公開鍵暗号8: 有限体上の楕円曲線の位数計算

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等分多項式

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楕円曲線における座標環と有理関数体

実験数学 3(大阪大学理学部数学科 3年・4年)第 8回: 有限体上の楕円曲線の位数計算

鈴木譲

大阪大学

2013年 6月 27日

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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 8 回: 有限体上の楕円曲線の位数計算

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等分多項式

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n等分点

E [n] := {P ∈ E |[n]P = O} (E の部分群)[n] : E → E , P 7→ [n]P

P ̸∈ E [n]のとき、(gn(P), hn(P)) := (x([n]P), y([n]P))

P ∈ E [n]のとき、(gn(P), hn(P)) := (∞,∞)

< E [n] >:=∑

P∈E [n] < P >

E [n]は、n2個の要素をもち、div(ψn) =< E [n] > −n2 < O >で、最高次の係数が nのものを ψnとおくと、

gn(P) = x(P)− ψn+1(P)ψn−1(P)

ψn(P)2

hn(P) =ψn+2(P)ψn−1(P)

2 − ψn−2(P)ψn+1(P)2

4yψn(P)3

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等分多項式

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等分多項式

P ∈ E [n] ⇐⇒ ψn(P) = 0

ψ0 = 0

ψ1 = 1

ψ2(P) = 2y

ψ3(P) = 3x4 + 6ax2 + 12bx − a2

ψ4(P) = 4y(x6 + 5ax4 + 20bx3 − 5a2x2 − 8b2 − a3)

m > n > 0のとき

ψ2nψm+1ψm−1 − ψ2

mψn+1ψn−1 = ψm+nψm−n

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等分多項式

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Frobenius写像

a, b ∈ Fp =⇒ ap = a, bp = b

(yp)2 = (x3 + ax + b)p = (xp)3 + apxp + bp = (xp)3 + a(xp) + b

(x , y) ∈ E =⇒ (xp, yp) ∈ E

φ : E → E , P(x , y) 7→ (xp, yp) (P ̸= O), O 7→ O

(x , y) ∈ E [m] ⇐⇒ ψm(x , y) = 0 ⇐⇒ {ψm(x , y)}p = 0

⇐⇒ ψm(xp, yp) = 0 ⇐⇒ (xp, yp) ∈ E [m]

φm : E [m] → E [m], P(x , y) 7→ (xp, yp) (P ̸= O), O 7→ O

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等分多項式

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Hasse 1931

t := p + 1− |E (Fp)|として、

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1 φ ◦ φ(P)− [t] ◦ φ(P) + [p]P = O, P ∈ E

(x , y) ∈ E\{O} =⇒ (xp2

, yp2

)− [t](xp, yp) + [p](x , y) = O

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2 |t| ≤ 2√p

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等分多項式

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Schoofの方法

(xp2, yp

2) + [p](x , y)と (xp, yp)を計算して、(x , y) ∈ E\{O}で

(xp2, yp

2) + [p](x , y) = [t](xp, yp) (1)

なる−2√p ≤ t ≤ 2

√pを見出すのではなく、∏m:prime,2≤m≤M

m > 4√p

なるM 以下の各素数mについて、(x , y) ∈ E [m]\{O}で

(xp2, yp

2)m + [pm](x , y) = [tm](x

p, yp)m (2)

(u, v)m = (u mod ψm, v mod ψm), pm := p mod m, tm := t modmなる 0 ≤ tm ≤ m − 1を求める。最終的に、{tm}m:prime,2≤m≤M を合成して、t を求める。

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等分多項式

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イデアル

R: 可換環

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I が R のイデアル

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I が R の (+に関する)部分群で、a ∈ I , r ∈ R =⇒ ar ∈ I ,

例: I = {(x2 + x + 1)f |f ∈ K [x ]}は、K [x ]のイデアルをなす。

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I が R の単項イデアル

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I = aR := {ar |r ∈ R}なる a ∈ R が存在

Z,K [x ]のイデアルは、単項イデアルである (単項イデアル整域)。一般には、

I = a1R + a2R + · · · := (a1, a2, · · · )

となり、a1, a2, · · · を生成元という。

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等分多項式

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剰余環

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R/I が R のイデアル I による剰余環

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a− b ∈ I ⇐⇒ a ∼ bの同値類で R を割ったもの

剰余環 K [x , y ]/I は

(1)は、I = (y2 − x3 − ax − b)

(2)は、I = (y2 − x3 − ax − b, ψm(x , y))

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公開鍵暗号8: 有限体上の楕円曲線の位数計算

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