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2010年11月22日(月) 13:00-14：30 S2Y平成22年度 工V系(社会環境工学科) 第７回平成22年度 工V系(社会環境工学科) 第７回 電磁気学Ⅰ
天野 浩
項目
電気双極子、種々の帯電体による電界と電位の計算法
＊本日は二つの事柄、即ち①電気双極子、及び①電気双極子、及び②種々の帯電体と電界、電位の計算法の実際を学びます。を学びます。
電気双極子の考え方の応用例
＊分極・・・固体やガスなどで生じる。
物質名 比誘電率
強誘電体チタン酸バリウム 約5,000水 80.4
アルコール 16～31ガラス 5.4～9.9
圧電スピーカ
ガラス 5.4 9.9木材 2.5～7.7雲母 7 0雲母 7.0紙 2.0～2.6空気 1 00059空気 1.00059
真空の誘電率 ]/[108548 12 mF0 r 真空の誘電率 ]/[10854.80 mF
http://f.hatena.ne.jp/koki-h/20090428190100
•空気＝絶縁体電界があまりに大きくなると絶縁も壊れる•電界があまりに大きくなると絶縁も壊れる。
•→空気の絶縁が壊れると…
空気の絶縁破壊電界は空気の絶縁破壊電界は約30[KV/cm]
と言われていると言われている。
誘電体を使うと何がよいのか?
Sコンデンサ(キャパシタ)容量
d
SC
d：誘電率 S：面積 d：電極間隔
Q=C・Vなので、同じ電圧ならばCが大きい方がQが大きい！
誘電率の大きい材料を用いると 同じ面積 同じ電誘電率の大きい材料を用いると、同じ面積、同じ電圧、同じ厚さで、蓄える電荷量を増やすことができる！る！
http://www.aobaya.jp/photo1.html
誘電体に関する最近のエレクトロニクスの話題
FeRAMは、構造などがDRAMに似ていて、フラッシュメモリの10倍以
学生証にもFeRAM
上に及ぶ高速な読み書きが可能である。また、信頼性の面においてもフラッシュメモリ、EEPROMに比べて格段に上と言われている。
http://journal.mycom.co.jp/news/2003/07/09/11bl.jpghttp://www.usc-sbc.com/felica/index.htm
FeRAM:強誘電体メモリ
静電容量の定義
１ 空間に孤立した導体に電荷Q[C]が帯電しており その時の導体の１．空間に孤立した導体に電荷Q[C]が帯電しており、その時の導体の電位がV[V]であるとき、その導体の静電容量Cは
]FV/C[V
QC 単位はファラッド
２ 空間の二つの導体に電荷＋Q[C] -Q[C]が帯電しており 導体間
V
２．空間の二つの導体に電荷＋Q[C]、 Q[C]が帯電しており、導体間の電位差がV[V]であれば、その導体間の静電容量は
Q]F[
V
QC
電荷を蓄えられるように配置した1対の導体をキャパシタ、またはコンデンサと呼ぶ。
http://www.sony.co.jp/SonyInfo/News/Press/200510/05-055/http://ascii.jp/elem/000/000/344/344538/
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
真空中の場合の平行平板コンデンサ
面積S V＋ ＋＋ 電界
金属電極 ｄ＋ ＋＋
－ － － ]/[ mVE 電界
電束密度ベクトル
]/[ 20 mCED
電極の全電荷電極の全電荷
Q=C・V=D・S[C］d
SC
d
VE 0, Q [ ］
dd 0
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
電極間に誘電体を挟んだ時、誘電率が0からに変わったとする。
面積S V＋
＝r0 として、rを比誘電率と呼ぶ。X線領域以外では、r>1
ｄ＋ ＋＋
－ － －
＋ ＋
－ －
r
)1(1 rr
金属電極 )1(100 EEED rr
]/[
)1(2
00
mCPE
EE r
]/[0 mCPE
Pを分極ベクトルと呼ぶ。 単位[C/m2]Pを分極 クトルと呼ぶ。 単位[C/m ]
]/[)1( 20 mCEP r
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
分極とは何か?→ 物質内部で、電気的に中性であったものが、電荷が発生する現象。
imP
ーq +q i
imPq q
qm
電気双極子 は微小長さ、 mは電気双極子モーメント電気 極 微 長 、 電気 極
物質内部に発生する電気双極子の総和が分極P
物質内部に発生する電気双極子の総和が分極P
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
分極の種類分極の種類
１ 電子による分極
核
１． 電子による分極
E
＋電子雲
原子核＋
m
電子雲
＊各原子における正電荷(原子核)と負電荷(電子)の重心位置のずれ＊各原子における正電荷(原子核)と負電荷(電子)の重心位置のずれにより、電気双極子が発生する。＊特徴：電子は 原子核に強く束縛されているので それほど大きくな＊特徴：電子は、原子核に強く束縛されているので、それほど大きくない。＊電子は軽いので 早い周波数にも対応する＊電子は軽いので、早い周波数にも対応する。
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
２ イオン分極２． イオン分極
NaClのような結晶を考える。 Na：正イオン（青） Cl：負イオン(赤紫)
EE
＋＝
元の格子＋ずれた格子位置に電気双極子を配置することと同じ元の格子＋ずれた格子位置に電気双極子を配置することと同じ。特徴：格子振動に対応するので、赤外領域まで追随する。
電気双極子とは?
