8. harjoitukset / ratkaisutsalserver.org.aalto.fi/vanhat_sivut/opinnot/mat-2.2103/... · 2006. 12....
TRANSCRIPT
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset / Ratkaisut
Aiheet: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Avainsanat: Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi, Interaktio, Jäännösneliösumma, Keskiarvo- diagrammi, Kokonaisvaihtelu, Merkitsevyystaso, p-arvo, Päävaikutus, Reunakeskiarvo, Ryhmien sisäinen vaihtelu, Ryhmien välinen vaihtelu, Ryhmä, Ryhmäkeskiarvo, Testi, Testisuure, Vapausaste, Varianssi, Varianssianalyysi, Varianssianalyysihajotelma, Yhteisvaihtelu, Yleiskeskiarvo
Tehtävä 8.1.
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
( )kij i j ij kijy µ α β αβ ε= + + + +
k K1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,i I j J= = =… … …
0
Todista, että
1 1 1 1
( ) ( )I J I J
i i ij iji j i j
α β αβ αβ= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
Tehtävä 8.1. – Mitä opimme?
Tehtävässä todistetaan, että kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin esitysmuodon
( )kij i j ij kijy µ α β αβ ε= + + + +
k K1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,i I j J= = =… … …
parametrit eivät ole riippumattomia, vaan niitä sitoo joukko lineaarisia side-ehtoja. Tehtävä 8.1. – Ratkaisu:
Oletetaan, että ryhmittelevällä tekijällä A on I tasoa:
A1 , A2 , … , AI
ja ryhmittelevällä tekijällä B on J tasoa:
B1 , B2 , … , BJ
Olkoon
ykij = k. havainto ryhmässä, jonka määrittelee tekijän A taso i ja tekijän B taso j, k = 1, 2, … , K , i = 1, 2, … , I , j = 1, 2, … , J
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 1/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisella mallilla on seuraavat ekvivalentit esitysmuodot:
(1) ( ) ( ) ( ) (kij i j ij ì j kij ijy y )µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ= + − + − + − − + + −i i i i
(2) kij ij kijy µ ε= +
(3) ( )kij i j ij kijy µ α β αβ ε= + + + +
k K1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,i I j J= = =… … …
J…
Jäännöstermit εkij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita:
2N(0, )
1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,kij
k K i I j
ε σ
= = =
∼… …
Yhtälössä (1)
1
1
1 1 1 1
1
1
1 1 1
J
ì ijj
I
j iji
I J I J
ij i ji j i j
J
I
IJ I J
µ µ
µ µ
µ µ µ
=
=
= = = =
=
=
= = =
∑
∑
µ∑∑ ∑ ∑
i
i
i i
Siten yhtälöiden (1), (2) ja (3) parametrien välillä on seuraavat yhtälöt:
( )
i i
j j
ij ij ì j
kij kij ijy
α µ µβ µ µ
αβ µ µ µ
ε µ
= −
= −
µ= − − +
= −
i
i
i i
Siten
1 1
1
( )
0
I I
i ii i
I
ii
I
I I
α µ µ
µ µ
µ µ
= =
=
= −
= −
= − =
∑ ∑
∑
i
i
1 1
1
( )
0
J J
j jj j
J
jj
J
J J
β µ µ
µ µ
µ µ
= =
=
= −
= −
= − =
∑ ∑
∑
i
i
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 2/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
1 1
1 1
( ) ( )
0
I I
ij ij i ji i
I I
ij i ji i
j j
I I
I I I I
αβ µ µ µ µ
µ µ µ
µ µ µ µ
= =
= =
= − − +
= − − +
= − − + =
∑ ∑
∑ ∑
i i
i i
i i
µ
1 1
1 1
( ) ( )
0
J J
ij ij i jj j
J J
ij i jj j
i ì
J J
J J J J
αβ µ µ µ µ
µ µ µ
µ µ µ µ
= =
= =
= − − +
= − − +
= − − + =
∑ ∑
∑ ∑
i i
i i
i i
µ
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 3/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Tehtävä 8.2.
