos lados por el recíproco de 2/3.

2 3

r < 4 3 2( )

Slide 277 / 314

page96svg

145 3k > 18

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

A

B

C

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10D

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Tire

Res

pues

ta

Slide 278 / 314

146

A

B

C

-30 > 3q

10 > q

-10 < q

-10 > q

D 10 < q

Res

pues

ta

Slide 279 / 314

147 X 2

A

B

C

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10D

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

< -3

Res

pues

ta

Slide 280 / 314

148

A

B

C

g > 27

g > 36

g > 108

g > 36

D g > 108

3 4

Res

pues

ta

Slide 281 / 314

149

A

B

C

-21 > 3d

d > -7

d > -7

d < -7

D d < -7

Res

pues

ta

Slide 282 / 314

· Algunas veces debes multiplicar o dividir para despejar una variable.

· Multiplicar o dividiendo ambos lados de una ecuación por un número negativo da un resultado sorprendente.

Ahora vamos a ver qué sucede cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo.

Slide 283 / 314

1. Escribe abajo dos números y coloca los símbolos apropiados apropiados (< o >) entre ellos.

2. Aplica cada regla para tus dos números originales del paso 1 y simplifica. Escribe los símbolos correctos de inecuación (< o >) entre las respuestas.

A. Suma 4

B. Resta 4

C. Multiplica por 4

D. Multiplica por -5

E. Divide por 4

F. Divide por -4

Slide 284 / 314

3. ¿Qué sucedió con los símbolos de inecuación en tus resultados?

4. Compara tus resultados con los de tus compañeros.

5. ¿Qué patrones observas en las inecuaciones?

¿Cómo afectan las diferentes operaciones a las inecuaciones?

Escribe una regla para inecuaciones.

Slide 285 / 314

Vamos a ver qué sucede cuando multiplicamos esta inecuación por -1.

5 > -1

-1 • 5 ? -1 • -1

-5 ? 1

-5 < 1

Sabemos que 5 es mayor que -1

Multiplica ambos lados por -1

Es -5 menor o mayor que 1?

Sabemos que -5 es menor que 1, así que deberías usar <

¿Qué sucedió con el símbolo de la inecuación para mantener la sentencia de inecuación verdadera?

Slide 286 / 314

La dirección de la inecuación cambia sólo si el número que estás usando para multiplicar o dividir es negativo.

Pista útil

Slide 287 / 314

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Dividiendo cada lado por -3 cambia > a <.

-3y > 18

-3y < 18 -3 -3

y < -6

Resuelve y grafica.

A.

Slide 288 / 314

Divide cada lado por -7

El signo se da vuelta porque dividiste por un negativo.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

-7m > -28

-7m < - 28 -7 -7

m < 4

Resuelve y grafica.

B.

Slide 289 / 314

Divide cada lado por 5.

El signo NO cambia porque no dividiste por un negativo.

5m > -255m > -25 5 5

m > -5

Resuelve y grafica

C.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Slide 290 / 314

D. -8y > 32

Resuelve y grafica

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

E. -9f > -54

Res

pues

ta

Slide 291 / 314

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Multiplicaste por un negativo.

-r 2

< 5

-2( )r > -10

Multiplica ambos lados por el recíproco de -1/2.

-r 2

> 5 -2( )¿Por qué cambió la inecuación?

Slide 292 / 314

1. -6h < 42

Intenta éstos.Resuelve y grafica cada inecuación.

2. 4x > -20

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Res

pues

ta

Slide 293 / 314

3. 5m < 30

Intenta éstos.Resuelve y grafica cada inecuación.

4. > -3

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

a -2 R

espu

esta

Slide 294 / 314

150

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Resuelve y grafica.

3y < -6

Si no puedes poner la inecuación en tu responder,

sólo coloca el número.

Tire

Res

pues

ta

Slide 295 / 314

151

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Resuelve y grafica.

x -4 < -2 Ti

re



Res

pues

ta

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152

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Resuelve y grafica.

-5y ≤ -25

Tire


sólo coloca el número.R

espu

esta

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153

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Resuelve y grafica

n -2 > 2

Res

pues

ta



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154 Considera la desigualdad 5x < 30.

Parte A

Natalia dice que cualquier valor de x menores de 25 hacen cierta la desigualdad. · Usa un ejemplo para demostrar que lo que dice

Natalia no es cierto.· Explica por qué tu ejemplo desaprueba su

afirmación.

Parte B

Describe en palabras todos los valores de x que hacen cierta la desigualdad. Explica tu respuesta.