短い距離d[m]だけ離れた±Q[C]の電荷対P 短い距離d[m]だけ離れた±Q[C]の電荷対
Q7-1 Pの電位は？
z P
1r
)11
(4
QV
d ＋Q
1r2r
4 210 rry2
d
＋Q 2
cos
drr
x 2
d－Q
d<<rなので
cos2
,cos2
2
1
drr
rr
22
22
cos
4
cos
4 r
Qd
d
dQV
0220 4
cos4
4 rdr
電気双極子モーメントp[C・m]を定義する。 dQp
22
cos
4
cos
4 r
p
r
QdV
電気双極子モ メントp[C m]を定義する。 dQp
00 44 rr
電気双極子による電界 デカルト座標系 (Cartesian Coordinate)
P( ) ddz P(x,y,z)
r )
2,,(),
2,,( 21
dzyxr
dzyxr
d1r
2r VE
y2
d
d
＋Q 2r Q7-2 電界を求めなさい。
x 2
d－Q
)11
(4
11
4 33 rr
Qx
ddx
Q
x
VEx
1111
4)
2()
2(
4 2102222220
QQV
rrdzyx
dzyx
xx
)11
(4
)2
(
1
)2
(
1
4 32
3102222220 rr
Qy
dzyx
dzyx
y
Q
x
VEy
)22(4
)(
1
)(
1
4 32
3102222220 r
dz
r
dzQ
dzyx
dzyx
z
Q
x
VEz
)2
()2
( zyxzyx
電気双極子による電界 極座標系(Polar Coordinate)第3回講義ノートより
直交座標 円筒座標 極座標
1 11
第 回講義 より
kz
jy
ix
zr iz
ir
ir
1
ir
ir
ir r
sin
11
cosp VE 2
0
cos
4 r
pV
Q7-3 極座標を用いて、電界を求めなさい。
1cos1cos pp r方向の電界
30
20
1
2
cos1
4
cos
r
p
rr
pEr
方向の電界 1sin1 ppE
方向の電界
30
20 4
cos4 r
p
r
p
rE
電界の大きさ
p1cos3
42
30
22 r
pEEE r
2
2.5
1.5
2
きさ
0.5
1
大き
系列1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
z 軸との為す角度[rad]
1cos3 2 のグラフ1cos3 のグラフ
問題2-4無限の長さの導線に単位長さ当たりq［C/m］の電荷が与えられている時， この導線から垂直距離r［m］だけ離れている地点Pでの電界の方向および大きさ、及び電位は？
上下方向の電界は無い
rガウスの法則を使うと qSdD
内部の電荷上下方向の電界は無い
ガウスの法則を使うと qSdD
ddl×2r×D=q×dl
qd ]/[
2 0
mVr
qE
電界の向きは、導線に対して垂直方向外向き電界の向きは、導線に対して垂直方向外向き
r電位は 発散する。
])[log(log22 00
Vrq
drr
qV
r
発散する。
距離r1とr2の電位差は？ ][log22 1
2
00
2
1
Vr
rqdr
r
qV
r
r
1001r
Q7-4 長さが無限で単位長さ当たりq［C/m］に帯電した半径a[m]の中空円筒のｒ方向の電界分布を求めよ。
r
ar<aでは 中に電荷は存在しないのでE=0[V/m]r<aでは、中に電荷は存在しないのでE=0[V/m]。
r>aでは、中心r=0に電荷が集中している導線と同じ。
]/[ mVq
E ]/[2 0
mVr
E
Q7-5 半径a[m]の球導体の表面上にのみ電荷Q[C]が一様に分布している。電界と電位分布を求めなさい。
最初に電界分布を求める。
aQ 球の内部では電荷はゼロ→電界E=0[V/m]
r>aでは ガウスの法則を用いてr>aでは、ガウスの法則を用いて
]/[4 2
mVQ
E ][4 2
0r
次に電位分布を求める。
では ][VQ
dQ
Vr
r>aでは、 ][44 0
20
Vr
Qdr
r
QV
ｒ<aでは、 ][4
04 0
20
Va
Qdr
r
QV
a
球体内部は表面電位と同じ！00 位と同じ
Q7-6 2枚の無限に広い平行導体板がそれぞれ＋、－[C/m2]だけ帯電している。導体板間距離をd[m]とすると、電界分布はどうなる[ ]か？また、２枚の導体板間の電位差はどれだけか？