Tarkastellaan interaktion eli yhdysvaikutuksen ilmenemistä seuraavassa tilanteessa:
Oletetaan, että ryhmittelevillä tekijöillä A ja B on kummallakin kaksi tasoa:
Ai , i = 1, 2
Bj , j = 1, 2
Piirrä keskiarvodiagrammit ja laske yhdysvaikutusta kuvaavat neliösummat
21 1
( )I J
ij i ji j
SSAB K y y y y= =
= − − +∑∑ i i i ii iii
kun ryhmäkeskiarvoina ovat:
(a)
ijy A1 A2
B1 1 2
B2 3 4
(b)
ijy A1 A2
B1 1 2
B2 4 3
Tehtävä 8.2. – Mitä opimme?
Tehtävässä tarkastellaan, millä tavalla interaktio ilmenee kaksisuuntaisen varianssianalyysin koeasetelman ryhmäkeskiarvoja havainnollistavissa keskiarvodiagrammeissa.
Olkoon
ykij = k. havainto ryhmässä, jonka määrittelee tekijän A taso i ja tekijän B taso j,
k = 1, 2, … , K , i = 1, 2, … , I , j = 1, 2, … , J
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin varianssianalyysihajotelman SST SSA SSB SSAB SSE= + + +
yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma on
21 1
( )I J
ij i ji j
SSAB K y y y y= =
= − − +∑∑ i i i ii iii
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 4/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Yhdysvaikutusta kuvaavan neliösumman SSAB kaavassa
1
1 Kij kij
ky y
K == ∑i
on tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämän ryhmän (i, j) havaintojen aritmeettinen keskiarvo eli ryhmäkeskiarvo,
1 1 1
1 1J K Ji kij
j k jy y
JK J= = == =∑∑ ∑i i iijy
ja
1 1 1
1 1I K Ij kij
i k iy y
IK I= = == =∑∑ ∑ii iijy
ovat vastaavat reunakeskiarvot ja
1 1 1 1 1
1 1I J K I Jkij ij
i j k i jy y
IJK IJ= = = = == =∑∑∑ ∑∑iii iy
havaintoarvojen kokonaiskeskiarvo.
(a) Ryhmäkeskiarvot:
ijy A1 A2
B1 1 2
B2 3 4
Vastaava keskiarvodiagrammi:
Keskiarvodiagrammi
B1
B2
0
1
2
3
4
5
1 2A
Vast
e
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 5/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Koska samaan tekijän B tasoon liittyvien ryhmäkeskiarvojen yhdysjanat ovat yhden- suuntaisia, kuvio viittaa siihen, että tekijöillä A ja B ei ole yhteisvaikutusta.
Reunakeskiarvot:
2
1 11
2
2 21
2
1 11
2
2 21
1 1 (1 3) 22 21 1 (2 4) 32 21 1 (1 2) 1.52 21 1 (3 4) 3.52 2
jj
jj
ii
ii
y y
y y
y y
y y
=
=
=
=
= = + =
= = +
= = + =
= = + =
∑
∑
∑
∑
i i i
i i i
ii i
ii i
=
Kokonaiskeskiarvo:
2 2
1 1
1 1 (1 3 2 4) 2.52 2 2 2iji j
y y= =
= = + + +⋅ ⋅∑∑iii i =
Yhteisvaihtelua kuvaava neliösumma
2 2
2
1 1
( )ij i ji j
SSAB K y y y y= =
= − − +∑∑ i i i ii iii
voi olla nolla vain, jos jokainen termeistä
( ) , 1,2 , 1,2ij i jy y y y i j− − + = =i i i ii iii
on nolla.
Koska
11 1 1
12 1 2
21 2 1
22 2 2
1 2 1.5 2.5 03 2 3.5 2.5 02 3 1.5 2.5 04 3 3.5 2.5 0
y y y yy y y yy y y yy y y y
− − + = − − + =− − + = − − + =− − + = − − + =− − + = − − + =
i i i ii iii
i i i ii iii
i i i ii iii
i i i ii iii
näemme, että
SSAB = 0
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 6/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
(b) Ryhmäkeskiarvot:
ijy A1 A2
B1 1 2
B2 4 3
Vastaava keskiarvodiagrammi:
Keskiarvodiagrammi
B1
B2
0
1
2
3
4
5
1 2A
Vast
e
Koska samaan tekijän B tasoon liittyvien ryhmäkeskiarvojen yhdysjanat eivät ole yhdensuuntaisia, kuvio viittaa siihen, että tekijöillä A ja B saattaa olla yhteisvaikutusta.
