8. grÃfica de una ecuaciÃ“n

5/16/2018 8. GRÃ FICA DE UNA ECUACIÃ N - slidepdf.com

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FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRÓNICA Y MECATRÓNICA

MATEMÁTICA BÁSICA I

LOS NÚMEROS

8

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN

Profesor: Freddy Acosta

2011

1

La primera universidad tecnológicadel Perú

EALESIR



GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN

DISCUSIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN

Para realizar la gráfica de una ecuación, seguiremos los siguientes pasos.

1. INTERSECCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS.

a. Intersección con el eje “x”

Para hallar los interceptos en el eje “x” hacemos y=0, y luego se resuelve la ecuación:

E(x;0)=0

b. Intersección con el eje “y”

Para hallar los interceptos en el eje “y” hacemos x=0, y luego se resuelve la ecuación:E(0;y)=0

2. SIMETRÍA

a. Simetría con el eje “x”

Una curva será simétrico respecto al eje “x” si y sólo sí:

E(x;y)=E(x;-y)

Es decir, reemplazamos “y” por “-y” en la ecuación y si la expresión no cambia con respecto a laoriginal, entonces diremos que la ecuación es simétrico con respecto al eje “x”

2

P(x;y)

P(x;-y)

y

-y



b. Simetría con el eje “y”

Una curva será simétrico respecto al eje “y” si y sólo sí:

E(x;y)=E(-x;y)

Es decir, reemplazamos “x” por “-x” en la ecuación y si la expresión no cambia con respecto a laoriginal, entonces diremos que la ecuación es simétrico con respecto al eje “y”

c. Simetría con respecto al origen.

Una curva será simétrico respecto al origen si y sólo sí:

E(x;y)=E(-x;-y)

Es decir, reemplazamos “x” por “-x” y “y” por “-y” en la ecuación y si la expresión no cambia conrespecto a la original, entonces diremos que la ecuación es simétrico con respecto al origen.

3. EXTENSIÓN:

a. Dominio:

Para halla el dominio de la ecuación, se despeja “y” en función de “x”, es decir y=f(x)

b. Rango:

Para halla el rango de la ecuación, se despeja “x” en función de “y”, es decir x=g(y)

Observación:

i.- Si la ecuación se presenta de la forma: )(

)(

x Q

x P y = , se factoriza el denominador y se resuelve dicha

ecuación siendo dichas raíces los puntos a excluir en el dominio.

ii.- Si la ecuación se presenta de la forma: )(

)(

x Q

x P y = , entonces se toma 0≥

)(

)(

x Q

x P y se desarrolla la

inecuación siendo el conjunto solución el dominio o rango según corresponda.

3

P(-x;y) P(x;y)

x-x



Ejemplo: Discutir la gráfica de 03222 =++−= y x xy y x E );(

4. ASÍNTOTAS:

Son aquellas rectas donde la curva o ecuación nunca cruza; tiende a acercarse en el infinito, peronunca lo toca.

Existen:

a.- Asíntotas Horizontales

La asíntota horizontal es la recta de la forma: L: y=k

Para calcular las asíntotas horizontales de una curva, se ordena la ecuación E(x;y)=0 en potenciasdecrecientes de “x” y se hace cero si es posible el coeficiente de la mayor potencia de “x” y luego sedespeja “y”.

Ejemplo: Hallar las asíntotas horizontales de la curva de la ecuación:

( ) ( ) 019

222

=−+−= x x y y x E );(

OBSERVACIÓN:

- Si de la ecuación E(x;y)=0 al despejar y se tiene una expresión de la forma:

00002

2

1

10

2

2

1

10 ≠≠++++

++++=

−−

−−

bab x b x b x b

a x a x a x ay

m

mmm

nnnn

;;........

........

Como m y n son positivos, tiene asíntota horizontal en:

1. L: y=0 , si n<m

2. mnsi b

ay L == ;:

0

0

3. Si n>m, la gráfica no tiene asíntota horizontal

Ejemplo: Hallar las asíntotas horizontales de la curva de la ecuación:

04422 =+−−= y xy x y x y x E );(

b.- Asíntotas Verticales

La asíntota horizontal es la recta de la forma: L: x=h

Para calcular las asíntotas verticales de una curva, se ordena la ecuación E(x;y)=0 en potenciasdecrecientes de “y” y se hace cero si es posible el coeficiente de la mayor potencia de “y” y luego sedespeja “x”.

4



Ejemplo: Hallar las asíntotas verticales de la curva de la ecuación:

( ) 03212222 =−−−+= y x y y x y x E );(

c.- Asíntotas Oblicuas

Son las rectas de la forma 0≠+= mbmx y L ;: , las asíntotas oblicuas se calculan mediante elsiguiente criterio.

i. Se reemplaza y=mx+b en la ecuación E(x;y)=0 de tal manera que E(x;mx+b)=0 esté en funciónde “x”.

ii. Se efectúa las operaciones indicadas ordenando la ecuación en forma decreciente en “x”

iii. Se iguala a cero los coeficientes de las dos potencias más altas de “x”.

iv. Se resuelve las ecuaciones obtenidas en iii) de donde se obtiene los valores de m y b.

Ejemplo: Calcular las asíntotas oblicuas de la curva de ecuación:

( ) 02 =+−= y xy x y x E ;

Sea L: y=mx+b, la ecuación de la asíntota oblicua.

( ) 02 =+++− bmx bmx x x , de donde ( ) ( ) 01

2 =+−+− b x bm x m

Por identidad se tiene: 110

01==⇒

=−

=−bm

bm

m;

Por lo tanto: 1+= x y L : , es la asíntota oblicua

5. TABULACIÓN

Es dar valores a “x” para hallar los valores de “y” mediante una tabla.

EJERCICIOS

Discutir la gráfica de las siguientes curvas.

1.0162

22

=−− y x y x 2.024 =+−−

y x xy 3.0434

2222

=−+− y xy y x

4. 042 =+− x y y x 5. 04

22 =−− x y y x 6. 02 =+− y xy x

7. 042 =−− x y y x 8. 012 =−+− y x xy 9. 0

222 =−− y x y x

10. 034 =+−− y x xy 11. ( ) 2332 +−=− x x x x y 12. 044

22 =+−− y xy x y x

13. ( ) 112 +=− x y x x 14. 013

22 =−− y xy 15. 022 =−−− y x xy

5

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