二枚のー
二枚の板間
d[m]
平行平板の外では 打ち消しあ て電界は零平行平板の外では，打ち消しあって電界は零平行平板の内側のみ ]/[
22 mVE
2 00
電位差は][
0
0
0
VddxVd
00d
同心球の導体の場合の電気力線内側の導体球に＋Q1，外側の導体球に＋Q2の電荷を与えた場合1 2
静電誘導により，外側の導体静電誘導 り，外側 導体球内部表面にーQ1，外部表面に＋Q1の電荷が発生1
＋Q1＋Q2
ーQ1
2＋Q1＋Q2
内部の電気力線は
1Q外部の電気力線は
21 QQ
21 QQ
重要！重要！ガウスの法則の本質
Q7-7 図のように、真空におかれた２個の同心球導体を考える。内球の半径はa[m]、外球の内側の半径はb[m]、外側の半径はc[m]である。(１)内導体球に電荷Q[C] 外導体球に電荷０[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ(１)内導体球に電荷Q[C]、外導体球に電荷０[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ。(２) 内導体球に電荷０[C]、外導体球に電荷Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ。(３)内導体球に電荷Q[C]、外導体球に電荷－Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよよ。
a(1) 導体内部では電界=0、すなわち
0<r<a b<r<cではE=0[V/m]b
a
c
0<r<a、b<r<cではE=0[V/m]
b＞r＞a、r>cでは ]/[4 2
mVQ
E 、 ][4 2
0r
][VQ
V r>cでは c>r>bでは ][VQ
V ][4 0
Vr
V
r>cでは
a<r<bでは][
111V
Qd
QQV
r
c>r>bでは ][4 0
Vc
V
a bでは][
444 02
00
Vbrc
Qdr
r
Q
c
QV
b
＞ では 111Q a＞rでは ][111
4 0
Vbac
QV
Q7-7 図のように、真空におかれた２個の同心球導体を考える。内球の半径はa[m]、外球の内側の半径はb[m]、外側の半径はc[m]である。(２) 内導体球に電荷０[C] 外導体球に電荷Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ(２) 内導体球に電荷０[C]、外導体球に電荷Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ。
0<r<cでは 内部に電荷が無いのでE=0[V/m]
a
0<r<cでは、内部に電荷が無いのでE=0[V/m]
r>cでは ]/[4 2
mVr
QE
ba
c
4 0r
][4
Vr
QV
r>cでは 4 0rr cでは
r<cでは ][1
4V
QV
4 0 c
Q7-7 図のように、真空におかれた２個の同心球導体を考える。内球の半径はa[m]、外球の内側の半径はb[m]、外側の半径はc[m]である。(３)内導体球に電荷Q[C] 外導体球に電荷－Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求め(３)内導体球に電荷Q[C]、外導体球に電荷 Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ。
導体内部では電界=0 すなわち
ba
導体内部では電界=0、すなわち0<r<a、b<r<cではE=0[V/m]
Qc b＞r＞aでは ]/[
4 20
mVr
QE
r＞cでは ]/[0 VEr＞cでは ]/[0 mVE
][0 VV r>bでは
11QQr a<r<bでは ][11
44 02
0
Vbr
Qdr
r
QV
b
a＞rでは ][11
4 0
Vba
QV
0
本日のまとめ
•7問中何問正解したか?
•電気双極子について、自分なりにまとめよ。
•導体内の電界及び電位は理解できたか？
•導体球、無限導線、無限導体板それぞれの電界と電位分布を自分なりにまとめよりにまとめよ。
•次回11月29日(月)は、理解度チェックテストを行います。必ず電卓を持参してください持参してください。