Reunakeskiarvot:
2
1 11
2
2 21
2
1 11
2
2 21
1 1 (1 4) 2.52 21 1 (2 3) 2.52 21 1 (1 2) 1.52 21 1 (4 3) 3.52 2
jj
jj
ii
ii
y y
y y
y y
y y
=
=
=
=
= = + =
= = + =
= = + =
= = + =
∑
∑
∑
∑
i i i
i i i
ii i
ii i
Kokonaiskeskiarvo:
2 2
1 1
1 1 (1 4 2 3) 2.52 2 2 2iji j
y y= =
= = + + +⋅ ⋅∑∑iii i =
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 7/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Yhteisvaihtelua kuvaava neliösumma
2 2
2
1 1
( )ij i ji j
SSAB K y y y y= =
= − − +∑∑ i i i ii iii
voi olla nolla vain, jos jokainen termeistä
( ) , 1,2 , 1,2ij i jy y y y i j− − + = =i i i ii iii
on nolla.
Koska
11 1 1
12 1 2
21 2 1
22 2 2
1 2.5 1.5 2.5 0.54 2.5 3.5 2.5 0.52 2.5 1.5 2.5 0.53 2.5 3.5 2.5 0.5
y y y yy y y yy y y yy y y y
− − + = − − + = −− − + = − − + =− − + = − − + =− − + = − − + = −
i i i ii iii
i i i ii iii
i i i ii iii
i i i ii iii
näemme, että
SSAB ≠ 0
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 8/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Tehtävä 8.3.
Akkutehtaan tavoitteena on suunnitella akku, joka säilyttää latauksensa hyvin erilaisissa lämpötiloissa. Oletetaan, että ainoa parametri, johon akkujen valmistusprosessissa voidaan vaikuttaa, on akussa käytettävien metallilevyjen materiaali ja oletetaan, että käytettävissä on kolmesta erilaisesta materiaalista tehtyjä levyjä.
Koska on odotettavissa, että eri materiaaleista valmistettujen akkujen latauksen kesto on erilainen erilaisissa lämpötiloissa, päätettiin tehdä seuraava koe:
Käytettävissä olevista kolmesta materiaalista tehtyjä akkuja testattiin kolmessa lämpötilassa (15, 70, 125 °F) niin, että jokaisessa materiaali-lämpötila-kombinaatiossa (3×3 = 9 kpl) testattiin neljä satunnaisesti valittua akkua.
Jokaisesta testatusta akusta mitattiin sen latauksen kesto tunteina. Tulokset testistä on annettu alla olevassa taulukossa.
Lämpötila (°F) Latauksen kesto (h) 15 70 125
130 155 34 40 20 70 1
74 180 80 75 82 58
150 188 136 122 25 70 2
159 126 106 115 58 45
138 110 174 120 96 104
Materiaali
3 168 160 150 139 82 60
(a) Mitä vaikutuksia käytetyllä materiaalilla ja lämpötilalla on akun latauksen kestoon?
(b) Onko olemassa materiaalia, josta valmistetun akun latauksen kesto olisi tasaisesti paras kaikissa lämpötiloissa?
Tehtävä 8.3. – Mitä opimme?
Tehtävässä sovelletaan kaksisuuntaista varianssianalyysia.
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tutkimusasetelma (i) Oletetaan, että haluamme tutkia kahden ryhmittelevän tekijän A ja B vaikutusta vaste- muuttujan y keskimääräiseen arvoon.
(ii) Oletetaan, että tekijällä A on I tasoa ja tekijällä B on J tasoa, jolloin havainnot voidaan luokitella ristiin I×J ryhmään.
(iii) Poimitaan kokeen mahdollisten kohteiden joukosta jokaiseen ryhmään satunnaisesti K yksilöä.
(iv) Mitataan vastemuuttujan y arvot.