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154 Considera la desigualdad 5x < 30.

Parte A

Natalia dice que cualquier valor de x menores de 25 hacen cierta la desigualdad. · Usa un ejemplo para demostrar que lo que dice

Natalia no es cierto.· Explica por qué tu ejemplo desaprueba su

afirmación.

Parte B

Describe en palabras todos los valores de x que hacen cierta la desigualdad. Explica tu respuesta.




Res

pues

ta

Las respuestas de los estudiantes incluyen cada uno de los siguientes 2 elementos:· Ejemplo que desaprueba la afirmación de Natalia· Explicación de por qué el ejemplo demuestra que la afirmaciòn no es ciertaMuestra de respuesta5 x < 305 (15) < 3075 < 30La afirmación de Natalia es incorrecta porque elegí 15, un número que es menor que 25 y no hizo cierta la igualdad. Ya que 75 no es menor que 30, no es una solución para la desigualdad. Esto desaprueba laafirmación de Natalia

Las respuestas de los estudiantes incluye cada uno de los siguientes 2 elementos:

· La correcta descripción en palabras, de los valores de x que hacen la desigualdad cierta: x es menor que.

· Explicación válida dada

Muestra de respuestas de Natalia

5 x < 30 así que si divido ambos lados de la desigualdad por 5, obtengo x < 6. Los valores de x que hacen la desigualdad cierta son cualquier valor menor que 6.


Glosario


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tema

Propiedad asociativa de la suma

El orden en el cual se agrupan los términos de una suma no cambia el

resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9

2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

5 + 4 = 2 + 7

9 = 9

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Propiedad asociativa de la multiplicación

El orden en el cual los términos de un producto son agrupados no

cambian el producto.

(a•b)•c = a•(b•c) (3•4)•5 = 3•(4•5)

12•5 = 3•20 60 = 60 (3•4)•5 = 12•5 = 60

3•(4•5) = 3•20 = 60 Volver

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Propiedad conmutativa de la adición

El orden de los términos de una suma no cambia el resultado de la suma.

2 + 3 = 53 + 2 = 5

2 + 3 = 3 + 2 5 = 5a + b = b + a

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Propiedad conmutativa de la multiplicación

El orden de los términos de un producto no cambia el resultado.

2 • 3 = 63 • 2 = 6

2 • 3 = 3 • 26 = 6

ab = ba

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tema

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Propiedad distributiva

Para todos los números reales a, b, c, a(b+c) = ab + ac y a(b - c) = ab - ac.

a(b + c) = ab + ac

a(b - c) = ab - ac

3(2 + 4) = (3)(2) + (3)(4) =

6 + 12 = 183(2 - 4) =

(3)(2) - (3)(4) =6 - 12 = -6

3(x + 4) = 48 (3)(x) + (3)(4) = 48

3x + 12 = 48 3x = 36 x = 12

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Ecuación Una afirmación matemática que

contiene un signo igual para representar que dos expresiones son

iguales.

4 + 9 = 13

1 + 2 = 322 = 20 + 2

3y + 2 = 117x = 21

(donde x = 3) 3x + 6 = 11

7 + 4 = 905 = -3 + 10

(donde x = 3)(donde y = 3)

11 - 1 = 3z + 1(donde z = 3) Volver

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7x 3y + 22 - 9b

-0.5a7 x 6

7x = 2111 = 3y + 2

11 - 1 = 3z + 1

¡Recuerda!

7x "7 veces x"

"7 dividido por x"

Números, símbolos y operadores agrupados que representar el valor de

algo.

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Expresión

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Factoreo La propiedad distributiva al

revés.

Calcular todos los números o variables en que se dividen todas las partes de una ecuación.

7x + 35

2x + 4y 13x + 8z

no puede ser factoreado(los términos no tienen nada en común).

PRIMO

1 • 7 • x + 7 • 5

7(x + 5) 1 • 2 • x + 1 • 2 • 2 • y

2(x + 2y) =

=

==

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Inversa

Suma

Resta

Multiplicación

División

+

x ÷

11 = 3y + 2- 2- 2

9 = 3y÷ 3÷ 3

3 = y

- 5 + x = 5

x = 10+ 5 + 5

La operación que revierte o deshace el efecto de otra operación.

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Términos semejantes

Los téminos en una expresión que tienen la misma variable elevada a la misma

potencia.

3x

5x15.7x

x 1/2x

-2.3x27x3

-2x3

x3

1/4x3

-5x3

2.7x3

5x3

5x

5x25

5x4

NO SON SEMEJANTES!

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7mo grado matemática expresiones y...

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