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 9/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Havainnot Olkoon
ykij = muuttujan y k. havaintoarvo ryhmässä, jonka määrittelee tekijän A taso i ja tekijän B taso j, k = 1, 2, … , K , i = 1, 2, … , I , j = 1, 2, … , J
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisella mallilla on seuraavat ekvivalentit esitysmuodot:
(1) ( ) ( ) ( ) ( )kij i j ij ì j kij ijy yµ µ µ µ µ µ µ µ µ µ= + − + − + − − + + −i i i i
(2) kij ij kijy µ ε= +
(3) ( )kij i j ij kijy µ α β αβ ε= + + + +
k K1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,i I j J= = =… … …
J…
Jäännöstermit εkij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita:
2N(0, )
1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,kij
k K i I j
ε σ
= = =
∼… …
Mallissa (1)
1
1
1 1 1 1
1
1
1 1 1
J
ì ijj
I
j iji
I J I J
ij i ji j i j
J
I
IJ I J
µ µ
µ µ
µ µ µ
=
=
= = = =
=
=
= = =
∑
∑
µ∑∑ ∑ ∑
i
i
i i
Mallien (1), (2) ja (3) parametrit toteuttavat seuraavat yhtälöt:
( )
i i
j j
ij ij ì j
kij kij ijy
α µ µβ µ µ
αβ µ µ µ
ε µ
= −
= −
µ= − − +
= −
i
i
i i
Mallin (3) parametrit toteuttavat yhtälöt
1 1 1 1
( ) ( )I J I J
i i ij iji j i j
α β αβ αβ= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑ 0
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 10/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin hypoteesit Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla tarkoitetaan seuraavien nollahypoteesien testaamista:
HAB
: Ei yhdysvaikutusta
HA : Ei A-vaikutusta
HB
: Ei B-vaikutusta
Nämä nollahypoteesit voidaan ilmaista mallin (3) parametrien avulla seuraavassa muodossa:
1 21 2
H : ( ) 0 , 1,2, , , 1,2, ,
H : 0H : 0
AB ij
A I
B J
i I j Jαβ
α α αβ β β
= = =
= = = == = = =
… …$$
Keskiarvot Ryhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli ryhmäkeskiarvo on
1
1 , 1,2, , , 1,2, ,K
ij kijk
y y i I jK =
= = =∑i … … J
Tekijän A tasoon i liittyvä reunakeskiarvo on
1 1 1
1 1 , 1,2, ,J K J
i kij ijj k j
y y y iJK J= = =
= = =∑∑ ∑i i i … I
Tekijän B tasoon j liittyvä reunakeskiarvo on
1 1 1
1 1 , 1,2, ,I K I
j kij iji k i
y y y jIK I= = =
= = =∑∑ ∑ii i … J
Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli yleis- eli kokonaiskeskiarvo on
1 1 1 1 1
1 1I J K I Jkij ij
i j k i j
y yIJK IJ= = = = =
= =∑∑∑ ∑∑iii iy
Varianssianalyysihajotelma
Testit nollahypoteeseille HAB
, HA , H
B perustuvat varianssianalyysihajotelmaan
SST = SSA + SSB + SSAB + SSE
Neliösumma
2 21 1 1
( ) (I J K
kij yi j k
SST y y IJK s= = =
= − =∑∑∑ iii 1)−
kuvaa havaintojen kokonaisvaihtelua.
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 11/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Neliösumma
2 21 1 1 1
( ) ( )I J K I
i ii j k i
SSA y y JK y y= = = =
= − =∑∑∑ ∑i i iii i i iii−
kuvaa tekijän A osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli tekijän A päävaikutusta.
Neliösumma
2 21 1 1 1
( ) ( )I J K J
j ji j k j
SSB y y IK y y= = = =
= − =∑∑∑ ∑ii iii ii iii−
kuvaa tekijän B osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli tekijän B päävaikutusta.
Neliösumma
2 21 1 1 1 1
( ) ( )I J K I J
ij i j ij i ji j k i j
SSAB y y y y K y y y y= = = = =
= − − + = − − +∑∑∑ ∑∑i i i i i i i i i i i i i i i i
kuvaa tekijöiden A ja B yhteisvaihtelun osuutta kokonaisvaihtelusta eli tekijöiden A ja B interaktiota.
Neliösumma (jäännösneliösumma)
2 21 1 1 1 1
( ) ( 1)I J K I J
kij ij iji j k i j
SSE y y K s= = = = =
= − = −∑∑∑ ∑∑i
kuvaa ryhmien sisäisen vaihtelun osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta.
Testisuureet Määritellään F-testisuureet
( 1)( 1)( 1)
( 1)( 1)( 1)
( 1)
AB
A
B
IJ K SSABFI J SSE
IJ K SSAFI SSE
IJ K SSBFJ SSE
−= ⋅
− −−
= ⋅−−
= ⋅−
Jos nollahypoteesi
HAB
: Ei yhdysvaikutusta
pätee, niin
(( 1)( 1), ( 1))ABF F I J IJ K− − −∼
Suuret testisuureen FAB arvot johtavat nollahypoteesin HAB hylkäämiseen.
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 12/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Jos nollahypoteesi
HA : Ei A-vaikutusta
pätee, niin
(( 1), ( 1))AF F I IJ K− −∼
Suuret testisuureen FA arvot johtavat nollahypoteesin HA hylkäämiseen.
Jos nollahypoteesi
HB : Ei B-vaikutusta
pätee, niin
(( 1), ( 1))BF F J IJ K− −∼
Suuret testisuureen FB arvot johtavat nollahypoteesin HB hylkäämiseen.
Kaksisuuntaisen varianssianalyysin testien tulokset ilmaistaan tavallisesti varianssianalyysi- taulukon muodossa:
Vaihtelun lähde
Neliö-summa
SS
Vapaus-asteet
df
Varianssi-estimaattori
MS F-testisuure
A SSA I – 1 1
SSAMSAI
=−
MSAFMSE
=
B SSB J – 1 1
SSBMSBJ
=−
MSBFMSE
=
AB SSAB (I – 1)(J – 1) ( 1)( 1SSABMSAB
I J=
)− −MSABFMSE
=
Jäännös SSE IJ(K – 1) ( 1SSEMSE
IJ K=
)−
Kokonais- vaihtelu SST IJK – 1
Varianssianalyysitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianalyysihajotelman
SST = SSA + SSB + SSAB + SSE
Lisäksi neliösummiin liittyvät vapausasteet toteuttavat vastaavan yhtälön
IJK – 1 = (I – 1) + (J – 1) + (I – 1)(J – 1) + IJ(K – 1)
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 13/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Laskutoimitusten järjestely Jos varianssianalyysihajotelman neliösummat SST, SSA, SSB, SSAB, SSE joudutaan laskemaan käsin tai laskimella, kannattaa laskutoimituksissa käyttää alla esitettäviä kaavoja.
Määritellään seuraavat summat:
T y
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1,2, , , 1,2, ,
K
ij kijk
J K J
i kij ijj k j
I K I
j kij iji k i
I J K I J I J
kij ij i ji j k i j i j
T y
T y T
T
T y T T
i I j J
=
= = =
= = =
= = = = = = =
=
= =
= =
= = = =
= =
∑
∑∑ ∑
∑∑ ∑
∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑
i
i i i
ii i
iii i i i ii
… …
T
Tällöin yllä määritellyt keskiarvot saadaan kaavoilla
1
1
1
1
1,2, , , 1,2, ,
ij ij
i i
j j
y TK
y TJK
y TIK
y TIJK
i I j
=
=
=
=
= =
i i
i i i i
ii ii
iii iii
… … J
Havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla
2 21 1 1 1 1 1
1( )I J K I J K
kij kiji j k i j k
SST y y y TIJK= = = = = =
= − = −∑∑∑ ∑∑∑iii iii2
Tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla
2 21 1
1 1( )I I
i ii i
SSA JK y y T TJK IJK= =
= − = −∑ ∑i i iii i i iii2
Tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla
2 21 1
1 1( )J I
j jj i
SSB IK y y T TIK IJK= =
= − = −∑ ∑ii iii ii iii2
Tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma kannattaa laskea kahdessa vaiheessa. Lasketaan ensin ryhmäkeskiarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma
2 21 1 1 1
1 1( )I J I J
ij iji j i j
SS K y y T TK IJ= = = =
= − = −∑∑ ∑∑i iii i iii2K
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 14/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Tällöin
21 1
( )I J
ij i ji j
SSAB K y y y y SS SSA SSB= =
= − − + = −∑∑ i i i i i i i i −
Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma saadaan kaavalla
SSE = SST – SSAB – SSA – SSB = SST – SS
Käsin tai laskimella laskettaessa havainnot kannattaa järjestää seuraavan taulukon muotoon:
1 2
1 111 211 11 121 221 21 1 1 2 1 1
2 112 212 12 122 222 22 1 2 2 2 2
11 21 1 12 22 2 1 2
, , , , , , , , ,, , , , , , , , ,
, , , , , , , , ,
I
K K I I KI
K K I I KI
J J J K J J J K J IJ IJ KIJ
A A AB y y y y y y y y yB y y y y y y y y y
B y y y y y y y y y
$… … $ …… … $ …
% % % %… … $ …
Tästä taulukosta lasketaan solukohtaiset summat
T y 1
, 1,2, , , 1,2, ,K
ij kijk
i I j=
= = =∑i … … J
ja kaikkien havaintojen neliöiden summa
21 1 1
I J K
kiji j k
y= = =∑∑∑
Solusummat T i, 1,2, , , 1,2, ,ij I j J= =i … … järjestetään seuraavaksi taulukoksi, josta kaikki loput tarvittavista summista saadaan rivi- ja sarakesummina:
1 2
1 11 21 1 1
2 12 22 2 2
1 2
1 2
I
I
I
J J J IJ J
I
A A AB T T T TB T T T T
B T T T TT T T T
Summa
Summa
i i i ii
i i i ii
i i i ii
i i i i i i iii
$$$
% % % % %$$
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 15/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Tehtävä 8.3. – Ratkaisu:
(a) Tehtävässä havainnot on valmiiksi järjestetty laskutoimitusten kannalta sopivaan muotoon:
Lämpötila (°F) Latauksen kesto (h) 15 70 125
130 155 34 40 20 70 1
74 180 80 75 82 58
150 188 136 122 25 70 2
159 126 106 115 58 45
138 110 174 120 96 104
Materiaali
3 168 160 150 139 82 60
Tässä
A = Lämpötila
B = Materiaali
ja
I = 3
J = 3
K = 4
joten havaintojen kokonaislukumäärä on
N = IJK = 36
Neliösummien laskeminen Lasketaan kaikkien havaintojen neliöiden summa:
21 1 1
478547I J K
kiji j k
y= = =
=∑∑∑
Lasketaan seuraavaksi jokaisesta solusta havaintojen summa ja järjestetään summat taulukoksi, josta lasketaan lisäksi rivi- ja sarakesummat.
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 16/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Lasketaan solusummat:
T y 4
11 111
130 155 74 180 539kk =
= = + + + =∑i
T y 4
21 211
34 40 80 75 229kk =
= = + + + =∑i
T y 4
31 311
20 70 82 58 230kk =
= = + + + =∑i
T y 4
12 121
150 180 159 126 623kk =
= = + + + =∑i
T y 4
22 221
136 122 106 115 479kk =
= = + + + =∑i
T y 4
32 321
25 70 58 45 198kk =
= = + + + =∑i
T y 4
13 131
138 110 168 160 576kk =
= = + + + =∑i
T y 4
23 231
174 120 150 139 583kk =
= = + + + =∑i
T y 4
33 331
96 104 82 60 342kk =
= = + + + =∑i
Lasketaan rivisummat:
T T 3
1 11
539 229 230 998ii=
= = + + =∑ii i
T T 3
2 21
623 479 198 1300ii=
= = + + =∑ii i
T T 3
3 31
576 583 342 1501ii=
= = + + =∑ii i
Lasketaan sarakesummat:
T T 3
1 11
539 623 576 1738jj=
= = + + =∑i i i
T T 3
2 21
229 479 583 1291jj=
= = + + =∑i i i
T T 3
3 31
230 198 342 770jj=
= = + + =∑i i i
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 17/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Lasketaan kokonaissumma:
T T 3
1
1738 1291 770 3799ii=
= = + + =∑iii i i
Lämpötila (°F) Tij
15 70 125 Summa
1 539 229 230 998
2 623 479 198 1300 Materiaali
3 576 583 342 1501
Summa 1738 1291 770 3799
Lasketaan kaksisuuntaisen varianssianalyysin varianssianalyysihajotelman neliösummat:
2 2
1 1 1
2
1
1478547 379936
77646.972
I J K
kiji j k
SST y TIJK= = =
= −
= −
=
∑∑∑ iii
2 2
1
2 2 2
1 1
1 1(1738 1291 770 ) 379912 3639118.722
I
ii
SSA T TJK IJK=
= −
= + + −
=
∑ i i iii2
2 2
1
2 2 2
1 1
1 1(998 1300 1501 ) 379912 3610683.722
J
jj
SSB T TIK IJK=
= −
= + + −
=
∑ ii iii2
2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
1 1(539 623 576 229 479 583 230 198 342 ) 37994 359416.222
I J
iji j
SS T TK IJK= =
= −
= + + + + + + + + −
=
∑∑ i iii2
6
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 18/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
59416.222 39118.722 10683.7229613.778
SSAB SS SSA SSB= − −= − −=
77646.972 59416.22218230.750
SSE SST SSA SSB SSABSST SS
= − − −= −= −=
F-testisuureiden laskeminen Olkoon nollahypoteesina
HAB
: Ei yhdysvaikutusta
Testisuureen FAB arvoksi saadaan
( 1)( 1)( 1)3 3 (4 1) 9613.778
(3 1) (3 1) 18230.7503.56
ABIJ K SSABF
I J SSE−
= ⋅− −⋅ ⋅ −
= ⋅− ⋅ −
=
Jos nollahypoteesi HAB pätee, niin
(( 1)( 1), ( 1)) (4,27)ABF F I J IJ K F− − − =∼
Olkoon nollahypoteesina
HA : Ei A-vaikutusta
Testisuureen FA arvoksi saadaan
( 1)( 1)
3 3 (4 1) 39118.778(3 1) 18230.750
28.97
AIJ K SSAF
I SSE−
= ⋅−
⋅ ⋅ −= ⋅
−=
Jos nollahypoteesi HA pätee, niin
(( 1), ( 1)) (2,27)AF F I IJ K F− − =∼
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 19/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Olkoon nollahypoteesina
HB : Ei B-vaikutusta
Testisuureen FB arvoksi saadaan
( 1)( 1)
3 3 (4 1) 10683.722(3 1) 18230.750
7.91
BIJ K SSAF
J SSE−
= ⋅−
⋅ ⋅ −= ⋅
−=
Jos nollahypoteesi HB pätee, niin
(( 1), ( 1)) (2,27)BF F J IJ K F− − =∼
Testien tekeminen Olkoon nollahypoteesina
HAB
: Ei yhdysvaikutusta
Testisuureen arvoksi saatiin
3.56ABF =
Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla
Pr( 3.56) 0.0186F ≥ =
Siten nollahypoteesi HAB voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.05, mutta ei merkitsevyystasolla 0.01.
Taulukoiden mukaan
Pr(F ≥ 2.728) = 0.05
Pr(F ≥ 4.106) = 0.01
jossa
(( 1)( 1), ( 1)) (4,27)F F I J IJ K F− − − =∼
Koska
2.728 < F = < 4.106 3.56AB
voimme todeta (kuten edellä), että nollahypoteesi HAB voidaan hylätä merkitsevyys- tasolla 0.05, mutta ei merkitsevyystasolla 0.01.
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 20/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Olkoon nollahypoteesina
HA : Ei A-vaikutusta
Testisuureen arvoksi saatiin
28.97AF =
Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla
Pr( 28.97) 0.0001F ≥ <
Siten nollahypoteesi HA voidaan hylätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevyystasoilla.
Taulukoiden mukaan
Pr(F ≥ 5.488) = 0.01
jossa
(( 1), ( 1)) (2,27)F F I IJ K F− − =∼
Koska
> 5.488 28.97AF =
voimme todeta, että nollahypoteesi HA voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.01.
Olkoon nollahypoteesina
HB : Ei B-vaikutusta
Testisuureen arvoksi saatiin
7.91BF =
Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla
Pr( 7.91) 0.0020F ≥ =
Siten nollahypoteesi HB voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.01, mutta ei merkitsevyystasolla 0.001.
. Taulukoiden mukaan
Pr(F ≥ 5.488) = 0.01
jossa
(( 1), ( 1)) (2,27)F F J IJ K F− − =∼
Koska
> 5.488 7.91BF =
voimme todeta, että nollahypoteesi HB voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.01.
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 21/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Testien tuloksista voidaan rakentaa seuraava varianssianalyysitaulukko:
Vaihtelun lähde SS df MS F p
A 39118.722 2 19559.361 28.97 < 0.0001
B 10683.722 2 5341.861 7.91 0.0020
AB 9613.777 4 2403.444 3.56 0.0186
E 18230.75 27 675.213
T 77646.972 35
Johtopäätös: Jos käytämme 5 %:n merkitsevyystasoa, voimme hylätä kaikki kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesit:
HAB
: Ei yhdysvaikutusta
HA : Ei A-vaikutusta
HB
: Ei B-vaikutusta
Siten akkujen materiaali ja lämpötila vaikuttavat akkujen kestoon ja niillä on yhdysvaikutusta.
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 22/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Ncss-ohjelma antaa tehtävän 8.3. aineistosta seuraavan tulostuksen:
Analysis of Variance Report Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term DF Fixed? Term Mean Square A: Temp 2 Yes S(AB) S+bsA B: Material 2 Yes S(AB) S+asB AB 4 Yes S(AB) S+sAB S(AB) 27 No S Note: Expected Mean Squares are for the balanced cell-frequency case. Analysis of Variance Table Source Sum of Mean Prob Power Term DF Squares Square F-Ratio Level (Alpha=0.05) A: Temp 2 39118.72 19559.36 28.97 0.000000* 0.999999 B: Material 2 10683.72 5341.861 7.91 0.001976* 0.930055 AB 4 9613.777 2403.444 3.56 0.018611* 0.800929 S 27 18230.75 675.213 Total (Adjusted) 35 77646.97 Total 36 * Term significant at alpha = 0.05 Means and Standard Error Section Standard Term Count Mean Error All 36 105.5278 A: Temp 15 12 144.8333 7.501183 70 12 107.5833 7.501183 125 12 64.16666 7.501183 B: Material 1 12 83.16666 7.501183 2 12 108.3333 7.501183 3 12 125.0833 7.501183 AB: Temp,Material 15,1 4 134.75 12.99243 15,2 4 155.75 12.99243 15,3 4 144 12.99243 70,1 4 57.25 12.99243 70,2 4 119.75 12.99243 70,3 4 145.75 12.99243 125,1 4 57.5 12.99243 125,2 4 49.5 12.99243 125,3 4 85.5 12.99243
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 23/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Plots Section
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
15 70 125
Means of BatteryLife
Temp
Bat
tery
Life
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
1 2 3
Means of BatteryLife
Material
Bat
tery
Life
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
15 70 125
Means of BatteryLife
Temp
Bat
tery
Life
Material123
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 24/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: BatteryLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Critical Value=2.552459 Different Group Count Mean From Groups 125 12 64.16666 70, 15 70 12 107.5833 125, 15 15 12 144.8333 125, 70 Planned Comparison: A Linear Trend Response: BatteryLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Comparison Value=-57.03995 T-Value=7.604127 Prob>|T|=0.000000 Decision(0.05)=Reject Comparison Standard Error=7.501183 Comparison Group Coefficient Count Mean 15 -0.7071068 12 144.8333 70 0 12 107.5833 125 0.7071068 12 64.16666 Planned Comparison: A Quadratic Trend Response: BatteryLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Comparison Value=-2.517531 T-Value=0.3356179 Prob>|T|=0.739753 Decision(0.05)=Accept Comparison Standard Error=7.501183 Comparison Group Coefficient Count Mean 15 0.4082483 12 144.8333 70 -0.8164966 12 107.5833 125 0.4082483 12 64.16666
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 25/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: BatteryLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Critical Value=2.552459 Different Group Count Mean From Groups 1 12 83.16666 3 2 12 108.3333 3 12 125.0833 1 Planned Comparison: B Linear Trend Response: BatteryLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Comparison Value=29.63956 T-Value=3.951318 Prob>|T|=0.000503 Decision(0.05)=Reject Comparison Standard Error=7.501183 Comparison Group Coefficient Count Mean 1 -0.7071068 12 83.16666 2 0 12 108.3333 3 0.7071068 12 125.0833 Planned Comparison: B Quadratic Trend Response: BatteryLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=27 MSE=675.213 Comparison Value=-3.43609 T-Value=0.458073 Prob>|T|=0.650565 Decision(0.05)=Accept Comparison Standard Error=7.501183 Comparison Group Coefficient Count Mean 1 0.4082483 12 83.16666 2 -0.8164966 12 108.3333 3 0.4082483 12 125.0833
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 26/27
-
Mat-2.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit 8. harjoitukset
TKK @ Ilkka Mellin (2005) 27/27
Tehtävien 8.2, 8.3 laskutoimitusten suorittaminen Microsoft Excel -ohjelmalla:
Tehtävä Tiedosto Tehtävä 8.2. KsHt8.xls > Ht8.2.
Tehtävä 8.3. KsHt8.xls > Ht8.3.
Tehtävän 8.3 laskutoimitusten suorittaminen Ncss-ohjelmalla:
Tehtävä Tiedostot
Tehtävä 8.3. BatteryDesignP176.S0, BatteryDesignP176.S1